專題09最值模型（原卷版）

專題09最值模型【解題技巧歸納總結】這類問題是綜合性問題，方法較多，常見方法有：導數(shù)法，基本不等式法，觀察法等【典型例題】例1．（2022·貴州遵義·高三開學考試（文））已知三棱錐的四個頂點均在體積為的球面上，，，則三棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．例2．（2022·全國·三模（文））已知三棱錐的體積為，其外接球的體積為，若，，則線段SA的長度的最小值為（

）A．8 B． C．6 D．例3．（2022·遼寧撫順·一模）已知三棱柱的頂點都在球O的表面上，且，若三棱柱的側面積為，則球O的表面積的最小值是（

）A． B． C． D．例4．（2022·全國·高三專題練習）如圖，平面平面，四邊形是正方形，四邊形是矩形，且，，若是線段上的動點，則三棱錐的外接球表面積的最小值是（

）A． B．C． D．例5．（2022·陜西榆林·三模（文））陽馬，中國古代算數(shù)中的一種幾何體，它是底面為長方形，兩個三角面與底面垂直的四棱錐.已知在陽馬中，平面，且陽馬的體積為9，則陽馬外接球表面積的最小值是（

）A． B． C． D．例6．（2022·安徽阜陽·高三期末（理））直四棱柱的每個頂點都在球的球面上，底面為平行四邊形．若，側面的面積為，則球表面積的最小值為（

）A． B． C． D．例7．（2022·湖北·高三開學考試）在三棱錐中，底面，，，為的中點，球為三棱錐的外接球，是球上任一點，若三棱錐體積的最大值是，則球的體積為___________.例8．（2022·湖北·應城市第一高級中學高三開學考試）已知正方體的棱長為，點E為棱上一動點，點F為棱上一動點，且滿足，則三棱錐的體積取最大值時，三棱錐外接球的表面積為___________.【過關測試】1．（2022·廣東·金山中學高三階段練習）已知三棱錐的頂點都在球的球面上，底面為等邊三角形，且其所在圓的面積為.若三棱錐的體積的最大值為，則球的體積為（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高三專題練習（理））已知正三棱柱的側面積為，若三棱柱的各個頂點均在球O的球面上，則球O的表面積的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高三專題練習）在三棱錐中，，底面是等邊三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球表面積的最小值是（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·高三專題練習）三棱錐中，平面，，的面積為3，則三棱錐的外接球體積的最小值為（

）A． B． C． D．5．（多選題）（2022·全國·高三專題練習）已知圓柱的上、下底面的中心分別為O，，其高為2，為圓O的內接三角形，且，P為圓上的動點，則（

）A．若平面，則三棱錐外接球的表面積為B．若，則C．三棱錐體積的最大值為D．點A到平面距離的最大值為6．（多選題）（2022·全國·高三專題練習）勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的公共部分，如圖所示，若正四面體ABCD的棱長為a，則（

）A．能夠容納勒洛四面體的正方體的棱長的最小值為aB．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為C．勒洛四面體的截面面積的最大值為D．勒洛四面體的體積7．（2022·全國·高三專題練習）在封閉的直三棱柱內有一個體積為V的球，若，則V的最大值是___________．8．（2022·內蒙古赤峰·模擬預測（理））已知四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為正方形，側面SAB為等邊三角形，AB＝3，則當四棱錐的體積取得最大值時，其外接球的表面積為________．9．（2022·遼寧丹東·模擬預測）用經過球O表面上兩點A，B的平面去截球O，所得截面面積的最小值為，若為等邊三角形，則球O的表面積為______．10．（2022·江蘇·南京市寧海中學模擬預測）已知四面體ABCD中，為等邊三角形，，，若，則四面體ABCD外接球的表面積的最小值為______11．（2022·全國·模擬預測（文））已知在三棱錐中，，，則當取得最小值時，該三棱錐外接球的表面積為______．12．（2022·全國·模擬預測）在四面體ABCD中，，，，則四面體外接球的表面積的最小值為______.13．（2022·河南·高三階段練習（理））如圖，在三棱錐中，平面，，，，則三棱錐外接球的表面積的最小值為______．14．（2022·福建省漳州第一中學模擬預測）已知正四棱錐的各頂點都在同一個球面上.若該正四棱錐的體積為，則該球的表面積的最小值為___________.15．（2022·全國·高三專題練習）在三棱錐中，，底面是等邊三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球表面積的最小值是___________.16．（2022·全國·高三專題練習（文））若球О是直三棱柱的外接球，三棱柱的高和體積都是4，底面是直角三角形，則球О表面積的最小值是___________.17．（2022·全國·高三專題練習（理））如圖，在中，分別取邊的中點，將分別沿三條中位線折起，使得重合于點則三棱錐的外接球體積的最小值為________________________．18．（2022·江蘇南通·高三期末）我國古代數(shù)學名著《九章算數(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱（側棱垂直于底面的三棱柱）稱之為“塹堵”．如圖，三棱柱為一個“塹堵”，底面是以為斜邊的直角三角形，且，點在棱上，且，當?shù)拿娣e取最小值時，三棱錐的外接球的表面積為________．19．（2022·廣東汕頭·三模）如圖，DE是邊長為的正三角形ABC的一條中位線，將△ADE沿DE翻折至，當三棱錐的體積最大時，四棱錐外接球O的表面積為__________；過EC的中點M作球O的截面，則所得截面