2025屆高考數(shù)學一輪復(fù)習第五章平面向量第一節(jié)平面向量的概念及線性運算學案理含解析

PAGE第一節(jié)平面對量的概念及線性運算[最新考綱][考情分析][核心素養(yǎng)]1.了解向量的實際背景.2.理解平面對量的概念，理解兩個向量相等的含義.3.理解向量的幾何表示.4.駕馭向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義.5.駕馭向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.6.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義.平面對量的相關(guān)概念，平面對量的線性運算，共線向量定理及其應(yīng)用仍是2024年高考考查的熱點，題型仍將是選擇題與填空題，分值為5分.1.數(shù)學運算2.直觀想象‖學問梳理‖1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有eq\x(1)方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的eq\x(2)模．(2)零向量：長度為eq\x(3)0的向量，其方向是隨意的．(3)單位向量：長度等于eq\x(4)1個單位的向量．(4)平行向量：方向相同或eq\x(5)相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線．(5)相等向量：長度相等且方向eq\x(6)相同的向量．(6)相反向量：長度相等且方向eq\x(7)相反的向量．2．向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算交換律：a＋b＝eq\x(8)b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝eq\x(9)a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算|λa|＝eq\x(10)|λ||a|，當λ>0時，λa與a的方向eq\x(11)相同；當λ<0時，λa與a的方向eq\x(12)相反；當λ＝0時，λa＝eq\x(13)0λ(μa)＝eq\x(14)(λμ)a；(λ＋μ)a＝eq\x(15)λa＋μa；λ(a＋b)＝eq\x(16)λa＋λb3.共線向量定理向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ，使得eq\x(17)b＝λa．?常用結(jié)論1．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最終一個向量終點的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A1An,\s\up6(→)).特殊地，一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量．2．若A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點，則eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0?P為△ABC的重心．3．A，B，C三點共線，O為A，B，C所在直線外一點，則eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))，且λ＋μ＝1.特殊地，當A為線段BC中點時，eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→)).‖基礎(chǔ)自測‖一、疑誤辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段表示向量．()(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).()(3)若兩個向量共線，則其方向必定相同或相反．()(4)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上．()(5)若a∥b，b∥c，則a∥c.()(6)當兩個非零向量a，b共線時，肯定有b＝λa，反之成立．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×(6)√二、走進教材2．(必修4P78A6改編)給出下列命題：①零向量的長度為零，方向是隨意的；②若a，b都是單位向量，則a＝b；③向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))相等．全部正確命題的序號是()A．① B．③C．①③ D．①②答案：A3．(必修4P92A12改編)設(shè)M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)隨意一點，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))等于()A．eq\o(OM,\s\up6(→)) B．2eq\o(OM,\s\up6(→))C．3eq\o(OM,\s\up6(→)) D．4eq\o(OM,\s\up6(→))答案：D三、易錯自糾4．若m∥n，n∥k，則向量m與向量k()A．共線 B．不共線C．共線且同向 D．不肯定共線解析：選D可舉特例，當n＝0時，滿意m∥n，n∥k，但m與k不共線，故A、B、C選項都不正確，故選D．5．設(shè)a，b都是非零向量，下列四個選項中，肯定能使eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0成立的是()A．a(chǎn)＝2b B．a(chǎn)∥bC．a(chǎn)＝－eq\f(1,3)b D．a(chǎn)⊥b解析：選C“eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0，且a，b都是非零向量”等價于“非零向量a，b共線且反向”，故選C．6．在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，則下列等式成立的是()A．c＝2b－a B．c＝2a－bC．c＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b D．c＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a解析：選D依題意，得eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝2(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，即c＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a.eq\a\vs4\al(考點\a\vs4\al(平面對量的有關(guān)概念))|題組突破|1．下列命題正確的是()A．若|a|＝|b|，則a＝b B．若|a|>|b|，則a>bC．若a＝b，則a∥b D．若|a|＝0，則a＝0解析：選C對于A，當|a|＝|b|，即向量a，b的模相等時，方向不肯定相同，則a＝b不肯定成立，故A不正確；對于B，向量的模可以比較大小，但向量不行以比較大小，故B不正確；C明顯正確；對于D，若|a|＝0，則a＝0，故D不正確，故選C．2．給出下列命題：(1)若|a|＝|b|，則a＝b；(2)若A，B，C，D是不共線的四點，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；(3)若a＝b，b＝c，則a＝c；(4)兩向量a，b相等的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中正確命題的序號是________．解析：(1)不正確．兩個向量的模相等，但它們的方向不肯定相同，因此由|a|＝|b|推不出a＝b.(2)正確．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→)).又A，B，C，D是不共線的四點，∴四邊形ABCD是平行四邊形．反之，若四邊形ABCD是平行四邊形，則ABeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))DC且eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))方向相同，因此eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).(3)正確．∵a＝b，∴a，b的長度相等且方向相同．∵b＝c，∴b，c的長度相等且方向相同．∴a，c的長度相等且方向相同，∴a＝c.(4)不正確．當a∥b，但方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|a|＝|b|，,a∥b))不是a＝b的充要條件．答案：(2)(3)3．給出下列命題：①兩個具有公共終點的向量，肯定是共線向量；②λa＝0(λ為實數(shù))，則λ必為零；③λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線．其中錯誤命題的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3解析：選D①錯誤，兩向量共線要看其方向而不是起點或終點；②錯誤，當a＝0時，不論λ為何值，λa＝0；③錯誤，當λ＝μ＝0時，λa＝μb＝0，此時a與b可以是隨意向量，故錯誤的命題有3個，故選D．?名師點津向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長度．(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制．(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等．(4)單位向量的關(guān)鍵是長度都是一個單位長度．(5)零向量的關(guān)鍵是長度是0，規(guī)定零向量與隨意向量共線．eq\a\vs4\al(考點一\a\vs4\al(平面對量的線性運算——多維探究))●命題角度一用已知向量表示未知向量【例1】(1)(2025屆吉林高校附屬中學摸底)在梯形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A．－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) B．－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)) D．－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))(2)如圖所示，已知AB是圓O的直徑，點C，D是半圓弧的兩個三等分點，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A．a(chǎn)－eq\f(1,2)bB．eq\f(1,2)a－bC．a(chǎn)＋eq\f(1,2)bD．eq\f(1,2)a＋b[解析](1)如圖，在線段AB上取點E，使BE＝DC，連接DE，則四邊形BCDE為平行四邊形，則eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).故選D．(2)連接CD(圖略)，由點C，D是半圓弧的三等分點，得CD∥AB且eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)a.[答案](1)D(2)D●命題角度二依據(jù)向量線性運算求參數(shù)【例2】如圖，在△ABC中，N為線段AC上靠近點A的三等分點，點P在線段BN上，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,11)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(BC,\s\up6(→))，則實數(shù)m的值為()A．1 B．eq\f(1,3)C．eq\f(9,11) D．eq\f(5,11)[解析]由題意，得eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,11)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,11)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→)).設(shè)eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BN,\s\up6(→))(0≤λ≤1)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AN,\s\up6(→)).由題意，得eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)λeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1－λ，,\f(2,11)＝\f(1,3)λ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(6,11)，,m＝\f(5,11)，))故選D．[答案]D?名師點津向量線性運算的解題策略(1)向量的加減常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則．(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個平行四邊形或三角形中求解．eq\a\vs4\al(考點二\a\vs4\al(共線向量定理及其應(yīng)用——變式探究))【例3】設(shè)向量a與b不共線．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．[解](1)證明：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共線．又它們有公共點B，∴A，B，D三點共線．(2)∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是兩個不共線的非零向量，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0.))∴k2－1＝0.∴k＝±1.|變式探究|1．若將本例(1)中“eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b”改為“eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb”，則m為何值時，A，B，D三點共線？解：eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，若A，B，D三點共線，則存在實數(shù)λ，使eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝λ，,m－3＝λ，))解得m＝7.故當m＝7時，A，B，D三點共線．2．若將本例(2)中的“共線”改為“反向共線”，則k為何值？解：因為ka＋b與a＋kb反向共線，所以存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)，即ka＋b＝λa＋kλb，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,kλ＝1，))所以k＝±1.又λ<0，k＝λ，所以k＝－1.故當k＝－1時，兩向量反向共線．?名師點津利用共線向量定理解題的策略(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是推斷兩個向量共線的主要依據(jù)．留意待定系數(shù)法和方程思想的運用．(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)留意向量共線與三點共線的區(qū)分與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線．例A，B，C三點共線?eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共線．(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(4)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，若A，B，C三點共線，則λ＋μ＝1.|跟蹤訓練|1．已知向量i與j不共線，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝i＋mj，eq\o(AD,\s\up6(→))＝ni＋j，若A，B，D三點共線，則實數(shù)m，n應(yīng)當滿意的條件是()A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1C．mn＝1 D．mn＝－1解析：選C由A，B，D三點共線可設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))(λ∈R)，于是有i＋mj＝λ(ni＋j)＝λni＋λj.又i，j不共線，因此eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λn＝1，,λ＝m，))即有mn＝1.2．在△ABC中，N是AC邊上一點且eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，P是BN上一點，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(→))，則實數(shù)m的值是________．解析：因為eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，所以eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up6(→)).因為P是BN上一點，所以B，P，N三點共線，所以m＋eq\f(2,3)＝1，所以m＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)eq\a\vs4\al(考點\a\vs4\al(平面對量線性運算的創(chuàng)新應(yīng)用))【例】(2025屆洛陽市其次次聯(lián)考)在△ABC中，點D在線段BC上，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，點O在線段CD上(與點C，D不重合)．若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，則x的取值范圍是()A．(0，1) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))[解析]解法一：由題意，得eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))＝x(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝x(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴eq\o(CO,\s\up6(→))＝xeq\o(CB,\s\up6(→))，∴eq\f(|\o(CO,\s\up6(→))|,\a\vs4\al(|\o(CB,\s\up6(→))|))＝x.∵eq\o(BD,\s