111二課時(shí)空間向量的數(shù)量積

1.1.1二課時(shí)空間向量的數(shù)量積TOC\o"13"\h\u題型1數(shù)量積的概念 ③求余弦值:利用數(shù)量積求余弦值或角的大?、芏ńY(jié)果:異面直線所成的角為銳角或直角，利用向量的夾角求余弦值應(yīng)將余弦值加上絕對(duì)值，繼而求角的大小【例題3】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）在三棱錐V?ABC中，VA⊥BC,A．60° B．90° C．30° D．不確定【答案】B【分析】根據(jù)題意得VA?BC=【詳解】∵VA⊥BC,∴VA?BC∴VB?VC?∴VC?AB=0則VC與AB的夾角為90°．故選：B．【變式31】1．（2023春·安徽·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，三棱錐A?BCD中，AB、CD所成的角為A．cosB．cosC．cosD．cos【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及余弦定理得到AB?CD=1【詳解】因?yàn)锳B====1所以cosα故選：B.【變式31】2．（多選）如圖所示，平行六面體ABCD?A1B1C1D1A．AB．AC．直線AC與直線BDD．BD1【答案】AB【分析】A選項(xiàng)，利用空間向量運(yùn)算法則得到AC1=AB+B選項(xiàng)，求出DB=AB?C選項(xiàng)，作出輔助線，得到四邊形ABC1D1為平行四邊形，點(diǎn)A∈平面ABD選項(xiàng)，先得到AC=AB+AD，BD【詳解】由空間向量運(yùn)算法則得到：AC所以A=2+2+1+22×2因?yàn)镈B=AB?故AC1⊥連接AD因?yàn)锳B//C1D1點(diǎn)A∈平面ABC1D1，而點(diǎn)CAC=AB+AD，B=2+2+2AB?ADcos60°=4+2=6，BD12=AD?AB+A故選：AB【變式31】3．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）如圖，三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)____________【答案】【解析】三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，，設(shè)棱長(zhǎng)為1，則，，.又，，所以而，，所以.故答案為：.【變式31】4．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期中）如圖：正三棱錐ABCD中，E?F分別在棱AB?AD上，AE:【答案】3【分析】設(shè)∠BAC=θ,由AE:EB=AF:FD【詳解】正三棱錐ABCD中，設(shè)∠BAC因?yàn)锳E:所以AE=13所以(CA∴∴|即cosθ解得cosθ=37，即故答案為：3【變式31】5.（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）如圖，三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都等于1，．（1）設(shè)，，，用向量，，表示，并求出的長(zhǎng)度；（2）求異面直線與所成角的余弦值．【答案】（1）；；（2）.【解析】解：（1），又，同理可得，則．（2）因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以．則異面直線與所成角的余弦值為．題型4利用空間向量的數(shù)量積求距離(線段長(zhǎng)度)【方法總結(jié)】利用向量的數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離，可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問(wèn)題，其基本思路是先選擇以兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量，將此向量表示為幾個(gè)已知向量的和的形式，求出這幾個(gè)已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a|=aa【例題4】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AD=BD

【答案】1【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算律求解即可.【詳解】由題可得,AD=BD=1所以AB=1+1=因?yàn)锽D所以B==2+1+1?2?2+1=1，所以BD故答案為:1.【變式41】1．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知a，b，c均為空間單位向量，它們之間的夾角均為90°，那么aA．2 B．13C．14 D．6【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律、垂直關(guān)系的向量表示求解作答.【詳解】因?yàn)閍，b，c均為空間單位向量，它們之間的夾角均為90°，a所以|=|故選：C【變式41】2．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB

A．25 B．26 C．36【答案】A【分析】空間向量AE=【詳解】由AE=AE=4+4+4+2×2×2cos60所以AE=2故選：A.【變式41】3．（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）如圖，二面角A?EF?C的大小為45°，四邊形ABFE、CDEF都是邊長(zhǎng)為1

A．2 B．3 C．3?2 D．【答案】C【分析】利用二面角的定義可得出∠AED=45°，由空間向量的線性運(yùn)算可得出【詳解】因?yàn)樗倪呅蜛BFE、CDEF都是邊長(zhǎng)為1的正方形，則AE⊥EF，又因?yàn)槎娼茿?EF?C的大小為45°因?yàn)镈B=DE+EA+所以，DB=1+1+1?2×1×1×cos故選：C.【變式41】4．（多選）（2023·湖北武漢·湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正四面體P?ABC中，D、E分別為AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），F(xiàn)為A．DE+EF的最小值為B．DF的最小值為2；C．若四棱錐F?BDEC的體積為24，則D．若BE?FE【答案】BC【分析】A將平面PAC和平面BAC沿AC邊展開(kāi)為平面四邊形PABC即可求解；B設(shè)PD=m≥3，又有△C由VF?BDEC=16×PO×SBDEC得SD由BE→【詳解】A：如下展開(kāi)圖，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，易知AF⊥則DE+EF≥B：設(shè)PD=m≥3，又有△PAD?連接DF，則有DF⊥PC，故DF=C：設(shè)等邊△ABC的中心為O，連接PO，易知PO⊥平面ABC，則PO=4?43=所以VF?BDEC所以S△ADE=則有AD?AE=1,，又0<所以，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得DE=D：設(shè)CE=t，BE?FE=故選：BC.【變式41】5.（2023·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中?？寄M預(yù)測(cè)）正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為4，中心為點(diǎn)O，則以O(shè)為球心，1為半徑的球面上任意一點(diǎn)P與該正四面體各頂點(diǎn)間的距離的平方和：PA【答案】28【分析】將正四面體放入正方體中，利用向量的線性運(yùn)算可得PA2=(PO+OA)2，同理可得到PB2,【詳解】因?yàn)檎拿骟wABCD的棱長(zhǎng)為4，故可將其放入棱長(zhǎng)為42由題意可得PA2=(同理可得PB2=(PC2=(PD2=(取AB,CD的中點(diǎn)則OA+所以PA2+PB2+PC2所以PA

故答案為：28【變式41】6．己知二面角α?l?β為60°，A，B是棱l上的兩點(diǎn)，AC，BD分別在半平面α,β內(nèi)，(1)試用a,b,(2)求：異面直線CD與BA所夾角的余弦值．【答案】(1)CD=a+b?【分析】（1）由已知結(jié)合空間向量加法可得CD，再根據(jù)向量模長(zhǎng)和數(shù)量積的關(guān)系可求得CD的長(zhǎng)；（2）利用空間向量加法表示BA，再利用數(shù)量積公式求得向量夾角.（1）∵BD=a由已知二面角α?l?β為所以AC,BD=60°，=CA2+所以線段CD的長(zhǎng)為4.（2）CD=CA+AB=?CA?AB?題型5投影向量【方法總結(jié)】類比平面向量投影的概念，借助圖形，敘述作出向量AB，在軸l上投影（空間稱為射影）的過(guò)程已知圖形向量AB=a，l為軸，向量e是l上與軸l同方向的單位向量，作點(diǎn)A在l上的射影A’,作點(diǎn)B在l上的射影B’，則A'B’稱為向量AB在軸l上或在e的方向上的正射影；可以證明A’B’=|ABzhuyi注意：軸l上的正射影A'B’AB與l的方向的對(duì)應(yīng)關(guān)系，大小代表在l上射影的長(zhǎng)度.【例題5】（2023春·安徽合肥·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知空間向量a=13，b=5，且a與b夾角的余弦值為?913A．?91313b B．91313【答案】D【分析】根據(jù)題意和投影向量的概念計(jì)算即可求解.【詳解】∵a=13，b=5，a與b∴a在b上的投影向量為a?故選：D．【變式51】1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1【答案】2【分析】由正方體的性質(zhì)可得向量AB與向量A1C1夾角為cos【詳解】棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1所以AB?A1C向量AB在向量A1AB?A向量AB在向量A1C1故答案為：2【變式51】2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB【答案】3【分析】先求出PC?【詳解】∵PA⊥平面則PA⊥PC向量PC在BC上的投影向量為PC?BC故答案為：32【變式51】3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在標(biāo)準(zhǔn)正交基i,j,k下，已知向量a=?2i+8j+3【答案】1256【分析】根據(jù)向量的加法求得a+2b=?12i+8j+7k，即可得a【詳解】解：易得a+2所以a+2b在i，j，k其在j，k上的投影之積為8×7=56．故答案為：12；56.【變式51】4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A′B′C′D′中，已知AB=1，AD=2【答案】向量AC′在AB、AD、AA′方向上的投影數(shù)量分別為1、【分析】分析可得AC′=AB+AD+AA【詳解】解：非零向量a在非零向量b方向上的投影數(shù)量為acos<由空間向量的平行六面體法則可得AC在長(zhǎng)方體ABCD?A′因此，向量AC′在AB方向上的投影數(shù)量為向量AC′在AD方向上的投影數(shù)量為向量AC′在AA【變式51】5．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB(1)確定PC在平面ABC上的投影向量，并求PC?(2)確定PC在AB上的投影向量，并求PC?【答案】(1)PC在平面ABC上的投影向量為AC，PC?(2)PC在AB上的投影向量為AB，PC?【分析】（1）根據(jù)PA⊥平面ABC可得PC在平面ABC上的投影向量，由空間向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積的定義計(jì)算PC（2）由投影向量的定義可得PC在AB上的投影向量，由數(shù)量積的幾何意義可得PC?【詳解】（1）因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PC在平面ABC上的投影向量為AC因?yàn)镻A⊥平面ABC，AB?面ABC，可得PA⊥因?yàn)镃B⊥AB，所以所以PC=0+a（2）由（1）知：PC?AB=所以PC在AB上的投影向量為：PC?cos由數(shù)量積的幾何意義可得：PC?題型6最值與范圍問(wèn)題【例題6】（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知a，b，c是空間中兩兩不同的三個(gè)單位向量，且a?b:【答案】1?【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義可設(shè)?a,b?=?b,c【詳解】由題意得ab即cosa由題意,可設(shè)?a,因?yàn)閍，b，c是空間中兩兩不同的三個(gè)單位向量，故α≠0，即θ則有0<θ則cos2α≤cosθ于是12cos2α≤cosα而a?b=cosα，所以故答案為：1?3【變式61】1.（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？计谥校┰谌忮FD?ABC中，已知AB=2,AC?A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】以AD=a，CB=【詳解】設(shè)AD=a，CB=b，∴|a+b又∵AC?BD=?3∴a2∴c2ab+1=a2+故選：B【變式61】2.（2023秋·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，EFA．?2,0 B．?1,0 C．0,1 D．0,2【答案】A【分析】求出正方體ABCD?A1B1C1D1的外接球O【詳解】設(shè)正方體ABCD?A1B1C1則2R=23，可得RPE=P當(dāng)點(diǎn)OP與正方體ABCD?A1B1當(dāng)點(diǎn)P與正方體ABCD?A1B1所以，1≤OP≤3故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查空間向量數(shù)量積取值范圍的求解，注意到O為EF的中點(diǎn)，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)得出PE?PF=【變式61】3.（2022秋·福建·高二校聯(lián)考期中）已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為6，P是四面體ABCD外接球的球面上任意一點(diǎn)，則PA?A．6?66,6+66C．33?36【答案】B【分析】根據(jù)題意，求得該正四面體的外接球的半徑R=362，進(jìn)而得PA?【詳解】如圖，設(shè)E,F分別為正四面體ABCD棱作AO′⊥平面BCD所以，由正四面體的性質(zhì)知B,E,O′三點(diǎn)共線，且B因?yàn)檎拿骟wABCD的棱長(zhǎng)為6，所以BO′=設(shè)四面體ABCD外接球的半徑為R，即OA=所以，AO′?R2所以O(shè)O′=因?yàn)镻是四面體ABCD外接球的球面上任意一點(diǎn)，所以，PA因?yàn)镺A?OB+所以PA=9?93因?yàn)镺F,所以9?9故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于立體幾何的外接球問(wèn)題，通常處理方法為，找到球心在某個(gè)特殊平面上的投影，進(jìn)而找到球心的位置，設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)半徑相等列出方程，求出半徑，從而求出表面積或體積.【變式61】4.（2022秋·貴州·高二統(tǒng)考期中）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在如圖所示的鱉臑A?BCD中，AB⊥平面BCD，∠BDC=90°，BD=2ABA．0,3 B．12,3 C．12【答案】B【分析】設(shè)F，G分別為AB，BD的中點(diǎn)，連接FG，EF，EG，則FG//AD，EF//AC，根據(jù)面面平行的判定定理可得平面EFG//平面ACD，由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面【詳解】設(shè)F，G分別為AB，BD的中點(diǎn)，連接FG，EF，EG.易得FG//AD，因?yàn)镕G,EF?平面EFG，AD,AC?平面ACD，F(xiàn)G∩因?yàn)镋H//平面ACD由AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，得又∠BDC=90由AB∩BD=B,AB,因?yàn)镋G//CD，所以EG⊥平面ABD，EG因?yàn)锽D=2所以FG=12CA=2EF因?yàn)镕H∈0,5故選：B.【變式61】5.（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期末）已知球O是棱長(zhǎng)為1的正四面體的內(nèi)切球，AB為球O的一條直徑，點(diǎn)P為正四面體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA?【答案】0,【分析】利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑，以及正四面體中內(nèi)切球球心到頂點(diǎn)的距離，從而可得612≤PO【詳解】如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的正四面體CDEF中，設(shè)四面體內(nèi)切球球心為