高中數(shù)學第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理二導學案新人教A版必修5

1.1.2余弦定理(二)教學目標1.嫻熟駕馭余弦定理及其變形形式.2.會用余弦定理解三角形.3.能利用正弦、余弦定理解決有關(guān)三角形的恒等式化簡、證明及形態(tài)推斷等問題．教學過程一、創(chuàng)設(shè)情景老師首先提出問題：通過學生對課本的預習，讓學生與大家共享自己對余弦定理及其變形形式的了解。通過舉例說明和相互溝通.做好老師對學生的活動的梳理引導，并賜予主動評價.二、自主學習1.在△ABC中，若B＝30°，AB＝2eq\r(3)，AC＝2，可以先用正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)求出sinC＝eq\f(\r(3),2).那么能不能用余弦定理解此三角形？假如能，怎么解？提示：能．在余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB中，已知三個量AC＝b，AB＝c，cosB，代入后得到關(guān)于a的一元二次方程，解此方程即可．2.已知兩邊及其一邊的對角，既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，滿意條件的三角形個數(shù)為0,1,2，詳細推斷方法為：設(shè)在△ABC中，已知a，b及A的值．由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可求得sinB＝eq\f(bsinA,a).(1)當A為鈍角時，則B必為銳角，三角形的解唯一；(2)當A為直角且a>b時，三角形的解唯一；(3)當A為銳角時，如圖，以點C為圓心，以a為半徑作圓，三角形解的個數(shù)取決于a與CD和b的大小關(guān)系：①當a<CD時，無解；②當a＝CD時，一解；③當CD<a<b時，則圓與射線AB有兩個交點，此時B為銳角或鈍角，此時B的值有兩個．④當a≥b時，一解．(4)假如a>b，則有A>B，所以B為銳角，此時B的值唯一．二、合作探究探究點1：推斷三角形的形態(tài)問題1三角形的形態(tài)類別許多，按邊可分為等腰三角形，等邊三角形，其他；按角可分為鈍角三角形，直角三角形，銳角三角形．在推斷三角形的形態(tài)時是不是要一個一個去推斷？提示：不須要．假如所知條件便利求角，只需推斷最大的角是鈍角，直角，銳角；假如便利求邊，假設(shè)最大邊為c，可用a2＋b2－c2來推斷cosC的正負．而推斷邊或角是否相等則一目了然，不需多說．問題2△ABC中，sin2A＝sin2B.則A，B肯定相等嗎？提示：∵A，B∈(0，π)，∴2A,2B∈(0,2π)，∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).例1在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，試推斷△ABC的形態(tài)．解由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，即b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2).∵0<A<π，∴A＝eq\f(π,3).又sinA＝2sinBcosC.∴由正弦、余弦定理，得a＝2b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－c2,a)，∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC為等邊三角形．變式訓練：將本例中的條件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc改為(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－a2bc，其余條件不變，試推斷△ABC的形態(tài)．解由(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－a2bc，得(b2＋c2－a2)2＝bc(b2＋c2－a2)，∴(b2＋c2－a2)(b2＋c2－a2－bc)＝0，∴b2＋c2－a2＝0或b2＋c2－a2－bc＝0，∴a2＝b2＋c2或b2＋c2－a2＝bc，由a2＝b2＋c2，得A＝90°，由b2＋c2－a2＝bc，得cosA＝eq\f(1,2)，∴A＝60°，∴△ABC為等邊三角形或等腰直角三角形．名師點評：(1)推斷三角形形態(tài)，往往利用正弦定理、余弦定理將邊、角關(guān)系相互轉(zhuǎn)化，經(jīng)過化簡變形，充分暴露邊、角關(guān)系，繼而作出推斷．(2)在余弦定理中，留意整體思想的運用，如：b2＋c2－a2＝2bccosA，b2＋c2＝(b＋c)2－2bc等等．探究點2：證明三角形中的恒等式問題：前面我們用正弦定理化簡過acosB＝bcosA，當時是把邊化成了角；現(xiàn)在我們學了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成邊？提示：由余弦定理得aeq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝beq\f(b2＋c2－a2,2bc)，去分母得a2＋c2－b2＝b2＋c2－a2，化簡得a＝b.例2在△ABC中，有(1)a＝bcosC＋ccosB；(2)b＝ccosA＋acosC；(3)c＝acosB＋bcosA，這三個關(guān)系式也稱為射影定理，請給出證明．證明方法一(1)由正弦定理，得b＝2RsinB，c＝2RsinC，∴bcosC＋ccosB＝2RsinBcosC＋2RsinCcosB＝2R(sinBcosC＋cosBsinC)＝2Rsin(B＋C)＝2RsinA＝a.即a＝bcosC＋ccosB.同理可證(2)b＝ccosA＋acosC；(3)c＝acosB＋bcosA.方法二(1)由余弦定理，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，∴bcosC＋ccosB＝b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋b2－c2,2a)＋eq\f(a2＋c2－b2,2a)＝eq\f(2a2,2a)＝a.∴a＝bcosC＋ccosB.同理可證(2)b＝ccosA＋acosC；(3)c＝acosB＋bcosA.名師點評：證明三角形中邊角混合關(guān)系恒等式，可以考慮兩種途徑：一是把角的關(guān)系通過正弦、余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，正弦借助正弦定理轉(zhuǎn)化，余弦借助余弦定理轉(zhuǎn)化；二是通過正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系．四、當堂檢測1．在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，則B等于()A．60° B．45°或135°C．120° D．30°2．在△ABC中，若b2sin2C＋C2sin2B＝2bccosBcosC，則△ABC的形態(tài)肯定是()A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等邊三角形3．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2eq\r(3)，AC＝2，則滿意條件的三角形有幾個？提示：1．C2.B3．解設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，∴22＝a2＋(2eq\r(3))2－2a×2eq\r(3)cos30°，即a2－6a＋8＝0，解得a＝2或a＝4.當a＝2時，三邊長為2,2,2eq\r(3)，可組成三角形；當a＝4時，三邊長為4,2,2eq\r(3)，也可組成三角形．∴滿意條件的三角形有兩個．五、課堂小結(jié)本節(jié)課我們學習過哪些學問內(nèi)容?1．已知兩邊及其中一邊的對角解三角形，一般狀況下，利用正弦定理求出另一邊所對的角，再求其他的邊或角，要留意進行探討．假如采納余弦定理來解，只需解一個一元二次方程，即可求出邊來，比較兩種方法，采納余弦定理較簡潔．2．依據(jù)所給條件確定三角形的形態(tài)，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實施邊、角轉(zhuǎn)換．3．在余弦定理中，每一個等式均含有四個量，利用方程的觀點，可以知三求一．4．利用余弦定理求三角形的邊長時簡潔出現(xiàn)增解，緣由是余弦定理中涉及的是邊長的平方，通常轉(zhuǎn)化為一元二次方程求正實