2025年新高考數(shù)學(xué)突破新定義壓軸題綜合講義專題03 概率與統(tǒng)計下的新定義（五大題型）（教師版）

專題03概率與統(tǒng)計下的新定義【題型歸納目錄】題型一：二項式定理新定義題型二：排列組合新定義題型三：概率新定義題型四：統(tǒng)計方法新定義題型五：信息熵問題【方法技巧與總結(jié)】解概率與統(tǒng)計下的新定義題，就是要細(xì)讀定義關(guān)鍵詞，理解本質(zhì)特征，適時轉(zhuǎn)化為“熟悉”問題．總之，解決此類問題，取決于已有知識、技能、數(shù)學(xué)思想的掌握和基本活動經(jīng)驗的積累，還需要不斷的實踐和反思，不然就談不上“自然”的、完整的解題．【典型例題】題型一：二項式定理新定義【典例1-1】(2024·湖南衡陽·二模)莫比烏斯函數(shù)在數(shù)論中有著廣泛的應(yīng)用．所有大于1的正整數(shù)都可以被唯一表示為有限個質(zhì)數(shù)的乘積形式：(為的質(zhì)因數(shù)個數(shù)，為質(zhì)數(shù)，)，例如：，對應(yīng)．現(xiàn)對任意，定義莫比烏斯函數(shù)(1)求；(2)若正整數(shù)互質(zhì)，證明：；(3)若且，記的所有真因數(shù)(除了1和以外的因數(shù))依次為，證明：．【解析】(1)因為，易知，所以；又，因為5的指數(shù)，所以；(2)①若或，因為，所以；②若，且存在質(zhì)數(shù)，使得或的質(zhì)因數(shù)分解中包含，則的質(zhì)因數(shù)分解中一定也包含，所以，③若，且不存在②中的，可設(shè)，其中均為質(zhì)數(shù)，則，因為互質(zhì)，所以互不相等，所以，綜上可知(3)由于，所以可設(shè)，為偶數(shù)，的所有因數(shù)，除了1之外都是中的若干個數(shù)的乘積，從個質(zhì)數(shù)中任選個數(shù)的乘積一共有種結(jié)果，所以，所以．【典例1-2】(2024·安徽合肥·一模)“數(shù)”在量子代數(shù)研究中發(fā)揮了重要作用.設(shè)是非零實數(shù)，對任意，定義“數(shù)”利用“數(shù)”可定義“階乘”和“組合數(shù)”，即對任意，(1)計算：；(2)證明：對于任意，(3)證明：對于任意，【解析】(1)由定義可知，.(2)因為，.又,所以(3)由定義得：對任意.結(jié)合(2)可知即，也即.所以，，…….上述個等式兩邊分別相加得：.【變式1-1】(2024·高三·江蘇蘇州·階段練習(xí))甲、乙、丙三人以正四棱錐和正三棱柱為研究對象，設(shè)棱長為，若甲從其中一個底面邊長和高都為2的正四棱錐的5個頂點中隨機選取3個點構(gòu)成三角形，定義隨機變量的值為其三角形的面積；若乙從正四棱錐(和甲研究的四棱錐一樣)的8條棱中任取2條，定義隨機變量的值為這兩條棱的夾角大小(弧度制)；若丙從正三棱柱的9條棱中任取2條，定義隨機變量的值為這兩條棱的夾角大小(弧度制).(1)比較三種隨機變量的數(shù)學(xué)期望大小；(參考數(shù)據(jù))(2)現(xiàn)單獨研究棱長，記(且)，其展開式中含項的系數(shù)為，含項的系數(shù)為.①若，對成立，求實數(shù)，，的值；②對①中的實數(shù)，，用數(shù)字歸納法證明：對任意且，都成立.【解析】(1)如圖所示：由題意設(shè)為正四棱錐的高，為中點，由于正四棱錐的底面邊長和高都是2，所以，所以，由對稱性以及三線合一可知，若甲從其中一個底面邊長和高都為2的正四棱錐的5個頂點中隨機選取3個點構(gòu)成三角形，則的所有可能取值為，且，所以，若乙從正四棱錐(和甲研究的四棱錐一樣)的8條棱中任取2條，則的所有可能取值為，，代入?yún)⒖紨?shù)據(jù)，得，若丙從正三棱柱的9條棱中任取2條，則的所有可能取值為，，所以.(2)①因為中項的系數(shù)為，一般地，從中的第個因式中取一個，其余因式中取常數(shù)即可得到一個項，而這一項的系數(shù)為，，因為中項的系數(shù)為，一般地，從中的第個因式中各取一個，其余因式中取常數(shù)即可得到一個項，而這一項的系數(shù)為，從而，從而，，由題意得，解得；②用數(shù)學(xué)歸納法證明：且時，.當(dāng)時，，故結(jié)論對成立，假設(shè)結(jié)論對成立，即，則，所以結(jié)論對也成立，故，對任意成立.題型二：排列組合新定義【典例2-1】(2024·高三·北京·階段練習(xí))設(shè)為正整數(shù)，集合.對于集合中的任意元素和，定義.(1)當(dāng)時，若，直接寫出所有使同時成立的的元素；(2)當(dāng)時，設(shè)是的子集，且滿足：對于中的任意兩個不同元素.求集合中元素個數(shù)的最大值；(3)給定不小于2的，設(shè)是的子集，且滿足：對于中的任意兩個不同的元素，寫出一個集合，使其元素個數(shù)最多，并說明理由.【解析】(1)滿足條件的有0101000000110110100111001111又，滿足條件的有1101000000110110(2)列出集合A的元素000001010011100101110111B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同元素α，β，d(α，β)≥2滿足條件的集合B的元素的個數(shù)的最大值為4.001010100111(3)d(α，β)≥2B中的元素應(yīng)該含有奇數(shù)個1若n=2，則含有奇數(shù)個1的元素有個；若n=3，則含有奇數(shù)個1的元素有個；若n=4，則含有奇數(shù)個1的元素有個；若n=5，則含有奇數(shù)個1的元素有個；當(dāng)n=3時，【典例2-2】(2024·高三·浙江·開學(xué)考試)一般地，元有序?qū)崝?shù)對稱為維向量.對于兩個維向量，定義：兩點間距離，利用維向量的運算可以解決許多統(tǒng)計學(xué)問題.其中，依據(jù)“距離”分類是一種常用的分類方法：計算向量與每個標(biāo)準(zhǔn)點的距離，與哪個標(biāo)準(zhǔn)點的距離最近就歸為哪類.某公司對應(yīng)聘員工的不同方面能力進(jìn)行測試，得到業(yè)務(wù)能力分值?管理能力分值?計算機能力分值?溝通能力分值(分值代表要求度，1分最低，5分最高)并形成測試報告.不同崗位的具體要求見下表：崗位業(yè)務(wù)能力分值管理能力分值計算機能力分值溝通能力分值合計分值會計(1)215412業(yè)務(wù)員(2)523515后勤(3)235313管理員(4)454417對應(yīng)聘者的能力報告進(jìn)行四維距離計算，可得到其最適合的崗位.設(shè)四種能力分值分別對應(yīng)四維向量的四個坐標(biāo).(1)將這四個崗位合計分值從小到大排列得到一組數(shù)據(jù)，直接寫出這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)；(2)小剛與小明到該公司應(yīng)聘，已知：只有四個崗位的擬合距離的平方均小于20的應(yīng)聘者才能被招錄.(i)小剛測試報告上的四種能力分值為，將這組數(shù)據(jù)看成四維向量中的一個點，將四種職業(yè)的分值要求看成樣本點，分析小剛最適合哪個崗位；(ii)小明已經(jīng)被該公司招錄，其測試報告經(jīng)公司計算得到四種職業(yè)的推薦率分別為，試求小明的各項能力分值.【解析】(1)將四個崗位合計分值從小到大排列得到數(shù)據(jù)，又，所以這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)為.(2)(i)由圖表知，會計崗位的樣本點為，則，業(yè)務(wù)員崗位的樣本點為，則，后勤崗位的樣本點為，則，管理員崗位的樣本點為，則，所以，故小剛最適合業(yè)務(wù)員崗位.(ii)四種職業(yè)的推薦率分別為，且，所以，得到，又均小于20，所以，且，故可得到，設(shè)小明業(yè)務(wù)能力分值、管理能力分值、計算機能力分值、溝通能力分值分別為，且，，依題有①，②，③，④，由①③得，，整理得：，故有三組正整數(shù)解，對于第一組解，代入④式有，不成立；對于第二組解，代入①式有，解得或，代入②④式均不成立；對于第三組解，代入②式有，解得，代入①②③④均成立，故；故小明業(yè)務(wù)能力分值、管理能力分值、計算機能力分值、溝通能力分值分別為.題型三：概率新定義【典例3-1】(2024·浙江·一模)混管病毒檢測是應(yīng)對單管病毒檢測效率低下的問題，出現(xiàn)的一個創(chuàng)新病毒檢測策略，混管檢測結(jié)果為陰性，則參與該混管檢測的所有人均為陰性，混管檢測結(jié)果為陽性，則參與該混管檢測的人中至少有一人為陽性．假設(shè)一組樣本有N個人，每個人患病毒的概率相互獨立且均為．目前，我們采用K人混管病毒檢測，定義成本函數(shù)，這里X指該組樣本N個人中患病毒的人數(shù)．(1)證明：；(2)若，．證明：某混管檢測結(jié)果為陽性，則參與該混管檢測的人中大概率恰有一人為陽性．【解析】(1)由題意可得滿足二項分布，由知，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；(2)記(混管中恰有1例陽性|混管檢測結(jié)果為陽性)，(混管中恰有i例陽性)=，，令，，則，當(dāng)時，，為單調(diào)遞減，當(dāng)時，，為單調(diào)遞增，所以，且，，所以當(dāng)，即，兩邊取自然對數(shù)可得，所以當(dāng)，時，所以，則．故某混管檢測結(jié)果為陽性，則參與該混管檢測的人中大概率恰有一人為陽性.【典例3-2】(2024·遼寧·模擬預(yù)測)條件概率與條件期望是現(xiàn)代概率體系中的重要概念.近年來，隨著人們對隨機現(xiàn)象的不斷觀察和研究，條件概率和條件期望已經(jīng)被廣泛的利用到日常生產(chǎn)生活中.定義：設(shè)X，Y是離散型隨機變量，則X在給定事件條件下的期望為，其中為X的所有可能取值集合，表示事件“”與事件“”都發(fā)生的概率．某射擊手進(jìn)行射擊訓(xùn)練，每次射擊擊中目標(biāo)的概率均為p()，射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)兩次時停止.設(shè)表示第一次擊中目標(biāo)時的射擊次數(shù)，表示第二次擊中目標(biāo)時的射擊次數(shù)．(1)求，；(2)求，．【解析】(1)由題設(shè)，，.(2)由題設(shè)，；同(1)，，，所以.【變式3-1】(2024·福建漳州·一模)在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列，發(fā)送每個信號數(shù)字之間相互獨立．由于隨機因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0．(1)記發(fā)送信號變量為，接收信號變量為，且滿足，，，求；(2)當(dāng)發(fā)送信號0時，接收為0的概率為，定義隨機變量的“有效值”為(其中是的所有可能的取值，)，發(fā)送信號“000”的接收信號為“”，記為，，三個數(shù)字之和，求的“有效值”．(，)【解析】(1)由題意可知：，，所以.(2)由題意可知：當(dāng)發(fā)送信號0時，接收為0的概率為，接收為1的概率為，可知：的可能取值有0，1，2，3，則，，可得的“有效值”，即的“有效值”約為0.45.題型四：統(tǒng)計方法新定義【典例4-1】(2024·全國·模擬預(yù)測)某校20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和知識競賽成績?nèi)缦卤恚簩W(xué)生編號12345678910數(shù)學(xué)成績100999693908885838077知識競賽成績29016022020065709010060270學(xué)生編號11121314151617181920數(shù)學(xué)成績75747270686660503935知識競賽成績4535405025302015105計算可得數(shù)學(xué)成績的平均值是，知識競賽成績的平均值是，并且，，．(1)求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和知識競賽成績的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到)．(2)設(shè)，變量和變量的一組樣本數(shù)據(jù)為，其中兩兩不相同，兩兩不相同．記在中的排名是第位，在中的排名是第位，．定義變量和變量的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”(記為)為變量的排名和變量的排名的樣本相關(guān)系數(shù)．(i)記，．證明：．(ii)用(i)的公式求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和知識競賽成績的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”(精確到)．(3)比較(1)和(2)(ii)的計算結(jié)果，簡述“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”在分析線性相關(guān)性時的優(yōu)勢．注：參考公式與參考數(shù)據(jù)．；；．【解析】(1)由題意，這組學(xué)生數(shù)學(xué)成績和知識競賽成績的樣本相關(guān)系數(shù)為(2)(i)證明：因為和都是1，2，，的一個排列，所以，，從而和的平均數(shù)都是．因此，，同理可得，由于，所以；(ii)由題目數(shù)據(jù)，可寫出與的值如下：同學(xué)編號12345678910數(shù)學(xué)成績排名12345678910知識競賽成績排學(xué)編號11121314151617181920數(shù)學(xué)成績排名11121314151617181920知識競賽成績排名12141311161517181920所以，并且．因此這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和知識競賽成績的斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)是(3)答案①：斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)對于異常值不太敏感，如果數(shù)據(jù)中有明顯的異常值，那么用斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)比用樣本相關(guān)系數(shù)更能刻畫某種線性關(guān)系；答案②：斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)刻畫的是樣本數(shù)據(jù)排名的樣本相關(guān)系數(shù)，與具體的數(shù)值無關(guān)，只與排名有關(guān)．如果一組數(shù)據(jù)有異常值，但排名依然符合一定的線性關(guān)系，則可以采用斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)刻畫線性關(guān)系．【典例4-2】(2024·全國·模擬預(yù)測)冰雪運動是深受學(xué)生喜愛的一項戶外運動，為了研究性別與學(xué)生是否喜愛冰雪運動之間的關(guān)系，從某高校男、女生中各隨機抽取100名進(jìn)行問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表．喜愛不喜愛男生女生(1)當(dāng)時，從樣本中不喜愛冰雪運動的學(xué)生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取3人調(diào)研不喜愛的原因，記這3人中女生的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．(2)定義，其中為列聯(lián)表中第行第列的實際數(shù)據(jù)，為列聯(lián)表中第行與第列的總頻率之積再乘以列聯(lián)表的總額數(shù)得到的理論頻數(shù)，如，．基于小概率值的檢驗規(guī)則：首先提出零假設(shè)(變量X，Y相互獨立)，然后計算的值，當(dāng)時，我們推斷不成立，即認(rèn)為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過；否則，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認(rèn)為X和Y獨立．根據(jù)的計算公式，求解下面問題：①當(dāng)時，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析性別與是否喜愛冰雪運動有關(guān)？②當(dāng)時，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，若認(rèn)為性別與是否喜愛冰雪運動有關(guān)，則至少有多少名男生喜愛冰雪運動？附：0.10.0250.0052.7065.0247.879【解析】(1)當(dāng)時，用分層抽樣的方法抽取的不喜愛冰雪運動的6人中，男生有2人，女生有4人，由題意可知，的可能取值為1，2，3．，，，的分布列為123P．(2)①零假設(shè)為：性別與是否喜愛冰雪運動獨立，即性別與是否喜愛冰雪運動無關(guān)聯(lián)．當(dāng)時，，，，，，，，，．∵，∴根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認(rèn)為性別與是否喜愛冰雪運動有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不超過0.005．②，由題意可知，，整理得．又，，∴，的最大值為4．又，∴至少有76名男生喜愛冰雪運動．【變式4-1】(2024·高三·北京·期末)在測試中，客觀題難度的計算公式為，其中為第題的難度，為答對該題的人數(shù)，為參加測試的總?cè)藬?shù)．現(xiàn)對某校高三年級240名學(xué)生進(jìn)行一次測試，共5道客觀題．測試前根據(jù)對學(xué)生的了解，預(yù)估了每道題的難度，如下表所示：題號12345考前預(yù)估難度0.90.80.70.60.4測試后，隨機抽取了20名學(xué)生的答題數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如下：題號12345實測答對人數(shù)161614144(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計這240名學(xué)生中第5題的實測答對人數(shù)；(2)從抽樣的20名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生，記這2名學(xué)生中第5題答對的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)定義統(tǒng)計量，其中為第題的實測難度，為第題的預(yù)估難度．規(guī)定：若，則稱該次測試的難度預(yù)估合理，否則為不合理．判斷本次測試的難度預(yù)估是否合理.【解析】(1)因為20人中答對第5題的人數(shù)為4人，因此第5題的實測難度為，所以估計240人中有人實測答對第5題．(2)的可能取值是0，1，2．；；．

的分布列為：012．(3)第1題的實測難度為，同理可得：第2題的實測難度為，第3題的實測難度為，第4題的實測難度為，第5題的實測難度為0.2，故．因為，所以，該次測試的難度預(yù)估是合理的．題型五：信息熵問題【典例5-1】(2024·高三·河北·階段練習(xí))信息熵是信息論之父香農(nóng)(Shannon)定義的一個重要概念，香農(nóng)在1948年發(fā)表的論文《通信的數(shù)學(xué)理論》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量稱為“信息熵”，并給出了計算信息熵的數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)隨機變量所有可能的取值為，且，定義的信息熵.(1)當(dāng)時，計算；(2)若，判斷并證明當(dāng)增大時，的變化趨勢；(3)若，隨機變量所有可能的取值為，且，證明：.【解析】(1)當(dāng)時，則，所以(2)隨著的增大而增大.當(dāng)，則，設(shè)，則，因此隨著的增大而增大.(3)證明：若，隨機變量所有可能的取值為，且..，因為，故故，由于，所以，所以，所以，所以.【典例5-2】(2024·高三·河北·期末)在信息論中，熵(entropy)是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又被稱為信息熵?信源熵?平均自信息量.這里，“消息”代表來自分布或數(shù)據(jù)流中的事件?樣本或特征.(熵最好理解為不確定性的量度而不是確定性的量度，因為越隨機的信源的熵越大)來自信源的另一個特征是樣本的概率分布.這里的想法是，比較不可能發(fā)生的事情，當(dāng)它發(fā)生了，會提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息(熵)定義為概率分布的對數(shù)的相反數(shù)是有道理的.事件的概率分布和每個事件的信息量構(gòu)成了一個隨機變量，這個隨機變量的均值(即期望)就是這個分布產(chǎn)生的信息量的平均值(即熵).熵的單位通常為比特，但也用、、計量，取決于定義用到對數(shù)的底.采用概率分布的對數(shù)作為信息的量度的原因是其可加性.例如，投擲一次硬幣提供了1的信息，而擲次就為位.更一般地，你需要用位來表示一個可以取個值的變量.在1948年，克勞德?艾爾伍德?香農(nóng)將熱力學(xué)的熵，引入到信息論，因此它又被稱為香農(nóng)滳.而正是信息熵的發(fā)現(xiàn)，使得1871年由英國物理學(xué)家詹姆斯?麥克斯韋為了說明違反熱力學(xué)第二定律的可能性而設(shè)想的麥克斯韋妖理論被推翻.設(shè)隨機變量所有取值為，定義的信息熵，(，).(1)若，試探索的信息熵關(guān)于的解析式，并求其最大值；(2)若，()，求此時的信息熵.【解析】(1)當(dāng)時，,，令，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，最大值為.(2)因為，()，所以()，故，而，于是，整理得令，則，兩式相減得因此，所以.【變式5-1】(2024·安徽合肥·模擬預(yù)測)在一個典型的數(shù)字通信系統(tǒng)中，由信源發(fā)出攜帶著一定信息量的消息，轉(zhuǎn)換成適合在信道中傳輸?shù)男盘?，通過信道傳送到接收端.有干擾無記憶信道是實際應(yīng)用中常見的信道，信道中存在干擾，從而造成傳輸?shù)男畔⑹д?在有干擾無記憶信道中，信道輸入和輸出是兩個取值的隨機變量，分別記作和.條件概率，描述了輸入信號和輸出信號之間統(tǒng)計依賴關(guān)系，反映了信道的統(tǒng)計特性.隨機變量的平均信息量定義為：.當(dāng)時，信道疑義度定義為(1)設(shè)有一非均勻的骰子，若其任一面出現(xiàn)的概率與該面上的點數(shù)成正比，試求扔一次骰子向上的面出現(xiàn)的點數(shù)的平均信息量；(2)設(shè)某信道的輸入變量與輸出變量均取值0，1.滿足：.試回答以下問題：①求的值；②求該信道的信道疑義度的最大值.【解析】(1)設(shè)表示扔一非均勻股子點數(shù)，則123456扔一次平均得到的信息量為.(2)①由全概率公式，得②由題意，.所以，;其中.令.時時，,.【過關(guān)測試】1．(2024·高三·全國·專題練習(xí))定義：為不超過的最大整數(shù)部分，如，．甲、乙兩個學(xué)生高二的6次數(shù)學(xué)測試成績(測試時間為90分鐘，滿分100分)如下表所示：高二成績第1次考試第2次考試第3次考試第4次考試第5次考試第6次考試甲687477848895乙717582848694進(jìn)入高三后，由于改進(jìn)了學(xué)習(xí)方法，甲、乙這兩個學(xué)生的數(shù)學(xué)測試成績預(yù)計有了大的提升．設(shè)甲或乙高二的數(shù)學(xué)測試成績?yōu)?，若，則甲或乙高三的數(shù)學(xué)測試成績預(yù)計為；若，則甲或乙高三的數(shù)學(xué)測試成績預(yù)計為100．(1)試預(yù)測：在將要進(jìn)行的高三6次數(shù)學(xué)測試成績(測試時間為90分鐘，滿分100分)中，甲、乙兩個學(xué)生的成績(填入下列表格內(nèi))；高三成績第1次考試第2次考試第3次考試第4次考試第5次考試第6次考試甲乙(2)記高三任意一次數(shù)學(xué)測試成績估計值為，規(guī)定：，記為轉(zhuǎn)換分為3分；，記為轉(zhuǎn)換分為4分；，記為轉(zhuǎn)換分為5分．現(xiàn)從乙的6次數(shù)學(xué)測試成績中任意抽取2次，求這2次成績的轉(zhuǎn)換分之和為8分的概率．【解析】(1)由已知，預(yù)測高三6次數(shù)學(xué)測試成績?nèi)缦拢焊呷煽兊?次考試第2次考試第3次考試第4次考試第5次考試第6次考試甲8490939397100乙8791919395100(2)在乙的高三6次數(shù)學(xué)測試預(yù)測成績中，轉(zhuǎn)換分為3分的有1次，記為A；轉(zhuǎn)換分為4分的有4次，記為；轉(zhuǎn)換分為5分的有1次，記為．現(xiàn)從中任意抽取2次，一共有15種結(jié)果，它們是：，，其中2次成績的轉(zhuǎn)換分之和為8分有7種結(jié)果，它們是：，則所求概率為．2．(2024·全國·一模)正態(tài)分布與指數(shù)分布均是用于描述連續(xù)型隨機變量的概率分布．對于一個給定的連續(xù)型隨機變量，定義其累積分布函數(shù)為．已知某系統(tǒng)由一個電源和并聯(lián)的，，三個元件組成，在電源電壓正常的情況下，至少一個元件正常工作才可保證系統(tǒng)正常運行，電源及各元件之間工作相互獨立．(1)已知電源電壓(單位：)服從正態(tài)分布，且的累積分布函數(shù)為，求；(2)在數(shù)理統(tǒng)計中，指數(shù)分布常用于描述事件發(fā)生的時間間隔或等待時間．已知隨機變量(單位：天)表示某高穩(wěn)定性元件的使用壽命，且服從指數(shù)分布，其累積分布函數(shù)為.(ⅰ)設(shè)，證明：；(ⅱ)若第天元件發(fā)生故障，求第天系統(tǒng)正常運行的概率．附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．【解析】(1)由題設(shè)得，，所以(2)(ⅰ)由題設(shè)得：，,所以．(ⅱ)由(ⅰ)得，所以第天元件，正常工作的概率均為．為使第天系統(tǒng)仍正常工作，元件，必須至少有一個正常工作，因此所求概率為．3．為考查一種新的治療方案是否優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案，現(xiàn)從一批患者中隨機抽取100名患者，均分為兩組，分別采用新治療方案與標(biāo)準(zhǔn)治療方案治療，記其中采用新治療方案與標(biāo)準(zhǔn)治療方案治療受益的患者數(shù)分別為和．在治療過程中，用指標(biāo)衡量患者是否受益：若，則認(rèn)為指標(biāo)正常；若，則認(rèn)為指標(biāo)偏高；若，則認(rèn)為指標(biāo)偏低．若治療后患者的指標(biāo)正常，則認(rèn)為患者受益于治療方案，否則認(rèn)為患者未受益于治療方案．根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，受益于標(biāo)準(zhǔn)治療方案的患者比例為0.6．(1)求和；(2)統(tǒng)計量是關(guān)于樣本的函數(shù)，選取合適的統(tǒng)計量可以有效地反映樣本信息．設(shè)采用新治療方案治療第位的患者治療后指標(biāo)的值為，，2，，50，定義函數(shù)：(ⅰ)簡述以下統(tǒng)計量所反映的樣本信息，并說明理由．①；②；(ⅱ)為確定新的治療方案是否優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案，請在(ⅰ)中的統(tǒng)計量中選擇一個合適的統(tǒng)計量，并根據(jù)統(tǒng)計量的取值作出統(tǒng)計決策．【解析】(1)由題設(shè)知服從二項分布，所以，．(2)(ⅰ)統(tǒng)計量反映了未受益于新治療方案的患者數(shù)，理由如下：若患者受益于新治療方案，則其指標(biāo)的值滿足，否則，會被統(tǒng)計量計入，且每位未受益于新治療方案的患者恰使得統(tǒng)計量的數(shù)值加1．統(tǒng)計量反映了未受益于新治療方案且指標(biāo)偏高的患者數(shù)量，理由如下：若患者接受新治療方案后指標(biāo)偏低或正常，則其指標(biāo)的值滿足若指標(biāo)偏高，則，，會被統(tǒng)計量計入，且每位未受益于新治療方案且指標(biāo)偏高的患者恰使得統(tǒng)計量的數(shù)值加1．(ⅱ)由題設(shè)知新治療方案優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案等價于一次試驗中的觀測值大于的數(shù)學(xué)期望，由(ⅰ)知的觀測值，因此當(dāng)，即時，認(rèn)為新治療方案優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案；當(dāng)，即時，認(rèn)為新治療方案與標(biāo)準(zhǔn)治療方案相當(dāng)；當(dāng)，即時，認(rèn)為新治療方案劣于標(biāo)準(zhǔn)治療方案．4．(2024·高二·四川遂寧·期末)2020年新冠肺炎疫情期間，某區(qū)政府為了解本區(qū)居民對區(qū)政府防疫工作的滿意度，從本區(qū)居民中隨機抽取若干居民進(jìn)行評分(滿分100分)，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)制成如下表格和頻率分布直方圖，已知評分在的居民有600人．滿意度評分滿意度等級不滿意基本滿意滿意非常滿意(1)求頻率分布直方圖中a的值及所調(diào)查的總?cè)藬?shù)；(2)定義滿意度指數(shù)，若，則防疫工作需要進(jìn)行大調(diào)整，否則不需要大調(diào)整．根據(jù)所學(xué)知識判斷該區(qū)防疫工作是否帶要進(jìn)行大調(diào)整？(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)(3)為了解部分居民不滿意的原因，從不滿意的居民評分在，中用分層抽樣的方法抽取6名居民，傾聽他們的意見，并從6人中抽取2人擔(dān)任防疫工作的監(jiān)督員，求這2人中僅有一人對防疫工作的評分在內(nèi)的概率．【解析】(1)由頻率分布直方圖得，即，解得，設(shè)總共調(diào)查了人，則，解得.(2)由頻率分布直方圖知，各段的頻率分別為：，所以，所以該區(qū)防疫工作不需要大的調(diào)整.(3)由，即不滿意的人數(shù)在兩段的人數(shù)分別為，所以每段抽取的人數(shù)分別為，即在第一段的人記作，第二段的人為，所以抽取兩人的基本事件為：，共有15個，僅由一人來自的基本事件有：，共有8個，所以，這2人中僅有一人對防疫工作的評分在內(nèi)的概率為.5．(2024·高三·北京·階段練習(xí))設(shè)離散型隨機變量X和Y有相同的可能取值，它們的分布列分別為，，，，．指標(biāo)可用來刻畫X和Y的相似程度，其定義為．設(shè)．(1)若，求；(2)若，求的最小值；(3)對任意與有相同可能取值的隨機變量，證明：，并指出取等號的充要條件【解析】(1)不妨設(shè)，則.所以.(2)當(dāng)時，，記，則，令，則，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以，則單調(diào)遞增，而，所以在為負(fù)數(shù)，在為正數(shù)，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的最小值為.(3)令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則當(dāng)時，，所以，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)對所有的時等號成立.6．(2024·高三·河南·期末)某國家隊要從男子短道速滑1500米的兩名種子選手甲、乙中選派一人參加2022年的北京冬季奧運會，他們近期六次訓(xùn)練成績?nèi)缦卤恚捍涡?)123456甲(秒)142140139138141140乙(秒)138142137139143141(1)分別計算甲、乙兩人這六次訓(xùn)練的平均成績，偏優(yōu)均差；(2)若，則稱甲、乙這次訓(xùn)練的水平相當(dāng)，現(xiàn)從這六次訓(xùn)練中隨機抽取3次，求有兩次甲、乙水平相當(dāng)?shù)母怕剩ⅲ喝魯?shù)據(jù)中的最優(yōu)數(shù)據(jù)為，定義為偏優(yōu)均差．本題中的最優(yōu)數(shù)據(jù)即最短時間．【解析】(1)由題可知，，，，．(2)六次訓(xùn)練中只有第4，6次甲、乙水平相當(dāng)，從六次中任選三次的結(jié)果有，，共20種，其中有兩次甲、乙水平相當(dāng)?shù)慕Y(jié)果有4種，故所求概率．7．(2024·全國·模擬預(yù)測)某醫(yī)科大學(xué)科研部門為研究退休人員是否患癡呆癥與上網(wǎng)的關(guān)系，隨機調(diào)查了市100位退休人員，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：患癡呆癥不患癡呆癥合計上網(wǎng)163248不上網(wǎng)341852合計5050100(1)依據(jù)的獨立性檢驗，能否認(rèn)為該市退休人員是否患癡呆癥與上網(wǎng)之間有關(guān)聯(lián)？(2)從該市退休人員中任取一位，記事件A為“此人患癡呆癥”，為“此人上網(wǎng)”，則為“此人不患癡呆癥”，定義事件A的強度，在事件發(fā)生的條件下A的強度．(ｉ)證明：；(ⅱ)利用抽樣的樣本數(shù)據(jù)，估計的值．附：，其中．0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解析】(1)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認(rèn)為該市退休人員是否患癡呆癥與上網(wǎng)之間有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01．(2)，所以，故．(ⅱ)由樣本數(shù)據(jù)可得，所以，所以估計的值為2．8．(2024·高三·山西朔州·開學(xué)考試)某校20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和知識競賽成績?nèi)缦卤恚簩W(xué)生編號i12345678910數(shù)學(xué)成績100999693908885838077知識競賽成績29016022020065709010060270學(xué)生編號i11121314151617181920數(shù)學(xué)成績75747270686660503935知識競賽成績4535405025302015105計算可得數(shù)學(xué)成績的平均值是，知識競賽成績的平均值是，并且，，.(1)求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和知識競賽成績的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；(2)設(shè)，變量和變量的一組樣本數(shù)據(jù)為，其中兩兩不相同，兩兩不相同.記在中的排名是第位，在中的排名是第位，.定義變量和變量的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”(記為)為變量的排名和變量的排名的樣本相關(guān)系數(shù).(i)記，.證明：；(ii)用(i)的公式求得這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和知識競賽成績的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”約為0.91，簡述“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”在分析線性相關(guān)性時的優(yōu)勢.注：參考公式與參考數(shù)據(jù).；；.【解析】(1)由題意，這組學(xué)生數(shù)學(xué)成績和知識競賽成績的樣本相關(guān)系數(shù)為；(2)(i)證明：因為和都是1，2，，的一個排列，所以，，從而和的平均數(shù)都是．因此，，同理可得，由于，所以.(ii)這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和知識競賽成績的斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)是0.91，答案①：斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)對于異常值不太敏感，如果數(shù)據(jù)中有明顯的異常值，那么用斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)比用樣本相關(guān)系數(shù)更能刻畫某種線性關(guān)系；答案②：斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)刻畫的是樣本數(shù)據(jù)排名的樣本相關(guān)系數(shù)，與具體的數(shù)值無關(guān)，只與排名有關(guān)．如果一組數(shù)據(jù)有異常值，但排名依然符合一定的線性關(guān)系，則可以采用斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)刻畫線性關(guān)系．9．(2024·高二·湖北·階段練習(xí))“難度系數(shù)”反映試題的難易程度，難度系數(shù)越大，題目得分率越高，難度也就越小，“難度系數(shù)”的計算公式為，其中L為難度系數(shù)，Y為樣本平均失分，W為試卷總分(一般為100分或150分)．某校高二年級的老師命制了某專題共5套測試卷(總分150分)，用于對該校高二年級480名學(xué)生進(jìn)行每周測試，測試前根據(jù)自己對學(xué)生的了解，預(yù)估了每套試卷的難度系數(shù)，如下表所示：試卷序號i12345考前預(yù)估難度系數(shù)0.70.640.60.60.55測試后，隨機抽取了50名學(xué)生的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如下：試卷序號i12345平均分/分10299939387(1)根據(jù)試卷2的預(yù)估難度系數(shù)估計這480名學(xué)生第2套試卷的平均分；(2)試卷的預(yù)估難度系數(shù)和實測難度系數(shù)之間會有偏差，設(shè)為第i套試卷的實測難度系數(shù)，并定義統(tǒng)計量，若，則認(rèn)為試卷的難度系數(shù)預(yù)估合理，否則認(rèn)為不合理．以樣本平均分估計總體平均分，試檢驗這5套試卷難度系數(shù)的預(yù)估是否合理．(3)聰聰與明明是學(xué)習(xí)上的好伙伴，兩人商定以同時解答上述試卷易錯題進(jìn)行“智力競賽”，規(guī)則如下：雙方輪換選題，每人每次只選1道題，先正確解答者記1分，否則計0分，先多得2分者為勝方.若在此次競賽中，聰聰選題時聰聰?shù)梅值母怕蕿?，明明選題時聰聰?shù)梅值母怕蕿?，各題的結(jié)果相互獨立，二人約定從0:0計分并由聰聰先選題，求聰聰3:1獲勝的概率.【解析】(1)由題意，由試卷2的難度系數(shù)，解得平均失分：，∴這480名學(xué)生第2套試卷的平均分為分；(2)由題意及(1)得，，，，，，則，∴這5套試卷難度系數(shù)的預(yù)估合理(3)由題意及(1)(2)得，聰聰先答對第一題：聰聰沒先答對第一題：∴聰聰3:1獲勝的概率聰聰3:1獲勝的概率：10．(2024·高三·四川成都·開學(xué)考試)在三維空間中，立方體的坐標(biāo)可用三維坐標(biāo)表示，其中．而在n維空間中，以單位長度為邊長的“立方體”的項點坐標(biāo)可表示為n維坐標(biāo)，其中．現(xiàn)有如下定義：在n維空間中兩點間的曼哈頓距離為兩點與坐標(biāo)差的絕對值之和，即為．回答下列問題：(1)求出n維“立方體”的頂點數(shù)；(2)在n維“立方體”中任取兩個不同頂點，記隨機變量X為所取兩點間的曼哈頓距離①求出X的分布列與期望；②證明：在n足夠大時，隨機變量X的方差小于．(已知對于正態(tài)分布，P隨X變化關(guān)系可表示為)【解析】(1)對于n維坐標(biāo)有兩種選擇()．故共有種選擇，即個頂點(2)①對于的隨機變量，在坐標(biāo)與中有k個坐標(biāo)值不同，即，剩下個坐標(biāo)值滿足．此時所對應(yīng)情況數(shù)為種．即故分布列為：012……數(shù)學(xué)期望倒序相加得即．②當(dāng)n足夠大時，．設(shè)正態(tài)分布，正態(tài)分布曲線為，由定義知該正態(tài)分布期望為，方差為．設(shè)題中分布列所形成的曲線為．則當(dāng)與均在處取最大值，若當(dāng)時，且，則可認(rèn)為方差．I．：當(dāng)時，有即．II．

當(dāng)n足夠大時，有當(dāng)時，當(dāng)時，故．綜上所述，可以認(rèn)為．11．(2024·高二·福建莆田·期末)為了考查一種新疫苗預(yù)防某一疾病的效果，研究人員對一地區(qū)某種動物進(jìn)行試驗，從該試驗群中隨機抽查了50只，得到如下的樣本數(shù)據(jù)(單位：只)：發(fā)病沒發(fā)病合計接種疫苗81624沒接種疫苗17926合計252550(1)能否有95%的把握認(rèn)為接種該疫苗與預(yù)防該疾病有關(guān)？(2)從該地區(qū)此動物群中任取一只，記表示此動物發(fā)病，表示此動物沒發(fā)病，表示此動物接種疫苗，定義事件的優(yōu)勢，在事件發(fā)生的條件下的優(yōu)勢.(ⅰ)證明：；(ⅱ)利用抽樣的樣本數(shù)據(jù)，給出，的估計值，并給出的估計值.附：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解析】(1)根據(jù)聯(lián)表可得，所以有95%的把握認(rèn)為接種該疫苗與預(yù)防該疾病有關(guān).(2)(ⅰ)由于,所以，，故,故得證.(ⅱ)由二聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，，所以，12．(2024·高一·山東濟南·期末)獨立事件是一個非?；A(chǔ)但又十分重要的概念，對于理解和應(yīng)用概率論和統(tǒng)計學(xué)至關(guān)重要．它的概念最早可以追湖到17世紀(jì)的布萊茲·帕斯卡和皮埃爾·德·費馬，當(dāng)時被定義為彼此不相關(guān)的事件．19世紀(jì)初期，皮埃爾·西蒙·拉普拉斯在他的《概率的分析理論》中給出了相互獨立事件的概率乘法公式．對任意兩個事件與，如果成立，則稱事件與事件相互獨立，簡稱為獨立．(1)若事件與事件相互獨立，證明：與相互獨立；(2)甲、乙兩人參加數(shù)學(xué)節(jié)的答題活動，每輪活動由甲、乙各答一題，已知甲每輪答對的概率為，乙每輪答對的概率為．在每輪活動中，甲和乙答對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，求甲乙兩人在兩輪活動中答對3道題的概率．【解析】(1)證明：已知事件與事件相互獨立，則因為，且事件與事件互斥所以所以由事件的獨立性定義，與相互獨立；(2)設(shè)分別表示甲在兩輪活動中答對1道題，答對2道題的事件分別表示乙在兩輪活動中答對1道題，答對2道題的事件根據(jù)獨立性假定，得設(shè)“甲乙兩人在兩輪活動中答對3道題”，則且與互斥，與，與分別相互獨立所以所以甲乙兩人在兩輪活動中答對3道題的概率時.13．(2024·高二·浙江臺州·期末)袋中有大小、形狀完全相同的2個紅球，4個白球.采用放回摸球，從袋中摸出一個球，定義T變換為：若摸出的球是白球，把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來倍，(縱坐標(biāo)不變)；若摸出的是紅球，將函數(shù)圖象上所有的點向下平移1個單位.函數(shù)經(jīng)過1次T變換后的函數(shù)記為，經(jīng)過2次T變換后的函數(shù)記為，…，經(jīng)過n次T變換后的函數(shù)記為.現(xiàn)對函數(shù)進(jìn)行連續(xù)的T變換.(1)若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是紅球，求；(2)記，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)第一次從袋子中摸出的是白球，把函數(shù)變換為；第二次從袋子中摸出的是紅球，把函數(shù)變換為；所以.(2)經(jīng)過3次T變換后有3種情況，若摸出的3個球都是白球，則，；若摸出的3個球為2個白球1個紅球，則，；若摸出的3個球為1個白球2個紅球，則，；若摸出的3個球都是紅球，則，.所以隨機變量X的取值為，因為一次摸球取得為紅球的概率為，取得白球的概率為，所以，，，.所以求隨機變量的分布列為所以.14．(2024·高三·上海寶山·階段練習(xí))已知為正整數(shù)，對于給定的函數(shù)，定義一個次多項式如下:(1)當(dāng)時，求;(2)當(dāng)時，求;(3)當(dāng)時，求.【解析】(1)若，則,所以.(2)若，則，因為,所以.(3)若，則.15．(2024·高一·遼寧葫蘆島·期末)通信信號利用BEC信道傳輸，若BEC信道傳輸成功，則接收端收到的信號與發(fā)來的信號完全相同．若BEC信道傳輸失敗，則接收端收不到任何信號．傳輸技術(shù)有兩種：一種是傳統(tǒng)通信傳輸技術(shù)，采用多個信道各自獨立傳輸信號(以兩個信道為例，如圖1)．另一種是華為公司5G信號現(xiàn)使用的土耳其通訊技術(shù)專家ErdalArikan教授的發(fā)明的極化碼技術(shù)(以兩個信道為例，如圖2)．傳輸規(guī)則如下，信號直接從信道2傳輸；信號在傳輸前先與“異或”運算得到信號，再從信道1傳輸．若信道1與信道2均成功輸出，則兩信號通過“異或”運算進(jìn)行解碼后，傳至接收端，若信道1輸出失敗信道2輸出成功，則接收端接收到信道2信號，若信道1輸出成功信道2輸出失敗，則接收端對信號進(jìn)行自身“異或”運算而解碼后，傳至接收端．(注：定義“異或”運算：)．假設(shè)每個信道傳輸成功的概率均為．(1)對于傳統(tǒng)傳輸技術(shù)，求信號和中至少有一個傳輸成功的概率；(2)對于ErdalArikan教授的極化碼技術(shù)；①求接收端成功接收信號的概率；②若接收端接收到信號才算成功完成一次任務(wù)，求利用極化碼技術(shù)成功完成一次任務(wù)的概率．【解析】(1)設(shè)“信號和中至少有一個傳輸成功”為事件，“信號傳輸成功”為事件“信號傳輸成功”為事件則(2)若信道1和信道2都傳輸成功，由可得被成功接收，概率為；若信道1傳輸成功，信道2傳輸失敗，由可得被成功接收，接收失敗，概率為；若信道2傳輸成功，信道1傳輸失敗，可得被成功接收，接收失敗，概率為；若信道1，2都傳輸失敗，可得接收失敗，概率為；①接收端成功接收信號的概率為；②接收端接收