2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)系列 【整體思想】解方程中的整體思想（解析版）

解方程中的整體思想知識(shí)方法精講1．整體思想從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個(gè)整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的的、有意識(shí)的整體處理。整體思想方法在代數(shù)式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有廣泛的應(yīng)用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運(yùn)算、整體設(shè)元、整體處理、幾何中的補(bǔ)形等都是整體思想方法在解數(shù)學(xué)問題中的具體運(yùn)用。

用整體思想解方程，就是先考慮方程中的某一個(gè)代數(shù)式整體去代入，然后再解出方程中的未知數(shù)的值就可以。2．解一元一次方程（1）解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，這僅是解一元一次方程的一般步驟，針對方程的特點(diǎn)，靈活應(yīng)用，各種步驟都是為使方程逐漸向x＝a形式轉(zhuǎn)化．（2）解一元一次方程時(shí)先觀察方程的形式和特點(diǎn)，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括號(hào)，且括號(hào)外的項(xiàng)在乘括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)后能消去分母，就先去括號(hào)．（3）在解類似于“ax+bx＝c”的方程時(shí)，將方程左邊，按合并同類項(xiàng)的方法并為一項(xiàng)即（a+b）x＝c．使方程逐漸轉(zhuǎn)化為ax＝b的最簡形式體現(xiàn)化歸思想．將ax＝b系數(shù)化為1時(shí)，要準(zhǔn)確計(jì)算，一弄清求x時(shí)，方程兩邊除以的是a還是b，尤其a為分?jǐn)?shù)時(shí)；二要準(zhǔn)確判斷符號(hào)，a、b同號(hào)x為正，a、b異號(hào)x為負(fù)．3．二元一次方程的解（1）定義：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解．（2）在二元一次方程中，任意給出一個(gè)未知數(shù)的值，總能求出另一個(gè)未知數(shù)的一個(gè)唯一確定的值，所以二元一次方程有無數(shù)解．（3）在求一個(gè)二元一次方程的整數(shù)解時(shí)，往往采用“給一個(gè)，求一個(gè)”的方法，即先給出其中一個(gè)未知數(shù)（一般是系數(shù)絕對值較大的）的值，再依次求出另一個(gè)的對應(yīng)值．4．二元一次方程組的解（1）定義：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．（2）一般情況下二元一次方程組的解是唯一的．?dāng)?shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)遇到有關(guān)二元一次方程組的解的問題時(shí)，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程組，這種方法主要用在求方程中的字母系數(shù)．5．解二元一次方程組（1）用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①從方程組中選一個(gè)系數(shù)比較簡單的方程，將這個(gè)方程組中的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來．②將變形后的關(guān)系式代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程．③解這個(gè)一元一次方程，求出x（或y）的值．④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值．⑤把求得的x、y的值用“{”聯(lián)立起來，就是方程組的解．（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)．②把兩個(gè)方程的兩邊分別相減或相加，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程．③解這個(gè)一元一次方程，求得未知數(shù)的值．④將求出的未知數(shù)的值代入原方程組的任意一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值．⑤把所求得的兩個(gè)未知數(shù)的值寫在一起，就得到原方程組的解，用的形式表示．6．二元一次方程組的應(yīng)用（一）列二元一次方程組解決實(shí)際問題的一般步驟：（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系．（2）設(shè)元：找出題中的兩個(gè)關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來．（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個(gè)等量關(guān)系，列出方程組．（4）求解．（5）檢驗(yàn)作答：檢驗(yàn)所求解是否符合實(shí)際意義，并作答．（二）設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元．當(dāng)問題較復(fù)雜時(shí)，有時(shí)設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元．無論怎樣設(shè)元，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就要列幾個(gè)方程．7．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有兩個(gè)解，但不一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實(shí)數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個(gè)等式求解未知量．a(chǎn)x12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．8．換元法解一元二次方程1、解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．把一些形式復(fù)雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達(dá)到降次的目的．9．分式方程的解求出使分式方程中令等號(hào)左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解．注意：在解方程的過程中因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．10．解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論．（2）解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應(yīng)如下檢驗(yàn)：①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn)．一．選擇題（共3小題）1．（2021秋?沙坪壩區(qū)校級期中）關(guān)于、的二元一次方程組的解滿足，則的值是A．2 B． C． D．3【考點(diǎn)】二元一次方程的解；二元一次方程組的解；解二元一次方程組【分析】將兩個(gè)方程作差，可得，從而解方程即可．【解答】解：原方程組中兩個(gè)方程作差可得，，整理得，，由題意得方程，，解得，，故選：．【點(diǎn)評】此題考查了解決含有字母參數(shù)的二元一次方程組的能力，關(guān)鍵是能應(yīng)用整體思想進(jìn)行求解．2．（2020秋?岳西縣期末）若方程組的解為，則方程組的解為A． B． C． D．【考點(diǎn)】解二元一次方程組；二元一次方程組的解【分析】由整體思想可得，求出、即可．【解答】解：方程組的解為，方程組的解，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解與二元一次方程組的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2021?越秀區(qū)校級一模）關(guān)于，的方程組（其中，是常數(shù)）的解為，則方程組的解為A． B． C． D．【考點(diǎn)】二元一次方程組的解【分析】由原方程組的解及兩方程組的特點(diǎn)知，、分別相當(dāng)于原方程組中的、，據(jù)此列出方程組，解之可得．【解答】解：由題意知，，①②，得：，，①②，得：，，所以方程組的解為，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是得出兩方程組的特點(diǎn)并據(jù)此得出關(guān)于、的方程組．二．填空題（共5小題）4．（2021秋?黃驊市期末）已知x，y滿足（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝0．（1）x﹣y的值為1；（2）若x2+y2＝6，則xy的值為．【考點(diǎn)】換元法解一元二次方程．【分析】（1）把x﹣y看成一個(gè)整體，利用完全平方公式求解；（2）利用（1）的結(jié)果，變形完全平方公式得結(jié)論．【解答】解：（1）∵（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝0．∴（x﹣y﹣1）2＝0．∴x﹣y﹣1＝0．∴x﹣y＝1．故答案為：1．（2）∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，∴2xy＝x2+y2﹣（x﹣y）2＝6﹣12＝5．∴xy＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程、完全平方公式等知識(shí)點(diǎn)．掌握一元二次方程的因式分解法及完全平方公式的變形是解決本題的關(guān)鍵．5．（2021秋?蕪湖期末）觀察下列方程：①；②；③，可以發(fā)現(xiàn)它們的解分別是①或2；②或3；③或4．利用上述材料所反映出來的規(guī)律，可知關(guān)于的方程為正整數(shù)）的解或．【考點(diǎn)】解分式方程；分式方程的解【分析】將所求方程化為，再將作為整體求解即可．【解答】解：方程可化為，，令，則，由題意可得，，或，故答案為：或．【點(diǎn)評】本題考查分式方程的解，通過觀察發(fā)現(xiàn)方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，再由整體思想進(jìn)行解方程即可．6．（2021春?常熟市期中）在解決以下問題：“已知關(guān)于，的方程組的解是，求關(guān)于，的方程組的解”的過程中，甲、乙兩位同學(xué)分別提出了各自的想法．甲說：“兩個(gè)方程組外表很相似，且它們的系數(shù)有一定的規(guī)律，可以試試．”乙說：”能不能把第二個(gè)方程組中的兩個(gè)方程利用等式性質(zhì)加以變形，再利用整體思想通過換元的方法來解決．”參考他們倆的討論內(nèi)容，你認(rèn)為該方程組的解是8，．【考點(diǎn)】二元一次方程組的解【分析】把代入原方程，進(jìn)行變形，解答即可．【解答】解：原方程的解為：，原方程可化，方程①②兩邊都乘4，得：，，．故答案為：8，12．【點(diǎn)評】本題主要考查了二元一次方程的解法和應(yīng)用知識(shí)的掌握，掌握二元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵．7．（2021秋?花都區(qū)期末）已知是一元二次方程的一個(gè)解，則的值是．【考點(diǎn)】一元二次方程的解【分析】由是一元二次方程的一個(gè)解，將代入原方程，即可求得的值，從而得解．【解答】解：是一元二次方程的一個(gè)根，，．．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了方程解的定義．解題的關(guān)鍵是將代入原方程，利用整體思想求解．8．（2020秋?自貢期末）關(guān)于的方程的兩個(gè)解為，；的兩個(gè)解為，，則關(guān)于的方程的兩個(gè)解為或．【考點(diǎn)】解分式方程；分式方程的解【分析】將所求方程化為，由已知可得或，再對所求的根進(jìn)行檢驗(yàn)即可求解．【解答】解：可化為，的兩個(gè)解為，，或，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)或是分式方程的解，的解為或，故答案為：或．【點(diǎn)評】本題考查分式方程的解，理解題意，能夠求出方程的根，對所求的根進(jìn)行檢驗(yàn)，運(yùn)用整體的數(shù)學(xué)思想解題是關(guān)鍵．三．解答題（共11小題）9．（2021春?婁底期中）已知關(guān)于、的二元一次方程組的解是，求關(guān)于、的二元一次方程組的解．【考點(diǎn)】二元一次方程組的解【分析】對比兩個(gè)方程組，可得就是第一個(gè)方程組中的，即，同理：，可得方程組解出即可．【解答】解：關(guān)于、的二元一次方程組的解是，關(guān)于．的二元一次方程組滿足，解得．故關(guān)于．的二元一次方程組的解是．【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，利用了整體換元的思想解決問題，注意第一個(gè)和第二個(gè)方程組中的右邊要統(tǒng)一．10．（2021秋?昌江區(qū)校級期中）解方程組：（1）；（2）；（3），求的值．【考點(diǎn)】解分式方程；多元一次方程組【分析】（1）令，，解方程組，求出、再求解方程組即可；（2）用加減消元法解二元一次方程組即可；（3）先將五個(gè)方程相加得到，再分別求出，，即可求解．【解答】解：（1），令，，原方程可化為，①②，得，解得，將代入①得，，，③④，得，解得，將代入③，得，經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的解，原方程的解為；（2），②①，得，將代入②，得，原方程的解為；（3），①②③④⑤得，，⑦，④⑦，得，⑤⑦，得，．【點(diǎn)評】本題考查多元一次方程組的解法，熟練掌握代入消元法和加減消元法解多元一次方程組的方法是解題的關(guān)鍵．11．（2021春?濟(jì)源期末）題目：滿足方程組的與的值的和是2，求的值．按照常規(guī)方法，順著題目思路解關(guān)于、的二元一次方程組，分別求出、的值（含有字母，再由，構(gòu)造關(guān)于的方程求解，從而得出值．（1）某數(shù)學(xué)興趣小組對本題的解法又進(jìn)行了探究，利用整體思想，對于方程組中每個(gè)方程變形得到“”這個(gè)整體，或者對方程組的兩個(gè)方程進(jìn)行加減變形，得到“”整體值，從而求出值．請你運(yùn)用這種整體思想的方法，完成題目的解答過程．（2）小勇同學(xué)的解答是：觀察方程①，令，．解得：，又，．．把，代入方程②，得．所以的值為或．請?jiān)\斷分析并評價(jià)“小勇同學(xué)的解答”．【考點(diǎn)】解一元一次方程；二元一次方程的解；二元一次方程組的應(yīng)用【分析】（1）由兩種方法分別得出，求解即可；（2）從二元一次方程的解和二元一次方程組的解的概念進(jìn)行診斷分析，再從創(chuàng)新的角度進(jìn)行評價(jià)即可．【解答】解：（1）方法一：②得：③，由③①得：，，，解得：；方法二：由①②得：③，由②③得：，，，解得：（方法不唯一）；（2）“小勇同學(xué)的解答”錯(cuò)誤，理由如下：令，，求出的、的值只是方程①的一個(gè)解，而方程①有無數(shù)個(gè)解，根據(jù)方程組的解的概念，僅有方程①或方程②的某一個(gè)解中的、求出的值不一定適合方程組中的另一個(gè)方程；只有當(dāng)方程①、②取公共解時(shí)，和、之間對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系才能成立，這時(shí)，求得的才是正確答案；另一方面，小勇的解答雖然錯(cuò)誤，但他的思維給我們有創(chuàng)新的感覺，也讓我們鞏固加深了對方程組解的概念的連接，同時(shí)啟發(fā)我們平時(shí)在學(xué)習(xí)中，要善于多角度去探索問題，尋求新穎的解題方法．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、二元一次方程的解、一元一次方程的解法以及整體思想的應(yīng)用等知識(shí)；熟練掌握二元一次方程組的解法，由整體思想得出是解題的關(guān)鍵．12．（2021春?福州期末）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組時(shí)，采用了一種“整體代換”的解法：解：將方程②變形：即③，把方程①代入③得：，，把代入①得，方程組的解為．請你解決以下問題：（1）模仿小軍的“整體代換”法解方程組；（2）已知，滿足方程組，求與的值；（3）在（2）的條件下，寫出這個(gè)方程組的所有整數(shù)解．【考點(diǎn)】解一元一次方程；解二元一次方程組【分析】（1）把第2個(gè)方程變形為，則利用整體代換消去，求出的值，然后利用代入法求出得到方程組的解；（2）對方程組進(jìn)行變形，則利用整體代換求出的值，把的值代入第一個(gè)方程，得；（3）確定符合的所有整數(shù)解，然后對進(jìn)行驗(yàn)證，從而求解．【解答】解：（1），將方程②變形，，即③，把方程①代入③，得：，解得：，把代入①，得：，解得：，方程組的解為；（2），將方程組變形，得：，將④③，得：，解得：，將代入④，得：，；的值為17，的值為2；（3）由（2）可得，當(dāng)，均為整數(shù)時(shí)，或或或，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，（故舍去），當(dāng)，時(shí)，，（故舍去），在（2）的條件下，這個(gè)方程組的所有整數(shù)解為或．【點(diǎn)評】本題考查了解二元一次方程組以及解一元一次方程，掌握解方程組的方法和步驟是關(guān)鍵，注意整體思想的運(yùn)用．13．（2019秋?吉州區(qū)期末）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組時(shí)，采用了一種“整體代換”的解法：解：將方程②變形：，即③把方程①代入③得：，，所以代入①得，方程組的解為，請你解決以下問題：（1）模仿小軍的“整體代換”法解方程組，（2）已知，滿足方程組，求的值和的值．【考點(diǎn)】解二元一次方程組；二元一次方程的解【分析】（1）仿照閱讀材料中的方法求出方程組的解即可；（2）仿照閱讀材料中的方法求出方程組的解得到與的值，再利用完全平方公式及平方根定義求出的值，代入原式計(jì)算即可求出值．【解答】解：（1）把方程②變形：③，把①代入③得：，即，把代入①得：，則方程組的解為；（2）由①得：，即③，把③代入②得：，解得：，，，或，則原式．【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．14．善于思考的小軍在解方程組時(shí)，采用了一種“整體代換”的解法：解：將方程②變形：，即，③把方程①代入③，得．．把代入①，得．原方程組的解為．請你解決以下問題：（1）模仿小軍的“整體代換法”解方程組：（2）已知，滿足方程組，求的值．【考點(diǎn)】解二元一次方程組【分析】（1）仿照小軍的方法將方程②變形，把方程①代入求出的值，即可確定出的值；（2）方程組兩方程變形后，利用加減消元法求出所求即可．【解答】解：（1）由②得：③，把①代入③得：，解得：，把代入①得：，則方程組的解為；（2）由①得：③，由②得：④，③④得：，解得：．【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．15．（2021春?饒平縣校級期末）已知方程組由于甲看錯(cuò)了方程①中的得到方程組的解為；乙看錯(cuò)了方程②中的得到方程組的解為，若按正確的，計(jì)算，請你求原方程組的解．【考點(diǎn)】二元一次方程組的解【分析】把甲的結(jié)果代入第二個(gè)方程求出的值，把乙的結(jié)果代入第一個(gè)方程求出的值，確定出方程組，求出解即可．【解答】解：把代入②得：，即；把代入①得：，即，方程組為，整理得：，①②得：，解得：，把代入①得：，則方程組的解為．【點(diǎn)評】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．16．（2020春?南關(guān)區(qū)月考）感知：解方程組，下列給出的兩種方法中，方法簡單的是．（A）由①，得，代入②，先消去，求出，再代入求解．（B）將①代入②，得，解得，再代入求解．探究：解方程組．應(yīng)用：若關(guān)于，的二元一次方程組的解中的是正數(shù)，則的取值范圍為．【考點(diǎn)】解二元一次方程組；二元一次方程組的解；解一元一次方程；解一元一次不等式【分析】感知：根據(jù)題目中的解答過程可知（B）種方法簡答；探究：根據(jù)感知中的解答方法可以解答此方程組；應(yīng)用：根據(jù)感知中的方法，可以用含的代數(shù)式表示出，再根據(jù)方程組的解中是正數(shù)，從而可以求得的取值范圍．【解答】解：感知：由題目中的解答過程可知，最佳的方法是（B），故答案為：（B）；探究：，將①代入②，得，解得，，將代入①，得，故原方程組的解是；應(yīng)用：，將①代入②，得，解得，，關(guān)于，的二元一次方程組的解中的是正數(shù)，，解得，，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查解一元一次不等式、解二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確它們各自的解答方法．17．（2021春?江都區(qū)校級期中）閱讀感悟：有些關(guān)于方程組的問題，欲求的結(jié)果不是每一個(gè)未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值．如以下問題：已知實(shí)數(shù)、滿足①，②，求和的值．本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得、的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運(yùn)算量比較大．其實(shí)，仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由①②可得，由①②可得．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．解決問題：（1）已知二元一次方程組，則，；（2）對于實(shí)數(shù)、，定義新運(yùn)算：，其中、、是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算．已知，，求的值．【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；代數(shù)式求值；二元一次方程的解；二元一次方程組的解；解二元一次方程組【分析】（1）將兩方程相加可求的值，將