2025年新高考數(shù)學突破新定義壓軸題綜合講義專題03 概率與統(tǒng)計下的新定義（五大題型）（教師版）

專題03概率與統(tǒng)計下的新定義【題型歸納目錄】題型一：二項式定理新定義題型二：排列組合新定義題型三：概率新定義題型四：統(tǒng)計方法新定義題型五：信息熵問題【方法技巧與總結】解概率與統(tǒng)計下的新定義題，就是要細讀定義關鍵詞，理解本質(zhì)特征，適時轉(zhuǎn)化為“熟悉”問題．總之，解決此類問題，取決于已有知識、技能、數(shù)學思想的掌握和基本活動經(jīng)驗的積累，還需要不斷的實踐和反思，不然就談不上“自然”的、完整的解題．【典型例題】題型一：二項式定理新定義【典例1-1】(2024·湖南衡陽·二模)莫比烏斯函數(shù)在數(shù)論中有著廣泛的應用．所有大于1的正整數(shù)都可以被唯一表示為有限個質(zhì)數(shù)的乘積形式：(為的質(zhì)因數(shù)個數(shù)，為質(zhì)數(shù)，)，例如：，對應．現(xiàn)對任意，定義莫比烏斯函數(shù)(1)求；(2)若正整數(shù)互質(zhì)，證明：；(3)若且，記的所有真因數(shù)(除了1和以外的因數(shù))依次為，證明：．【解析】(1)因為，易知，所以；又，因為5的指數(shù)，所以；(2)①若或，因為，所以；②若，且存在質(zhì)數(shù)，使得或的質(zhì)因數(shù)分解中包含，則的質(zhì)因數(shù)分解中一定也包含，所以，③若，且不存在②中的，可設，其中均為質(zhì)數(shù)，則，因為互質(zhì)，所以互不相等，所以，綜上可知(3)由于，所以可設，為偶數(shù)，的所有因數(shù)，除了1之外都是中的若干個數(shù)的乘積，從個質(zhì)數(shù)中任選個數(shù)的乘積一共有種結果，所以，所以．【典例1-2】(2024·安徽合肥·一模)“數(shù)”在量子代數(shù)研究中發(fā)揮了重要作用.設是非零實數(shù)，對任意，定義“數(shù)”利用“數(shù)”可定義“階乘”和“組合數(shù)”，即對任意，(1)計算：；(2)證明：對于任意，(3)證明：對于任意，【解析】(1)由定義可知，.(2)因為，.又,所以(3)由定義得：對任意.結合(2)可知即，也即.所以，，…….上述個等式兩邊分別相加得：.【變式1-1】(2024·高三·江蘇蘇州·階段練習)甲、乙、丙三人以正四棱錐和正三棱柱為研究對象，設棱長為，若甲從其中一個底面邊長和高都為2的正四棱錐的5個頂點中隨機選取3個點構成三角形，定義隨機變量的值為其三角形的面積；若乙從正四棱錐(和甲研究的四棱錐一樣)的8條棱中任取2條，定義隨機變量的值為這兩條棱的夾角大小(弧度制)；若丙從正三棱柱的9條棱中任取2條，定義隨機變量的值為這兩條棱的夾角大小(弧度制).(1)比較三種隨機變量的數(shù)學期望大?。?參考數(shù)據(jù))(2)現(xiàn)單獨研究棱長，記(且)，其展開式中含項的系數(shù)為，含項的系數(shù)為.①若，對成立，求實數(shù)，，的值；②對①中的實數(shù)，，用數(shù)字歸納法證明：對任意且，都成立.【解析】(1)如圖所示：由題意設為正四棱錐的高，為中點，由于正四棱錐的底面邊長和高都是2，所以，所以，由對稱性以及三線合一可知，若甲從其中一個底面邊長和高都為2的正四棱錐的5個頂點中隨機選取3個點構成三角形，則的所有可能取值為，且，所以，若乙從正四棱錐(和甲研究的四棱錐一樣)的8條棱中任取2條，則的所有可能取值為，，代入?yún)⒖紨?shù)據(jù)，得，若丙從正三棱柱的9條棱中任取2條，則的所有可能取值為，，所以.(2)①因為中項的系數(shù)為，一般地，從中的第個因式中取一個，其余因式中取常數(shù)即可得到一個項，而這一項的系數(shù)為，，因為中項的系數(shù)為，一般地，從中的第個因式中各取一個，其余因式中取常數(shù)即可得到一個項，而這一項的系數(shù)為，從而，從而，，由題意得，解得；②用數(shù)學歸納法證明：且時，.當時，，故結論對成立，假設結論對成立，即，則，所以結論對也成立，故，對任意成立.題型二：排列組合新定義【典例2-1】(2024·高三·北京·階段練習)設為正整數(shù)，集合.對于集合中的任意元素和，定義.(1)當時，若，直接寫出所有使同時成立的的元素；(2)當時，設是的子集，且滿足：對于中的任意兩個不同元素.求集合中元素個數(shù)的最大值；(3)給定不小于2的，設是的子集，且滿足：對于中的任意兩個不同的元素，寫出一個集合，使其元素個數(shù)最多，并說明理由.【解析】(1)滿足條件的有0101000000110110100111001111又，滿足條件的有1101000000110110(2)列出集合A的元素000001010011100101110111B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同元素α，β，d(α，β)≥2滿足條件的集合B的元素的個數(shù)的最大值為4.001010100111(3)d(α，β)≥2B中的元素應該含有奇數(shù)個1若n=2，則含有奇數(shù)個1的元素有個；若n=3，則含有奇數(shù)個1的元素有個；若n=4，則含有奇數(shù)個1的元素有個；若n=5，則含有奇數(shù)個1的元素有個；當n=3時，【典例2-2】(2024·高三·浙江·開學考試)一般地，元有序?qū)崝?shù)對稱為維向量.對于兩個維向量，定義：兩點間距離，利用維向量的運算可以解決許多統(tǒng)計學問題.其中，依據(jù)“距離”分類是一種常用的分類方法：計算向量與每個標準點的距離，與哪個標準點的距離最近就歸為哪類.某公司對應聘員工的不同方面能力進行測試，得到業(yè)務能力分值?管理能力分值?計算機能力分值?溝通能力分值(分值代表要求度，1分最低，5分最高)并形成測試報告.不同崗位的具體要求見下表：崗位業(yè)務能力分值管理能力分值計算機能力分值溝通能力分值合計分值會計(1)215412業(yè)務員(2)523515后勤(3)235313管理員(4)454417對應聘者的能力報告進行四維距離計算，可得到其最適合的崗位.設四種能力分值分別對應四維向量的四個坐標.(1)將這四個崗位合計分值從小到大排列得到一組數(shù)據(jù)，直接寫出這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)；(2)小剛與小明到該公司應聘，已知：只有四個崗位的擬合距離的平方均小于20的應聘者才能被招錄.(i)小剛測試報告上的四種能力分值為，將這組數(shù)據(jù)看成四維向量中的一個點，將四種職業(yè)的分值要求看成樣本點，分析小剛最適合哪個崗位；(ii)小明已經(jīng)被該公司招錄，其測試報告經(jīng)公司計算得到四種職業(yè)的推薦率分別為，試求小明的各項能力分值.【解析】(1)將四個崗位合計分值從小到大排列得到數(shù)據(jù)，又，所以這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)為.(2)(i)由圖表知，會計崗位的樣本點為，則，業(yè)務員崗位的樣本點為，則，后勤崗位的樣本點為，則，管理員崗位的樣本點為，則，所以，故小剛最適合業(yè)務員崗位.(ii)四種職業(yè)的推薦率分別為，且，所以，得到，又均小于20，所以，且，故可得到，設小明業(yè)務能力分值、管理能力分值、計算機能力分值、溝通能力分值分別為，且，，依題有①，②，③，④，由①③得，，整理得：，故有三組正整數(shù)解，對于第一組解，代入④式有，不成立；對于第二組解，代入①式有，解得或，代入②④式均不成立；對于第三組解，代入②式有，解得，代入①②③④均成立，故；故小明業(yè)務能力分值、管理能力分值、計算機能力分值、溝通能力分值分別為.題型三：概率新定義【典例3-1】(2024·浙江·一模)混管病毒檢測是應對單管病毒檢測效率低下的問題，出現(xiàn)的一個創(chuàng)新病毒檢測策略，混管檢測結果為陰性，則參與該混管檢測的所有人均為陰性，混管檢測結果為陽性，則參與該混管檢測的人中至少有一人為陽性．假設一組樣本有N個人，每個人患病毒的概率相互獨立且均為．目前，我們采用K人混管病毒檢測，定義成本函數(shù)，這里X指該組樣本N個人中患病毒的人數(shù)．(1)證明：；(2)若，．證明：某混管檢測結果為陽性，則參與該混管檢測的人中大概率恰有一人為陽性．【解析】(1)由題意可得滿足二項分布，由知，，當且僅當時取等號；(2)記(混管中恰有1例陽性|混管檢測結果為陽性)，(混管中恰有i例陽性)=，，令，，則，當時，，為單調(diào)遞減，當時，，為單調(diào)遞增，所以，且，，所以當，即，兩邊取自然對數(shù)可得，所以當，時，所以，則．故某混管檢測結果為陽性，則參與該混管檢測的人中大概率恰有一人為陽性.【典例3-2】(2024·遼寧·模擬預測)條件概率與條件期望是現(xiàn)代概率體系中的重要概念.近年來，隨著人們對隨機現(xiàn)象的不斷觀察和研究，條件概率和條件期望已經(jīng)被廣泛的利用到日常生產(chǎn)生活中.定義：設X，Y是離散型隨機變量，則X在給定事件條件下的期望為，其中為X的所有可能取值集合，表示事件“”與事件“”都發(fā)生的概率．某射擊手進行射擊訓練，每次射擊擊中目標的概率均為p()，射擊進行到擊中目標兩次時停止.設表示第一次擊中目標時的射擊次數(shù)，表示第二次擊中目標時的射擊次數(shù)．(1)求，；(2)求，．【解析】(1)由題設，，.(2)由題設，；同(1)，，，所以.【變式3-1】(2024·福建漳州·一模)在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列，發(fā)送每個信號數(shù)字之間相互獨立．由于隨機因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0．(1)記發(fā)送信號變量為，接收信號變量為，且滿足，，，求；(2)當發(fā)送信號0時，接收為0的概率為，定義隨機變量的“有效值”為(其中是的所有可能的取值，)，發(fā)送信號“000”的接收信號為“”，記為，，三個數(shù)字之和，求的“有效值”．(，)【解析】(1)由題意可知：，，所以.(2)由題意可知：當發(fā)送信號0時，接收為0的概率為，接收為1的概率為，可知：的可能取值有0，1，2，3，則，，可得的“有效值”，即的“有效值”約為0.45.題型四：統(tǒng)計方法新定義【典例4-1】(2024·全國·模擬預測)某校20名學生的數(shù)學成績和知識競賽成績?nèi)缦卤恚簩W生編號12345678910數(shù)學成績100999693908885838077知識競賽成績29016022020065709010060270學生編號11121314151617181920數(shù)學成績75747270686660503935知識競賽成績4535405025302015105計算可得數(shù)學成績的平均值是，知識競賽成績的平均值是，并且，，．(1)求這組學生的數(shù)學成績和知識競賽成績的樣本相關系數(shù)(精確到)．(2)設，變量和變量的一組樣本數(shù)據(jù)為，其中兩兩不相同，兩兩不相同．記在中的排名是第位，在中的排名是第位，．定義變量和變量的“斯皮爾曼相關系數(shù)”(記為)為變量的排名和變量的排名的樣本相關系數(shù)．(i)記，．證明：．(ii)用(i)的公式求這組學生的數(shù)學成績和知識競賽成績的“斯皮爾曼相關系數(shù)”(精確到)．(3)比較(1)和(2)(ii)的計算結果，簡述“斯皮爾曼相關系數(shù)”在分析線性相關性時的優(yōu)勢．注：參考公式與參考數(shù)據(jù)．；；．【解析】(1)由題意，這組學生數(shù)學成績和知識競賽成績的樣本相關系數(shù)為(2)(i)證明：因為和都是1，2，，的一個排列，所以，，從而和的平均數(shù)都是．因此，，同理可得，由于，所以；(ii)由題目數(shù)據(jù)，可寫出與的值如下：同學編號12345678910數(shù)學成績排名12345678910知識競賽成績排學編號11121314151617181920數(shù)學成績排名11121314151617181920知識競賽成績排名12141311161517181920所以，并且．因此這組學生的數(shù)學成績和知識競賽成績的斯皮爾曼相關系數(shù)是(3)答案①：斯皮爾曼相關系數(shù)對于異常值不太敏感，如果數(shù)據(jù)中有明顯的異常值，那么用斯皮爾曼相關系數(shù)比用樣本相關系數(shù)更能刻畫某種線性關系；答案②：斯皮爾曼相關系數(shù)刻畫的是樣本數(shù)據(jù)排名的樣本相關系數(shù)，與具體的數(shù)值無關，只與排名有關．如果一組數(shù)據(jù)有異常值，但排名依然符合一定的線性關系，則可以采用斯皮爾曼相關系數(shù)刻畫線性關系．【典例4-2】(2024·全國·模擬預測)冰雪運動是深受學生喜愛的一項戶外運動，為了研究性別與學生是否喜愛冰雪運動之間的關系，從某高校男、女生中各隨機抽取100名進行問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表．喜愛不喜愛男生女生(1)當時，從樣本中不喜愛冰雪運動的學生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取3人調(diào)研不喜愛的原因，記這3人中女生的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望．(2)定義，其中為列聯(lián)表中第行第列的實際數(shù)據(jù)，為列聯(lián)表中第行與第列的總頻率之積再乘以列聯(lián)表的總額數(shù)得到的理論頻數(shù)，如，．基于小概率值的檢驗規(guī)則：首先提出零假設(變量X，Y相互獨立)，然后計算的值，當時，我們推斷不成立，即認為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過；否則，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認為X和Y獨立．根據(jù)的計算公式，求解下面問題：①當時，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析性別與是否喜愛冰雪運動有關？②當時，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，若認為性別與是否喜愛冰雪運動有關，則至少有多少名男生喜愛冰雪運動？附：0.10.0250.0052.7065.0247.879【解析】(1)當時，用分層抽樣的方法抽取的不喜愛冰雪運動的6人中，男生有2人，女生有4人，由題意可知，的可能取值為1，2，3．，，，的分布列為123P．(2)①零假設為：性別與是否喜愛冰雪運動獨立，即性別與是否喜愛冰雪運動無關聯(lián)．當時，，，，，，，，，．∵，∴根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為性別與是否喜愛冰雪運動有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不超過0.005．②，由題意可知，，整理得．又，，∴，的最大值為4．又，∴至少有76名男生喜愛冰雪運動．【變式4-1】(2024·高三·北京·期末)在測試中，客觀題難度的計算公式為，其中為第題的難度，為答對該題的人數(shù)，為參加測試的總?cè)藬?shù)．現(xiàn)對某校高三年級240名學生進行一次測試，共5道客觀題．測試前根據(jù)對學生的了解，預估了每道題的難度，如下表所示：題號12345考前預估難度0.90.80.70.60.4測試后，隨機抽取了20名學生的答題數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，結果如下：題號12345實測答對人數(shù)161614144(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計這240名學生中第5題的實測答對人數(shù)；(2)從抽樣的20名學生中隨機抽取2名學生，記這2名學生中第5題答對的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；(3)定義統(tǒng)計量，其中為第題的實測難度，為第題的預估難度．規(guī)定：若，則稱該次測試的難度預估合理，否則為不合理．判斷本次測試的難度預估是否合理.【解析】(1)因為20人中答對第5題的人數(shù)為4人，因此第5題的實測難度為，所以估計240人中有人實測答對第5題．(2)的可能取值是0，1，2．；；．

的分布列為：012．(3)第1題的實測難度為，同理可得：第2題的實測難度為，第3題的實測難度為，第4題的實測難度為，第5題的實測難度為0.2，故．因為，所以，該次測試的難度預估是合理的．題型五：信息熵問題【典例5-1】(2024·高三·河北·階段練習)信息熵是信息論之父香農(nóng)(Shannon)定義的一個重要概念，香農(nóng)在1948年發(fā)表的論文《通信的數(shù)學理論》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量稱為“信息熵”，并給出了計算信息熵的數(shù)學表達式：設隨機變量所有可能的取值為，且，定義的信息熵.(1)當時，計算；(2)若，判斷并證明當增大時，的變化趨勢；(3)若，隨機變量所有可能的取值為，且，證明：.【解析】(1)當時，則，所以(2)隨著的增大而增大.當，則，設，則，因此隨著的增大而增大.(3)證明：若，隨機變量所有可能的取值為，且..，因為，故故，由于，所以，所以，所以，所以.【典例5-2】(2024·高三·河北·期末)在信息論中，熵(entropy)是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又被稱為信息熵?信源熵?平均自信息量.這里，“消息”代表來自分布或數(shù)據(jù)流中的事件?樣本或特征.(熵最好理解為不確定性的量度而不是確定性的量度，因為越隨機的信源的熵越大)來自信源的另一個特征是樣本的概率分布.這里的想法是，比較不可能發(fā)生的事情，當它發(fā)生了，會提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息(熵)定義為概率分布的對數(shù)的相反數(shù)是有道理的.事件的概率分布和每個事件的信息量構成了一個隨機變量，這個隨機變量的均值(即期望)就是這個分布產(chǎn)生的信息量的平均值(即熵).熵的單位通常為比特，但也用、、計量，取決于定義用到對數(shù)的底.采用概率分布的對數(shù)作為信息的量度的原因是其可加性.例如，投擲一次硬幣提供了1的信息，而擲次就為位.更一般地，你需要用位來表示一個可以取個值的變量.在1948年，克勞德?艾爾伍德?香農(nóng)將熱力學的熵，引入到信息論，因此它又被稱為香農(nóng)滳.而正是信息熵的發(fā)現(xiàn)，使得1871年由英國物理學家詹姆斯?麥克斯韋為了說明違反熱力學第二定律的可能性而設想的麥克斯韋妖理論被推翻.設隨機變量所有取值為，定義的信息熵，(，).(1)若，試探索的信息熵關于的解析式，并求其最大值；(2)若，()，求此時的信息熵.【解析】(1)當時，,，令，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值，最大值為.(2)因為，()，所以()，故，而，于是，整理得令，則，兩式相減得因此，所以.【變式5-1】(2024·安徽合肥·模擬預測)在一個典型的數(shù)字通信系統(tǒng)中，由信源發(fā)出攜帶著一定信息量的消息，轉(zhuǎn)換成適合在信道中傳輸?shù)男盘?，通過信道傳送到接收端.有干擾無記憶信道是實際應用中常見的信道，信道中存在干擾，從而造成傳輸?shù)男畔⑹д?在有干擾無記憶信道中，信道輸入和輸出是兩個取值的隨機變量，分別記作和.條件概率，描述了輸入信號和輸出信號之間統(tǒng)計依賴關系，反映了信道的統(tǒng)計特性.隨機變量的平均信息量定義為：.當時，信道疑義度定義為(1)設有一非均勻的骰子，若其任一面出現(xiàn)的概率與該面上的點數(shù)成正比，試求扔一次骰子向上的面出現(xiàn)的點數(shù)的平均信息量；(2)設某信道的輸入變量與輸出變量均取值0，1.滿足：.試回答以下問題：①求的值；②求該信道的信道疑義度的最大值.【解析】(1)設表示扔一非均勻股子點數(shù)，則123456扔一次平均得到的信息量為.(2)①由全概率公式，得②由題意，.所以，;其中.令.時時，,.【過關測試】1．(2024·高三·全國·專題練習)定義：為不超過的最大整數(shù)部分，如，．甲、乙兩個學生高二的6次數(shù)學測試成績(測試時間為90分鐘，滿分100分)如下表所示：高二成績第1次考試第2次考試第3次考試第4次考試第5次考試第6次考試甲687477848895乙717582848694進入高三后，由于改進了學習方法，甲、乙這兩個學生的數(shù)學測試成績預計有了大的提升．設甲或乙高二的數(shù)學測試成績?yōu)?，若，則甲或乙高三的數(shù)學測試成績預計為；若，則甲或乙高三的數(shù)學測試成績預計為100．(1)試預測：在將要進行的高三6次數(shù)學測試成績(測試時間為90分鐘，滿分100分)中，甲、乙兩個學生的成績(填入下列表格內(nèi))；高三成績第1次考試第2次考試第3次考試第4次考試第5次考試第6次考試甲乙(2)記高三任意一次數(shù)學測試成績估計值為，規(guī)定：，記為轉(zhuǎn)換分為3分；，記為轉(zhuǎn)換分為4分；，記為轉(zhuǎn)換分為5分．現(xiàn)從乙的6次數(shù)學測試成績中任意抽取2次，求這2次成績的轉(zhuǎn)換分之和為8分的概率．【解析】(1)由已知，預測高三6次數(shù)學測試成績?nèi)缦拢焊呷煽兊?次考試第2次考試第3次考試第4次考試第5次考試第6次考試甲8490939397100乙8791919395100(2)在乙的高三6次數(shù)學測試預測成績中，轉(zhuǎn)換分為3分的有1次，記為A；轉(zhuǎn)換分為4分的有4次，記為；轉(zhuǎn)換分為5分的有1次，記為．現(xiàn)從中任意抽取2次，一共有15種結果，它們是：，，其中2次成績的轉(zhuǎn)換分之和為8分有7種結果，它們是：，則所求概率為．2．(2024·全國·一模)正態(tài)分布與指數(shù)分布均是用于描述連續(xù)型隨機變量的概率分布．對于一個給定的連續(xù)型隨機變量，定義其累積分布函數(shù)為．已知某系統(tǒng)由一個電源和并聯(lián)的，，三個元件組成，在電源電壓正常的情況下，至少一個元件正常工作才可保證系統(tǒng)正常運行，電源及各元件之間工作相互獨立．(1)已知電源電壓(單位：)服從正態(tài)分布，且的累積分布函數(shù)為，求；(2)在數(shù)理統(tǒng)計中，指數(shù)分布常用于描述事件發(fā)生的時間間隔或等待時間．已知隨機變量(單位：天)表示某高穩(wěn)定性元件的使用壽命，且服從指數(shù)分布，其累積分布函數(shù)為.(ⅰ)設，證明：；(ⅱ)若第天元件發(fā)生故障，求第天系統(tǒng)正常運行的概率．附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．【解析】(1)由題設得，，所以(2)(ⅰ)由題設得：，,所以．(ⅱ)由(ⅰ)得，所以第天元件，正常工作的概率均為．為使第天系統(tǒng)仍正常工作，元件，必須至少有一個正常工作，因此所求概率為．3．為考查一種新的治療方案是否優(yōu)于標準治療方案，現(xiàn)從一批患者中隨機抽取100名患者，均分為兩組，分別采用新治療方案與標準治療方案治療，記其中采用新治療方案與標準治療方案治療受益的患者數(shù)分別為和．在治療過程中，用指標衡量患者是否受益：若，則認為指標正常；若，則認為指標偏高；若，則認為指標偏低．若治療后患者的指標正常，則認為患者受益于治療方案，否則認為患者未受益于治療方案．根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，受益于標準治療方案的患者比例為0.6．(1)求和；(2)統(tǒng)計量是關于樣本的函數(shù)，選取合適的統(tǒng)計量可以有效地反映樣本信息．設采用新治療方案治療第位的患者治療后指標的值為，，2，，50，定義函數(shù)：(ⅰ)簡述以下統(tǒng)計量所反映的樣本信息，并說明理由．①；②；(ⅱ)為確定新的治療方案是否優(yōu)于標準治療方案，請在(ⅰ)中的統(tǒng)計量中選擇一個合適的統(tǒng)計量，并根據(jù)統(tǒng)計量的取值作出統(tǒng)計決策．【解析】(1)由題設知服從二項分布，所以，．(2)(ⅰ)統(tǒng)計量反映了未受益于新治療方案的患者數(shù)，理由如下：若患者受益于新治療方案，則其指標的值滿足，否則，會被統(tǒng)計量計入，且每位未受益于新治療方案的患者恰使得統(tǒng)計量的數(shù)值加1．統(tǒng)計量反映了未受益于新治療方案且指標偏高的患者數(shù)量，理由如下：若患者接受新治療方案后指標偏低或正常，則其指標的值滿足若指標偏高，則，，會被統(tǒng)計量計入，且每位未受益于新治療方案且指標偏高的患者恰使得統(tǒng)計量的數(shù)值加1．(ⅱ)由題設知新治療方案優(yōu)于標準治療方案等價于一次試驗中的觀測值大于的數(shù)學期望，由(ⅰ)知的觀測值，因此當，即時，認為新治療方案優(yōu)于標準治療方案；當，即時，認為新治療方案與標準治療方案相當；當，即時，認為新治療方案劣于標準治療方案．4．(2024·高二·四川遂寧·期末)2020年新冠肺炎疫情期間，某區(qū)政府為了解本區(qū)居民對區(qū)政府防疫工作的滿意度，從本區(qū)居民中隨機抽取若干居民進行評分(滿分100分)，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)制成如下表格和頻率分布直方圖，已知評分在的居民有600人．滿意度評分滿意度等級不滿意基本滿意滿意非常滿意(1)求頻率分布直方圖中a的值及所調(diào)查的總?cè)藬?shù)；(2)定義滿意度指數(shù)，若，則防疫工作需要進行大調(diào)整，否則不需要大調(diào)整．根據(jù)所學知識判斷該區(qū)防疫工作是否帶要進行大調(diào)整？(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)(3)為了解部分居民不滿意的原因，從不滿意的居民評分在，中用分層抽樣的方法抽取6名居民，傾聽他們的意見，并從6人中抽取2人擔任防疫工作的監(jiān)督員，求這2人中僅有一人對防疫工作的評分在內(nèi)的概率．【解析】(1)由頻率分布直方圖得，即，解得，設總共調(diào)查了人，則，解得.(2)由頻率分布直方圖知，各段的頻率分別為：，所以，所以該區(qū)防疫工作不需要大的調(diào)整.(3)由，即不滿意的人數(shù)在兩段的人數(shù)分別為，所以每段抽取的人數(shù)分別為，即在第一段的人記作，第二段的人為，所以抽取兩人的基本事件為：，共有15個，僅由一人來自的基本事件有：，共有8個，所以，這2人中僅有一人對防疫工作的評分在內(nèi)的概率為.5．(2024·高三·北京·階段練習)設離散型隨機變量X和Y有相同的可能取值，它們的分布列分別為，，，，．指標可用來刻畫X和Y的相似程度，其定義為．設．(1)若，求；(2)若，求的最小值；(3)對任意與有相同可能取值的隨機變量，證明：，并指出取等號的充要條件【解析】(1)不妨設，則.所以.(2)當時，，記，則，令，則，令，則，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；所以，則單調(diào)遞增，而，所以在為負數(shù)，在為正數(shù)，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的最小值為.(3)令，則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；所以，即，當且僅當時，等號成立，則當時，，所以，即，故，當且僅當對所有的時等號成立.6．(2024·高三·河南·期末)某國家隊要從男子短道速滑1500米的兩名種子選手甲、乙中選派一人參加2022年的北京冬季奧運會，他們近期六次訓練成績?nèi)缦卤恚捍涡?)123456甲(秒)142140139138141140乙(秒)138142137139143141(1)分別計算甲、乙兩人這六次訓練的平均成績，偏優(yōu)均差；(2)若，則稱甲、乙這次訓練的水平相當，現(xiàn)從這六次訓練中隨機抽取3次，求有兩次甲、乙水平相當?shù)母怕剩ⅲ喝魯?shù)據(jù)中的最優(yōu)數(shù)據(jù)為，定義為偏優(yōu)均差．本題中的最優(yōu)數(shù)據(jù)即最短時間．【解析】(1)由題可知，，，，．(2)六次訓練中只有第4，6次甲、乙水平相當，從六次中任選三次的結果有，，共20種，其中有兩次甲、乙水平相當?shù)慕Y果有4種，故所求概率．7．(2024·全國·模擬預測)某醫(yī)科大學科研部門為研究退休人員是否患癡呆癥與上網(wǎng)的關系，隨機調(diào)查了市100位退休人員，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：患癡呆癥不患癡呆癥合計上網(wǎng)163248不上網(wǎng)341852合計5050100(1)依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為該市退休人員是否患癡呆癥與上網(wǎng)之間有關聯(lián)？(2)從該市退休人員中任取一位，記事件A為“此人患癡呆癥”，為“此人上網(wǎng)”，則為“此人不患癡呆癥”，定義事件A的強度，在事件發(fā)生的條件下A的強度．(ｉ)證明：；(ⅱ)利用抽樣的樣本數(shù)據(jù)，估計的值．附：，其中．0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解析】(1)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為該市退休人員是否患癡呆癥與上網(wǎng)之間有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01．(2)，所以，故．(ⅱ)由樣本數(shù)據(jù)可得，所以，所以估計的值為2．8．(2024·高三·山西朔州·開學考試)某校20名學生的數(shù)學成績和知識競賽成績?nèi)缦卤恚簩W生編號i12345678910數(shù)學成績100999693908885838077知識競賽成績29016022020065709010060270學生編號i11121314151617181920數(shù)學成績75747270686660503935知識競賽成績4535405025302015105計算可得數(shù)學成績的平均值是，知識競賽成績的平均值是，并且，，.(1)求這組學生的數(shù)學成績和知識競賽成績的樣本相關系數(shù)(精確到0.01)；(2)設，變量和變量的一組樣本數(shù)據(jù)為，其中兩兩不相同，兩兩不相同.記在中的排名是第位，在中的排名是第位，.定義變量和變量的“斯皮爾曼相關系數(shù)”(記為)為變量的排名和變量的排名的樣本相關系數(shù).(i)記，.證明：；(ii)用(i)的公式求得這組學生的數(shù)學成績和知識競賽成績的“斯皮爾曼相關系數(shù)”約為0.91，簡述“斯皮爾曼相關系數(shù)”在分析線性相關性時的優(yōu)勢.注：參考公式與參考數(shù)據(jù).；；.【解析】(1)由題意，這組學生數(shù)學成績和知識競賽成績的樣本相關系數(shù)為；(2)(i)證明：因為和都是1，2，，的一個排列，所以，，從而和的平均數(shù)都是．因此，，同理可得，由于，所以.(ii)這組學生的數(shù)學成績和知識競賽成績的斯皮爾曼相關系數(shù)是0.91，答案①：斯皮爾曼相關系數(shù)對于異常值不太敏感，如果數(shù)據(jù)中有明顯的異常值，那么用斯皮爾曼相關系數(shù)比用樣本相關系數(shù)更能刻畫某種線性關系；答案②：斯皮爾曼相關系數(shù)刻畫的是樣本數(shù)據(jù)排名的樣本相關系數(shù)，與具體的數(shù)值無關，只與排名有關．如果一組數(shù)據(jù)有異常值，但排名依然符合一定的線性關系，則可以采用斯皮爾曼相關系數(shù)刻畫線性關系．9．(2024·高二·湖北·階段練習)“難度系數(shù)”反映試題的難易程度，難度系數(shù)越大，題目得分率越高，難度也就越小，“難度系數(shù)”的計算公式為，其中L為難度系數(shù)，Y為樣本平均失分，W為試卷總分(一般為100分或150分)．某校高二年級的老師命制了某專題共5套測試卷(總分150分)，用于對該校高二年級480名學生進行每周測試，測試前根據(jù)自己對學生的了解，預估了每套試卷的難度系數(shù)，如下表所示：試卷序號i12345考前預估難度系數(shù)0.70.640.60.60.55測試后，隨機抽取了50名學生的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，結果如下：試卷序號i12345平均分/分10299939387(1)根據(jù)試卷2的預估難度系數(shù)估計這480名學生第2套試卷的平均分；(2)試卷的預估難度系數(shù)和實測難度系數(shù)之間會有偏差，設為第i套試卷的實測難度系數(shù)，并定義統(tǒng)計量，若，則認為試卷的難度系數(shù)預估合理，否則認為不合理．以樣本平均分估計總體平均分，試檢驗這5套試卷難度系數(shù)的預估是否合理．(3)聰聰與明明是學習上的好伙伴，兩人商定以同時解答上述試卷易錯題進行“智力競賽”，規(guī)則如下：雙方輪換選題，每人每次只選1道題，先正確解答者記1分，否則計0分，先多得2分者為勝方.若在此次競賽中，聰聰選題時聰聰?shù)梅值母怕蕿?，明明選題時聰聰?shù)梅值母怕蕿?，各題的結果相互獨立，二人約定從0:0計分并由聰聰先選題，求聰聰3:1獲勝的概率.【解析】(1)由題意，由試卷2的難度系數(shù)，解得平均失分：，∴這480名學生第2套試卷的平均分為分；(2)由題意及(1)得，，，，，，則，∴這5套試卷難度系數(shù)的預估合理(3)由題意及(1)(2)得，聰聰先答對第一題：聰聰沒先答對第一題：∴聰聰3:1獲勝的概率聰聰3:1獲勝的概率：10．(2024·高三·四川成都·開學考試)在三維空間中，立方體的坐標可用三維坐標表示，其中．而在n維空間中，以單位長度為邊長的“立方體”的項點坐標可表示為n維坐標，其中．現(xiàn)有如下定義：在n維空間中兩點間的曼哈頓距離為兩點與坐標差的絕對值之和，即為．回答下列問題：(1)求出n維“立方體”的頂點數(shù)；(2)在n維“立方體”中任取兩個不同頂點，記隨機變量X為所取兩點間的曼哈頓距離①求出X的分布列與期望；②證明：在n足夠大時，隨機變量X的方差小于．(已知對于正態(tài)分布，P隨X變化關系可表示為)【解析】(1)對于n維坐標有兩種選擇()．故共有種選擇，即個頂點(2)①對于的隨機變量，在坐標與中有k個坐標值不同，即，剩下個坐標值滿足．此時所對應情況數(shù)為種．即故分布列為：012……數(shù)學期望倒序相加得即．②當n足夠大時，．設正態(tài)分布，正態(tài)分布曲線為，由定義知該正態(tài)分布期望為，方差為．設題中分布列所形成的曲線為．則當與均在處取最大值，若當時，且，則可認為方差．I．：當時，有即．II．

當n足夠大時，有當時，當時，故．綜上所述，可以認為．11．(2024·高二·福建莆田·期末)為了考查一種新疫苗預防某一疾病的效果，研究人員對一地區(qū)某種動物進行試驗，從該試驗群中隨機抽查了50只，得到如下的樣本數(shù)據(jù)(單位：只)：發(fā)病沒發(fā)病合計接種疫苗81624沒接種疫苗17926合計252550(1)能否有95%的把握認為接種該疫苗與預防該疾病有關？(2)從該地區(qū)此動物群中任取一只，記表示此動物發(fā)病，表示此動物沒發(fā)病，表示此動物接種疫苗，定義事件的優(yōu)勢，在事件發(fā)生的條件下的優(yōu)勢.(ⅰ)證明：；(ⅱ)利用抽樣的樣本數(shù)據(jù)，給出，的估計值，并給出的估計值.附：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解析】(1)根據(jù)聯(lián)表可得，所以有95%的把握認為接種該疫苗與預防該疾病有關.(2)(ⅰ)由于,所以，，故,故得證.(ⅱ)由二聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，，所以，12．(2024·高一·山東濟南·期末)獨立事件是一個非?；A但又十分重要的概念，對于理解和應用概率論和統(tǒng)計學至關重要．它的概念最早可以追湖到17世紀的布萊茲·帕斯卡和皮埃爾·德·費馬，當時被定義為彼此不相關的事件．19世紀初期，皮埃爾·西蒙·拉普拉斯在他的《概率的分析理論》中給出了相互獨立事件的概率乘法公式．對任意兩個事件與，如果成立，則稱事件與事件相互獨立，簡稱為獨立．(1)若事件與事件相互獨立，證明：與相互獨立；(2)甲、乙兩人參加數(shù)學節(jié)的答題活動，每輪活動由甲、乙各答一題，已知甲每輪答對的概率為，乙每輪答對的概率為．在每輪活動中，甲和乙答對與否互不影響，各輪結果也互不影響，求甲乙兩人在兩輪活動中答對3道題的概率．【解析】(1)證明：已知事件與事件相互獨立，則因為，且事件與事件互斥所以所以由事件的獨立性定義，與相互獨立；(2)設分別表示甲在兩輪活動中答對1道題，答對2道題的事件分別表示乙在兩輪活動中答對1道題，答對2道題的事件根據(jù)獨立性假定，得設“甲乙兩人在兩輪活動中答對3道題”，則且與互斥，與，與分別相互獨立所以所以甲乙兩人在兩輪活動中答對3道題的概率時.13．(2024·高二·浙江臺州·期末)袋中有大小、形狀完全相同的2個紅球，4個白球.采用放回摸球，從袋中摸出一個球，定義T變換為：若摸出的球是白球，把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來倍，(縱坐標不變)；若摸出的是紅球，將函數(shù)圖象上所有的點向下平移1個單位.函數(shù)經(jīng)過1次T變換后的函數(shù)記為，經(jīng)過2次T變換后的函數(shù)記為，…，經(jīng)過n次T變換后的函數(shù)記為.現(xiàn)對函數(shù)進行連續(xù)的T變換.(1)若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是紅球，求；(2)記，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.【解析】(1)第一次從袋子中摸出的是白球，把函數(shù)變換為；第二次從袋子中摸出的是紅球，把函數(shù)變換為；所以.(2)經(jīng)過3次T變換后有3種情況，若摸出的3個球都是白球，則，；若摸出的3個球為2個白球1個紅球，則，；若摸出的3個球為1個白球2個紅球，則，；若摸出的3個球都是紅球，則，.所以隨機變量X的取值為，因為一次摸球取得為紅球的概率為，取得白球的概率為，所以，，，.所以求隨機變量的分布列為所以.14．(2024·高三·上海寶山·階段練習)已知為正整數(shù)，對于給定的函數(shù)，定義一個次多項式如下:(1)當時，求;(2)當時，求;(3)當時，求.【解析】(1)若，則,所以.(2)若，則，因為,所以.(3)若，則.15．(2024·高一·遼寧葫蘆島·期末)通信信號利用BEC信道傳輸，若BEC信道傳輸成功，則接收端收到的信號與發(fā)來的信號完全相同．若BEC信道傳輸失敗，則接收端收不到任何信號．傳輸技術有兩種：一種是傳統(tǒng)通信傳輸技術，采用多個信道各自獨立傳輸信號(以兩個信道為例，如圖1)．另一種是華為公司5G信號現(xiàn)使用的土耳其通訊技術專家ErdalArikan教授的發(fā)明的極化碼技術(以兩個信道為例，如圖2)．傳輸規(guī)則如下，信號直接從信道2傳輸；信號在傳輸前先與“異或”運算得到信號，再從信道1傳輸．若信道1與信道2均成功輸出，則兩信號通過“異或”運算進行解碼后，傳至接收端，若信道1輸出失敗信道2輸出成功，則接收端接收到信道2信號，若信道1輸出成功信道2輸出失敗，則接收端對信號進行自身“異或”運算而解碼后，傳至接收端．(注：定義“異或”運算：)．假設每個信道傳輸成功的概率均為．(1)對于傳統(tǒng)傳輸技術，求信號和中至少有一個傳輸成功的概率；(2)對于ErdalArikan教授的極化碼技術；①求接收端成功接收信號的概率；②若接收端接收到信號才算成功完成一次任務，求利用極化碼技術成功完成一次任務的概率．【解析】(1)設“信號和中至少有一個傳輸成功”為事件，“信號傳輸成功”為事件“信號傳輸成功”為事件則(2)若信道1和信道2都傳輸成功，由可得被成功接收，概率為；若信道1傳輸成功，信道2傳輸失敗，由可得被成功接收，接收失敗，概率為；若信道2傳輸成功，信道1傳輸失敗，可得被成功接收，接收失敗，概率為；若信道1，2都傳輸失敗，可得接收失敗，概率為；①接收端成功接收信號的概率為；②接收端接收