《應用數(shù)值分析》課件數(shù)值分析6非線性方程(組)求根

第6章非線性方程(組)求根

中至少有一個是x的非線性函數(shù)，若其全為線性的則為線性方程組。6.1問題描述

含有n個未知數(shù)的n個方程的非線性方程組為

(1)其中為n維列向量，非線性方程組包括：

高次方程組,即代數(shù)方程組超越方程組產生背景:許多科學理論與工程技術都可化為非線性方程組求解的特點：

無求解公式，無直接解法，

難求得精確解。求解的方法：間接法即迭代法。迭代法求解的要求：

收斂

計算效率(快慢)

數(shù)值穩(wěn)定性(考慮計算機的舍入誤差)初始值好迭代公式合適(好的)定義定理1（零點定理）一個零點多個零點6.2根的搜索][][[][][]…證明（思路）區(qū)間套二分法停止規(guī)則1.先驗估計2.后驗估計1.一般迭代法及其收斂性

6.3迭代法及其收斂性簡單迭代收斂情況的幾何解釋簡單迭代收斂情況的幾何解釋xyy=xxyy=xx*x*x0p0x1p1

x0p0x1p1

例6.3.12.迭代法的收斂性

（收斂定理）證:

1o由微分中值定理2o~4o注：L越小，收斂越快。定理6.3.1指出:只要構造的迭代函數(shù)滿足

迭代法的收斂階(收斂速度)

若有實數(shù)c>0,p≥1,使

則稱是p階收斂,相應的迭代法稱為p階方法.特別地,

定義6.3.2

:設p=1時,稱為線性收斂;1<p<2時,稱為超線性收斂p=2時,稱為平方收斂或二次收斂。迭代p階收斂的充分條件6.4方程求根的牛頓法6.4.1.一元方程牛頓法

——Taylor展開線性化（重要思想）Newton迭代法的幾何意義

Newton迭代法需要求每個迭代點處的導數(shù)復雜！這種格式稱為簡化Newton迭代法精度稍低Newton法的改進無論哪種迭代法：Newton迭代法簡化Newton法用Newton迭代法求解:x0=1x1=2.5000x2=1.9296x3=1.7079x4=1.6726x5=1.6717x6=1.6717是否收斂均與初值的位置有關.例3

x0=0x1=-3.0000x2=-1.9615x3=-1.1472x4=-0.0066x5=-3.0004x6=-1.9618收斂發(fā)散迭代法的局部收斂性改進的Newton迭代擬Newton法（Broyden方法）離散Newton法簡化Newton迭代6.6.非線性方程組的迭代法例

設有非線性方程組把它寫成等價形式

并由此構造不動點迭代法

取初始點。計算結果列于表1，可見迭代收斂到方程的解表k012…181900.80.928…0.9999999720.99999998900.80.931…0.9999999720.9999999896.6.2.非線性方程組的Newton法對于非線性方程組，也可構造類似于一元方程的Newton迭代法。設是方非線性程組的解，是方程組的一個近似解?？梢?，Newton法的收斂速度比例1中的迭代法（4）要快的多。表

k0123400.800.9917872210.9999752291.0000000000.880.9917117