《機(jī)械設(shè)計(jì)基礎(chǔ) 》課件第2章

第2章平面力系2.1平面匯交力系

2.2力矩與平面力偶系

2.3平面任意力系

2.4考慮摩擦力的平衡問(wèn)題思考與練習(xí)題為了便于研究，通常將力系按作用線的分布情況進(jìn)行分類。各力作用線都在同一平面內(nèi)的力系稱為平面力系。各力作用線不在同一平面內(nèi)的力系稱為空間力系。在這兩種力系中，作用線交于一點(diǎn)的稱為匯交力系，作用線相互平行的稱為平行力系，作用線既不完全交于一點(diǎn)又不完全平行的稱為一般力系。按由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律，首先研究平面力系。如圖2-1(a)和(b)所示為起重機(jī)的吊鉤所受鋼絲繩的拉力F1、F2和F3的作用，如圖2-1(c)所示為在磚砌基座上的鍋爐受重力G和反力FNA和FNB的作用，這些都是平面匯交力系的工程實(shí)例。

圖2-1平面匯交力系的工程實(shí)例

2.1.1力的分解

由上一章知道，兩個(gè)共作用點(diǎn)的力，可以合成為一個(gè)合力，解是惟一的；但反過(guò)來(lái)，要將一個(gè)已知力分解為兩個(gè)力，如無(wú)足夠的條件限制，其解將是不定的。因?yàn)榘戳Φ钠叫兴倪呅喂鞦＝F1＋F2，其中每個(gè)矢量都包含大小和方向兩個(gè)要素，則上式中就有六個(gè)要素，必須已知其中四個(gè)才能確定其余兩個(gè)。即在已知合力的大小和方向的條件下，還必須給出另外兩個(gè)條件：2.1平面匯交力系如兩分力的方向，或兩分力的大小，或一個(gè)分力的大小和方向，或一個(gè)分力的大小和另一分力的方向等。所以要使問(wèn)題有確定的解，必須附加足夠的條件。

在工程中常會(huì)遇到要將一個(gè)力沿已知方向分解，求兩分力大小的問(wèn)題。2.1.2力在坐標(biāo)軸上的投影

設(shè)力F作用在物體上的A點(diǎn)，如圖2-2所示。在力F作用線所在平面內(nèi)取直角坐標(biāo)系Oxy。

從力F的兩端A和B分別向x軸作垂線，得垂足a、b，線段ab稱為力F在軸x上的投影，用Fx表示。同樣，從A和B分別向y軸作垂線，得垂足a1、b1，線段a1b1稱為力F在軸y上的投影，用Fy表示。

必須注意，力的投影是代數(shù)量，它的正負(fù)規(guī)定如下：如由a到b(或由a1到b1)的趨向與x軸(或y軸)的正向一致時(shí)，則力F的投影Fx(或Fy)取正值；反之，取負(fù)值。

圖2-2力在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的投影若已知力F的大小為F，它和x軸的夾角為α(取銳角)，則力在坐標(biāo)軸上的投影Fx、Fy可以按下式計(jì)算：

(2-1)

若已知力F在直角坐標(biāo)軸上的投影Fx、Fy、則該力的大小和方向?yàn)?/p>

(2-2)

2.1.3合力投影定理

合力投影定理是用解析法求解平面匯交力系合成與平衡問(wèn)題的理論依據(jù)。若剛體在平面上的一點(diǎn)作用著n個(gè)力F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n，按兩個(gè)力合成的平行四邊形法則依次類推，從而得出力系的合力等于各分力的矢量和，即

F＝F1＋F2＋…＋Fn＝∑F

則其合力的投影

Fx＝F1x＋F2x＋…＋Fnx＝∑Fx

Fy＝F1y＋F2y＋…＋Fny＝∑Fy

式(2-3)表明，合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。這就是合力投影定理。(2-3)2.1.4平面匯交力系的平衡條件

由式(2-2)和式(2-3)可以看出，平面匯交力系可以合成為一個(gè)合力，即平面匯交力系可用其合力來(lái)代替。顯然，如果合力等于0，則物體在平面匯交力系的作用下處于平衡狀態(tài)，由此可以得出結(jié)論：平面匯交力系平衡的必要和充分條件是該力系的合力F等于0。即

(2-4)

而要使式(2-4)成立，則必須同時(shí)滿足

(2-5)

由此可知：平面匯交力系平衡的必要和充分條件是力系中所有力在任選兩個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和均為0。

式(2-5)為平面匯交力系平衡的解析條件，也稱為平面匯交力系的平衡方程。在列平衡方程時(shí)，由于坐標(biāo)軸是可以任意選取的，因此可以列出任意數(shù)目的平衡方程。但是，獨(dú)立的平衡方程只有兩個(gè)，因此對(duì)于一個(gè)具體的平面匯交力系，只能求解兩個(gè)未知量。

例2-1

如圖2-3(a)所示為一吊環(huán)受到三條鋼絲繩的拉力作用。已知F1＝2000N，水平向左；F2＝5000N，與水平成30°角；F3＝3000N，鉛直向下。試求合力大小。

解以作用于吊環(huán)上的三力交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2-3(b)所示的坐標(biāo)系。首先分別計(jì)算各力的投影。

F1x＝－F1＝－2000N

F2x＝－F2cos30°＝－5000×0.866N＝－4330N

F3x＝0

F1y＝0

F2y＝－F2sin30°＝－5000×0.5N＝－2500N

F3y＝－F3＝－3000N

圖2-3吊環(huán)

由式(2-2)和式(2-3)可得

Fx＝∑Fx＝(－2000－4330＋0)N＝－6330N

Fy＝∑Fy＝(0－2500－3000)N＝－5500N

由于Fx、Fy都是負(fù)值，因此合力應(yīng)在第三象限(如圖2-3(b)所示)。

例2-2

如圖2-4(a)所示為一簡(jiǎn)易起重機(jī)裝置，重量G＝2kN的重物吊在鋼絲繩的一端，鋼絲繩的另一端跨過(guò)定滑輪A，繞在絞車D的鼓輪上，定滑輪用直桿AB和AC支承，定滑輪半徑較小，大小可忽略不計(jì)，定滑輪、直桿以及鋼絲繩的重量不計(jì)，各處接觸都為光滑。試求當(dāng)重物被勻速提升時(shí)，桿AB、AC所受的力。

圖2-4簡(jiǎn)易起重機(jī)裝置

解因?yàn)闂UAB、AC都與滑輪接觸，所以桿AB、AC上所受的力都可以通過(guò)其對(duì)滑輪的反力求出。因此，取滑輪為研究對(duì)象，作出它的受力圖，并以其中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖2-4(b)所示。由平面匯交力系平衡條件列平衡方程有

∑Fy＝0，－FNACsin30°－Fcos30°－G＝0

得再由

∑Fx＝0，－FNAB－FNACcos30°－Fsin30°＝0

可得

FNAC為負(fù)值，表明FNAC的實(shí)際指向與假設(shè)方向相反，即AC桿為受壓桿件。通過(guò)以上例題，我們可以看出靜力學(xué)分析的方法在求解靜力學(xué)平衡問(wèn)題中的重要性。下面就將有關(guān)靜力學(xué)平衡問(wèn)題的一般方法和步驟作以總結(jié)：

(1)選擇研究對(duì)象。所選研究對(duì)象應(yīng)與已知力(或已求出的力)、未知力有直接關(guān)系，這樣才能應(yīng)用平衡條件由已知條件求未知力。在分析構(gòu)件受力時(shí)，應(yīng)先以受力簡(jiǎn)單并能由已知力求得未知力的構(gòu)件作為研究對(duì)象，然后再以受力較復(fù)雜的構(gòu)件作為研究對(duì)象。

(2)畫(huà)受力圖。根據(jù)研究對(duì)象所受外部載荷、約束及其性質(zhì)，對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析并得出它的受力圖。

(3)建立坐標(biāo)系，根據(jù)平衡條件列解平衡方程。在建立坐標(biāo)系時(shí)，最好有一軸與一個(gè)未知力垂直。根據(jù)平衡條件列解平衡方程時(shí)，要注意各力投影的正負(fù)號(hào)。如果計(jì)算結(jié)果中出現(xiàn)負(fù)號(hào)時(shí)，說(shuō)明原假設(shè)方向與實(shí)際受力方向相反。

2.2.1力對(duì)點(diǎn)之矩

1.力對(duì)點(diǎn)之矩的概念

在長(zhǎng)期的生產(chǎn)活動(dòng)中人們認(rèn)識(shí)到，力不僅能使物體產(chǎn)生移動(dòng)，還能使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)。例如，在利用扳手?jǐn)Q螺母時(shí)，扳手連同螺母一起繞螺母的中心線轉(zhuǎn)動(dòng)。由經(jīng)驗(yàn)可知，松緊螺母的效應(yīng)不僅與作用力的大小和方向有關(guān)，而且還與力的作用線到螺母中心線的相對(duì)位置有關(guān)。2.2力矩與平面力偶系

圖2-5扳手工作簡(jiǎn)圖在工程中將表述力使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的物理量稱為力矩。如圖2-5所示為扳手及其所受力在垂直于螺母中心線的平面上的投影。圖中螺母中心線在平面上的投影點(diǎn)O稱為力矩中心(簡(jiǎn)稱矩心)，力的作用線到力矩中心O點(diǎn)的距離d稱為力臂，力使扳手繞O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)取決于力F的大小與力臂d的乘積及力矩的轉(zhuǎn)動(dòng)方向。力對(duì)點(diǎn)之矩用MO(F)來(lái)表示，即

MO(F)＝±Fd (2-6)

力對(duì)點(diǎn)之矩是一代數(shù)量，式中的正負(fù)號(hào)用來(lái)表明力矩的轉(zhuǎn)動(dòng)方向。一般規(guī)定為：力使物體繞矩心作逆時(shí)針?lè)较騽?dòng)時(shí)，力矩取正號(hào)；反之，取負(fù)號(hào)。力矩的單位是N·m。由力矩的定義可知：

(1)若將力F沿其作用線移動(dòng)，則因?yàn)榱Φ拇笮?、方向和力臂都沒(méi)有改變，所以不會(huì)改變?cè)摿?duì)某一矩心的力矩。

(2)若F＝0，則MO(F)＝0；若MO(F)＝0而F≠0，則必須是d＝0，即力F通過(guò)O點(diǎn)。所以，力矩等于零的條件是：力等于零或力的作用線通過(guò)矩心。

2.合力矩定理

在力矩的計(jì)算過(guò)程中，有時(shí)力臂的計(jì)算較煩瑣，所以經(jīng)常利用分力對(duì)某點(diǎn)之矩和合力對(duì)該點(diǎn)之矩的關(guān)系來(lái)計(jì)算，即下面要討論的合力矩定理。

定理1

平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任意一點(diǎn)之矩，等于其所有分力對(duì)同一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和，即

(2-7)

該定理不僅適用于正交的兩個(gè)分力系，對(duì)任何有合力的力系均成立。

3.力對(duì)點(diǎn)之矩的求法

通常在求平面內(nèi)力對(duì)某點(diǎn)的矩時(shí)，一般采用以下兩種方法：

(1)用力矩的定義式，即力和力臂的乘積求力矩。這種方法的關(guān)鍵在于確定力臂d。需要注意的是，力臂d是矩心到力作用線的距離，即力臂必須垂直于力的作用線。

(2)運(yùn)用合力矩定理求力矩。在工程實(shí)際中，有時(shí)力臂的幾何關(guān)系較復(fù)雜，不易確定時(shí)，可將作用力正交分解為兩個(gè)分力，然后應(yīng)用合力矩定理求原力對(duì)矩心的力矩。

圖2-6例2-3圖

例2-3

如圖2-6所示，構(gòu)件OBC的O端為鉸鏈支座約束，力F作用于C點(diǎn)，其方向角為a，又知OB＝l，BC＝h，求力F對(duì)O點(diǎn)的力矩。

解

(1)利用力矩的定義進(jìn)行求解。

如圖，過(guò)點(diǎn)O作出力F作用線的垂線，與其交于a點(diǎn)，則力臂d即為線段Oa。再過(guò)B點(diǎn)作力線的平行線，與力臂的延長(zhǎng)線交于b點(diǎn)，則有

(2)利用合力矩定理求解。

由于力F的力臂d的幾何關(guān)系較為復(fù)雜，不易直接求出，因此可以利用合力矩定理求力矩。如圖，可先將力F分解成一對(duì)正交的分力FCx、FCy。則力F的力矩就可以用這兩個(gè)分力對(duì)點(diǎn)O的力矩的代數(shù)和求出。即

2.2.2力偶及其性質(zhì)

1.力偶的定義

在工程實(shí)踐中，常見(jiàn)物體受兩個(gè)大小相等、方向相反、作用線相互平行的力的作用，而使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)的事例。例如，用手?jǐn)Q水龍頭、轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤(pán)等，如圖2-7所示。在力學(xué)研究中，我們將作用在物體上的一對(duì)大小相等、方向相反、作用線相互平行的兩個(gè)力稱為力偶。記作(F，F(xiàn)')。

圖2-7力偶實(shí)例力偶是一個(gè)基本的物理量，具有一些獨(dú)特的性質(zhì)，它既不平衡，也不能合成為一個(gè)合力，只能使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。力偶兩個(gè)力所在的平面，稱為力偶作用面，兩力作用線之間的垂直距離，叫作力偶臂，以d來(lái)表示，力偶使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的方向稱為力偶的轉(zhuǎn)向。

力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，取決于力偶中的力與力偶臂的乘積，稱為力偶矩。記作M(F，F(xiàn)')或M，即

(2-8)

力偶同力矩一樣，是一代數(shù)量。其正負(fù)號(hào)只表示力偶的轉(zhuǎn)動(dòng)方向。通常規(guī)定，力偶逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)，力偶矩為正，反之為負(fù)。力偶矩的單位是N·m或kN·m。力偶矩的大小、力偶的轉(zhuǎn)向和力偶的作用平面稱為力偶的三要素。

2.力偶的性質(zhì)

(1)力偶無(wú)合力。力偶不能用一個(gè)力來(lái)等效，也不能用一個(gè)力來(lái)平衡，力偶只能用力偶來(lái)平衡。

由于力偶中的兩個(gè)力是等值、反向的，它們?cè)谌我庾鴺?biāo)軸上的投影的代數(shù)和恒為0，因此，力偶對(duì)物體只有轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)而無(wú)移動(dòng)效應(yīng)。從而，力偶對(duì)物體的作用效果不能用一個(gè)力來(lái)代替，也不能用一個(gè)力來(lái)平衡?？梢詫⒘土ε伎闯山M成力系的兩個(gè)基本物理量。

圖2-8力偶

(2)力偶對(duì)其作用平面內(nèi)任一點(diǎn)的力矩，恒等于其力偶矩，而與矩心的位置無(wú)關(guān)。

如圖2-8所示，一力偶M(F，F(xiàn)')＝Fd，對(duì)于平面任意一點(diǎn)O的力矩，可用組成力偶的兩個(gè)力分別對(duì)O點(diǎn)力矩的代數(shù)和度量，記作MO(F，F(xiàn)')＝±Fd，即

(3)力偶的等效性。作用在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如果它們的力偶矩大小相等，力偶的轉(zhuǎn)向相同，則這兩個(gè)力偶是等效的。這稱為力偶的等效性。根據(jù)力偶的等效性，可以得出兩個(gè)推論：

推論1

力偶可以在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)而不改變它對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，即力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)與它在作用面內(nèi)的位置無(wú)關(guān)。

推論2

在保持力偶矩大小和力偶轉(zhuǎn)向不變的情況下，可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力臂的長(zhǎng)短，而不會(huì)改變力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。

值得注意的是，力偶的等效性僅適用于剛體，不適用于變形體。2.2.3平面力偶系的合成與平衡

作用在剛體上同一平面內(nèi)的多個(gè)力偶組成一個(gè)平面力偶系。

1.平面力偶系的合成

從力偶的性質(zhì)可知，力偶對(duì)物體只產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，而且轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的大小完全取決于力偶矩的大小及轉(zhuǎn)向。那么，對(duì)于物體內(nèi)某一平面內(nèi)受多個(gè)力偶組成的力偶系作用時(shí)，也只能使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。顯然，其力偶系對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的大小等于各力偶轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的總和，即平面力偶系可以合成為一個(gè)合力偶，其力偶矩等于分力偶矩的代數(shù)和。合力偶矩用M表示為

(2-9)2.平面力偶系的平衡

既然平面力偶系合成的結(jié)果為一個(gè)合力偶，因而要使力偶系平衡，就必須使合力偶矩等于0，即

∑M＝0 (2-10)

可見(jiàn)，平面力偶系平衡的充分必要條件是：力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于0。

例2-4

梁AB受一主動(dòng)力偶作用(如圖2-9(a)所示)，其力偶矩M＝100N·m，梁長(zhǎng)l＝5m，梁的自重不計(jì)，求兩支座的約束反力。

解(1)以梁為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析并畫(huà)出受力圖，如圖2-9(b)所示。

作用于梁上的有矩為M的力偶，兩支座的約束反力為FA、FB。由活動(dòng)鉸支座的約束性質(zhì)可知，F(xiàn)B的方位可定，而FA的方位不定。由于不計(jì)梁的自重，根據(jù)力偶只能用力偶來(lái)平衡的性質(zhì)，可知FA必須與FB組成一個(gè)力偶，即力FA必須與FB大小相等、方向相反、作用線平行。

圖2-9梁

(2)列解平衡方程。由 得

例2-5

電機(jī)軸通過(guò)聯(lián)軸器與工件相聯(lián)接，聯(lián)軸器上四個(gè)螺栓A、B、C、D的孔心均勻地分布在同一圓周上，如圖2-10所示，此圓周的直徑d＝150mm，電機(jī)軸傳給聯(lián)軸器的力偶矩M＝2.5kN·m，求每個(gè)螺栓所受的力。

圖2-10聯(lián)軸器

解以聯(lián)軸器為研究對(duì)象。作用于聯(lián)軸器上的有電動(dòng)機(jī)傳給聯(lián)軸器的力偶矩M、四個(gè)螺栓的約束反力。假設(shè)四個(gè)螺栓的受力均勻，則F1＝F2＝F3＝F4＝F，其方向如圖所示。由平面力偶系平衡條件可知，F(xiàn)1與F3、F2與F4組成兩個(gè)力偶，并與電動(dòng)機(jī)傳給聯(lián)軸器的力偶矩M平衡。據(jù)平面力偶系的平衡方程，有

解之得

如果作用在物體上的各力的作用線都在同一平面內(nèi)，既不相交于一點(diǎn)又不完全平行，則這樣的力系稱為平面任意力系。如圖2-11所示為起重機(jī)橫梁AB受平面任意力系的作用。2.3平面任意力系

圖2-11起重機(jī)橫梁2.3.1平面任意力系的簡(jiǎn)化

1.力的平移定理

由力的可傳性原理可知，作用于剛體上的力可沿其作用線在剛體內(nèi)移動(dòng)，而不改變其對(duì)剛體的作用效應(yīng)。但如果將力平行于其作用線移動(dòng)到剛體內(nèi)另一位置，則它對(duì)剛體的作用效應(yīng)將會(huì)改變。如何才能使力平移后對(duì)物體的作用不變？如圖2-12所示，欲將作用在剛體上A點(diǎn)的力F平行移動(dòng)到剛體內(nèi)任意一點(diǎn)O，按加減平衡公理，可在O點(diǎn)加上一對(duì)平衡力F'、F"，并且使F'

＝F

"

＝F。F和F"為一對(duì)等值、反向、不共線的平行力，組成了一個(gè)力偶，稱為附加力偶，其力偶矩為

圖2-12力的平移上式表示，附加力偶矩等于原力F對(duì)平移點(diǎn)的力矩。于是，在作用于剛體上平移點(diǎn)的F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效應(yīng)就與力F作用在A點(diǎn)時(shí)的等效。

由此可以得出：作用于剛體上的力，可平移到剛體上的任意一點(diǎn)，但必須附加一力偶，其附加力偶矩等于原力對(duì)平移點(diǎn)的力矩。此即為力的平移定理。

力的平移定理在理論和實(shí)際應(yīng)用方面都具有重要意義，它不僅是力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化的理論依據(jù)，而且還可以直接用來(lái)解決許多工程實(shí)際問(wèn)題。但是，這一定理只適用于剛體，對(duì)變形體一般不適用。

2.平面任意力系向平面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化

如圖2-13所示，在剛體上作用有一平面任意力系F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n，分別作用于點(diǎn)A1，A2，…，An。在力系所在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O作為簡(jiǎn)化中心，將力系中所有力分別平移到簡(jiǎn)化中心O處，且各附加一力偶，這樣就將平面任意力系簡(jiǎn)化為作用于簡(jiǎn)化中心O的平面匯交力系與一個(gè)由各附加力偶組成的附加平面力偶系，如圖2-13(b)所示。由平面匯交力系理論可知，作用于簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)的平面匯交力系可合成為一個(gè)力F'R，稱為平面任意力系的主矢，其作用線過(guò)簡(jiǎn)化中心點(diǎn)O，如圖2-13(c)所示。

主矢F'R的大小、方向?yàn)?/p>

(2-11)附加力偶M1，M2，…，Mn組成的平面力偶系的合力偶矩MO，稱為平面任意力系的主矩。由平面力偶系的合成可知，主矩等于各附加力偶矩的代數(shù)和。由于每一個(gè)附加力偶矩等于原力對(duì)平移點(diǎn)的力矩，因此主矩等于各分力對(duì)簡(jiǎn)化中心的力矩的代數(shù)和，作用在力系所在的平面上，如圖213(c)所示。

圖2-13平面任意力系的簡(jiǎn)化綜上所述，平面任意力系向平面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化，得到一個(gè)主矢F'R和一個(gè)主矩MO。主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再開(kāi)方，作用在簡(jiǎn)化中心上。其大小和方向與簡(jiǎn)化中心的選擇無(wú)關(guān)。主矩等于原力系各分力對(duì)簡(jiǎn)化中心力矩的代數(shù)和，其值一般與簡(jiǎn)化中心的選擇有關(guān)。

3.簡(jiǎn)化結(jié)果分析

平面任意力系向平面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化，得到一個(gè)主矢F'R

和一個(gè)主矩MO，但這不是力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果，如果進(jìn)一步分析簡(jiǎn)化結(jié)果，則有下列情況：

(1)若F'R≠0，MO≠0，則原力系簡(jiǎn)化為一個(gè)力和一個(gè)力偶。在這種情況下，根據(jù)力的平移定理，這個(gè)力和力偶還可以繼續(xù)合成為一個(gè)合力FR，其作用線離O點(diǎn)的距離為

利用主矩MO的轉(zhuǎn)向來(lái)確定合力F的作用線在簡(jiǎn)化中心的哪一側(cè)。

(2)若F'R≠0，MO＝0，則原力系簡(jiǎn)化為一個(gè)力。在這種情況下，附加力偶系平衡，主矢F′R即為原力系的合力FR，作用于簡(jiǎn)化中心。

(3)若F'R

＝0，MO≠0，則原力系簡(jiǎn)化為一個(gè)力偶，其矩等于原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。在這種情況下，簡(jiǎn)化結(jié)果與簡(jiǎn)化中心的選擇無(wú)關(guān)，即無(wú)論力系向哪一點(diǎn)簡(jiǎn)化都是一個(gè)力偶，且力偶矩等于主矩。

(4)若F'R

＝0，MO＝0，則原力系是平衡力系。2.3.2平面任意力系的平衡

1．平面任意力系的平衡條件

由上面內(nèi)容可知，當(dāng)平面任意力系簡(jiǎn)化后所得的主矢、主矩同時(shí)為0，即F'R

＝0，MO＝0時(shí)，平面任意力系處于平衡。同理，如果力系是平衡力系，則該力系向平面內(nèi)任意一點(diǎn)簡(jiǎn)化后所得的主矢、主矩必然為0。因此平面任意力系平衡的必要與充分條件為：F'R

＝0，MO＝0，即由此可得平面任意力系的平衡方程為

(2-12)

上式為平面任意力系平衡方程的基本形式，也稱為矩式方程。由于這是一組三個(gè)獨(dú)立方程，因此只能求解出三個(gè)未知量。

2．平面平行力系的平衡條件

如果平面力系中各力的作用線互相平行，則稱該平面力系為平行力系。如圖2-14所示為剛體上作用一平面平行力系F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n，如果取坐標(biāo)系中Oy軸與各力平行，則無(wú)論該力系是否平衡，各力在x軸上的投影恒等于0，即∑Fx＝0。因此，平面平行力系的平衡方程為

(2-13)

圖2-14平行力系

即平面平行力系平衡的必要與充分條件是：力系中各力在與其平行的坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和等于0。需要注意的是，式中的y軸與各力平行，或

(2-14)

式中A、B兩點(diǎn)連線不能與各力的作用線平行。

由此可見(jiàn)，平面平行力系只有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，因此只能求出兩個(gè)未知量。

例2-6

已知一塔式起重機(jī)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖2-15所示。設(shè)機(jī)架重量G＝500kN，重心在C點(diǎn)，與右軌相距a＝1.5m。最大起吊重量P＝250kN，與右軌B最遠(yuǎn)距離l＝10m。平衡物重力為Gt，與左軌A相距x＝6m，兩軌相距b＝3m。試求起重機(jī)在滿載與空載時(shí)都不至翻倒的平衡重物Gt的范圍。

解取起重機(jī)為研究對(duì)象。

作用于起重機(jī)上的力有主動(dòng)力G、平衡重物Gt、起吊重量P及約束反力FNA、FNB，這些力組成一平面平行力系。

圖2-15塔式起重機(jī)要保障滿載時(shí)機(jī)身平衡而不向右翻倒，則這些力必須滿足平衡方程∑MB(F)＝0，在此狀態(tài)下，A點(diǎn)將處于離地與不離的臨界狀態(tài)，即有FNA＝0。這樣求出的Gt值是它應(yīng)有的最小值。

要保障滿載時(shí)機(jī)身平衡而不向左翻倒，則這些力必須滿足平衡方程∑MA(F)＝0，在此狀態(tài)下，B點(diǎn)將處于離地與不離的臨界狀態(tài)，即有FNB＝0。這樣求出的Gt值是它應(yīng)有的最大值。

因此，平衡重力Gt之值的范圍為361kN≤G1≤375kN。

例2-7

加料小車由鋼索牽引沿傾角α＝30°的軌道上勻速上升，如圖2-16(a)所示，C為小車的重心。已知小車的重量G＝40kN，a＝0.2m，b＝1.7m，e＝0.2m、h＝0.6m，若不計(jì)小車與斜面的摩擦力，試求鋼索拉力FT和軌道作用于小車的約束反力。

解

(1)取小車為研究對(duì)象，畫(huà)出受力圖，如圖2-16(b)所示。

(2)本題有兩個(gè)未知力FNA、FNB互相平行，所以可如圖216(b)取x軸與軌道平行，y軸垂直于軌道，建立坐標(biāo)系。

圖2-16小車工作力學(xué)模型列解平衡方程：

又

故

3.物體系統(tǒng)的平衡條件

在工程中，我們經(jīng)常遇到的工程機(jī)械和結(jié)構(gòu)都是由多個(gè)構(gòu)件通過(guò)一定的約束組成的系統(tǒng)，我們將這樣的系統(tǒng)稱為物體系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱為物系。在求解物系的平衡問(wèn)題時(shí)，不僅要考慮系統(tǒng)外物體對(duì)物系的作用力，同時(shí)還要考慮系統(tǒng)內(nèi)部各構(gòu)件之間的相互作用力。系統(tǒng)外部物體對(duì)系統(tǒng)的作用力稱為物系外力；系統(tǒng)內(nèi)部各構(gòu)件之間的相互作用力稱為物系內(nèi)力。物系的外力和內(nèi)力只是一個(gè)相對(duì)的概念，它們之間沒(méi)有嚴(yán)格的區(qū)別。當(dāng)研究整個(gè)系統(tǒng)平衡時(shí)，由于其內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)、相互抵消的，因此可以不予考慮。當(dāng)研究系統(tǒng)中某一構(gòu)件或部分構(gòu)件的平衡問(wèn)題時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)其他構(gòu)件對(duì)它們的作用力就又成為這一研究對(duì)象的外力，因此，必須予以考慮。若整個(gè)物系處于平衡，則組成這一物系的所有構(gòu)件也處于平衡。在求解有關(guān)物系的平衡問(wèn)題時(shí)，既可以以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，也可以取單個(gè)構(gòu)件為研究對(duì)象。對(duì)于每一種選取的研究對(duì)象，一般情況下都可以列出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程。所以，對(duì)于由n個(gè)構(gòu)件組成的物系平衡時(shí)，最多可以列出3n個(gè)獨(dú)立的平衡方程，解出3n個(gè)未知量。下面舉例說(shuō)明物系平衡問(wèn)題的解法。

例2-8

如圖2-17(a)所示為一三鉸拱橋。左右兩半拱通過(guò)鉸鏈C聯(lián)接起來(lái)，通過(guò)鉸鏈A、B與橋基聯(lián)接。已知G＝40kN，P＝10kN。試求鉸鏈A、B、C三處的約束反力。

圖2-17三鉸拱橋

解

(1)取整體為研究對(duì)象，畫(huà)出受力圖，并建立如圖2-17(b)所示的坐標(biāo)系。列平衡方程：

得

又

得

(2)取左半拱為研究對(duì)象，畫(huà)出受力圖，并建立如圖2-17(c)所示的坐標(biāo)系。列平衡方程：

得

又

得

得

(3)取整體為研究對(duì)象，列平衡方程：

得

例2-9

如圖2-18(a)所示為柱塞式水泵的平面力學(xué)簡(jiǎn)圖。齒輪Ⅰ在力偶MO的驅(qū)動(dòng)下，通過(guò)齒輪Ⅱ及連桿AB帶動(dòng)柱塞在剛體內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)。已知齒輪的壓力角為α，兩齒輪分度圓半徑分別為r1、r2，曲柄O2A＝r3，連桿AB＝5r1，柱塞的阻力為F。如不計(jì)各構(gòu)件自重及摩擦力，當(dāng)曲柄O2A處于鉛垂位置時(shí)，試求驅(qū)動(dòng)力偶MO的值。

圖2-18柱塞式水泵

解

(1)分別取齒輪Ⅰ、齒輪Ⅱ、柱塞B為研究對(duì)象，畫(huà)出受力圖，如圖2-18(b)、(c)和(d)所示。

(2)在圖2-18(d)中，柱塞受平面匯交力系作用，只有FAB、FB兩未知力是可解的。列平衡方程:

(3)因?yàn)镕AB已解出，所以圖2-18(c)變得可解，列平衡方程：

(4)由圖2-18(b)，列平衡方程:

綜合以上例題可以得出解平面力系平衡問(wèn)題的方法和步驟：

(1)明確題意，正確選擇研究對(duì)象。

(2)分析研究對(duì)象的受力情況，畫(huà)出受力圖。這是解題的關(guān)鍵一步，尤其在處理物系平衡問(wèn)題時(shí)，每確定一個(gè)研究對(duì)象就必須單獨(dú)畫(huà)出它的受力圖，不能將幾個(gè)研究對(duì)象的受力圖都畫(huà)在一起，以免混淆。另外，還要注意作用力、反作用力，外力、內(nèi)力的區(qū)別，在受力圖上不畫(huà)出內(nèi)力。

(3)建立坐標(biāo)系，列平衡方程。建立坐標(biāo)系的原則是應(yīng)使每個(gè)方程中的未知量越少越好，最好每個(gè)方程中只有一個(gè)未知量。

(4)解平衡方程，求未知量。在計(jì)算結(jié)果中，負(fù)號(hào)表示預(yù)先假設(shè)的指向與實(shí)際的指向相反。在運(yùn)算中應(yīng)連同負(fù)號(hào)一起代入其他方程中繼續(xù)求解。

(5)討論并校核計(jì)算結(jié)果。

2.4.1摩擦現(xiàn)象

摩擦是自然界普遍存在的現(xiàn)象。在前面的章節(jié)里，我們?cè)谟懻撐矬w平衡問(wèn)題時(shí)，總是假定兩物體間的接觸表面是絕對(duì)光滑的，將摩擦忽略不計(jì)，但絕對(duì)光滑的表面事實(shí)上是不存在的。工程實(shí)際中，在許多問(wèn)題上摩擦力對(duì)物體的平衡與運(yùn)動(dòng)起著主要作用。因此必須考慮摩擦力。例如，皮帶靠摩擦力傳遞運(yùn)動(dòng)，制動(dòng)器靠摩擦力剎車，車床的卡盤(pán)靠摩擦力夾固工件等，如圖2-19所示。2.4考慮摩擦力的平衡問(wèn)題

圖2-19摩擦現(xiàn)象示例以上例子都反映了摩擦有利的一面。而另一方面，摩擦也有其不利之處。由于摩擦的存在，給各種機(jī)械帶來(lái)多余的阻力，從而消耗了能量，加劇了機(jī)件的磨損，降低了傳動(dòng)的精度和效率，縮短了機(jī)件的壽命。因此，研究摩擦的目的是為了掌握摩擦現(xiàn)象的客觀規(guī)律，最大限度地利用其有利的一面，減少和限制它不利的一面。

按照物體表面的相對(duì)運(yùn)動(dòng)情況，摩擦可分為滑動(dòng)摩擦和滾動(dòng)摩擦。按接觸表面是否有潤(rùn)滑，可分為干摩擦和濕摩擦。本節(jié)主要介紹靜滑動(dòng)摩擦以及考慮摩擦?xí)r物體的平衡問(wèn)題。2.4.2滑動(dòng)摩擦

兩物體接觸表面間產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)或具有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)所具有的摩擦，稱為滑動(dòng)摩擦。兩物體表面間只具有滑動(dòng)趨勢(shì)而無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)的摩擦，稱為靜滑動(dòng)摩擦，簡(jiǎn)稱為靜摩擦；接觸表面間產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)的摩擦，稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦，簡(jiǎn)稱動(dòng)摩擦。

1.靜滑動(dòng)摩擦

為了分析物體間產(chǎn)生靜滑動(dòng)摩擦的規(guī)律，可通過(guò)如圖2-20所示的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行說(shuō)明。當(dāng)水平力FT很小時(shí)，B盤(pán)沒(méi)有滑動(dòng)而只具有滑動(dòng)趨勢(shì)，此時(shí)物系將保持平衡。由平衡方程知，接觸表面間的摩擦力Ff與主動(dòng)力FT大小相等。

圖2-20摩擦力實(shí)驗(yàn)當(dāng)水平力FT逐漸增大，F(xiàn)f也隨之增加。這時(shí)Ff具有約束反力的性質(zhì)，隨主動(dòng)力的變化而變化。但不同的是，當(dāng)FT的值增加到某一臨界值Fmax時(shí)，就不會(huì)再增大；如果繼續(xù)增大水平力FT，B盤(pán)將開(kāi)始滑動(dòng)。因此，靜摩擦力隨主動(dòng)力的不同而變化，其大小由平衡方程決定，但介于0與最大值之間，即

0≤Ff≤Fmax

(2-15)

大量實(shí)驗(yàn)證明，最大靜摩擦力的方向與物體相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)方向相反，大小與接觸面法向反力(正壓力)FN的大小成正比，即

Fmax＝fFN (2-16)

式(2-16)稱為靜摩擦定律。式中比例常數(shù)f稱為靜摩擦系數(shù)，f的大小與兩物體接觸面的材料及表面情況(粗糙度、干濕度、溫度等)有關(guān)，而與接觸面積的大小無(wú)關(guān)。一般材料的靜摩擦系數(shù)可在工程手冊(cè)上查到。常用材料的f值見(jiàn)表2-1。表2-1常用材料滑動(dòng)摩擦系數(shù)掌握了上述摩擦規(guī)律之后，我們便可知道若要增大摩擦力，就可通過(guò)加大正壓力或增大摩擦系數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。如在皮帶傳動(dòng)中，可用張緊輪或V形帶來(lái)增加正壓力以增加摩擦力。若要減小摩擦力，則可通過(guò)減小摩擦系數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)，如提高接觸表面的光潔度、加入潤(rùn)滑劑等。

2.動(dòng)滑動(dòng)摩擦

繼續(xù)上述實(shí)驗(yàn)，當(dāng)水平力FT的值超過(guò)Fmax時(shí)，盤(pán)B開(kāi)始加速滑動(dòng)，此時(shí)盤(pán)B所受到的摩擦阻力已由靜摩擦力轉(zhuǎn)化為動(dòng)摩擦力F'f。大量實(shí)驗(yàn)證明，動(dòng)摩擦力F'f的大小與接觸表面間的正壓力FN的值成正比，即

F'f

＝f'FN

(2-17)此式稱為動(dòng)摩擦定律。式中比例常數(shù)f'稱為動(dòng)摩擦系數(shù)，其大小除了與兩接觸物體的材料及表面情況有關(guān)外，還與兩物體的相對(duì)速度有關(guān)。常見(jiàn)材料的f'值見(jiàn)表2-1，通過(guò)表21可以看出：f'≤f。2.4.3摩擦角與自鎖現(xiàn)象

在研究物體平衡時(shí)如果考慮靜摩擦，物體接觸面就受到正壓力FN和靜摩擦力Ff的共同反作用，若將這兩力合成，其合力FR就代表了物體接觸面對(duì)物體的全部約束反力，稱為全約束反力，簡(jiǎn)稱全反力。

如圖2-21所示，全反力FR與接觸面法線的夾角為j，顯然j隨靜摩擦力的增大而增大，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大時(shí)，夾角j也達(dá)到最大值jmax，jmax稱為摩擦角。由此可知

(2-18)

上式表示摩擦角的正切值就等于摩擦系數(shù)。摩擦角表示全反力與法線間的最大夾角。如果物體與支承面的靜摩擦系數(shù)在各個(gè)方向都相同，則這個(gè)范圍在空間就形成為一個(gè)錐體，稱為摩擦錐，如圖2-21(c)所示。若主動(dòng)力的合力FQ作用在錐體范圍內(nèi)，則約束面必產(chǎn)生一個(gè)與之等值、反向且共線的全反力FR與之平衡。但無(wú)論如何增加力FQ，物體總能保持平衡。全反力作用線不會(huì)超出摩擦錐的這種現(xiàn)象稱為自鎖。由此可見(jiàn)，自鎖條件為

α≤jmax

(2-19)

式中，α為全反力與接觸面法線之間的夾角。

圖2-21摩擦角2.4.4考慮摩擦的平衡問(wèn)題

在求解考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問(wèn)題時(shí)，與不考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問(wèn)題的解法基本相同。不同的是在畫(huà)力圖時(shí)要畫(huà)出摩擦力，并需要注意摩擦力的方向與滑動(dòng)趨勢(shì)方向相反，不能隨意假定。由于F是一個(gè)范圍值，因此問(wèn)題的解答也是一個(gè)范圍值，稱為平衡范圍。要確定這個(gè)范圍可采取兩種方式，一種是分析平衡時(shí)的臨界情況，假定摩擦力取最大值，以F＝Fmax＝f

FN作為補(bǔ)充條件，求解平衡范圍的極值：另一種是直接采用F≤fFN，以不等式進(jìn)行運(yùn)算。

例2-10

如圖2-22(a)所示，一重G的物塊放在傾角為α的斜面上，物塊與斜面之間的摩擦系數(shù)為f，且f<tanα。求要維持物塊靜止時(shí)的水平推力F的大小。

解要使物塊維持在斜面上靜止，力F既不能太大，也不能太小。力F過(guò)大，物塊將沿斜面上滑；力F過(guò)小，物塊則會(huì)沿斜面下滑。因此，F(xiàn)的數(shù)值必須在某一范圍內(nèi)。

圖2-22例2-10圖

(1)先考慮物塊處于下滑趨勢(shì)的臨界狀態(tài)，即力F為最小值Fmin，且剛好維持物塊不致下滑的臨界平衡狀態(tài)。以物塊為研究對(duì)象，畫(huà)出受力圖并沿斜面建立坐標(biāo)系，如圖2-22(b)所示。列平衡方程：

又

解之得

(2)然后考慮物塊處于上滑趨勢(shì)的臨界狀態(tài)，即力F為最大值Fmax且剛好維持物塊不致上滑的臨界平衡。畫(huà)出此狀態(tài)下物塊的受力圖，如圖2-22(c)所示。列平衡方程及補(bǔ)充方程為

又

解之得

所以，使物塊在斜面上處于靜止時(shí)的水平推力F的取值范圍為

例2-11

制動(dòng)器的構(gòu)造如圖2-23(a)所示。已知制動(dòng)塊之間的靜摩擦系數(shù)f，鼓輪上所掛重物重量為G。求制動(dòng)所需最小的力F1。