第5課時(shí)基本不等式

第5課時(shí)基本不等式編寫：廖云波【回歸教材】1.基本不等式如果，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．其中，叫作的算術(shù)平均數(shù)，叫作的幾何平均數(shù)．即正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．2.幾個(gè)重要的不等式（1）基本不等式：如果，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“”).特例：（同號(hào)）.（2）其他變形：①(溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式)②(溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式)③(溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式)④重要不等式串：即3.均值定理已知.（1）如果(定值)，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”).即“和為定值，積有最大值”.（2）如果(定值)，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”).即積為定值，和有最小值”.4.常見求最值模型模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.【典例講練】題型一利用基本不等式求最值【例11】對(duì)勾函數(shù)求下列函數(shù)的最值（1）已知，則函數(shù)的最大值為___________.【答案】【解析】【分析】由于，需要構(gòu)造函數(shù)，才能運(yùn)用基本不等式.【詳解】因?yàn)?，所以?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故當(dāng)時(shí)，取最大值，即.故答案為：3.（2）已知，則函數(shù)的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】由于，需要構(gòu)造函數(shù)，才能運(yùn)用基本不等式.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故當(dāng)時(shí)，取最小值，即.故答案為：3.（3）已知，則函數(shù)的最小值為___________.【答案】【例12】最值定理（1）已知，則取得最大值時(shí)的值為________．【答案】

【解析】【分析】（1）積的形式轉(zhuǎn)化為和的形式，利用基本不等式求最值，并要檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件；【詳解】解：（1），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)．故答案為：.（2）若x，y為實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（

）A．18 B．27 C．54 D．90【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式可得答案．【詳解】由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即等號(hào)成立.故選：C．【例13】“1”的妙用（1）若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為___________.【答案】##【解析】【分析】用“1”的代換湊配出定值后用基本不等式求得最小值．【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的最小值為.故答案為：.（2）已知，，且，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】將目標(biāo)式中4代換成，展開由基本不等式可得.【詳解】因?yàn)樗援?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：【例14】分離常數(shù)法當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為___________．【答案】【解析】【分析】將函數(shù)解析式變形為，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.故答案為：.【例15】換元法已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用換元法和基本不等式即可求解.【詳解】令，，則，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故選：A.【例16】消元法已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是（）A．2 B． C． D．6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)變形得，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，用湊配方式得出，再利用基本不等式即可求解.【詳解】由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào).故選：B.【例17】一元二次不等式法已知，，，則的最大值為________．【答案】【解析】【分析】由，可推出，而，代入所得結(jié)論即可．【詳解】解：，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)，等號(hào)成立，，，的最大值為．故答案為：．【例18】拆項(xiàng)法是不同時(shí)為0的實(shí)數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】對(duì)原式變形，兩次利用基本不等式，求解即可.【詳解】因?yàn)閍，b均為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且取等，即取等號(hào)，即則的最大值為，故選：A．歸納總結(jié)：【練習(xí)11】（1）已知，求函數(shù)的值域；（2）已知，，且，求：的最小值．【答案】（1）；（2）18．【解析】【分析】（1）設(shè)，得到，且，化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式（對(duì)勾函數(shù)法），即可求解；（2）由，得到，化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式（“1”的妙用），即可求解.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)椋傻?，且，故，因?yàn)?，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立．所以函數(shù)的值域?yàn)椋?）由，可得，即，則．當(dāng)且僅當(dāng)，即且時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為．【練習(xí)12】已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用乘1法即得.【詳解】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng),即，時(shí)，取等號(hào).故選：C.【練習(xí)13】已知對(duì)任意正實(shí)數(shù)，，恒有，則實(shí)數(shù)的最小值是___________.【答案】2【解析】【分析】證明，由，即，結(jié)合基本不等式求出，即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，則，則，即，又，因?yàn)椋?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以，所以，即實(shí)數(shù)的最小值是2.故答案為：2.【練習(xí)14】已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A．1 B． C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】由基本不等式得出關(guān)于的不等式，解之可得．【詳解】由已知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，，又，所以，即的最小值是4，此時(shí)．故選：C．【練習(xí)15】設(shè)，，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】法一：設(shè)，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為已知，求的最大值問題，再根據(jù)基本不等式求解即可；法二：由題知進(jìn)而根據(jù)三角換元得，再根據(jù)三角函數(shù)最值求解即可.【詳解】解：法一：（基本不等式）設(shè)，則，條件，所以，即.故選：D.法二：（三角換元）由條件，故可設(shè)，即，由于，，故，解得所以，，所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：D.題型二求數(shù)、式的范圍【例21】若正數(shù)a，b滿足ab＝a＋b＋3，則(1)ab的取值范圍是__；(2)a＋b的取值范圍是____．【答案】（1）_[9，＋∞)（2）[6，＋∞)[解析](1)∵ab＝a＋b＋3≥2eq\r(ab)＋3，令t＝eq\r(ab)>0，∴t2－2t－3≥0，∴(t－3)(t＋1)≥0．∴t≥3即eq\r(ab)≥3，∴ab≥9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)取等號(hào)．(2)∵ab＝a＋b＋3，∴a＋b＋3≤(eq\f(a＋b,2))2．今t＝a＋b>0，∴t2－4t－12≥0，∴(t－6)(t＋2)≥0．∴t≥6即a＋b≥6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)取等號(hào)．【例22】已知，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是?！敬鸢浮俊窘馕觥恳?yàn)椋?，，所?因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，所以，整理得，解得，?歸納總結(jié)：【練習(xí)21】若，，且，則的最小值為（

）A．9 B．16 C．49 D．81【答案】D【解析】【分析】由基本不等式結(jié)合一元二次不等式的解法得出最小值.【詳解】由題意得，得，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故選：D題型三證明不等式【例31】（1）設(shè)且．證明：；（2）已知為正數(shù)，且滿足．證明：【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）將展開可得，由題意可得，，都不為，則即可求證；（2）利用基本不等式可得，三式相加，結(jié)合，可得結(jié)論【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，都不為，則，所以.（2）因?yàn)閍，b，c為正數(shù)，，所以，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即【例32】設(shè)，為正實(shí)數(shù)，求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】利用基本不等式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，為正?shí)數(shù)，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；歸納總結(jié)：【練習(xí)31】設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且，證明：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)基本不等式得到三個(gè)同向不等式，再相加即可得證；（2）根據(jù)均值不等式可證不等式成立.(1)因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.(2)因?yàn)?所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.題型四實(shí)際應(yīng)用【例41】在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，且的面積，則周長(zhǎng)的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由已知利用三角形的面積公式可求的，進(jìn)而可得，，由余弦定理，基本不等式可求，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)即可求解其最大值．【詳解】，即，又，解得，，又，由余弦定理可得：，，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則周長(zhǎng)的最大值是，故選：B【例42】的外接圓半徑，角，則面積的最大值為（

）A． B． C．4 D．【答案】A【解析】【分析】由正弦定理得，進(jìn)而結(jié)合余弦定理得，再根據(jù)基本不等式得，最后根據(jù)三角形面積公式求解即可.【詳解】解：由正弦定理得，所以由余弦定理得：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以.故選：A【例43】春節(jié)期間，車流量較大，可以通過管控車流量，提高行車安全，在某高速公路上的某時(shí)間段內(nèi)車流量（單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過測(cè)量點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：萬(wàn)輛/小時(shí)）與汽車的平均速度（單位：千米/小時(shí)）、平均車長(zhǎng)（單位：米）之間滿足的函數(shù)關(guān)系（），已知某種車型的汽車的平均速度為100千米/小時(shí)時(shí)，車流量為1萬(wàn)輛/小時(shí)．(1)求該車型的平均車長(zhǎng)；(2)該車型的汽車在該時(shí)間段內(nèi)行駛，當(dāng)汽車的平均速度為多少時(shí)車流量達(dá)到最大值？【答案】(1)5(2)80千米/小時(shí)【解析】【分析】（1）依題意當(dāng)時(shí)，，代入計(jì)算可得；（2）由（1）可得，利用基本不等式計(jì)算可得；(1)解：由題意：當(dāng)時(shí)，，，．該車型的平均車長(zhǎng)為5米．(2)解：由（1）知，函數(shù)的表達(dá)式為（）．，．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．故當(dāng)汽車的平均速度為千米/小時(shí)時(shí)車流量達(dá)到最大值．歸納總結(jié)：【練習(xí)41】如圖，將一矩形花壇擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇，要求點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且對(duì)角線過點(diǎn)，已知，，那么當(dāng)_______時(shí)，矩形花壇的面積最小，最小面積為______.【答案】

4

48【解析】【分析】設(shè)，則，則，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】解：設(shè)，則，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故矩形花壇的面積最小值為．即當(dāng)時(shí)，矩形花壇的面積最小，最小面積為48.故答案為：4；48.【練習(xí)42】根據(jù)不同的程序，3D打印既能打印實(shí)心的幾何體模型，也能打印空心的幾何體模型．如圖所示的空心模型是體積為的球挖去一個(gè)三棱錐后得到的幾何體，其中，平面PAB，．不考慮打印損耗，求當(dāng)用料最省時(shí)，AC的長(zhǎng)．【答案】．【解析】【分析】用料最省時(shí)，即三棱錐體積最大，由垂直關(guān)系確定為球直徑，由球體積求得，設(shè)，表示出棱錐體積，由基本不等式得最大值．【詳解】解：設(shè)球的半徑為R，由球的體積，解得．因?yàn)槠矫鍼AB，與平面內(nèi)直線垂直，即，，．因?yàn)?，，平面，所以平面ABC，而平面，所以．所以中點(diǎn)是球心，所以．由可知，AC為截面圓的直徑，故可設(shè)，在中，，在中，，所以．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．所以當(dāng)用料最省時(shí)，．【練習(xí)43】在中，點(diǎn)P滿足，過點(diǎn)P的直線與AB，AC所在的直線分別交于點(diǎn)M，N，若，（，），則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形利用平面向量的線性運(yùn)算與共線定理，結(jié)合基本不等式即可求得的最小值．【詳解】連接，如圖，中，，點(diǎn)滿足，,，，（，）,,因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，所以，，,所以=()()==，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取“”，則的最小值為.故選：A.【請(qǐng)完成課時(shí)作業(yè)（五）】

【課時(shí)作業(yè)（五）】A組基礎(chǔ)題1．若、，且，則的最小值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)基本不等式計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)?、，所以，即，所以，即，?dāng)僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：A.2．已知，，且，則的最小值為（

）A．8 B． C．9 D．【答案】C【解析】【分析】由題得，再利用基本不等式“1”的代換求最值.【詳解】因?yàn)?，，，所以，∴，?dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，則的最小值為9.故選：C3．已知是圓上一點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)（），要使盡可能大，則，依題意，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選：B4．設(shè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，.若，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．3【答案】B【解析】【分析】由結(jié)合正弦定理可得，再利用余弦定理可求得，則可得，從而可求出面積的最大值【詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理可得，得，由余弦定理得，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為，故選：B5．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)取最小值時(shí)，雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得，由，利用基本不等式取等條件可確定當(dāng)取最小值時(shí)，由此可得雙曲線離心率.【詳解】由題意得：；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），當(dāng)取最小值時(shí)，雙曲線的離心率為.故選：C.6．若a，，，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式即可求解.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，等號(hào)成立；，解得，，所以的最大值為故選：A7．若、、均大于0，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】注意,而,從而溝通了問題與已知的聯(lián)系,然后利用基本不等式求最值.【詳解】解：、、均大于0,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”,的最大值為.故選:C8．（多選題)設(shè)正實(shí)數(shù)m、n滿足，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為3 B．的最大值為1C．的最小值為2 D．的最小值為2【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式判斷．【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)m、n，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且m+n=2，即m=n=1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值3，A正確；由，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時(shí)，mn取得最大值1，B正確；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)m=n=1時(shí)取等號(hào)，故≤2即最大值為2，C錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此處取得最小值2，故D正確.故選：ABD9．已知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)均值不等式及二次不等式的解法求解即可.【詳解】10．已知，若不等式恒成立，則的最大值為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)將分離出來，基本不等式求最值即可求解.【詳解】由得．又，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，∴的最大值為．故答案為：11．已知，且，則的最小值為_____.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式可求最小值.【詳解】，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由可得或，故，當(dāng)且僅當(dāng)或等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.12．能源是國(guó)家的命脈，降低能源消耗費(fèi)用是重要抓手之一，為此，某市對(duì)新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層.某建筑物準(zhǔn)備建造可以使用30年的隔熱層，據(jù)當(dāng)年的物價(jià)，每厘米厚的隔熱層造價(jià)成本是9萬(wàn)元人民幣.又根據(jù)建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間的每年的能源消耗費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度（單位：厘米）滿足關(guān)系：，經(jīng)測(cè)算知道，如果不建隔熱層，那么30年間的每年的能源消耗費(fèi)用為10萬(wàn)元人民幣.設(shè)為隔熱層的建造費(fèi)用與共30年的能源消耗費(fèi)用總和，那么使達(dá)到最小值時(shí)，隔熱層厚度__________厘米.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意解得參數(shù)的值，及函數(shù)的解析式，利用基本不等式求解函數(shù)的最小值即可.【詳解】解：由題意得，當(dāng)時(shí)，，解得，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：.13．在中，角所對(duì)的邊分別為，已知.(1)求角的大?。?2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)，結(jié)合角度的范圍與正切函數(shù)值即可；（2）根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式、三角形三邊的關(guān)系求解即可因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，解得或（舍去），即的最小值為4，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：4(1)∵，∴，即，∵，∴，∵，∴.(2)由余弦定理可知，代入可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，又，∴的取值范圍是.B組能力提升能1．已知，，，且，則（

）A．有最大值 B．有最大值1 C．有最小值 D．有最小值1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，在同理得到其他不等式，將不等式相加化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論【詳解】，，有①當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立

②當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立

③