第9講解三角形中解答題4種基礎(chǔ)題型

第9講解三角形中解答題4種基礎(chǔ)題型【題型目錄】題型一：解三角形計算基礎(chǔ)題型題型二：解三角形與三角恒等變換結(jié)合題型三：解三角形幾何圖形計算問題題型四：解三角形與三角函數(shù)結(jié)合【典型例題】題型一：解三角形計算基礎(chǔ)題型【例1】在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且滿足．(1)求角；(2)已知，的外接圓半徑為，求的邊上的高．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角即可；（2）先根據(jù)正弦定理求得，再根據(jù)余弦定理求得，進而根據(jù)等面積法求得．【詳解】（1）解：在中，由，根據(jù)正弦定理得，，，，又，．（2）解：在中，，，根據(jù)余弦定理得，即，，，，．【例2】△ABC的內(nèi)角的對邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長.【答案】(1)(2).【詳解】：（1）由題設(shè)得，即.由正弦定理得.故.（2）由題設(shè)及（1）得，即.所以，故.由題設(shè)得，即.由余弦定理得，即，得.故的周長為.【例3】△ABC的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若，面積為2，求．【答案】（1）；（2）2．【詳解】：（1），∴，∵，∴，∴，∴；（2）由（1）可知，∵，∴，∴，∴．【例4】在①，②③這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答.在中，角所對的邊分別為，且.(1)求角的大??；(2)若，求的面積.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【分析】(1)選擇條件①由正弦定理角化邊后，用余弦定理求角；選擇條件②，由正弦定理邊化角，再利用兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式化簡，可求角；選條件③，由正弦定理邊化角，再利用倍角公式化簡，可求角.(2)由已知條件結(jié)合正弦定理角化邊，得，再利用余弦定理得到，代入面積公式既可.【詳解】（1）選擇條件①，由及正弦定理，可得，即，由余弦定理，得，因為，所以.選擇條件②，由及正弦定理，可得，即，即.在中，，所以，即，因為，所以，所以，因為，所以.若選條件③，，則，由，有，由，所以，因為，所以，所以.（2）由正弦定理得，所以，因為，所以，所以，若，由余弦定理得，即，所以，因為，所以，所以的面積為.【例5】在①，②2ccosA＝acosB+bcosA，③b2+c2＝a2+bc，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解決該問題.問題：在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若已知b＝6，，______，求a的值.【答案】選①：，選②：，選③：【分析】選條件①時，直接利用正弦定理和三角函數(shù)的關(guān)系式的變換及三角形的面積公式和余弦定理，求出a的值；選條件②時，直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換及三角形的面積公式和余弦定理，求出a的值；選條件③時，直接利用余弦定理及三角形的面積公式，求出結(jié)果.【詳解】若選①：因為，所以，因為0＜C＜π，所以sinC≠0所以，即，所以，因為0＜A＜π，所以.所以，所以，由余弦定理有，所以.若選②：因為2ccosA＝acosB+bcosA，所以2sinCcosA＝sinAcosB+sinBcosA，所以2sinCcosA＝sin（A+B）＝sin（π－C）＝sinC因為0＜C＜π，所以sinC≠0，所以，因為0＜A＜π，所以，所以，所以c＝2，由余弦定理有，所以.若選③：因為b2+c2＝a2+bc，所以b2+c2－a2＝bc，所以，因為0＜A＜π，所以，所以，所以c＝2，由余弦定理有，所以.故答案為：；；.【題型專練】1.已知分別是內(nèi)角的對邊，．（1）若，求（2）若，且求的面積．【答案】（1）；（2）1【解析】：（1）由題設(shè)及正弦定理可得又，可得由余弦定理可得（2）由（1）知因為，由勾股定理得故，得所以的面積為12.中，角，，的對邊分別為，，，設(shè)面積為，已知下列四個條件中，只能同時滿足其中三個，①；②；③；④.(1)請指出這三個條件，并說明理由；(2)求的周長.【答案】(1)在同時滿足條件①③④，理由見解析(2)【分析】（1）先假設(shè)②滿足，證明出③必滿足.再由①滿足，得到④必滿足；①不滿足，則④不滿足.判斷出②不符合.（2）由條件①③④，先利用面積公式求出，得到為等腰三角形，利用三角公式求出，利用余弦定理求出c，即可求出的周長.【詳解】（1）在同時滿足條件①③④，理由如下：若滿足條件②，已知，可得，且.因為，所以，即滿足③.若滿足條件①，則，即滿足④.此時四個條件都滿足，不合題意.若不滿足條件①，，即不滿足④，此時①④兩個條件都不滿足，不合題意.綜上，條件②不滿足，所選三個條件只能是①③④.（2）選條件①③④，因為，所以因為，此時或，又因為，所以.若，則有，滿足條件②不合題意.所以，由余弦定理得，所以.所以的周長為：3.ΔABC各個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且bcos(1)求∠B的大??；(2)若b=3,a+c=3，求【答案】解：(1)由正弦定理得：sin?B∵sin∴sin∴3∴3∴2sin(B?π(2)由余弦定理b2==(a+c)∴ac=2，∴4.在中，角、、所對邊長分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【詳解】（1）因為，則，則，故，，，所以，為銳角，則，因此，；（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，由余弦定理可得，解得，則，由三角形三邊關(guān)系可得，可得，，故.5.記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【詳解】（1）由題設(shè)，，由正弦定理知：，即，∴，又，∴，得證.（2）由題意知：，∴，同理，∵，∴，整理得，又，∴，整理得，解得或，由余弦定理知：，當(dāng)時，不合題意；當(dāng)時，；綜上，.題型二：解三角形與三角恒等變換結(jié)合【例1】的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知B=150°.（1）若a=c，b=2，求的面積；（2）若sinA+sinC=，求C.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由余弦定理可得，的面積；（2），，，.【例2】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，證明：△ABC是直角三角形．【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）因為，所以，即，解得，又，所以；（2）因為，所以，即①，又②，將②代入①得，，即，而，解得，所以，故，即是直角三角形．【例3】在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理邊角互化得，進而得，再根據(jù)余弦定理求解即可；（2）結(jié)合（1）得，再根據(jù)三角恒等變換求解即可.【詳解】（1）解：∵，∴∵∴，即∵，∴∴（2）解：∵，∴∴【題型專練】1．在中，內(nèi)角所對的邊分別是，，.已知，，.(1)求的值；(2)求的值；(3)求.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)余弦定理，運用代入法進行求解即可；（2）根據(jù)正弦定理進行求解即可；（3）由（2）利用二倍角公式計算出，然后利用兩角差的正弦公式展開計算即可.【詳解】（1）由余弦定理，得，所以（2）在中，因為，所以，由正弦定理，得，所以（3）由（2），所以所以.2.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)．（1）求A；（2）若，求sinC．【答案】（1）；（2）.【分析】【詳解】（1）即：由正弦定理可得：（2），由正弦定理得：又，整理可得：解得：或因為所以，故.（2）法二：，由正弦定理得：又，整理可得：，即由，所以.3．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)證明：是直角三角形；(2)若，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角形內(nèi)角關(guān)系結(jié)合兩角和得正弦公式即可證；（2）根據(jù)平方關(guān)系及誘導(dǎo)公式求出，即可得解.【詳解】（1）證明：因為，所以，即，則，即，由，得，又，所以，所以為直角三角形；（2）解：由，可得，則，則，即，解得，因為，所以，所以．4．的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，(1)若，且，求；(2)若，求.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)正弦定理和三角形面積公式即可求得，.（2）利用輔助角公式即可求得.【詳解】（1）由正弦定理可得，因為，所以所以，，故.，，由余弦定理，，得，解得.（2），故，，，，故或題型三：解三角形幾何圖形計算問題【例1】如圖，△ABC中，點D為邊BC上一點，且滿足．(1)證明：；(2)若AB＝2，AC＝1，，求△ABD的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理即可求證，（2）根據(jù)余弦定理得，進而可得,，根據(jù)比例即可由面積公式求解.【詳解】（1）在中，由正弦定理得,在中，由正弦定理得,又，故，由于，所以，因此，（2）由AB＝2，AC＝1，以及余弦定理可得,由于為三角形內(nèi)角,所以，由(1)知,故因此,進而得【例2】在平面四邊形中，，，．(1)若，求的長；(2)求四邊形周長的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）分析可知為等邊三角形，求出的長，以及，利用正弦定理可求得的長；（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，進而可求得四邊形周長的最大值.【詳解】（1）解：連接，因為，，故為等邊三角形，，，則，由正弦定理得，所以，.（2）解：由余弦定理可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.因此，四邊形周長的最大值為.【例3】如圖，在四邊形中，(1)求角的值；(2)若，，求四邊形的面積【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式化簡得，再判斷得，結(jié)合，即可求解得；（2）由余弦定理求解得，再由正弦定理以及，可得，從而解得，然后計算和面積的和即可.（1），因為，得，或，解得或，因為，得，（2）在中，，在中，，，，，得，，所以四邊形的面積為【例4】如圖，在梯形中，，．(1)若，求周長的最大值；(2)若，，求的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，即得出周長的最大值；（2）利用正弦定理可得出、，兩式相除可得出關(guān)于的等式，即可求得的值.【詳解】（1）解：在中，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．故周長的最大值是．（2）解：設(shè)，則，．在中，，在中，．兩式相除得，，，因為，，，故．【例5】如圖，四邊形中，，．(1)求；(2)若，求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理求出，由勾股定理判斷出為直角三角形，求解即可；（2）根據(jù)余弦定理求出，，結(jié)合勾股定理求出參數(shù)，計算即可．（1）中，設(shè)，則，解得，；（2）設(shè)，則設(shè)，，中，中，，，可得，化簡得，即又，，即，解得【題型專練】1．如圖，已知在中，M為BC上一點，，且．(1)若，求的值；(2)若AM為的平分線，且，求的面積．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由求得，由可得，結(jié)合得，利用正弦定理即可求得答案；（2）由余弦定理求得，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理可求得，再求得，由三角形面積公式可得答案.（1）因為，,所以，因為，所以由正弦定理知，即，因為，所以，，在中，．（2）由題意知，設(shè)，由余弦定理得，解得或．因為，所以，因為AM為的平分線，所以（h為底邊BC的高）所以，故，而由（1）知，所以．2．如圖，某景區(qū)擬開辟一個平面示意圖為五邊形ABCDE的觀光步行道，BE為電瓶車專用道，，，．(1)求BE的長；(2)若，求五邊形ABCDE的周長．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題設(shè)易得，，再在直角△中應(yīng)用勾股定理求BE的長；（2）利用正弦定理求得且，結(jié)合差角正弦公式及同角平方關(guān)系求，即可求五邊形ABCDE的周長．【詳解】（1）由，，可得：，，而，故，在直角△中，則.（2）由（1）知：，則，，由且，則，所以.所以五邊形ABCDE的周長.3．如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，，，，的面積為.(1)求AC；(2)求.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)面積公式可得，再根據(jù)余弦定理求解可得；（2）根據(jù)內(nèi)接四邊形可得，再根據(jù)正弦定理求解即可【詳解】（1）因為的面積為，所以.又因為，，所以.由余弦定理得，，，所以.（2）因為ABCD為圓內(nèi)接四邊形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因為，所以，所以.4．如圖，在已知圓周上有四點、、、，，，.(1)求的長以及四邊形的面積；(2)設(shè)，，求的值.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）利用余弦定理求出、的長，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和三角形的面積公式可求得四邊形的面積；（2）利用余弦定理求出、的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式以及兩角和的正弦公式化簡可得結(jié)果.(1)解：由余弦定理可得，整理可得，因為，解得.由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知，所以，，由余弦定理可得，整理可得，，解得，因為，所以，.(2)解：由余弦定理可得，，則為銳角，為鈍角，所以，，，則，，因此，.5．在中，角所對的邊分別為，.(1)判斷的形狀，并加以證明；(2)如圖，外存在一點D，使得且，求.【答案】(1)直角三角形，證明見解析；(2)5【分析】（1）根據(jù)正弦定理以及正弦的和角公式即可求解，或利用余弦定理求解；（2）根據(jù)正弦定理以及余弦定理即可求解，或作，求出DF，結(jié)合中垂線性質(zhì)即可得解.（1）在中，由正弦定理得又，所以化簡得：，，所以，，所以，是直角三角形方法二：在中，由余弦定理得整理得，所以，是直角三角形（2）方法一：在中，由正弦定理得.由題設(shè)知，，所以.由題（1）知，.在中，由余弦定理得.所以.方法二：作，垂足為，，垂足為,則，在中所以，為的中垂線所以題型四：解三角形與三角函數(shù)結(jié)合【例1】已知向量，，.(1)求的單調(diào)增區(qū)間；(2)在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，求的最大值.【答案】(1)遞增區(qū)間為，；(2).【分析】(1)利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式、二倍角公式和輔助角公式化簡，然后利用整體代入法以及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解；(2)結(jié)合(1)中結(jié)論求出，然后利用正弦定理以及三角恒等變換即可求解.（1）由，，得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）由，得，∵，∴，∴，即，∵，，∴，，且，當(dāng)且僅當(dāng)時，有最大值為，故的最大值為.【例2】設(shè)函數(shù)，其中向量，.(1)求的最小值；(2)在△中，，，分別是角，，所對的邊，已知，，△的面積為，求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及倍角余弦公式、輔助角公式可得，再由正弦函數(shù)性質(zhì)求最小值.（2）由題設(shè)可得，應(yīng)用三角形面積公式有，由余弦定理可得，最后由正弦定理，即可求目標(biāo)式的值.(1)由題設(shè)，，所以，當(dāng)時的最小值為.(2)由，得：，則，又，所以，故，則.由，可得：.在△中，由余弦定理得：，所以.由，則.【例3】已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等變換化簡已知條件，然后利用整體代入法求得的單調(diào)遞減區(qū)間.（2）利用余弦定理求得，結(jié)合三角函數(shù)值域的求法求得的取值范圍.(1)令，則所以，單調(diào)減區(qū)間是.(2)由得：，即，由于，所以.在中，，，于是，則，，，所以.【例4】已知函數(shù).（1）求的對稱軸和單調(diào)區(qū)間；（2）在中，角，，的對邊為，，，若，，，求中線的長.【答案】（1）對稱軸為，；減區(qū)間為：，；增區(qū)間為：，；（2）.【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式將化簡為，即可根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出對稱軸和單調(diào)區(qū)間；（2）由可求出，再求出，即可根據(jù)正弦定理求出，再由余弦定理即可求出.【詳解】（1），令，解得，，∴函數(shù)的對稱軸為，，令，解得，令，解得，的遞減區(qū)間為：，；遞增區(qū)間為：，.（2）由（1）知，∵在中，∴，∴，∴，又，∴，∴，在中，由正弦定理，得，∴，∴，在中，由余弦定理得，∴.【點睛】本題考查由三角恒等變換化簡求三角函數(shù)性質(zhì)，考查正余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.【題型專練】1．已知向量，，函數(shù).（1）求函數(shù)的零點；（2）若鈍角的三內(nèi)角的對邊分別是，，，且，求的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）化簡得出，由可求解；（2）由可得，由正弦定理化簡得出，根據(jù)的范圍即可求出.【詳解】（1）由條件可得：，∴，所以函數(shù)零點滿足，則，得，；（2）由正弦定理得，由（1），而，得，∴，，又，得，∴代入上式化簡得：，又在鈍角中，不妨設(shè)為鈍角，有，則有.∴.2．已知、、分別為的三個內(nèi)角、、的對邊，設(shè)，，若．（1）求角；（2）若是銳角三角形，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用平面向量共線的坐標(biāo)表示結(jié)合余弦定理求出的值，再由可求得角的值；（2）求出角的取值范圍，利用三角恒等變換化簡可得，利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍．【詳解】（1）因為，，且，所以，，由余弦定理可得，整理可得，由余弦定理得，，因此，；（2）且為銳角三角形，則，即，解得，所以，，，所以，，則，故.【點睛】方法點睛：求三角形有關(guān)代數(shù)式的取值范圍也是一種常見的類型，主要方法有兩類：（1）找到邊與邊之間的關(guān)系，利用基本不等式來求解；（2）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解.3．已知函數(shù)，將的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個單位后得到的圖象，且在區(qū)間內(nèi)的最大值為.（1）求的值；（2）在銳角中，若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用圖象變換求出函數(shù)的解析式，由求出，利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)求出，結(jié)合已知條件可求得實數(shù)的值；（2）利用為銳角三角形求出角的取值范圍，利用切化弦結(jié)合三角恒等變換思想得出，求出的取值范圍，結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】（1）將函數(shù)的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個單位后得到的圖象，則，，，當(dāng)，即時，最大