《信號(hào)與系統(tǒng)分析》課件第5章

第5章離散信號(hào)與系統(tǒng)的

時(shí)域分析

5.1離散信號(hào)5.2離散信號(hào)的基本運(yùn)算及MATLAB實(shí)現(xiàn)5.3離散系統(tǒng)及其描述5.4離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)5.5離散系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)5.6離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)——卷積和5.7離散系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)域分析5.1離散信號(hào)

5.1.1離散信號(hào)概述

在一些離散的瞬間才有定義的信號(hào)稱為離散時(shí)間信號(hào)，簡(jiǎn)稱為離散信號(hào)。這里“離散”是指信號(hào)的定義域——時(shí)間是離散的，它只取某些規(guī)定的值。就是說(shuō)，離散信號(hào)是定義在一些離散時(shí)間tn(n=0,±1,±2,±3,…)上的信號(hào)，在其余的時(shí)間，信號(hào)沒(méi)有定義。時(shí)刻tn和tn+1之間的間隔Tn=tn+1-tn可以是常數(shù)，也可以隨n而變化，我們只討論Tn等于常數(shù)的情況。若令相繼時(shí)刻tn與tn+1之間的間隔為T,則離散信號(hào)只在均勻離散時(shí)刻t=…,-2T,-T,0,T,2T,…時(shí)有定義，它可以表示為f(nT)。為了方便，不妨把f(nT)簡(jiǎn)記為f(n),這樣的離散信號(hào)也常稱為序列。本書中序列與離散信號(hào)不加區(qū)別。一個(gè)離散時(shí)間信號(hào)f(n)可以用三種方法來(lái)描述。

1.解析形式解析形式，又稱閉合形式或閉式，即用一函數(shù)式表示。例如f1(n)=2(-1)n

2.序列形式序列形式即將f(n)表示成按n逐個(gè)遞增的順序排列的一列有順序的數(shù)。例如序列下面的↑標(biāo)記出n=0的位置。序列形式有時(shí)也表示為另一種形式，即在大括號(hào)的右下腳處標(biāo)出第一個(gè)樣值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的序號(hào)n的取值。這種表示形式比較適合有始序列。例如

3.圖形形式

圖形形式即信號(hào)的波形。例如上面f1(n)、f3(n)分別如圖5-1(a)、(b)所示。圖5-1離散信號(hào)的波形5.1.2典型的離散信號(hào)

1.單位樣值(UnitSample)信號(hào)δ(n)(5-1)δ(n)的波形如圖5-2(a)所示。圖

5-2

δ(n)、δ(n-m)和δ(n+m)的波形此序列只在n=0處取單位值1,其余樣點(diǎn)上都為零。δ(n)也稱為“單位取樣”、“單位函數(shù)”、“單位脈沖”或“單位沖激”。δ(n)對(duì)于離散系統(tǒng)分析的重要性，類似于δ(t)對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)分析的重要性，但δ(t)是一種廣義函數(shù)，可理解為在t=0處脈寬趨于零，幅度為無(wú)限大的信號(hào)；而δ(n)則在n=0處具有確定值，其值等于1。發(fā)生在n=m和n=-m的單位樣值信號(hào)分別表示為(5-2)(5-3)它們的波形分別如圖5-2(b)、(c)所示。2.單位階躍序列U(n)(5-4)

U(n)的波形如圖5-3(a)所示。像U(n)這樣的信號(hào)，只在n≥0時(shí)才有非零值，稱為因果信號(hào)或因果序列；而只在n<0時(shí)才有非零值的信號(hào)，稱為反因果序列；只在n1≤n≤n2才有非零值的信號(hào)，稱為有限長(zhǎng)序列。相應(yīng)地，移位(延時(shí))單位階躍序列U(n-m)定義為U(n-m)的波形如圖5-3(b)所示。(5-5)圖

5-3

U(n)和U(n-m)(m<0)的波形3.矩形序列GN(n)(5-6)GN(n)的波形如圖5-4所示。圖

5-4

GN(n)的波形以上三種序列之間有如下關(guān)系：(5-7)(5-8)(5-9)4.單邊指數(shù)序列anU(n)f(n)=anU(n)

(5-10)anU(n)的波形如圖5-5所示。此外，還有因果斜升序列nU(n),正弦(余弦)序列sinω0n或cosω0h等。圖5-5

anU(n)的波形5.1.3典型離散信號(hào)的MATLAB表示在MATLAB中，離散信號(hào)用一個(gè)行向量或一個(gè)列向量表示。在MATLAB中向量是從1開始編導(dǎo)的，即x(1)是x向量的第1個(gè)元素。在表示信號(hào)或信號(hào)運(yùn)算時(shí)，如果這些編號(hào)與所需要的信號(hào)標(biāo)號(hào)不能對(duì)應(yīng)，可以創(chuàng)建另外一個(gè)標(biāo)號(hào)向量，使信號(hào)的標(biāo)號(hào)與實(shí)際情況一致。MATLAB軟件具有強(qiáng)大的繪圖功能，可以用MATLAB中的函數(shù)表示離散信號(hào)并繪制出離散信號(hào)的波形。下面介紹基本的離散信號(hào)和它們的MATLAB表示。1.單位階躍序列單位階躍序列的函數(shù)表達(dá)式為用MATLAB中的全0矩陣函數(shù)zeros(1,N)和全1矩陣函數(shù)ones(1,N)可以表示出單位階躍序列。MATLAB只能表示有限長(zhǎng)的序列，對(duì)于單位階躍序列這樣的無(wú)限長(zhǎng)序列可以取一個(gè)有限長(zhǎng)的范圍，把這個(gè)范圍內(nèi)的信號(hào)表示出來(lái)?！纠?-1】繪制單位階躍序列U(n)的波形。解MATLAB程序如下：

%programch5-1

n=［-2:10］;

un=［zeros(1,2)ones(1,11)］;

stem(n,un);

xlabel(′n′);ylabel(′u(n)′);

gridon;

axis(［-2

10

-0.2

1.2］)運(yùn)行結(jié)果如圖5-6所示。圖5-6單位階躍序列根據(jù)單位階躍序列的特點(diǎn)，還可以用MATLAB中的關(guān)系運(yùn)算符“>=”來(lái)實(shí)現(xiàn)這個(gè)序列，將【例5-1】程序中的第2行語(yǔ)句換成關(guān)系運(yùn)算語(yǔ)句“un=(n>=0)”即可。語(yǔ)句“un=(n>=0)”的返回值是由“0”和“1”組成的向量，當(dāng)n≥0時(shí)，返回值為“1”；當(dāng)n<0時(shí)，返回值為“0”。程序運(yùn)行結(jié)果與【例5-1】相同。需要注意的是，這種方法得到的“un”是一個(gè)由邏輯量組成的向量，在數(shù)值計(jì)算時(shí)需要變換成數(shù)值型的向量。2.單位樣值信號(hào)單位樣值信號(hào)的函數(shù)表達(dá)式為

MATLAB中的全0矩陣函數(shù)zeros(1,N)可以用來(lái)實(shí)現(xiàn)單位樣值信號(hào)。MATLAB中的關(guān)系運(yùn)算符“==”也可以實(shí)現(xiàn)這個(gè)序列?！纠?-2】繪制單位樣值信號(hào)δ(n)的波形。解MATLAB程序如下：

%programch5-2

n=［-5:5］;

xn=［zeros(1,5)

1

zeros(1,5)］;

stem(n,xn);

xlabel(′n′);ylabel(′＼delta(n)′);

gridon;

axis(［-5

5

-0.2

1.2］)運(yùn)行結(jié)果如圖5-7所示。圖5-7單位樣值信號(hào)3.矩形序列矩形序列的函數(shù)表達(dá)式為矩形序列從n=0開始，到n=N-1為止，共有N個(gè)幅度為1的函數(shù)值，其余各點(diǎn)數(shù)值為0。矩形序列可以用階躍序列表示為GN(n)=U(n)-U(n-N)所以，用MATLAB表示矩形序列的方法可以參考階躍序列的表示方法?！纠?-3】繪制矩形序列G6(n)的波形。解MATLAB程序如下:

%programch5-3n=［-2:10］;rn=［zeros(1,2)

ones(1,6)

zeros(1,5)］;stem(n,rn);xlabel(′n′);ylabel(′G_6(n)′);gridon;axis(［-2

10

-0.2

1.2］)運(yùn)行結(jié)果如圖5-8所示。圖5-8矩形序列為了使用方便，可以把單位階躍序列做成一個(gè)函數(shù)，存在名為un.m的M文件中，在其他程序中可以調(diào)用該函數(shù)。函數(shù)為

functiony=un(n)

y=(n>=0);要用上述函數(shù)表示矩形序列G6(n),可以把【例5-3】程序中的第2行語(yǔ)句寫成

rn=un(n)-un(n-6);程序運(yùn)行結(jié)果與【例5-3】相同。4.斜變序列斜變序列的函數(shù)表達(dá)式為x(n)=nU(n)

【例5-4】繪制0≤n≤5范圍內(nèi)的斜變序列的波形。解設(shè)已經(jīng)創(chuàng)建了M文件un.m,MATLAB程序如下：

%programch5-4n=［-2:5］;xn=n.*un(n);stem(n,xn);xlabel(′n′);ylabel(′x(n)′);title(′x(n)=nu(n)′);gridon;運(yùn)行結(jié)果如圖5-9所示。圖5-9斜變序列5.2離散信號(hào)的基本運(yùn)算及MATLAB實(shí)現(xiàn)

像連續(xù)信號(hào)一樣，離散信號(hào)也可以進(jìn)行相應(yīng)的變換和運(yùn)算，這里只介紹利用

MATLAB實(shí)現(xiàn)對(duì)離散信號(hào)的基本變換和運(yùn)算。【例5-5】離散信號(hào)的定義如下：定義信號(hào)時(shí)間變量范圍是-3≤n≤7,用MATLAB表示y1(n)=x(n-2)、y2(n)=x(-n)和y3(n)=x(-n+1),并畫出各信號(hào)的波形。解y1(n)=x(n-2)相當(dāng)于把信號(hào)x(n)右移2個(gè)單位，y2(n)=x(-n)相當(dāng)于把信號(hào)x(n)反折，y3(n)=x(-n+1)相當(dāng)于把信號(hào)x(n)左移1個(gè)單位再反折，MATLAB程序如下：%programch5-5nx=［-3:7］;x=［zeros(1,3)2

0

1

-1

3

zeros(1,3)］;subplot(2,2,1);stem(nx,x);title(′x(n)′);xlabel(′n′);ny1=nx+2;%時(shí)移［-1:9］ny2=-nx;%反折ny3=-(nx-1);y1=x;y2=x;y3=x;subplot(2,2,3);stem(ny1,y1);title(′y_1(n)=x(n-2)′);xlabel(′n′);subplot(2,2,2);stem(ny2,y2);title(′y_2(n)=x(-n)′);xlabel(′n′);subplot(2,2,4);stem(ny3,y3);title(′y_3(n)=x(-n+1)′);xlabel(′n′);該程序是通過(guò)改變信號(hào)向量和時(shí)間向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)進(jìn)行自變量的變換的，以y1(n)=x(n-2)為例，將信號(hào)x(n)向右移動(dòng)2個(gè)單位就相當(dāng)于把時(shí)間樣本與信號(hào)樣本的對(duì)應(yīng)位置向右移動(dòng)2個(gè)單位，另外兩個(gè)變換可以進(jìn)行類似的處理。各信號(hào)的波形如圖5-10所示。圖5-10

【例5-5】信號(hào)x(n)的波形變換利用MATLAB的函數(shù)功能，同樣可實(shí)現(xiàn)離散信號(hào)的產(chǎn)生及其基本運(yùn)算。利用MATLAB可以實(shí)現(xiàn)有限區(qū)間上的δ(n)或δ(n-n0)，可以用以下函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)：

function［x,n］=delta(n0,n1,n2)%generatedelta(n-n0);n1<=n<=n2;n=n1:n2;x=［n==n0］;ifnargout<1

stem(n,x);end可以用如下的函數(shù)產(chǎn)生在n1≤n≤n2間的階躍序列。function［x,n］=stepN(n0,n1,n2)%generateU(n-n0),n1<=n<=n2;n=n1:n2;x=［n>=n0］;ifnargout<1

stem(n,x);end序列的相加是對(duì)應(yīng)樣本的相加，如果兩序列長(zhǎng)度不等或者位置向量不同，則不能用算術(shù)運(yùn)算符“+”直接實(shí)現(xiàn)。需要對(duì)位置向量和序列長(zhǎng)度做統(tǒng)一處理后再相加，任意兩序列的相加可以用以下函數(shù)實(shí)現(xiàn)：function［yn］=sigadd(f1,n1,f2,n2);%［yn］=sigadd(f1,n1,f2,n2);%輸入：%f1——相加的第一個(gè)序列%n1——第一個(gè)序列的位置向量%f2——第二個(gè)序列%n2——第二個(gè)序列的位置向量%輸出：%y——輸出序列%n——位置向量n=min(n1(1),n2(1)):max(n1(end),n2(end));%positionvectorofy(n)y1=zeros(1,length(n));y2=y1;

%initializationy1(find(n>=n1(1)&n<=n1(end)))=f1;y2(find(n>=n2(1)&n<=n2(end)))=f2;y=y1+y2;

序列移位后，樣本向量并沒(méi)有變化，只是位置向量變了，任意序列的移位可以用以下函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)：

function［y,n］=sigshift(x,m,n0)

%y=x(n-n0);

y=x;

n=m+n0;可以用以下函數(shù)實(shí)現(xiàn)序列的反折運(yùn)算y(n)=f(-n):

function［y,n］=sigfold(x,n)%y(n)=x(-n);y=fliplr(x);n=-fliplr(n);

【例5-6】設(shè)f(n)={-1,2,2,3}-1,用δ(n)及其移位信號(hào)表示f(n),試用MATLAB實(shí)現(xiàn)。解MATLAB實(shí)現(xiàn)代碼如下：

%programch5-6

%用常規(guī)的方法表示f(n)

n=-1:2;

f=［-1,2,2,3］;

subplot(2,1,1);

stem(n,f)

title(′f(n)的常規(guī)表示法′)；%用δ(n)表示f(n)clearf,n;n1=-1;n2=2;f=-1*delta(-1,n1,n2)+2*delta(0,n1,n2)+2*delta(1,n1,n2)+3*delta(2,n1,n2);n=n1:n2;subplot(2,1,2);stem(n,f)title(′f(n)用δ(n)表示′)；運(yùn)行結(jié)果如圖5-11所示。圖5-11

【例5-6】圖【例5-7】

f(n)=G4(n),求和f(2n)。用MATLAB實(shí)現(xiàn)。解MATLAB實(shí)現(xiàn)代碼如下：%programch5-7n=-2:8;f=［0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0］;subplot(3,1,1);stem(n,f);title(′f(n)′);

n1=-2:8;n=2*n1;subplot(3,1,2);stem(n,f);title(′f(1/2*n)′);

clearn;n2=-2:8;n=1/2*n2;k=1;form=1:length(n)

ifrem(n(m),1)==0;

ff(k)=f(m);

%取出為整數(shù)的n值，形成新的序列和向量

nn(k)=n(m);

k=k+1;

endendsubplot(3,1,3);stem(nn,ff);title(′f(2*n)′);運(yùn)行結(jié)果如圖5-12所示。圖5-12

【例5-7】圖5.3離散系統(tǒng)及其描述

若系統(tǒng)的輸入和輸出都是離散信號(hào)，則稱該系統(tǒng)為離散時(shí)間系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱離散系統(tǒng)，如圖5-13所示。圖5-13中f(n)是輸入(激勵(lì)),y(n)是輸出(響應(yīng))。

圖5-13離散時(shí)間系統(tǒng)描述離散系統(tǒng)的方法也有兩種：數(shù)學(xué)模型和模擬框圖。下面就來(lái)討論這兩種描述方法。

【例5-8】某人從當(dāng)月起每月初到銀行存款f(n)(元)，月息r=1%。設(shè)第n月初的總存款數(shù)為y(n)元，試寫出描述總存款數(shù)與月存款數(shù)關(guān)系的方程式。解第n月初的總存款數(shù)應(yīng)由三項(xiàng)組成，即第n月初之前的總存款數(shù)y(n-1)、第n月初存入的存款數(shù)f(n)和第n月初之前的利息ry(n-1)。所以有y(n)=(1+r)y(n-1)+f(n)即y(n)-(1.01)y(n-1)=f(n)這是一個(gè)一階常系數(shù)的差分方程。事實(shí)上，一個(gè)N階線性離散系統(tǒng)可以用N階線性差分方程來(lái)描述。差分方程有前向差分方程和后向差分方程兩種。

N階前向差分方程的一般形式為

y(n+N)+aN-1y(n+N-1)+…+a0y(n)

=bMf(n+M)+bM-1f(n+M-1)+…+b0f(n)(5-11)N階后向差分方程的一般形式為y(n)+a1y(n-1)+…+aNy(n-N)=b0f(n)+b1f(n-1)+…+bMf(n-M)(5-12)其中a0~aN,b0~bM都是常數(shù)。后向差分方程和前向差分方程并無(wú)本質(zhì)上的差異，用哪種方程描述離散系統(tǒng)都是可以的，但考慮到通常研究的LTI離散系統(tǒng)的輸入、輸出信號(hào)多為因果信號(hào)(f(n)=0,y(n)=0,n<0),故在系統(tǒng)分析中一般采用后向差分方程。差分方程即為描述離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。除了利用差分方程描述離散系統(tǒng)之外，還可以借助模擬框圖描述。與描述連續(xù)系統(tǒng)相類似，也是用一些基本運(yùn)算單元構(gòu)成描述系統(tǒng)的模擬框圖。表5-1給出了描述離散系統(tǒng)的基本運(yùn)算單元及其輸入、輸出關(guān)系。表5-1描述離散系統(tǒng)常用的基本運(yùn)算單元

【例5-9】某離散系統(tǒng)的模擬框圖如圖5-14所示，寫出該系統(tǒng)的差分方程。圖5-14

【例5-9】的模擬框圖解系統(tǒng)模擬框圖中有兩個(gè)延遲單元，所以該系統(tǒng)是二階系統(tǒng)。由各運(yùn)算單元的輸入輸出關(guān)系可知，若輸出設(shè)為y(n),則圖中兩個(gè)延遲單元的輸出分別為和。從加法器的輸出可得整理得y(n)+5y(n-1)+4y(n-2)=6f(n)5.4離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)

LTI離散系統(tǒng)用常系數(shù)線性差分方程描述，要求出系統(tǒng)響應(yīng)，便要解此差分方程。一個(gè)N階離散系統(tǒng)的差分方程的一般形式可表示為y(n)+a1y(n-1)+…+aNy(n-N)=b0f(n)+b1f(n-1)+…+bMf(n-M)或(5-13)其中,ak、bl為常數(shù)，y(n)的最大位移N稱為此差分方程的階數(shù)，也稱為系統(tǒng)的階數(shù)。5.4.1離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)求解離散系統(tǒng)的響應(yīng)y(n)也可分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和。零輸入響應(yīng)是激勵(lì)為零時(shí)僅由初始狀態(tài)引起的響應(yīng)，用yx(n)表示。下面，就以幾個(gè)例子說(shuō)明零輸入響應(yīng)的求解方法。【例5-10】已知一系統(tǒng)的差分方程為y(n)-3y(n-1)+2y(n-2)=f(n-1)-3f(n-2)yx(0)=0,yx(1)=1,求yx(n)。解特征方程為λ2-3λ+2=0解得特征根為λ1=1,λ2=2,是兩不等單根，所以代入初始條件計(jì)算C1,C2,得所以yx(n)=-1+2n,

n≥0【例5-11】已知一系統(tǒng)的差分方程為

y(n+4)-2y(n+3)+2y(n+2)-2y(n+1)+y(n)=f(n+2)yx(1)=1,yx(2)=0,yx(3)=1,yx(5)=1,求yx(n)。解差分方程的特征方程為λ4-2λ3+2λ2-2λ+1=0解得特征根為λ1=λ2=1(二重根)，λ3=j,λ4=-j,所以代入初始值，可以得到

C1+C2+j(C3-C4)=yx(1)=12C1+C2-(C3+C4)=yx(2)=03C1+C2-j(C3-C4)=yx(3)=15C1+C2+j(C3-C4)=yx(5)=1由此方程組解得所以【例5-12】因果系統(tǒng)的差分方程為y(n)+2y(n-1)=f(n),其中，激勵(lì)信號(hào)f(n)=U(n),且已知y(0)=-1,求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。解已知特征根為λ=-2,所以yx(n)=C(-2)n,

n≥0因?yàn)閚=0時(shí),y(0)=-2y(-1)+f(0)=-2y(-1)+1所以yx(0)≠y(0)。為此，先求出y(-1)。

當(dāng)n=-1時(shí),f(n)=0,故yx(-1)=y(-1),因此,根據(jù)齊次方程即可得到y(tǒng)x(0)=-2yx(-1)=-2y(-1)=-2將此“零輸入”下的初始條件代入yx(n),得C=y

x(0)=-2于是yx(n)=-2(-2)n=(-2)n+1,

n≥05.4.2用MATLAB求解離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)【例5-13】用MATLAB求解【例5-10】。解求解代碼如下：

%programch5-13n=0:15;yx(1)=0;yx(2)=1;

%設(shè)定初始條件

form=3:length(n)

yx(m)=3*yx(m-1)-2*yx(m-2);

%遞推求解endstem(n,yx);運(yùn)行結(jié)果如圖5-15所示。圖5-15

【例5-13】運(yùn)行結(jié)果【例5-14】用MATLAB實(shí)現(xiàn)【例5-12】。解求解代碼如下：

%programch5-14［fn1］=stepN(0,0,15);

subplot(2,1,1);

stem(n1,f);

title(′f(n)′);

n2=n1;

y0=-1;

f0=f(1);

y_1=1/2*(f0-y0);yx_1=y_1;yx0=-2*yx_1;

%求yx0yx(1)=yx0;

%設(shè)定初始狀態(tài)form=2:length(n2)

yx(m)=-2*yx(m-1);endsubplot(2,1,2);stem(n2,yx);title(′yx(n)′);運(yùn)行結(jié)果如圖5-16所示。圖5-16

【例5-14】圖5.5離散系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)

5.5.1單位樣值響應(yīng)的定義及求解當(dāng)激勵(lì)信號(hào)為δ(n)時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位樣值響應(yīng)，用h(n)表示。這里順便指出，當(dāng)激勵(lì)為U(n)時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，用g(n)表示。h(n)與g(n)的示意圖如圖5-17所示。

圖5-17單位樣值響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)下面僅討論因果離散LTI系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)?！纠?-15】已知某因果系統(tǒng)的差分方程為y(n)+3y(n-1)+2y(n-2)=2f(n-1)+f(n-2)求該系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)h(n)。解(1)設(shè)h1(n)為系統(tǒng)y(n)+3y(n-1)+2y(n-2)=f(n)的單位樣值響應(yīng)，易知特征根為λ1=-1,λ2=-2,所以初始條件為h1(-1)=h2(-2)=0因此h1(0)=-3h1(-1)-2h1(-2)+δ(0)=1h1(1)=-3h1(0)-2h1(-1)+δ(1)=-3由此得到求系數(shù)C1,C2的方程組解得C1=-1,C2=2所以h1(n)=[(-1)n+1+2(-2)n]U(n)(2)根據(jù)線性時(shí)不變性質(zhì)，原系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)為

h(n)=2h1(n-1)+h1(n-2)

=2[(-1)n+2(-2)n-1]U(n-1)+[(-1)n-1+2(-2)n-2]U(n-2)

=0.5δ(n)+(-1)nU(n)-1.5(-2)nU(n)【例5-16】某因果系統(tǒng)差分方程式為y(n)-2y(n-1)+y(n-2)=f(n),求系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)。解系統(tǒng)的特征方程為λ2-2λ+1=0,特征根λ1=λ2=1。于是h(n)可表示為

h(n)=(C1n+C2)U(n)由h(-1)=h(-2)=0,所以

h(0)=2h(-1)-h(-2)+δ(0)=1h(1)=2h(0)-h(-1)+δ(1)=2于是得到求系統(tǒng)C1,C2的方程為

解得C1=1,C2=1因此h(n)=(n+1)U(n)在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中曾利用系統(tǒng)函數(shù)求拉氏逆變換的方法確定沖激響應(yīng)h(t),與此類似，在離散時(shí)間系統(tǒng)中，也可利用系統(tǒng)函數(shù)求逆z變換來(lái)確定單位樣值響應(yīng)。一般情況下，這是一種較為簡(jiǎn)便的方法，將在第6章詳述。5.5.2用MATLAB求解離散系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)

MATLAB提供了函數(shù)impz求解離散系統(tǒng)的樣值響應(yīng)，其一般調(diào)用方式為[H,T]=impz(b,a,N)其中，H是系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)，T是輸出序列的位置向量，a,b分別是系統(tǒng)差分方程左、右端的系數(shù)向量，N是樣值響應(yīng)的位置向量，如果N是整數(shù)，T=0∶N-1,否則N為向量時(shí)T=N?！纠?-17】已知因果系統(tǒng)的差分方程為y(n)-1.4y(n-1)+0.48y(n-2)=2f(n),求單位樣值響應(yīng)h(n),并與理論值比較。解h(n)的理論值可以求得為h(n)=8(0.8)n-6(0.6)n,n≥0用MATLAB求h(n)的代碼如下。

%programch5-17

b=2;

a=［1-1.40.48］;

n=0:15;

h=impz(b,a,n);hk=8*0.8.^n-6*0.6.^n;subplot(2,1,1);stem(n,hk);title(′h(n)intheory′);subplot(2,1,2);stem(n,h);title(′h(n)computedbyMATLAB′);運(yùn)行結(jié)果如圖5-18所示。圖5-18

【例5-17】圖【例5-18】用MATLAB求解【例5-15】。解求解的代碼如下：

%programch5-18

n=0:15;

a=［132］;

b=［021］;

h=impz(b,a,n);

subplot(2,1,1);

stem(n,h)

title(′h(n)

computedbyMATLAB′);h1=0.5*delta(0,n(1),n(end))+(-1).^n.*stepN(0,n(1),n(end))-1.5*(-2).^n.*stepN(0,n(1),n(end));subplot(2,1,2);stem(n,h1);title(′h(n)intheory′);運(yùn)行結(jié)果如圖5-19所示。圖5-19

【例5-18】圖【例5-19】用MATLAB求解【例5-16】。解求解代碼如下：%programch5-19n=0:15;a=［1-3/5-4/25］;b=［1］;h=impz(b,a,n);stem(n,h);title(′h(n)′);運(yùn)行結(jié)果如圖5-20所示。圖5-20

【例5-19】運(yùn)行結(jié)果5.6離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)——卷積和

與連續(xù)系統(tǒng)類似，當(dāng)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，僅由輸入f(n)所引起的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)，用yf(n)表示，如圖5-21所示。下面討論LTI離散系統(tǒng)對(duì)任意輸入的零狀態(tài)響應(yīng)。圖5-21離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)5.6.1卷積和的定義

任何離散信號(hào)f(n)都可以看成是δ(n)的移位相加所構(gòu)成，即(5-14)在LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中，首先把激勵(lì)信號(hào)分解為一系列沖激函數(shù)的疊加，然后求出各個(gè)沖激函數(shù)單獨(dú)作用于系統(tǒng)時(shí)的響應(yīng)，最后把這些響應(yīng)疊加即可得到系統(tǒng)對(duì)該信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)。這個(gè)疊加的過(guò)程表現(xiàn)為求卷積積分。在LTI離散系統(tǒng)中，可以采用大致相同的方法進(jìn)行分析。由式(5-14)可知，任意離散信號(hào)均可分解為一系列移位樣值信號(hào)的疊加。如果系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)已知，那么，由時(shí)不變性不難求得每個(gè)移位樣值信號(hào)作用于系統(tǒng)的響應(yīng)。把這些響應(yīng)相加就得到系統(tǒng)對(duì)于該信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)。這個(gè)相加過(guò)程表現(xiàn)為求“卷積和”。將式(5-14)重寫得=…+f(-2)δ(n+2)+f(-1)δ(n+1)+f(0)δ(n)+f(1)δ(n-1)+…(5-15)因?yàn)棣?n)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)為h(n),表示為δ(n)→h(n)根據(jù)LTI系統(tǒng)的線性和時(shí)不變性，有

f(-2)δ(n+2)→f(-2)h(n+2)

f(-1)δ(n+1)→f(-1)h(n+1)

f(0)δ(n)→f(0)h(n)

f(1)δ(n-1)→f(1)h(n-1)

f(m)δ(n-m)→f(m)h(n-m)所以f(n)激勵(lì)下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為即記(5-16)則稱式(5-16)為f(n)與h(n)的卷積和，仍簡(jiǎn)稱為卷積。于是得到y(tǒng)f(n)=f(n)*h(n)(5-17)這便得LTI離散系統(tǒng)在任意激勵(lì)下零狀態(tài)響應(yīng)的時(shí)域計(jì)算公式。公式表明零狀態(tài)響應(yīng)等于激勵(lì)信號(hào)和系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)的卷積。對(duì)式(5-16)進(jìn)行變量置換可得到卷積和的另一種表示(5-18)這表明，兩序列進(jìn)行卷積的次序是無(wú)關(guān)緊要的，可以互換。卷積和公式(5-16)可以推廣至任意兩個(gè)序列的情形，即任意兩個(gè)序列f1(n)和f2(n)的卷積定義為(5-19)若記Wn(m)=f1(m)f2(n-m)式中m為自變量，n看做常量，那么(5-20)如果序列f1(m)為因果序列，即有n<0,f1(n)=0,則式(5-19)中求和下限可改寫為零，于是(5-21)如果f1(n)不受限制，而f2(n)為因果序列,那么式(5-20)中，當(dāng)n-m<0,即m>n時(shí)，f2(n-m)=0,因而求和的上限可改寫為n,故(5-22)如果f1(n),f2(n)均為因果序列，則(5-23)表明兩因果序列的卷積仍為因果序列。5.6.2卷積和的性質(zhì)

1.交換律

f1(n)*f2(n)=f2(n)*f1(n)(5-24)式(5-24)說(shuō)明，輸入為f1(n)而單位樣值響應(yīng)為f2(n)的系統(tǒng)的響應(yīng)，與輸入為f2(n)而單位樣值響應(yīng)為f1(n)的系統(tǒng)的響應(yīng)完全一樣。2.分配律

f1(n)*[f2(n)+f3(n)]=f1(n)*f2(n)+f1(n)*f3(n)(5-25)式(5-25)可直接由卷積的定義證明(略)。卷積和的分配律說(shuō)明，圖5-22(a)所示的并聯(lián)系統(tǒng)，可以用圖5-22(b)所示的單個(gè)系統(tǒng)來(lái)等效，圖5-22(b)的單位樣值響應(yīng)h(n),是圖5-22(a)中并聯(lián)的各子系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)h1(n)與h2(n)之和。即h(n)=h1(n)+h2(n)圖5-22卷積和的分配律3.結(jié)合律

f1(n)*f2(n)*f3(n)=f1(n)*{f2(n)*f3(n)}

=f2(n)*{f1(n)*f3(n)}

(5-26)結(jié)合律說(shuō)明，一個(gè)級(jí)聯(lián)的LTI離散系統(tǒng)，一般也可以隨意交換級(jí)聯(lián)的次序而不影響結(jié)果。圖5-23正說(shuō)明了這一點(diǎn)。因?yàn)?/p>

f1(n)*h1(n)*h2(n)*h3(n)=f1(n)*h2(n)*h3(n)*h1(n)圖5-23卷積和的結(jié)合律4.序列與δ(n)的卷積f(n)*δ(n)=f(n)(5-27)同樣f(n)*δ(n-m)=f(n-m)(5-28)5.移不變性

若f1(n)*f2(n)=y(n)則f1(n-m)*f2(n+k)=y(n-m+k)(5-29)6.序列與單位階躍序列的卷積(5-30)證明：根據(jù)卷積和的定義有特別，若f(n)為因果序列時(shí)5.6.3卷積和的計(jì)算

1.定義法

例5-20】求序列f(n)與δ(n)的卷積和。解根據(jù)卷積和的定義有【例5-21】求序列與單位階躍序列的卷積和。解根據(jù)卷積和的定義有特別，若f(n)為因果序列時(shí)，有

2.圖解法

利用式(5-14)計(jì)算卷積時(shí)，參變量n的不同取值往往會(huì)使實(shí)際的求和上、下限發(fā)生變化。因此，正確劃分n的不同區(qū)間并確定相應(yīng)的求和上、下限是十分關(guān)鍵的步驟。這可以借助作圖的方法解決，故稱為圖解法。圖解法計(jì)算f1(n)與f2(n)卷積的過(guò)程如下。

(1)以m為自變量作出f1(m)和f2(n-m)的信號(hào)波形。其中f2(n-m)是先將f2(m)反折得到f2(-m),然后將f2(-m)平移n得到(n>0時(shí)，f2(-m)向右移n個(gè)單位；n<0時(shí)，f2(-m)向左移|n|個(gè)單位)。

(2)從負(fù)無(wú)窮處(即n=-∞)將f2(n-m)逐漸向右移動(dòng)，根據(jù)f2(n-m)與f1(m)波形重疊的情形劃分n的不同區(qū)間，確定各區(qū)間上Wn(m)的表達(dá)式以及相應(yīng)的求和上、下限。

(3)對(duì)每個(gè)區(qū)間，將相應(yīng)的Wn(m)對(duì)m求和，得到該區(qū)間的卷積和f(n)?！纠?-22】已知f(n)=U(n-1)-U(n-8),,求y(n)=f(n)*h(n)。解用圖解法求解。(1)作出f(m)和h(n-m)的波形如圖5-24(a)所示。(2)當(dāng)n<1,Wn(m)=0,故y(n)=0,如圖5-24(b)所示。(3)當(dāng)1≤n<3時(shí)，Wn(m)表示式為所以波形如圖5-24(c)所示。(4)當(dāng)3≤n<8時(shí)，Wn(m)的表示式為所以波形如圖5-24(d)所示。(5)當(dāng)8≤n≤9時(shí)，Wn(m)的表示式為所以波形如圖5-24(e)所示。(6)當(dāng)n>9時(shí)，Wn(m)=0,故y(n)=0。將上述結(jié)果綜合起來(lái)，得其波形如圖5-24(f)所示。圖5-24[例5-22]圖

3.豎乘法(對(duì)位相乘求和)我們僅以【例5-22】所給定的信號(hào)來(lái)說(shuō)明這種方法的求解過(guò)程。首先將f(n)和h(n)分別表示為f(n)={1,1,1,1,1,1,1}1

然后將兩序列樣值以各自n的最高值按右端對(duì)齊，如下排列并做乘法乘積的結(jié)果便是序列y(n)的各樣值，且y(n)的起始點(diǎn)坐標(biāo)為兩序列起始點(diǎn)坐標(biāo)之和。即結(jié)果與【例5-22】完全相同。與作圖法相比，當(dāng)兩序列是有限長(zhǎng)序列時(shí)，豎乘法更為便捷。但值得注意的是，在用豎乘法過(guò)程中，不能進(jìn)位。

4.利用性質(zhì)將兩信號(hào)分別用δ(n)的移位加權(quán)和來(lái)表示，再利用卷積和的性質(zhì)來(lái)計(jì)算。仍以【例5-22】所給定的信號(hào)說(shuō)明這種方法的計(jì)算過(guò)程。f(n)可以表示為f(n)=δ(n-1)+δ(n-2)+…+δ(n-7)h(n)可以表示為于是5.6.4卷積和及系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的MATLAB實(shí)現(xiàn)1.離散系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的MATLAB求解

MATLAB中的函數(shù)filter可以用來(lái)計(jì)算離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，其一般調(diào)用方式為

y=filter(b,a,x)其中，x是輸入序列，y是與x等長(zhǎng)的輸出序列，a,b分別是差分方程左、右兩端的系數(shù)向量?！纠?-23】已知系統(tǒng)差分方程為y(n)-0.9y(n-1)=f(n),,求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)并繪圖表示。解求解的MATLAB代碼如下：

%programch5-23

b=1;

a=［1-0.9］;

n=0:30;

f=cos(pi*n/3);

y=filter(b,a,f);

stem(n,y);運(yùn)行結(jié)果如圖5-25所示。圖5-25

【例5-23】圖

2.卷積和的計(jì)算離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)也可用卷積和來(lái)求得，MATLAB中提供了conv函數(shù)用于計(jì)算卷積和，它也可以用來(lái)計(jì)算多項(xiàng)式相乘。其調(diào)用方式為

y=conv(x,h)其中，x，h是做卷積的序列，y是卷積的結(jié)果。【例5-24】用卷積和的方法求上例的零狀態(tài)響應(yīng)，并與上面結(jié)果比較。解實(shí)現(xiàn)代碼如下：

%programch5-24

b=1;

a=［1-0.9］;

n=0:30;

h=impz(b,a,n);

f=cos(pi*n/3);

y1=conv(f,h);

%k=0:((length(h)+length(f)-1)-1);subplot(2,1,1);stem(n,y1(1:length(n)));title(′zerostateresponsecomputedbyconv′);y2=filter(b,a,f);subplot(2,1,2);stem(n,y2);title(′zerostateresponsecomputedbyfilter′);運(yùn)行結(jié)果如圖5-26所示。圖5-26

【例5-24】圖【例5-25】用MATLAB實(shí)現(xiàn)【例5-22】。解實(shí)現(xiàn)代碼如下：

%programch5-25

n1=1:7;

f=ones(1,7);

n2=0:2;

h=［1/21/21/2］;

y=conv(f,h);

%n=1:length(y)-1;

n=n1(1)+n2(1):n1(end)+n2(end)

stem(n,y);運(yùn)行結(jié)果如圖5-27所示。圖5-27

【例5-25】運(yùn)行結(jié)果5.7離散系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)域分析

5.7.1離散系統(tǒng)的時(shí)域分析

LTI離散系統(tǒng)的時(shí)域分析是將響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)yx(n)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(n)之和，分別求出系統(tǒng)的yx(n)和yf(n),兩者相加即為系統(tǒng)的全響應(yīng)y(n)=yx(n)+yf(n)

(5-31)

其中下面舉例說(shuō)明時(shí)域分析的過(guò)程?！纠?-26】已知因果系統(tǒng)的差分方程為y(n)-2.5y(n-1)+y(n-2)=f(n),且y(-1)=2,y(-2)=-1。求f(n)=U(n)時(shí)系統(tǒng)的全響應(yīng)。解(1)求yx(n)。易知特征方程為λ2-2.5λ+1=0,解得特征根λ1=0.5,λ2=2,所以yx(n)=C1(0.5)n+C22n,

n≥0因?yàn)閥x(n)的表達(dá)式只適用于n≥0,而題設(shè)初始條件為y(-1),y(-2),故先由齊次差分方程用迭代求出yx(0)和yx(1),再代入上式求C1和C2。因?yàn)閚<0時(shí)，f(n)=0,所以yx(-1)=y(-1)=2,yx(-2)=y(-2)=-1,由齊次差分方程可得yx(0)=2.5yx(-1)-yx(-2)=6yx(1)=2.5yx(0)-yx(-1)=13代入yx(n)表達(dá)式中,得解此方程組，得故

(2)求yf(n)。首先求單位樣值響應(yīng)h(n)。由差分方程可知h(n)與yx(n)有相同的函數(shù)形式，所以

h(n)=C1(0.5)n+C22n,

n≥0

因?yàn)閔(n)是零狀態(tài)響應(yīng)，所以h(-1)=h(-2)=0,從而h(0)=2.5h(-1)-h(-2)+δ(0)=1h(1)=2.5h(0)-h(-1)+δ(1)=2.5代入h(n)表達(dá)式，有解得所以于是(利用式(5-23))利用等比數(shù)列求和公式可得所以

【例5-27】已知因果系統(tǒng)的差分方程為y(n)+3y(n-1)+2y(n-2)=f(n),y(0)=0,y(1)=2,f(n)=2nU(n),求y(n)。解(1)求yx(n)。易求得特征根為λ1=-1,λ2=-2,故

yx(n)=C1(-1)n+C2(-2)n,

n≥0①本例中yx(0)≠y(0),yx(1)≠y(1),因此不能將y(0)=0,y(1)=2代入yx(n)中求C1和C2。要求C1和C2,必須求出yx(n)的兩個(gè)初始條件。因?yàn)閷(0)=0,y(1)=2代入可解得因?yàn)閚<0時(shí)，f(n)=0,故此時(shí)yx(-1)=y(-1)=0，，代入yx(n)中，得解得C1=1,C2=-2則yx(n)=(-1)n+(-2)n+1,

n≥-2②從嚴(yán)格意義上講，yx(n)應(yīng)為式②,但為了方便，往往將yx(n)限定為n≥0。故

yx(n)=(-1)n+(-2)n+1,

n≥0

(2)求yf(n)。先計(jì)算單位樣值響應(yīng)h(n)。易知h(n)具有以下形式h(n)=[C1(-1)n+C2(-2)n]U(n)而初始條件h(-1)=h(-2)=0由差分方程可得h(0)=-3h(-1)-2h(-2)+δ(0)=1h(1)=-3h(0)-2h(-1)+δ(1)=-3代入h(n)表達(dá)式，得所以h(n)=[(-1)n+1+2(-2)n]U(n)所以于是【例5-28】已知因果系統(tǒng)的差分方程為y(n)-2y(n-1)=f(n-1),求f(n)=U(n+1)-U(n-2)作用下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解設(shè)系統(tǒng)y(n)-2y(n-1)=f(n)的單位樣值響應(yīng)為h1(n),則h(n)=h1(n-1)。易知h1(n)=C(2)nU(n),h1(-1)=0,h1(0)=2h1(-1)+δ(0)=1代入h1(n)得C=1h1(n)=2nU(n)從而h(n)=h1(n-1)=2n-1U(n-1)所以yf(n)=f(n)*h(n)=2n-1U(n-1)*[U(n+1)-U(n-2)]令y1(n)=2nU(n)*U(n)則由卷積的時(shí)不變性質(zhì)可得5.7.2離散系統(tǒng)時(shí)域分析的MATLAB實(shí)現(xiàn)

用MATLAB的f