高中數(shù)學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃專(zhuān)題訓(xùn)練10推理與證明（原卷版）

專(zhuān)題訓(xùn)練10推理與證明一、填空題1．容器中有種粒子，若相同種類(lèi)的兩顆粒子發(fā)生碰撞，則變成一顆B粒子；不同種類(lèi)的兩顆粒子發(fā)生碰撞，會(huì)變成另外一種粒子.例如，一顆A粒子和一顆B粒子發(fā)生碰撞則變成一顆C粒子，現(xiàn)有A粒子10顆，B粒子8顆，C粒子9顆，如果經(jīng)過(guò)各種兩兩碰撞后，只剩1顆粒子.給出下列結(jié)論：①最后一顆粒子可能是A粒子；②最后一顆粒子可能是B粒子；③最后一顆粒子可能是C粒子；其中正確結(jié)論的序號(hào)是______.（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）2．有限集的全部元素的積稱(chēng)為該數(shù)集的“積數(shù)”，例如的“積數(shù)”為2，的“積數(shù)”為6，的“積數(shù)”為，則數(shù)集的所有非空子集的“積數(shù)”的和為_(kāi)__________.3．長(zhǎng)沙市為了支援邊遠(yuǎn)山區(qū)的教育事業(yè)，組織了一支由13名教師組成的隊(duì)伍下鄉(xiāng)支教，記者采訪隊(duì)長(zhǎng)時(shí)詢(xún)問(wèn)這個(gè)團(tuán)隊(duì)的構(gòu)成情況，隊(duì)長(zhǎng)回答：“（1）有中學(xué)高級(jí)教師；（2）中學(xué)教師不多于小學(xué)教師；（3）小學(xué)高級(jí)教師少于中學(xué)中級(jí)教師；（4）小學(xué)中級(jí)教師少于小學(xué)高級(jí)教師；（5）支教隊(duì)伍的職稱(chēng)只有小學(xué)中級(jí)、小學(xué)高級(jí)、中學(xué)中級(jí)、中學(xué)高級(jí)；（6）無(wú)論是否把我計(jì)算在內(nèi)，以上條件都成立．”由隊(duì)長(zhǎng)的敘述可以推測(cè)出他的學(xué)段及職稱(chēng)分別是____．二、解答題4．已知集合，對(duì)于集合的非空子集．若中存在三個(gè)互不相同的元素，，，使得，，均屬于，則稱(chēng)集合是集合的“期待子集”．(1)試判斷集合，是否為集合的“期待子集”；（直接寫(xiě)出答案，不必說(shuō)明理由）(2)如果一個(gè)集合中含有三個(gè)元素，，，同時(shí)滿足①，②，③為偶數(shù)．那么稱(chēng)該集合具有性質(zhì)．對(duì)于集合的非空子集，證明：集合是集合的“期待子集”的充要條件是集合具有性質(zhì)；(3)若的任意含有個(gè)元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值．5．若正整數(shù)的二進(jìn)制表示是，這里()，稱(chēng)有窮數(shù)列1，，，，為的生成數(shù)列，設(shè)是一個(gè)給定的實(shí)數(shù)，稱(chēng)為的生成數(shù).（1）求的生成數(shù)列的項(xiàng)數(shù)；（2）求由的生成數(shù)列，，，的前項(xiàng)的和(用?表示)；（3）若實(shí)數(shù)滿足，證明：存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)，使得不存在正整數(shù)滿足.6．甲、乙兩人輪流吹同一只氣球，當(dāng)且僅當(dāng)氣球內(nèi)的氣體體積（單位：毫升）大于2014時(shí)，氣球會(huì)被吹破．先由甲開(kāi)始吹入1毫升氣體，約定以后每次吹入的氣體體積為上一次體積的2倍或，且吹入的氣體體積為整數(shù)．（1）若誰(shuí)先吹破氣球誰(shuí)輸，問(wèn)誰(shuí)有必勝策略？證明你的結(jié)論．（2）若在不吹破氣球的前提下，約定單次吹入的氣體體積最大者為贏家（如果吹入的體積相同，則最先吹出最大體積者為贏家）．問(wèn)：誰(shuí)有必勝策略？證明你的結(jié)論．7．設(shè)，，.證明：（1）存在常數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，有.（2）對(duì)任意正整數(shù)，有.8．集合，，.若集合中的所有元素都能用中不超過(guò)9個(gè)的不同元素相加表示，求，并構(gòu)造達(dá)到最小時(shí)對(duì)應(yīng)的一個(gè)集合.9．對(duì)于一個(gè)m行n列的數(shù)表，用表示數(shù)表中第i行第j列的數(shù)，（；）．對(duì)于給定的正整數(shù)t，若數(shù)表滿足以下兩個(gè)條件，則稱(chēng)數(shù)表具有性質(zhì)：①，；②．(1)以下給出數(shù)表1和數(shù)表2．?dāng)?shù)表111101000011110100001111010000數(shù)表2（i）數(shù)表1是否具有性質(zhì)？說(shuō)明理由；（ii）是否存在正整數(shù)t，使得數(shù)表2具有性質(zhì)？若存在，直接寫(xiě)出t的值，若不存在，說(shuō)明理由；(2)是否存在數(shù)表具有性質(zhì)？若存在，求出m的最小值，若不存在，說(shuō)明理由；(3)給定偶數(shù)，對(duì)每一個(gè)，將集合中的最小元素記為．求的最大值．10．如圖所示，，，…，，…是曲線（）上的點(diǎn)，，，…，，…是x軸正半軸上的點(diǎn)，且，，…，，…均為等腰直角三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求.11．在一張無(wú)限大的方格表上的每個(gè)方格中填有一個(gè)實(shí)數(shù)．已知任意一個(gè)由格線構(gòu)成的正方形中的數(shù)之和的絕對(duì)值不超過(guò)1．證明：任意一個(gè)由格線構(gòu)成的矩形中的數(shù)之和的絕對(duì)值不超過(guò)4．12．已知集合，其中．對(duì)于，，定義與之間的距離為．（1）記，寫(xiě)出所有使得；（2）記，、，并且，求的最大值；（3）設(shè)，中所有不同元素間的距離的最小值為，記滿足條件的集合的元素個(gè)數(shù)的最大值為，求證：．13．設(shè)為正整數(shù)，如果表達(dá)式同時(shí)滿足下列性質(zhì)，則稱(chēng)之為“交錯(cuò)和”.①，；②；③當(dāng)時(shí)，（）；④規(guī)定：當(dāng)時(shí)，也是“交錯(cuò)和”.（1）請(qǐng)將7和10表示為“交錯(cuò)和”；（2）若正整數(shù)可以表示為“交錯(cuò)和”，求證：；（3）對(duì)于任意正整數(shù)，判斷一共有幾種“交錯(cuò)和”的表示方法，并證明你的結(jié)論.14．是定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：①對(duì)任意的，都有；②存在常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有.（1）設(shè)，問(wèn)是否屬于？說(shuō)明你的判斷理由；（2）若，如果存在，使得，證明這樣的是唯一的；（3）設(shè)為正實(shí)數(shù)，是否存在函數(shù)，使？作出你的判斷，并說(shuō)明理由.15．已知，給定個(gè)整點(diǎn),其中.（Ⅰ）當(dāng)時(shí),從上面的個(gè)整點(diǎn)中任取兩個(gè)不同的整點(diǎn)，求的所有可能值；（Ⅱ）從上面?zhèn)€整點(diǎn)中任取個(gè)不同的整點(diǎn)，.（i）證明：存在互不相同的四個(gè)整點(diǎn)，滿足,；（ii）證明：存在互不相同的四個(gè)整點(diǎn)，滿足,.16．如圖，將一個(gè)正三角形的每一邊都等分后，過(guò)各分點(diǎn)作其它兩邊的平行線形成一個(gè)三角形網(wǎng).記為n等分后圖中所有梯形的個(gè)數(shù).（1）求的值；（2）求的表達(dá)式.17．在個(gè)實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表中，表示第行第列的數(shù)，記．，若，0，，且，，，，，，，，兩兩不等，則稱(chēng)此表為“階表”，記，，，，，，，．(1)請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)“階表”；(2)對(duì)任意一個(gè)“階表”，若整數(shù)，且，求證：為偶數(shù)；(3)求證：不存在“階表”．18．已知每一項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列滿足，．（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：；（2）證明：；（3）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．19．已知，且，數(shù)列滿足．(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列；(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)若滿足，試用數(shù)學(xué)