2024北京工大附中高二（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁/共1頁2024北京工大附中高二（上）期中數(shù)學(xué)命題人：塵福真審核人：葉欣（考試時(shí)間120分鐘，總分150分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的）1.直線的斜率為（）A.0 B.2 C. D.不存在2.空間直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.3.已知點(diǎn)到直線的距離為，則等于（）A. B. C. D.4.已知是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過且垂直于x軸的直線交C于A、B兩點(diǎn)，且，則的方程為（）A. B. C. D.5.已知圓：，則過點(diǎn)的最短弦所在直線的方程為（）A. B.C. D.6.若直線是圓的一條對稱軸，則（）A. B. C.1 D.-17.已知直線過點(diǎn)和點(diǎn)Q（2，2，0），則點(diǎn)到的距離為（）A.3 B.C. D.8.若直線和圓沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A.0個(gè) B.至多有一個(gè) C.1個(gè) D.2個(gè)9.若給定一向量組和向量，若存在一組實(shí)數(shù)、、、，使得，則稱向量能由向量組線性表示，或稱向量是向量組的線性組合.若，，、、為三個(gè)不共面的空間向量，且向量是向量組的線性組合，則（）A. B. C. D.10.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓．人們將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知，，動點(diǎn)滿足，記動點(diǎn)的軌跡為曲線，給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線的方程為②曲線上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)距離為6；③曲線上存在點(diǎn)，使得到直線的距離為；④曲線上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)與點(diǎn)距離之和為8．其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）11.雙曲線的兩條漸近線的方程為_____.12.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_________.13.設(shè)，向量，，，且，，則__________.14.眾所周知的“太極圖”，其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，因而也被稱為“陰陽魚太極圖”．如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”，整個(gè)圖形是一個(gè)圓形，其中黑色陰影區(qū)域在軸右側(cè)部分的邊界為一個(gè)半圓．已知直線．若直線與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線有2個(gè)公共點(diǎn)．則的取值范圍是_____．15.在中,,若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn),則該橢圓的離心率__________.16.已知橢圓，過原點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)向軸引垂線，垂足為，連接并延長，交橢圓于點(diǎn)，直線和的斜率分別為，，則下列選項(xiàng)正確的有_____．①．②．③．④．若，則三、解答題（本大題共5個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)．應(yīng)用空間向量方法求解下列問題．（1）求的長；（2）證明：平面．18.已知直線和圓，（1）m為何值時(shí)，直線與圓沒有公共點(diǎn)；（2）m為何值時(shí)，截得的弦長為2；（3）若直線和圓交于A，B兩點(diǎn)，此時(shí)，求m的值．19.如圖，在三棱柱中，平面，，，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的長；若不存在請說明理由．20.已知橢圓的長軸長為4，且點(diǎn)在橢圓C上．（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)的直線l橢圓C交于兩點(diǎn)，且．問：x軸上是否存在點(diǎn)N使得直線，直線與y軸圍成的三角形始終是底邊在y軸上的等腰三角形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．21.對于空間向量，定義，其中表示這三個(gè)數(shù)的最大值.（1）已知，.①寫出，寫出（用含的式子表示）；②當(dāng)，寫出的最小值及此時(shí)x的值；（2）設(shè)，，求證：（3）在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，，，，點(diǎn)P是以O(shè)為球心，1為半徑的球面上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q是△ABC內(nèi)部的動點(diǎn)，直接寫出的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo).

參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的）1.直線的斜率為（）A.0 B.2 C. D.不存在【答案】D【分析】根據(jù)傾斜角得到斜率不存在.【詳解】的傾斜角為，斜率不存在.故選：D2.空間直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【分析】由題知，為的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)滿足的關(guān)系求得C點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由題知，為的中點(diǎn)，設(shè)則，解得，即故選：A3.已知點(diǎn)到直線的距離為，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線得距離公式即可得出答案.【詳解】解：由題意得．解得或．，．故選：C.4.已知是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過且垂直于x軸的直線交C于A、B兩點(diǎn)，且，則的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合橢圓的定義運(yùn)算求解即可.【詳解】如圖所示：，，由橢圓定義得.①在中，.②由①②得，則，所以橢圓C的方程為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解.5.已知圓：，則過點(diǎn)的最短弦所在直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理，分析出圓心和連線的直線垂直于直線時(shí)，所截得弦長最短.【詳解】由于，故點(diǎn)在圓內(nèi)，化為標(biāo)準(zhǔn)方程：.如圖，設(shè)，垂足為，設(shè)直線和圓的交點(diǎn)是，根據(jù)垂徑定理，，為使得最小，必須最大，顯然，重合的時(shí)候取得等號，此時(shí)，由于，所以直線的斜率為，故直線的方程為，即.故選：C6.若直線是圓的一條對稱軸，則（）A. B. C.1 D.-1【答案】A【分析】根據(jù)直線過圓心可求參數(shù)的值.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故圓心為，因?yàn)橹本€是圓的對稱軸，故圓心在直線上，故即，故選：A.7.已知直線過點(diǎn)和點(diǎn)Q（2，2，0），則點(diǎn)到的距離為（）A.3 B.C. D.【答案】C【分析】由空間向量法求點(diǎn)線距．【詳解】由已知，，所以，所求距離為，故選：C．8.若直線和圓沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A.0個(gè) B.至多有一個(gè) C.1個(gè) D.2個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)題意得到，求得點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓及其內(nèi)部的點(diǎn)，根據(jù)圓內(nèi)切于橢圓，得到點(diǎn)是橢圓內(nèi)的點(diǎn)，即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€和圓沒有交點(diǎn)，可得，即，所以點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓及其內(nèi)部的點(diǎn)，又因?yàn)闄E圓，可得，所以圓內(nèi)切于橢圓，即點(diǎn)是橢圓內(nèi)的點(diǎn)，所以點(diǎn)的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故選：D.9.若給定一向量組和向量，若存在一組實(shí)數(shù)、、、，使得，則稱向量能由向量組線性表示，或稱向量是向量組的線性組合.若，，、、為三個(gè)不共面的空間向量，且向量是向量組的線性組合，則（）A. B. C. D.【答案】C【分析】由已知可得，其中、，利用空間向量的基本定理可得出關(guān)于、、的方程組，即可得解.【詳解】因?yàn)?、、為三個(gè)不共面的空間向量，由題意可知，存在、，使得，即，所以，，解得.故選：C.10.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓．人們將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知，，動點(diǎn)滿足，記動點(diǎn)的軌跡為曲線，給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線的方程為②曲線上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)距離為6；③曲線上存在點(diǎn)，使得到直線的距離為；④曲線上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)與點(diǎn)距離之和為8．其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)M滿足，利用兩點(diǎn)間距離公式化簡整理，即可判斷①是否正確；通過確定圓上的點(diǎn)到（1，1）的距離的范圍來判斷②是否正確；通過確定圓上的點(diǎn)到直線的距離的范圍來判斷③是否正確；由橢圓的定義，可知F在橢圓上，再根據(jù)橢圓與曲線W的位置關(guān)系，即可判斷④是否正確．【詳解】設(shè)，因?yàn)镸滿足，所以，整理可得：，即，所以①正確；對于②，由①可知，點(diǎn)在圓的外部，因?yàn)榈綀A心的距離，半徑為2，所以圓上的點(diǎn)D到的距離的范圍為，而，所以②不正確；對于③，圓心到直線的距離為，即直線和圓相交，所以圓上的點(diǎn)E到直線的距離的范圍為，又，即，故③正確；對于④，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)F，使得F到點(diǎn)B與點(diǎn)的距離之和為8，則F在以點(diǎn)B與點(diǎn)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為8的橢圓上，即F在橢圓上，易知橢圓與曲線W：有交點(diǎn)，故曲線W上存在點(diǎn)F，使得F到點(diǎn)B與點(diǎn)的距離之和為8，所以④正確．故正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為3，故選：C二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）11.雙曲線的兩條漸近線的方程為_____.【答案】【分析】直接利用雙曲線的漸近線的求法，求解即可.【詳解】對于雙曲線，，，所以，雙曲線的漸近線方程為，即.故答案為：.12.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_________.【答案】【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求得答案.【詳解】拋物線可化為，焦點(diǎn)在軸上，,拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,故答案為:13.設(shè)，向量，，，且，，則__________.【答案】3【分析】根據(jù)空間向量平行和垂直的坐標(biāo)表示求出和的值，進(jìn)而可得的坐標(biāo)，再由模長的坐標(biāo)表示計(jì)算模長即可求解.【詳解】因?yàn)?，，，且，，所以?2=y-4=1所以，，，所以.故答案為：.14.眾所周知的“太極圖”，其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，因而也被稱為“陰陽魚太極圖”．如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”，整個(gè)圖形是一個(gè)圓形，其中黑色陰影區(qū)域在軸右側(cè)部分的邊界為一個(gè)半圓．已知直線．若直線與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線有2個(gè)公共點(diǎn)．則的取值范圍是_____．【答案】【分析】就直線與陰影部分的邊界在軸上下兩部分分別有兩個(gè)公共點(diǎn)分類討論可得的取值范圍.【詳解】陰影部分在第一象限內(nèi)的邊界曲線方程為x2若直線與在軸上方的陰影部分的邊界曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則，解得，若直線與在軸下方的陰影部分的邊界曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則即，當(dāng)時(shí)，直線，此時(shí)與陰影部分的邊界有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)為符合；綜上，，故答案為：15.在中,,若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn),則該橢圓的離心率__________.【答案】【分析】根據(jù)，得到的三邊，根據(jù)橢圓的定義，得到和，從而得到離心率.【詳解】因?yàn)椋?，得，由余弦定理得，所以，因?yàn)橐詾榻裹c(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，所以，，所以橢圓的離心率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理解三角形，橢圓的定義，求橢圓離心率，屬于簡單題.16.已知橢圓，過原點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)向軸引垂線，垂足為，連接并延長，交橢圓于點(diǎn)，直線和的斜率分別為，，則下列選項(xiàng)正確的有_____．①．②．③．④．若，則【答案】②③④【分析】設(shè)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出，然后整理可判斷①②③；求出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，利用弦長公式求即可判斷④.【詳解】設(shè)，且，對于①：，不為定值，①錯(cuò)誤；對于②：，②正確；對于③：，③正確；對于④：當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，解方程組得，不妨取，由選項(xiàng)③得，則直線的方程為，聯(lián)立，消去得，則，④正確.故答案為：②③④三、解答題（本大題共5個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)．應(yīng)用空間向量方法求解下列問題．（1）求的長；（2）證明：平面．【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)表示，代入長度公式求解；（2）利用，，可證直線垂直于，再利用線面垂直的判定定理證明【小問1詳解】以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為x軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系,則∵分別為的中點(diǎn)，∴則，∴；【小問2詳解】由（1）可得，，∵0，0，∴又，平面,∴平面18.已知直線和圓，（1）m為何值時(shí)，直線與圓沒有公共點(diǎn)；（2）m為何值時(shí)，截得的弦長為2；（3）若直線和圓交于A，B兩點(diǎn)，此時(shí)，求m的值．【答案】（1），或（2）（3）【分析】由直線與圓的位置關(guān)系可解.【小問1詳解】由已知，圓心為，半徑的長，圓心到直線的距離，因?yàn)橹本€與圓無公共點(diǎn)，所以，即，所以，或，故當(dāng)，或時(shí)，直線與圓無公共點(diǎn)．【小問2詳解】由平面幾何垂徑定理知，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，直線被圓截得的弦長為2.【小問3詳解】由于交點(diǎn)處兩條半徑互相垂直，所以弦與過弦兩端的半徑組成等腰直角三角形，所以，即，解得.故當(dāng)時(shí)，直線與圓在兩交點(diǎn)處的兩條半徑互相垂直．19.如圖，在三棱柱中，平面，，，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的長；若不存在請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在；．【分析】（1）利用棱柱的幾何性質(zhì)得到，利用線面平行的判定定理證明即可；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，求出平面的法向量，由向量的夾角公式求解即可；（3）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，，利用線面角的計(jì)算公式，列出方程，求解即可得到答案．【詳解】（1）證明：因?yàn)闉槿庵?，所以?cè)面為平行四邊形，故，又平面，平面，所以平面；（2）解：因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以，即，令，則，，故，所以，因?yàn)槠矫媾c平面夾角為銳角，所以平面與平面夾角的余弦值為；（3）解：假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，，設(shè)與平面所成的角為，則，所以，解得或（舍），所以在線段上存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，此時(shí)．20.已知橢圓的長軸長為4，且點(diǎn)在橢圓C上．（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)的直線l橢圓C交于兩點(diǎn)，且．問：x軸上是否存在點(diǎn)N使得直線，直線與y軸圍成的三角形始終是底邊在y軸上的等腰三角形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）存在，【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義即可求解；（2）轉(zhuǎn)化為0后，根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?解得2.所以點(diǎn)在橢圓上.將代入,得..從而..【小問2詳解】顯然直線的斜率存在且不為0,設(shè)直線的方程為.設(shè).假設(shè)存在點(diǎn),因?yàn)橹本€與軸圍成的三角形始終為底邊在軸上的等腰三角形，0，即,即.由