第2章等式與不等式章節(jié)壓軸題解題思路分析

第2章等式與不等式章節(jié)壓軸題解題思路分析例題1．（2020·上海市金山中學(xué)高一期中）已知，，若，則對此不等式描述正確的是（）A．若，則至少存在一個以為邊長的等邊三角形B．若，則對任意滿足不等式的都存在以為邊長的三角形C．若，則對任意滿足不等式的都存在以為邊長的三角形D．若，則對滿足不等式的不存在以為邊長的直角三角形【答案】B【解析】本題可用排除法，由，對于，若，可得，故不存在這樣的錯誤，排除；對于時(shí)，成立，而以為邊的三角形不存在，錯誤，排除；對于時(shí)，成立，存在以為邊的三角形為直角三角形，故錯誤，排除故選B.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)、排除法解選擇題，屬于難題.用特例代替題設(shè)所給的一般性條件，得出特殊結(jié)論，然后對各個選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)，從而做出正確的判斷，這種方法叫做特殊法.若結(jié)果為定值，則可采用此法.特殊法是“小題小做”的重要策略，排除法解答選擇題是高中數(shù)學(xué)一種常見的解題思路和方法，這種方法即可以提高做題速度和效率，又能提高準(zhǔn)確性，這種方法主要適合下列題型:(1)求值問題（可將選項(xiàng)逐個驗(yàn)證）；（2）求范圍問題（可在選項(xiàng)中取特殊值，逐一排除）；（3）圖象問題（可以用函數(shù)性質(zhì)及特殊點(diǎn)排除）；（4）解方程、求解析式、求通項(xiàng)、求前項(xiàng)和公式問題等等.【變式1】（2019·上海浦東新·華師大二附中高一期中）的解集為________.【答案】【分析】將分式不等式轉(zhuǎn)化為高次不等式，再利用穿根法（奇穿偶不穿）求解高次不等式即可.【詳解】原不等式等價(jià)于且，，又可得，，且，，利用穿根法得原不等式的解集為.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式和高次不等式的解法，屬于中檔題.【變式2】（2017·上海市建平中學(xué)高一期中）關(guān)于的不等式的解集是M,若則常數(shù)的取值范圍是________.【答案】【分析】由題意得當(dāng)時(shí)不成立.故求解此時(shí)的表達(dá)式,再取在實(shí)數(shù)域上的補(bǔ)集即可.【詳解】由題意得當(dāng)時(shí)不成立,此時(shí),即或不成立,故,即故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查分式不等式解法的一些靈活運(yùn)用,根據(jù)題目所給條件求得不成立的參數(shù)的取值范圍再取補(bǔ)集即可.屬于中等題型.【變式3】（2018·上海閔行中學(xué)高一期中）若關(guān)于的不等式的解集為，則的值為_____【答案】【分析】根據(jù)不等式的解找到對應(yīng)方程的解：對應(yīng)的解為，計(jì)算得到答案.【詳解】關(guān)于的不等式的解集為則對應(yīng)的解為；對應(yīng)的解為.解得故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了已知不等式的解求參數(shù)，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程的解是解題的關(guān)鍵.【變式4】（2019·哈爾濱市呼蘭區(qū)第一中學(xué)校高一期中）已知關(guān)于的不等式的解集是，則不等式的解集為_________【答案】【分析】根據(jù)不等式解集與對應(yīng)方程根的關(guān)系求關(guān)系，再代入化簡求不等式解集.【詳解】因?yàn)榈慕饧?，所以為的兩根，且，即因此，即不等式的解集?【點(diǎn)睛】本題考查不等式解集與對應(yīng)方程根的關(guān)系以及解一元二次不等式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.【變式5】（2019·上海市金山中學(xué)高一期中）已知函數(shù)，（），若不存在實(shí)數(shù)使得和同時(shí)成立，則的取值范圍是________【答案】【分析】通過f（x）＞1和g（x）＜0，求出集合A、B，利用A∩B=?，求出a的范圍即可．【詳解】由f（x）＞1，得＞1，化簡整理得，解得即的解集為A={x|2＜x＜1或2＜x＜3}．

由g（x）＜0得x23ax+2a2＜0，即（xa）（x2a）＜0，g（x）＜0的解集為B={x|2a＜x＜a，a＜0}．

由題意A∩B=?，因此a≤2或1≤2a＜0，

故a的取值范圍是{a|a≤2或≤a＜0}．即答案為.【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式的解法，二次不等式的解法，集合的交集運(yùn)算，考查分析問題解決問題的能力．【變式6】（2018·上海高一期中）已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為.則關(guān)于的不等式的解集為__________.【答案】【分析】構(gòu)造解集和是同解的不等式，然后可得出，再代入求求解即可.【詳解】的解集為，則與是同解不等式，，則關(guān)于的不等式的解集即為的解集，，即，解得，故關(guān)于的不等式的解集為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法，以及特值法在解題中的應(yīng)用，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于中檔題.例題2．（2018·上海市澄衷高級中學(xué)高一期中）已知關(guān)于的不等式的解集為，其中（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)的值；（3）當(dāng)變化時(shí)，求不等式的解集.【答案】（1）；（2）或；（3）見解析.【分析】（1）由題意得出，解出該不等式即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）由題意得出是方程的根，且，由此可解出實(shí)數(shù)的值；（3）分、、三種情況討論，并比較與的大小關(guān)系，可得出集合.【詳解】（1），則，得，即，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2），則是方程的根，且，則，解得或；（3）當(dāng)時(shí)，方程的根為和.①當(dāng)時(shí)，，解不等式，得，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，原不等式為，即，解得，此時(shí)；③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.（i）當(dāng)時(shí)，原不等式為，解得，此時(shí)；（ii）當(dāng)或時(shí)，，解不等式，得或，此時(shí).【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法，同時(shí)也考查了一元二次不等式的解集與方程之間的關(guān)系，以及含參數(shù)的一元二次不等式的求解，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.【變式1】（2018·上海市光明中學(xué)高一期中）已知不等式的解集為，集合（1）求集合;（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】（1）解不等式可得集合A，對a的取值進(jìn)行分類，可得不同情況下的集合B；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論及A∩B∩Z＝{﹣1，﹣2}，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1）解不等式﹣2x2+x+1<0得：A＝（﹣∞，﹣）∪（1，+∞），（2）∵解得B.（2）當(dāng)a時(shí)，B＝?顯然不成立當(dāng)a時(shí)，B顯然不成立當(dāng)a時(shí)，B，∵A∩B∩Z＝{﹣1，﹣2}，∴﹣1＜﹣a≤2解得：﹣2≤a＜1，綜上，a的取值范圍是﹣2≤a＜1.【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是二次不等式的解法，集合的運(yùn)算，考查了分析問題解決問題得能力及邏輯推理能力，難度中檔．【變式2】（2019·上海市青浦高級中學(xué)高一月考）不等式的解集為，關(guān)于的不等式的解集為.(1)求集合、集合;(2)若集合中有個元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；；（2）【分析】（1）利用一元二次不等式的解法可求得集合；分別在、和三種情況下，根據(jù)一元二次不等式解法求得集合；（2）將問題轉(zhuǎn)化為則中包含個整數(shù)；分別在、、和四種情況下，確定中整數(shù)個數(shù)，由此得到的范圍.【詳解】（1），解得：或當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)，即時(shí)，（2）若有個元