專題05 三角函數(shù)（知識梳理+考點(diǎn)精講精練+實戰(zhàn)訓(xùn)練）

專題05三角函數(shù)目錄TOC\o"1-2"\h\u明晰學(xué)考要求 1基礎(chǔ)知識梳理 2考點(diǎn)精講講練 8考點(diǎn)一：任意角 8考點(diǎn)二：弧度制 8考點(diǎn)三：三角函數(shù)的概念 10考點(diǎn)四：同角三角函數(shù)基本關(guān)系 10考點(diǎn)五：誘導(dǎo)公式 11考點(diǎn)六：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 13考點(diǎn)七：三角恒等變換 14考點(diǎn)八：函數(shù) 16考點(diǎn)九：三角函數(shù)的應(yīng)用 19實戰(zhàn)能力訓(xùn)練 22明晰學(xué)考要求1、了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度制與角度制的互化2、理解三角函數(shù)的定義，能畫出三角函數(shù)的圖象3、了解三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性、最大（?。┲?。4、理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在上的性質(zhì)，正切函數(shù)在上的性質(zhì)5、了解函數(shù)的實際意義；能借助圖象理解參數(shù)的意義，了解參數(shù)的變化對函數(shù)圖象的影響；6、理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系7、能運(yùn)用二倍角公式進(jìn)行簡單的恒等變換；8、會用三角函數(shù)解決簡單的實際問題?；A(chǔ)知識梳理1、角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形2、角的分類①正角:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角.②負(fù)角:按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角.③零角:如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個零角.3、象限角（1）定義：在直角坐標(biāo)系中,使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么,角的終邊在第幾象限,就說這個角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,那么就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限.（2）象限角的常用表示：第一象限角第二象限角第三象限角或第四象限角或4、終邊相同的角的集合所有與角終邊相同的角為5、弧度制長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫).6、角度與弧度的換算弧度與角度互換公式：，7、常用的角度與弧度對應(yīng)表角度制弧制度8、扇形中的弧長公式和面積公式弧長公式：(是圓心角的弧度數(shù))，扇形面積公式：.9、任意角的三角函數(shù)定義（1）單位圓定義法：如圖,設(shè)是一個任意角,,它的終邊與單位圓相交于點(diǎn)①正弦函數(shù)：把點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫做的正弦函數(shù),記作,即②余弦函數(shù)：把點(diǎn)的橫坐標(biāo)叫做的余弦函數(shù),記作,即

③正切函數(shù)：把點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值叫做的正切,記作,即()

我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)（2）終邊上任意一點(diǎn)定義法：在角終邊上任取一點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)到點(diǎn)的距離為①正弦函數(shù)：②余弦函數(shù)：

③正切函數(shù)：()

10、三角函數(shù)值在各象限的符號,,在各象限的符號如下:（口訣“一全正,二正弦,三正切,四余弦”）11、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：（2）商數(shù)關(guān)系:（，）誘導(dǎo)公式一①②③其中.

公式二公式三公式四公式五公式六公式七公式八12、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中)函數(shù)圖象定義域值域周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱中心對稱軸方程無遞增區(qū)間遞減區(qū)間無13、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式①兩角和與差的正弦公式②兩角和與差的余弦公式③兩角和與差的正切公式14、二倍角公式①②；；③15、降冪公式16、輔助角公式：(其中)17、五點(diǎn)法作圖必備方法：五點(diǎn)法步驟③①②對于復(fù)合函數(shù)，第一步：將看做一個整體，用五點(diǎn)法作圖列表時，分別令等于，，，，，對應(yīng)的則取，，，，。，（如上表中，先列出序號①②兩行）第二步：逆向解出（如上表中，序號③行。）第三步：得到五個關(guān)鍵點(diǎn)為：，,,,18、三角函數(shù)圖象變換參數(shù),,對函數(shù)圖象的影響1.對函數(shù),的圖象的影響2、()對函數(shù)圖象的影響3、()對的圖象的影響4、由的圖象變換得到(，)的圖象的兩種方法19、根據(jù)圖象求解析式形如的解析式求法：（1）求法：①觀察法：代表偏離平衡位置的最大距離；平衡位置.②代數(shù)法：記的最大值為,最小值為；則：，聯(lián)立求解.（2）求法：通過觀察圖象，計算周期，利用公式，求出.（3）求法：最值代入法：通過觀察圖象的最高點(diǎn)（或者最低點(diǎn)）代入解析式求解.考點(diǎn)精講講練考點(diǎn)一：任意角【典型例題】例題1．（2024北京）在平面直角坐標(biāo)系中，以為頂點(diǎn)，為始邊，終邊在軸上的角的集合為（

）A． B．C． D．例題2．（2023福建）已知角的頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，那么，下列各角與角終邊相同的是（

）A． B． C． D．例題3．（2023上海）如果，那么與角終邊相同的角的集合可以表示為.【即時演練】1．已知與210°角的終邊關(guān)于x軸對稱，則是（

）A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角2．角是第象限角．3．與角終邊相同的最小正角是；最大負(fù)角是．考點(diǎn)二：弧度制【典型例題】例題1．（2023安徽）角的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．例題2．（2024浙江）已知半徑為1的扇形的圓心角為，則扇形的弧長等于（

）A． B． C． D．例題3．（2023湖北）沈括的《夢溪筆談》是中國科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”．如圖，是以為圓心為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，且．記的弧長的近似值為，“會圓術(shù)”給出了的一種計算公式：．若，，則根據(jù)該公式計算．

【即時演練】1．若扇形所對圓心角為，且該扇形面積為，那么該扇形的弧長為（

）A． B． C． D．2．（多選）將下列角度與弧度進(jìn)行互化正確的是（

）A． B．C． D．3．已知扇形的半徑是3，弧長為6，則扇形圓心角的弧度數(shù)是.考點(diǎn)三：三角函數(shù)的概念【典型例題】例題1．（2024新疆）已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．例題2．（2023湖南）設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．1例題3．（多選）（2024浙江）已知，且，則關(guān)于表述正確的是（）A． B．C． D．【即時演練】1．在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)，則=（

）A． B． C． D．2．已知角的終邊上一點(diǎn)，且，則.3．已知點(diǎn)是角α終邊上的一點(diǎn)，則．考點(diǎn)四：同角三角函數(shù)基本關(guān)系【典型例題】例題1．（2024湖北）已知，則（

）A．1 B．3 C．5 D．7例題2．（2023江蘇）已知，則（

）A． B． C． D．3例題3．（2023山西）已知，求下列各式的值：(1)；(2).【即時演練】1．已知，則（

）A．6 B．4 C．3 D．22．若，則．3．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在角α的終邊上．(1)求的值；(2)求的值．考點(diǎn)五：誘導(dǎo)公式【典型例題】例題1．（2022浙江）已知，則（

）A． B． C． D．例題2．（2024陜西）已知角終邊上一點(diǎn)，則．例題3．（2023上海）已知，那么的值是.【即時演練】1．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則．2．已知為第二象限角，．(1)化簡；(2)若，求的值．3．如圖，以為始邊作角與，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為.

(1)求的值；(2)若，求的坐標(biāo).考點(diǎn)六：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)【典型例題】例題1．（2024云南）函數(shù)的最小正周期是（

）A． B． C． D．例題2．（2023安徽）下列函數(shù)是奇函數(shù)，且最小正周期為的是（

）A． B． C． D．例題3．（2024湖南）已知函數(shù)，則（

）A．為奇函數(shù) B．的最小正周期為C．的最大值為1 D．在上單調(diào)遞減例題4．（2024云南）若方程在區(qū)間上有5個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．例題5．（2023浙江）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【即時演練】1．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．2．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)既有最大值，又有最小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．當(dāng)時，曲線與的交點(diǎn)個數(shù)為4個，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的值為5．函數(shù)的值域為.考點(diǎn)七：三角恒等變換【典型例題】例題1．（2024北京）（

）A． B． C． D．例題2．（2022安徽）若在上是減函數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．例題3．（2024云南）設(shè)，則（

）A． B． C． D．例題4．（2024天津）已知，且．(1)求，的值；(2)求的值．例題5．（2023吉林）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最大值和最小值；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【即時演練】1．計算的結(jié)果等于（

）A． B． C． D．2．已知，則（

）A． B． C．3 D．43．已知函數(shù).(1)求的值；(2)已知，求的值.4．已知函數(shù)，且.(1)求的值和的最小正周期；(2)求在上的最大值和最小值.5．已知函數(shù)，.(1)求的值；(2)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間.考點(diǎn)八：函數(shù)【典型例題】例題1．（2022河北）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)y=fx的圖象，則（

）A． B．C． D．例題2．（2023廣西）為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度例題3．（2024湖南）為了得到函數(shù)的圖象，只需把圖象上所有的點(diǎn)（

）A．向左平移個單位 B．向左平移個單位C．向右平移個單位 D．向右平移個單位例題4．（2024湖南）已知函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)．(1)若的最小正周期為，求出與的值；(2)若在區(qū)間上有且僅有4個最值點(diǎn)，求的取值范圍；(3)在（1）的條件下，求的最大值以及取得最大值時x的集合．【即時演練】1．將函數(shù)的圖象先向左平移個單位，縱坐標(biāo)不變，再將橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．2．要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（

）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位3．為了得到函數(shù)的圖象，只需將正弦函數(shù)圖象上各點(diǎn)（

）A．橫坐標(biāo)向右平移個單位長度，縱坐標(biāo)不變B．橫坐標(biāo)向左平移個單位長度，縱坐標(biāo)不變C．橫坐標(biāo)向左平移個單位長度，縱坐標(biāo)不變D．橫坐標(biāo)向右平移個單位長度，縱坐標(biāo)不變4．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向左平移個單位后，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時，求函數(shù)的值域.5．已知函數(shù).(1)填寫下表，并畫出在上的圖象；0寫出的解集.考點(diǎn)九：三角函數(shù)的應(yīng)用【典型例題】例題1．（2023安徽）聲音是由于物體的振動產(chǎn)生的能引起聽覺的波，每一個聲音都是由純音合成的，純音的數(shù)學(xué)模型是三角函數(shù)，如音叉發(fā)出的純音振動可表示為，其中表示時間，表示純音振動時音叉的位移，表示純音振動的頻率（對應(yīng)音高），表示純音振動的振幅（對應(yīng)音強(qiáng)）．已知某音叉發(fā)出的純音振動可表示為，則該純音振動的頻率為（

）A． B． C． D．例題2．（2023遼寧）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近船塢；缺貨后落潮時返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)某天的時間與水深值（單位：）記錄表．（

）時刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深值5.07.55.02.55.07.55.02.55.0根據(jù)以上數(shù)據(jù)，若用函數(shù)近似地描述這個港口的水深值與時間（記時刻0：00為時間）的函數(shù)關(guān)系，則上午7：00時，水深的近似數(shù)值為（

）A．2.83 B．3.75 C．6.25 D．7.17例題3．（2024北京）已知電流（單位：A）關(guān)于時間（單位：s）的函數(shù)解析式為．(1)當(dāng)時，求電流；(2)當(dāng)時，電流取得最大值，寫出的一個值．【即時演練】1．音樂噴泉曲線形似藤蔓上掛結(jié)的葫蘆，也可稱為“葫蘆曲線”.它的性質(zhì)是每經(jīng)過相同的時間間隔，它的振幅就變化一次.如圖所示，某一條葫蘆曲線的方程為，其中x表示不超過x的最大整數(shù).若該條曲線還滿足，經(jīng)過點(diǎn).則該條葫蘆曲線與直線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．（多選）從出生之日起，人的體力、情緒、智力呈周期性變化，在前30天內(nèi)，它們的變化規(guī)律如圖所示(均為可向右無限延伸的正弦型曲線模型):記智力曲線為，情緒曲線為，體力曲線為，且三條曲線的起點(diǎn)位于坐標(biāo)系的同一點(diǎn)處，則（

）A．體力曲線的最小正周期是三個曲線中最小的B．第462天時，智力曲線與情緒曲線都處于上升期C．智力、情緒、體力三條曲線存在無數(shù)個公共點(diǎn)D．不存在正整數(shù)，使得第天時，智力、情緒、體力三條曲線同時處于最高點(diǎn)或最低點(diǎn)3．（多選）如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心O距離水面2米，已知水輪每60秒逆時針轉(zhuǎn)動一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(圖中點(diǎn)P0)開始計時，則()A．點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要20秒B．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動155秒時，點(diǎn)P距離水面1米C．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動50秒時，點(diǎn)P在水面下方，距離水面2米D．點(diǎn)P距離水面的高度h(米)與t(秒)的函數(shù)解析式為4．（多選）水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是半徑為的水車，一個水斗從點(diǎn)出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周用時秒，經(jīng)過秒后，水斗旋到點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，，B．當(dāng)時，點(diǎn)P到x軸的距離的最大值為C．當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減D．當(dāng)時，5．海水受日月引力會產(chǎn)生潮汐．以海底平面為基準(zhǔn)，漲潮時水面升高，退潮時水面降低．現(xiàn)測得某港口某天的時刻與水深的關(guān)系表如下所示：（3.1時即為凌晨3點(diǎn)06分）時刻：x（時）03.16.29.312.415.518.621.724水深：y（米）5.07.45.02.65.07.45.02.64.0(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可以用函數(shù)來近似描述這一天內(nèi)港口水深與時間的關(guān)系，求出這個函數(shù)的解析式；(2)某條貨船的吃水深度（水面高于船底的距離）為4.2米．安全條例規(guī)定，在本港口進(jìn)港和在港口?？繒r，船底高于海底平面的安全間隙至少有2米，根據(jù)（1）中的解析式，求出這條貨船最早可行的進(jìn)港時間及這條貨船一天最多可以在港口中?？康目倳r長．實戰(zhàn)能力訓(xùn)練一、單選題1．已知角的頂點(diǎn)與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．2．若，，則（

）A． B． C．2 D．3．（

）A． B． C． D．4．將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向左平移個單位長度，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼暮螅玫胶瘮?shù)的圖象，則（

）A． B． C． D．5．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直觀