過關(guān)檢測(cè)04函數(shù)單調(diào)性的四種求法-2022年高考數(shù)學(xué)六大考點(diǎn)全面解讀檢測(cè)

過關(guān)檢測(cè)041.已知函數(shù)，求證時(shí).【解析】證明：定義域，，令，，因?yàn)槎际窃龊瘮?shù)，所以單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以一定存在使得，所以時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞增，所以，又由可得，所以，所以，從而得證.2.已知函數(shù)，求證.【解析】證明：定義域，因?yàn)樵跁r(shí)都是增的，所以為增函數(shù)，又因?yàn)?，所以存在唯一的使得，時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞增，，又由可得，所以.令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，,所以.3.已知函數(shù)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】法一：定義域,,令，，令，，所以單調(diào)遞增，又因?yàn)椋砸欢ù嬖谑沟?，所以?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，又由可得，所以，.法二：定義域,，令，則，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，所以.法法二運(yùn)用的是函數(shù)同構(gòu)，這個(gè)方法比價(jià)棘手的是學(xué)生們不知道該如何構(gòu)造，本專輯里會(huì)在后面恒成立問題的四種解法中詳細(xì)敘述構(gòu)造方法4.已知函數(shù)，證明.【解析】證明：定義域：，，令當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.又，由零點(diǎn)存在性定理可知一定存在使得.所以時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增.由此可知，，，，成立.5.已知函數(shù).討論的單調(diào)性；若有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）時(shí)單調(diào)遞增；時(shí)和時(shí)單調(diào)遞增，時(shí)單調(diào)遞減.（2）.【解析】定義域，令（Ⅰ）即時(shí)，恒成立，單調(diào)遞增.（Ⅱ）即時(shí)，，所以和時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減.（2）由（1）可知時(shí)單調(diào)遞增,不會(huì)存在3個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)和時(shí)單調(diào)遞增，時(shí)單調(diào)遞減.,且時(shí)，時(shí)，所以要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)則，即，.6.設(shè)函數(shù).討論的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)和時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增；（2）.【解析】（1）定義域,，令，，當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.（2），令，要使，則只需又因?yàn)椋运栽跁r(shí)單調(diào)遞減.，恒成立，所以單調(diào)遞減，所以.7.已知函數(shù).當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞增；（2）.【解析】（1）,,當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.（2）.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)恒成立，所以單調(diào)遞增不會(huì)有兩個(gè)零點(diǎn).（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，則，令，，，此時(shí)，由（1）可知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且恒大于零，即，所以，設(shè)，則，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以.8.已知函數(shù).討論的單調(diào)性；當(dāng)有最大值，且最大值大于時(shí)，求的取值范圍.【答案】（1）時(shí)單調(diào)遞增；時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）.【解析】（1）定義域是，，（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.（Ⅱ）時(shí)令，.①當(dāng)時(shí)不在定義域內(nèi)，恒成立，單調(diào)遞增.②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減.綜上所述時(shí)單調(diào)遞增；時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）可知時(shí)單調(diào)遞增無最大值，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，最大值是，，令，，所以單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以?dāng)是.9.已知函數(shù).設(shè)是的極值點(diǎn)，求；當(dāng)時(shí)，證明.【答案】（1）【解析】（1），因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，所以.驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，，顯然，又因?yàn)閱握{(diào)遞增（增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)），所以有且僅有一個(gè)根，時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，是的極值點(diǎn)成立.（2）定義域，，令，，由增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)可知單調(diào)遞增，又因?yàn)椋砸欢ù嬖谑沟?，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，又由可知，，所以，所以，得證.10.設(shè)函數(shù).討論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）時(shí)無零點(diǎn)，時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)【解析】（1），令，，則零點(diǎn)個(gè)數(shù)和交點(diǎn)個(gè)數(shù)，令，所以單調(diào)遞增，且恒成立，所以當(dāng)時(shí)沒有交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)有一個(gè)交點(diǎn).（2）由（1）可知時(shí)，有唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)，則時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，，又由可知，，所以，當(dāng)時(shí)由基本不等式可知得證.11.已知函數(shù).討論的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，記在區(qū)間上最大值為,最小值為，求的取值范圍.【答案】（1）時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；時(shí)單調(diào)遞增；（2）.【解析】定義域是,，令，或，①當(dāng)即時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減.②當(dāng)即時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減.③當(dāng)，即時(shí)所以單調(diào)遞增.綜上所述：時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；時(shí)單調(diào)遞增.（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋詴r(shí)單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞增，，，所以，當(dāng)時(shí)，令，所以在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，令單調(diào)遞增，所以，所以.12.已知函數(shù)，其中.（1）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，討論的單調(diào)性；（2）證明：存在，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解.【答案】（1）時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減【解析】（1）定義域，，，令則，，（Ⅰ）當(dāng)即時(shí)，恒成立，單調(diào)遞增.（Ⅱ）當(dāng)即時(shí)，,且，所以當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.綜上所述：時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以一定存在使得，所以當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，，又由可知，所以，若在上恒成立，則，，下面只需證明有唯一解即只存在一個(gè)，因?yàn)椋?，所以，設(shè)，所以單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以有唯一解，即存在，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解.13.設(shè)函數(shù),.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且關(guān)于的方程在內(nèi)有唯一解？【答案】（1）時(shí)單調(diào)遞增；時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）存在使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且關(guān)于的方程在內(nèi)有唯一解.【解析】（1）定義域：，.(Ⅰ)時(shí)，單調(diào)遞增.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)令，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.綜上所述：時(shí)單調(diào)遞增；時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2），，易知，要使得在內(nèi)恒成立，則，所以即為極值點(diǎn)，，，下面驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)恒成立，且關(guān)于的方程在內(nèi)有唯一解.，令，，所以單調(diào)遞減，又因?yàn)?，，所以存在唯一的使得，所以?dāng)時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，，又由可得，所以所以，所以恒成立，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，，所以存在使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且關(guān)于的方程在內(nèi)有唯一解.14.已知函數(shù)且滿足，則的取值范圍是（）A.B.C.D.或【答案】C【解析】是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞減，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以時(shí)單調(diào)遞增，所以.15.設(shè)函數(shù)則不等式成立的的取值范圍（）A.B.C.D.【答案】C【解析】為偶函數(shù)，時(shí)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞減，由偶函數(shù)性質(zhì)可知時(shí)單調(diào)遞增，所以，或.16.已知函數(shù)，則下列正確的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】,，所以為奇函數(shù)，，令，，所以單調(diào)遞增，又因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以單調(diào)遞增，所以.17.已知函數(shù)則（）A.是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C.是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增D.是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減【答案】C【解析】為偶函數(shù)排除AB，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞增，排除D.選C.18.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；若,求的取值范圍.【答案】（1）.（2）.【解析】（1），設(shè)，則，所以即，所以，，.（2）由（1）可知?jiǎng)t，，，，所以.當(dāng)時(shí)恒成立，即恒成立，，所以，且時(shí)成立，綜上所述.19.數(shù)列滿足證明：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充要條件是求的取值范圍，使數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列【答案】（2）.【解析】（1）必要性：若單調(diào)遞減則對(duì)任意都成立，成立.充分性：當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，得證.（2），再由單調(diào)遞增可知，所以，即對(duì)任意都成立，所以，即，因?yàn)椋?下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，則，.設(shè)函數(shù)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，，所以結(jié)論成立，綜上可知.20.已知對(duì)任意的正整數(shù)，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】時(shí)，因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，所以恒成立，.21.為了引導(dǎo)居民合理用水，某市決定全面實(shí)施階梯水價(jià)，階梯水價(jià)原則上以住宅（一套住宅為一戶）的月用水量為基準(zhǔn)定價(jià)，具體劃分標(biāo)準(zhǔn)如下表階梯級(jí)別第一階梯水量第二階梯水量第三階梯水量月用水量范圍（單位：立方米）從本市隨機(jī)抽取10戶家庭，統(tǒng)計(jì)了同一月份的月用水量如下：7，8，9，11，12，13，13，14，20，32現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯水量的戶數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望；用抽到的10戶家庭作為樣本估計(jì)全市的居民用水情況，從全市依次隨機(jī)抽取10戶，若抽到