專題14導(dǎo)數(shù)概念及運(yùn)算-2024年數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)重點(diǎn)題型

專題14導(dǎo)數(shù)概念及運(yùn)算一、核心體系導(dǎo)數(shù)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(導(dǎo)數(shù)的概念,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算))二、關(guān)鍵能力1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，能通過(guò)函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．2．能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y＝c(c為常數(shù))，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的導(dǎo)數(shù)．3．能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并能利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(ax＋b)的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù)．三、教學(xué)建議從近三年高考情況來(lái)看，本講是高考中的必考內(nèi)容．預(yù)測(cè)2022年高考將會(huì)涉及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義．以客觀題的形式考查導(dǎo)數(shù)的定義，求曲線的切線方程．導(dǎo)數(shù)的幾何意義也可能會(huì)作為解答題中的一問(wèn)進(jìn)行考查，試題難度屬中低檔.四、高頻考點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1．導(dǎo)數(shù)的概念1．函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)定義：稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即.2．函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)稱函數(shù)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)2．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)2．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（1）[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；（2）[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（3）(g(x)≠0)．(4)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積．知識(shí)點(diǎn)3．函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)幾何意義函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率(瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù))．相應(yīng)地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．五、重點(diǎn)題型題型一、求導(dǎo)運(yùn)算例11(2020·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,x＋a).若f′(1)＝eq\f(e,4)，則a＝________.【答案】1注：（常見(jiàn)函數(shù)及它們的和差積商的求導(dǎo)）【解析】f′(x)＝eq\f(x＋a－1ex,x＋a2)，則f′(1)＝eq\f(ae,a＋12)＝eq\f(e,4)，解得a＝1.例12設(shè)函數(shù)f(x)＝lneq\r(1＋2x).，則f′(x)=注：（復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)）【解析】因?yàn)閥＝lneq\r(1＋2x)＝eq\f(1,2)lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2x))，所以y′＝eq\f(1,2)·eq\f(1,1＋2x)·(1＋2x)′＝eq\f(1,1＋2x).例13.已知函數(shù)，則（）A． B． C．6 D．14【答案】C注：（理解f′(x0)與f(x)區(qū)別與聯(lián)系）【解析】求導(dǎo)，代入，求得，然后將代入原函數(shù)求得函數(shù)值.【詳解】，則，則，故選：C例14.（2023·陜西咸陽(yáng)）英國(guó)數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒（BrookTaylor，1685.8~1731.11）以發(fā)現(xiàn)泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)而聞名于世.根據(jù)泰勒公式，我們可知：如果函數(shù)在包含的某個(gè)開(kāi)區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于，有，若取，則，此時(shí)稱該式為函數(shù)在處的階泰勒公式.計(jì)算器正是利用這一公式將，，，，等函數(shù)轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式函數(shù)，通過(guò)計(jì)算多項(xiàng)式函數(shù)值近似求出原函數(shù)的值，如，，則運(yùn)用上面的想法求的近似值為（

）A．0.50 B． C． D．0.56【答案】B【分析】先化簡(jiǎn)，根據(jù)題意得到的泰勒展開(kāi)式，求得的值，即可求解.【詳解】由三角恒等變換的公式，化簡(jiǎn)得，又由，可得，所以.故選：B.訓(xùn)練題組1.(2018·天津卷)已知函數(shù)f(x)＝exlnx，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f′(1)的值為_(kāi)_______.【答案】e【解析】由題意得f′(x)＝exlnx＋ex·eq\f(1,x)，則f′(1)＝e.2．已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，則f2022(x)＝()A．－sinx－cosx B．sinx－cosxC．－sinx＋cosx D．sinx＋cosx【答案】C【解析】∵f1(x)＝sinx＋cosx，∴f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sinx－cosx，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cosx＋sinx，∴f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋cosx，∴fn(x)是以4為周期的函數(shù)，∴f2022(x)＝f2(x)＝cosx－sinx.3.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)是f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(1)＋lneq\f(1,x)，則f(1)＝()A.－e B.2 C.－2 D.e【解析】由已知得f′(x)＝2f′(1)－eq\f(1,x)，令x＝1得f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1，則f(1)＝2f′(1)＝2.考點(diǎn)二、求切線方程例21（2020·新課標(biāo)Ⅰ）函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為（）A.B.C. D.【答案】B注：（已知切點(diǎn)的切線問(wèn)題）【解析】因?yàn)閒(x)＝x4－2x3，所以f′(x)＝4x3－6x2，f(1)＝－1.所以f′(1)＝－2.因此，所求切線的方程為y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.例22（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為，．【答案】注：（不知切點(diǎn)的切線問(wèn)題）【分析】分和兩種情況，當(dāng)時(shí)設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)求出，即可求出切線方程，當(dāng)時(shí)同理可得；【詳解】[方法一]：化為分段函數(shù)，分段求分和兩種情況，當(dāng)時(shí)設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)求出，即可求出切線方程，當(dāng)時(shí)同理可得；解：因?yàn)椋?dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；[方法二]：根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，數(shù)形結(jié)合當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，圖象為：所以當(dāng)時(shí)的切線，只需找到關(guān)于y軸的對(duì)稱直線即可.[方法三]：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；.訓(xùn)練題組1.已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A． B． C． D．【解析】，將代入得，故選D．2．曲線在點(diǎn)處的切線恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則___________.【答案】1【解析】先求出的導(dǎo)函數(shù)，則，寫出切線方程，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程，即可得出答案.【詳解】，則則切線方程為，代入原點(diǎn)可得：，即，解得（負(fù)根舍去）故答案為：13.已知函數(shù)，點(diǎn)為函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，則到直線距離的最小值為_(kāi)__________.(注)【答案】【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線與已知直線平行時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)，然后轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離即可求解．【詳解】解：，，與直線平行的切線斜率，解得或，當(dāng)時(shí)，，即切點(diǎn)為，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為；當(dāng)時(shí)，，即切點(diǎn)為，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為，故答案為：.4.（2019·江蘇高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在曲線y=lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（e，1)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是____，切線方程為【答案】y=1e注：（不知切點(diǎn)的切線問(wèn)題）【解析】設(shè)點(diǎn)，則.又，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)A在曲線上的切線為，即，代入點(diǎn)，得，即，考查函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，故存在唯一的實(shí)數(shù)根，此時(shí)，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.考點(diǎn)三、兩只曲線的公切線問(wèn)題例31.若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則．【答案】注（兩函數(shù)的公切線）【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，對(duì)求導(dǎo)得，設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，與曲線相切于點(diǎn)，則，由點(diǎn)在切線上得，由點(diǎn)在切線上得，這兩條直線表示同一條直線，所以，解得.例32（2020·全國(guó)高考真題（理））若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D注（與圓錐曲線的公切線）【解析】設(shè)直線在曲線上的切點(diǎn)為，則，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，設(shè)直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D.例33．（2023·湖北省模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)與，若曲線和恰有一個(gè)公切點(diǎn)，則的最小值是．【答案】注：兩曲線的相切【分析】設(shè)出公切點(diǎn)，利用和在公切點(diǎn)處函數(shù)值和導(dǎo)函數(shù)值分別相等，得到的表達(dá)式，求出最大值即可.【詳解】，.設(shè)公切點(diǎn)為，則，，即.因此，其中，因?yàn)椋詾榈谝幌笙薜慕?；不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值，所以的最小值是，且有唯一解.故答案為：.訓(xùn)練題組1.與曲線和都相切的直線與直線垂直，則b的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先求出直線的方程，再求出直線與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)即可得解.【詳解】因直線與直線垂直，則直線的斜率為3，設(shè)直線與曲線相切的切點(diǎn)，而，則，得，即直線過(guò)點(diǎn)(1，0)，方程為y=3x3，設(shè)直線與曲線相切的切點(diǎn)P，有，由得，從而有點(diǎn)，而點(diǎn)P在直線：y=3x3上，即，解得.故選：D2.過(guò)引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，.若的斜率等于2，則（）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】先設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，再代入點(diǎn)M，得到A，均滿足得到一元二次方程，即得到直線的方程和斜率，結(jié)合斜率為2解得參數(shù)即可.【詳解】拋物線，即，則由切線斜率，設(shè)切點(diǎn)，則，又，所以切線方程為，即，同理切線方程為，兩切線均過(guò)點(diǎn)，故，即，所以點(diǎn)均滿足方程，即均在直線上，即直線的方程為，所以斜率為，故.故選：C.考點(diǎn)四、切線的探究例41（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若曲線有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是．【答案】注（探究切線條數(shù)）【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求得的取值范圍.【詳解】∵，∴，設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過(guò)原點(diǎn)，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：例42（2021·全國(guó)高考真題）若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（）A． B．C． D．【答案】D注（探究切點(diǎn)）解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；解法二：畫出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.【詳解】在曲線上任取一點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，由題意可知，點(diǎn)在直線上，可得，令，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.由此可知.例43.已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x的圖象在點(diǎn)A(x1，f(x1))與點(diǎn)B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)處的切線互相垂直，則x2－x1的最小值為()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．2【答案】B注（切點(diǎn)延續(xù)探究）【解析】因?yàn)閤1＜x2＜0，f(x)＝x2＋2x，所以f′(x)＝2x＋2，所以函數(shù)f(x)在點(diǎn)A，B處的切線的斜率分別為f′(x1)，f′(x2)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直，所以f′(x1)f′(x2)＝－1.所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，所以2x1＋2＜0，2x2＋2＞0，所以x2－x1＝eq\f(1,2)[－(2x1＋2)＋(2x2＋2)]≥eq\r(－（2x1＋2）（2x2＋2）)＝1，當(dāng)且僅當(dāng)－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1＝－eq\f(3,2)，x2＝－eq\f(1,2)時(shí)等號(hào)成立．所以x2－x1的最小值為1.故選B.訓(xùn)練題組1．（2023·安徽安慶·安徽省桐城中學(xué)校考一模）若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)，求導(dǎo)得切線方程，進(jìn)而根據(jù)過(guò)點(diǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不相等實(shí)根，得韋達(dá)定理，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)或，由導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性即可求解范圍.【詳解】設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，又切線過(guò)，則，有兩個(gè)不相等實(shí)根，其中或，令或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即.故答案為：2.函數(shù)的圖象存在與直線平行的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的圖象存在與直線平行的切線，即在上有解.在上有解，則.因?yàn)?，所以，所以的取值范圍?3．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線方程，根據(jù)切線過(guò)點(diǎn)，得到，設(shè)，求得，得出函數(shù)單調(diào)性和極值，列出方程組，即可求解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由函數(shù)，可得，則所以在點(diǎn)處的切線方程為，因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以，整理得，設(shè)，所以，令，解得或，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使得過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，則滿足，解得，即的取值范圍是．故選：C．考點(diǎn)五、切線的綜合應(yīng)用例51.在平面直角坐標(biāo)系中，是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過(guò)，，三點(diǎn)的圓的圓心為，若直線與拋物線相切于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是___________.【答案】注（與解析幾何的綜合考察）【解析】設(shè)出M的坐標(biāo)，求出切線斜率，利用斜率公式求出的坐標(biāo)，根據(jù)圓的性質(zhì)建立方程進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，如圖，過(guò)，，三點(diǎn)的圓的圓心為，圓心的縱坐標(biāo)為，設(shè)，直線與拋物線相切于點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)，即在處的切線斜率，即的斜率，即，即，得，即，，，，即，得，得或（舍，解得．，，，，即的坐標(biāo)為，，故答案為：，．例52.設(shè)曲線f(x)＝xn＋1(n∈N*)在點(diǎn)(1，1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，則x1·x2·x3·x4·…·x2017＝A． B． C． D．【答案】D注（與數(shù)列的綜合考察）【解析】由f(x)＝xn＋1得f′(x)＝(n＋1)xn，切線方程為y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得xn＝，故x1·x2·x3·x4·…·x2017＝.選D.例53.（2023·山東）若，則.【答案】【分析】觀察已知條件，通過(guò)求導(dǎo)賦值構(gòu)造出式子計(jì)算即可.【詳解】已知，對(duì)式子兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得，令，得.故答案為：240訓(xùn)練題組1.焦點(diǎn)為的拋物線：的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】作垂直準(zhǔn)線于，根據(jù)拋物線的定義可得，當(dāng)與拋物線相切時(shí)，最小，再運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)，求得切線的斜率，由此可得范圍.【詳解】作垂直準(zhǔn)線于，，不妨在第一象限取點(diǎn)，當(dāng)與拋物線相切時(shí)，最小，設(shè)切點(diǎn)為，由得，可知，又，得，得，又，所以，，所以切線，，所以，所以；故答案為：.2.已知函數(shù)，記是的導(dǎo)函數(shù)，將滿足的所有正數(shù)從小到大排成數(shù)列，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是A．B．C． D．【答案】C【分析】先求導(dǎo)數(shù)，解出f'（x）=0的所有正數(shù)解x，求得數(shù)列{xn}．從而可證明數(shù)列{f{xn}}為等比數(shù)列．進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．【詳解】f'（x）=ex（cosx+sinx）+ex（sinx+cosx）=2exsinx．

由f'（x）=0，得2exsinx=0．

解出x=nπ，n為整數(shù)，從而xn=nπ，n=1，2，3，．

所以數(shù)列{f{xn}}是公比q=eπ的等比數(shù)列，且首項(xiàng)f（x1）=q=eπ．其通項(xiàng)公式為．故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查．函數(shù)求導(dǎo)，等比數(shù)列證明．是對(duì)知識(shí)的綜合性考查，能力要求較高．3．（2023·安徽安慶一中）（多選題）已知，是函數(shù)與的圖像的兩條公切線，記的傾斜角為，的傾斜角為，且，的夾角為，則下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．C．若，則 D．與的交點(diǎn)可能在第三象限【答案】ABC【分析】根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)可得公切線關(guān)于對(duì)稱，即可得到，利用誘導(dǎo)公式證明A，利用誘導(dǎo)公式及基本不等式證明B，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義說(shuō)明C，結(jié)合函數(shù)圖象說(shuō)明D.【詳解】如圖，因?yàn)榕c互為反函數(shù)，故兩函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，關(guān)于對(duì)稱，故，，故A正確；由題意，，均為銳角，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故B正確；設(shè)與兩個(gè)函數(shù)圖象分別切于，兩點(diǎn)，與交于Q，，則，即，解得或（舍去），故，對(duì)于，則，令，解得，所以切點(diǎn)為，所以曲線的斜率為的切線方程為，故曲線的斜率為的切線方程為，同理可得的斜率為的切線方程為，故曲線的斜率為的切線方程為，所以，則，則，故C正確；由圖可知點(diǎn)必在第一象限，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.4．(多選)丹麥數(shù)學(xué)家琴生(Jensen)是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果，設(shè)函數(shù)f(x)在(a，b)上的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，f′(x)在(a，b)上的導(dǎo)函數(shù)為f″(x)，若在(a，b)上f″(x)<0恒成立，則稱函數(shù)f(x)在(a，b)上為“凸函數(shù)”，以下四個(gè)函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是凸函數(shù)的是()A．f(x)＝sinx＋cosx B．f(x)＝lnx－2xC．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝－xe－x解析：ABC對(duì)于A，由f(x)＝sinx＋cosx，得f′(x)＝cosx－sinx，則f″(x)＝－sinx－cosx＝－(sinx＋cosx)，因?yàn)閤∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以f″(x)＝－sinx－cosx＝－(sinx＋cosx)<0，所以此函數(shù)是凸函數(shù)；對(duì)于B，由f(x)＝lnx－2x，得f′(x)＝eq\f(1,x)－2，則f″(x)＝－eq\f(1,x2)，因?yàn)閤∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以f″(x)＝－eq\f(1,x2)<0，所以此函數(shù)是凸函數(shù)；對(duì)于C，由f(x)＝－x3＋2x－1，得f′(x)＝－3x2＋2，則f″(x)＝－6x，因?yàn)閤∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以f″(x)＝－6x<0，所以此函數(shù)是凸函數(shù)；對(duì)于D，由f(x)＝－xe－x，得f′(x)＝－e－x＋xe－x，則f″(x)＝e－x＋e－x－xe－x＝(2－x)e－x，因?yàn)閤∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以f″(x)＝(2－x)e－x>0，所以此函數(shù)不是凸函數(shù)，故選A、B、C．考點(diǎn)六：導(dǎo)數(shù)的概念例61.已知函數(shù)，若，則（）A．36 B．12 C．4 D．2【答案】C【解析】根據(jù)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的定義將變形為即可求解.【詳解】解：根據(jù)題意，，則，則，若，則，則有，即，故選：C.例62.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義可得出所求極限的值.【詳解】.故選：B.訓(xùn)練題組1.若，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】法一（注重導(dǎo)數(shù)概念的應(yīng)用的解法）：因?yàn)椋?，選B；法二（注重導(dǎo)數(shù)定義中各變量的聯(lián)系的解法）：因?yàn)?，所以（其中：），故選B.2．我國(guó)魏晉時(shí)期的科學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，實(shí)施“以直代曲”的近似計(jì)算，用正n邊形進(jìn)行“內(nèi)外夾逼”的辦法求出了圓周率π的精度較高的近似值，這是我國(guó)最優(yōu)秀的傳統(tǒng)科學(xué)文化之一．借用“以直代曲”的近似計(jì)算方法，在切點(diǎn)附近，可以用函數(shù)圖象的切線近似代替在切點(diǎn)附近的曲線來(lái)近似計(jì)算．設(shè)f(x)＝ln(1＋x)，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為_(kāi)_______，用此結(jié)論計(jì)算ln2022－ln2021≈________．答案：y＝xeq\f(1,2021)解析：函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)，則f′(x)＝eq\f(1,1＋x)，f′(0)＝1，f(0)＝0，∴切線方程為y＝x．∴l(xiāng)n2022－ln2021＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2021)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))，根據(jù)以直代曲，x＝eq\f(1,2021)非常接近切點(diǎn)x＝0．∴可以將x＝eq\f(1,2021)代入切線近似代替feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))≈eq\f(1,2021)．鞏固訓(xùn)練一、單選題1．一個(gè)港口的某一觀測(cè)點(diǎn)的水位在退潮的過(guò)程中，水面高度y(單位：cm)關(guān)于時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)為y＝h(t)＝eq\f(100,2t＋1)，當(dāng)t＝3時(shí)，水面下降的速度為()A．－eq\f(200,49)cm/sB．eq\f(200,49)cm/sC．－eq\f(100,49)cm/s D．eq\f(100,49)cm/s解析：B由題意得，h′(t)＝eq\f(－1002t＋1′,2t＋12)＝eq\f(－200,2t＋12)，所以h′(3)＝eq\f(－200,2×3＋12)＝－eq\f(200,49)，故當(dāng)t＝3時(shí)，水面下降的速度為eq\f(200,49)cm/s，故選B．2．設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q＝100－5P，其中Q，P分別表示需求量和價(jià)格，如果商品需求彈性eq\f(EQ,EP)大于1，其中eq\f(EQ,EP)＝－eq\f(Q′,Q)P，Q′是Q的導(dǎo)數(shù)，則商品價(jià)格P的取值范圍是()A．(0,10)B．(10,20)C．(20,30)D．(20，＋∞)解析：B根據(jù)題意得eq\f(EQ,EP)＝－eq\f(Q′,Q)P＝－eq\f(－5P,100－5P)＝eq\f(P,20－P)，由eq\f(EQ,EP)>1得eq\f(P,20－P)－1>0，即eq\f(2P－20,20－P)>0，解得10<P<20．故選B．3．(2022·內(nèi)江期末)曲線y＝f(x)在x＝1處的切線如圖所示，則f′(1)－f(1)＝()A．0B．2C．－2 D．－1解析：C設(shè)曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝kx＋b，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2，,－2k＋b＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝2，))所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝x＋2，所以f′(1)＝1，f(1)＝1＋2＝3，因此，f′(1)－f(1)＝1－3＝－2．故選C．4．(2022·青島模擬)已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N*，則f2022(x)＝()A．－sinx－cosxB．sinx－cosxC．－sinx＋cosxD．sinx＋cosx解析：C∵f1(x)＝sinx＋cosx，∴f2(x)＝f′1(x)＝cosx－sinx，f3(x)＝f′2(x)＝－sinx－cosx，f4(x)＝f′3(x)＝－cosx＋sinx，f5(x)＝f′4(x)＝sinx＋cosx，∴fn(x)的解析式以4為周期重復(fù)出現(xiàn)，∵2022＝4×505＋2，∴f2022(x)＝f2(x)＝cosx－sinx．故選C．5．（2021年全國(guó)高中名校名師原創(chuàng)預(yù)測(cè)卷新高考數(shù)學(xué)（第三模擬））已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線相同，則（）A．1 B．2 C．1 D．2【答案】B【分析】分別表示出兩條切線方程，然后比較系數(shù)，再進(jìn)行代換即可.【詳解】已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，由題意得，得，，則.又，所以，所以，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題需要表示出兩條切線方程，然后比較系數(shù)，再進(jìn)行代換，在代換過(guò)程中要盡量去消去指數(shù)和對(duì)數(shù)，朝目標(biāo)化簡(jiǎn).6．（2020·安徽馬鞍山市·馬鞍山二中高三月考（理））已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，記，．若，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過(guò)計(jì)算、、、、，可得、、、，最后計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】解：，則，，，，，所以猜想：，，，，由，，所以，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算以及不完全歸納法的應(yīng)用，屬于中檔題.7．（2020·安徽高三其他模擬（文））記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若存在x0∈R，滿足f(x0)=g(x0)且，則稱x0為函數(shù)f(x)與g(x)的一個(gè)“真實(shí)點(diǎn)”，若函數(shù)與有且只有一個(gè)真實(shí)點(diǎn)"，則實(shí)數(shù)a的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】與有且只有一個(gè)真實(shí)點(diǎn)"，則f(x0)=g(x0)且的方程只有一個(gè)解，即，結(jié)合即可求解．【詳解】由函數(shù)，，得，，設(shè)x0為f(x)與g(x)的“真實(shí)點(diǎn)”，由f(x0)=g(x0)且，得，即，得，由于函數(shù)與有且只有一個(gè)“真實(shí)點(diǎn)”，從而只有一解，故，解得b=0，此時(shí)，．故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于由與有且只有一個(gè)真實(shí)點(diǎn)"，轉(zhuǎn)化為方程有唯一解問(wèn)題．8．（2021·遼寧）已知函數(shù)．若曲線存在兩條過(guò)點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，寫出切線方程，將點(diǎn)（2,0）代入得到，由題意存在兩條切線，可得方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，由判別式大于0可得答案.【詳解】，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（），則切線方程為，又切線過(guò)點(diǎn)（2,0），可得，整理得，曲線存在兩條切線，故方程有兩個(gè)不等實(shí)根，即滿足，解得或，故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查過(guò)某點(diǎn)的切線方程的求法和切線的條數(shù)問(wèn)題，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，將切線的條數(shù)轉(zhuǎn)化為方程的根的個(gè)數(shù).二、多選題9．已知函數(shù)f(x)的圖象如圖，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A．f′(3)>f′(2)B．f′(3)<f′(2)C．f(3)－f(2)>f′(3)D．f(3)－f(2)<f′(2)解析：BCDf′(x0)的幾何意義是f(x)在x＝x0處的切線的斜率．由題圖知f′(2)>f′(3)>0，故A錯(cuò)誤，B正確．設(shè)A(2，f(2))，B(3，f(3))，則f(3)－f(2)＝eq\f(f3－f2,3－2)＝kAB，由題圖知f′(3)<kAB<f′(2)，即f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)，故C、D正確．10．(多選)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，則稱x0是f(x)的一個(gè)“巧值點(diǎn)”．下列選項(xiàng)中有“巧值點(diǎn)”的函數(shù)是()A．f(x)＝x2B．f(x)＝e－xC．f(x)＝lnx D．f(x)＝tanx解析：AC若f(x)＝x2，則f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程顯然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x，則f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程無(wú)解，故B不符合要求；若f(x)＝lnx，則f′(x)＝eq\f(1,x)，令lnx＝eq\f(1,x)，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝lnx與y＝eq\f(1,x)的圖象(圖略)，可得兩函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，所以方程f(x)＝f′(x)存在實(shí)數(shù)解，故C符合要求；若f(x)＝tanx，則f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,cosx)))′＝eq\f(1,cos2x)，令tanx＝eq\f(1,cos2x)，化簡(jiǎn)得sinxcosx＝1，變形可得sin2x＝2，無(wú)解，故D不符合要求．故選A、C．11．（2020·山東高三二模）已知，，記，則A．的最小值為 B．當(dāng)最小時(shí)，C．的最小值為 D．當(dāng)最小時(shí)，【答案】BC【分析】將視為曲線上的點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的距離的平方，利用曲線在點(diǎn)上的切線平行于直線可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得的最小值，聯(lián)立過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線與直線的方程，可求得的值，綜合可得出結(jié)論.【詳解】由，得：，的最小值可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的距離的最小值的平方，由得：，與直線平行的直線的斜率為，則令，解得：，切點(diǎn)坐標(biāo)為，到直線的距離.即函數(shù)上的點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的距離的最小值為.的最小值為，過(guò)與垂直的直線為，即.由，解得：，即當(dāng)最小時(shí)，.故選：BC.【點(diǎn)睛】本題考查曲線上一點(diǎn)到直線距離最值的計(jì)算，考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中等題.某地下車庫(kù)在排氣扇發(fā)生故障的情況下測(cè)得空氣中一氧化碳含量達(dá)到了危險(xiǎn)狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常．排氣4分鐘后測(cè)得車庫(kù)內(nèi)的一氧化碳濃度為64ppm，繼續(xù)排氣4分鐘后又測(cè)得濃度為32ppm．由檢驗(yàn)知該地下車庫(kù)一氧化碳濃度y（ppm）與排氣時(shí)間t（分鐘）之間存在函數(shù)關(guān)系，其中（R為常數(shù)）．若空氣中一氧化碳濃度不高于0．5ppm為正常，人就可以安全進(jìn)入車庫(kù)了，則（）A．B．C．排氣12分鐘后，人可以安全進(jìn)入車庫(kù)D．排氣32分鐘后，人可以安全進(jìn)入車庫(kù)【答案】BD【分析】由題意可設(shè)，再由已知列關(guān)于，的方程組，求出判斷A與B；進(jìn)一步求出的解析式，由求得的范圍判斷C與D．【詳解】由題意可設(shè)，則，此時(shí)為常數(shù)，由，得，則，即，，故A錯(cuò)誤，B正確；把代入，得，又，，由，得．至少排氣32分鐘，這個(gè)地下車庫(kù)中的一氧化碳含量才能達(dá)到正常狀態(tài)，則C錯(cuò)誤，D正確．故選：BD三、填空題13．(2022·南平二模)請(qǐng)寫出與曲線f(x)＝x3＋1在點(diǎn)(0,1)處具有相同切線的一個(gè)函數(shù)(非常數(shù)函數(shù))的解析式為g(x)＝________．解析：f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，曲線f(x)＝x3＋1在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為y＝1，所有在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為y＝1的函數(shù)都是正確答案．答案：x2＋1(答案不唯一)14．已知曲線在，，兩點(diǎn)處的切線分別與曲線相切于，，則的值為【答案】2【分析】根據(jù)相切得到切點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足的代數(shù)式，據(jù)此構(gòu)建方程，從而得到兩根的關(guān)系，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】由題設(shè)有，化簡(jiǎn)可得即，整理得到，同理，不妨設(shè)，令，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，均為增函數(shù)，故為增函數(shù)，同理當(dāng)時(shí)，故為增函數(shù)，故分別為在、上的唯一解，又，故，故為在的解，故即.所以，【點(diǎn)睛】用導(dǎo)數(shù)求切線方程常見(jiàn)類型：(1)在出的切線：為切點(diǎn)，直接寫出切線方程：；(2)過(guò)出的切線：不是切點(diǎn)，先設(shè)切點(diǎn)，聯(lián)立方程組，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再寫出切線方程：四、解答題15．(1)求曲線f(x)＝x3－3x2＋2x過(guò)原點(diǎn)的切線方程；(2)已知f(x)在R上可導(dǎo)，F(xiàn)(x)＝f(x3－1)＋f(1－x3)，求F′(1)的值．解：(1)f′(x)＝3x2－6x＋2．設(shè)切線的斜率為k．可知原點(diǎn)在曲線上．①當(dāng)切點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)，k＝f′(0)＝2，所以所求曲線的切線方程為y＝2x．②當(dāng)切點(diǎn)不是原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)是(x0，y0)(x0≠0)，則有y0＝xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋2x0，k＝eq\f(y0,x0)＝xeq\o\al(2,0)－3x0＋2， (ⅰ)又因?yàn)閗＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2． (ⅱ)由(ⅰ)(ⅱ)得x0＝eq\f(3,2)，k＝eq\f(y0,x0)＝－eq\f(1,4)．所以所求曲線的切線方程為y＝－eq\f(1,4)x．綜上，所求曲線的切線方程為y＝2x或y＝－eq\f(1,4)x．(2)由題知F′(x)＝3x