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文檔簡介
“5+2”解答題狂練(四)分數:70分時間:60分1.在中,內角所對的邊分別為,已知(1)求角的大??;(2)已知,的面積為6,求邊長的值.【答案】(1);(2).【解析】(1)由二倍角的余弦公式把降次,再用兩個角的和的余弦公式求,由三角形三內角和定理可求得,從而求得角;(2)根據三角形的面積公式求出邊,再由余弦定理求邊.【詳解】試題分析:(1)由已知得,化簡得,故,所以,因為,所以.(2)因為,由,,,所以,由余弦定理得,所以.【點睛】本題主要考查了兩角和差公式的應用及利用余弦定理解三角形,屬于基礎題.2.我國是世界上嚴重缺水的國家,某市為了制定合理的節(jié)水方案,對居民用水情況進行調查,通過抽樣,獲得某年100為居民每人的月均用水量(單位:噸),將數據按照分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求直方圖的的值;(2)設該市有30萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數,說明理由;(3)估計居民月用水量的中位數.
【答案】(1);(2)36000;(3).【解析】本題主要考查頻率分布直方圖、頻率、頻數的計算等基礎知識,考查學生的分析問題、解決問題的能力.第(Ⅰ)問,由高×組距=頻率,計算每組的頻率,根據所有頻率之和為1,計算出a的值;第(Ⅱ)問,利用高×組距=頻率,先計算出每人月均用水量不低于3噸的頻率,再利用頻率×樣本容量=頻數,計算所求人數;第(Ⅲ)問,將前5組的頻率之和與前4組的頻率之和進行比較,得出2≤x<2.5,再估計月均用水量的中位數.【詳解】(Ⅰ)由頻率分布直方圖,可知:月均用水量在[0,0.5)的頻率為0.08×0.5=0.04.同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)等組的頻率分別為0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1–(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a,解得a=0.30.(Ⅱ)由(Ⅰ)100位居民月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12.由以上樣本的頻率分布,可以估計30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數為300000×0.12=36000.(Ⅲ)設中位數為x噸.因為前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5,而前4組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5所以2≤x<2.5.由0.50×(x–2)=0.5–0.48,解得x=2.04.故可估計居民月均用水量的中位數為2.04噸.【考點】頻率分布直方圖【名師點睛】本題主要考查頻率分布直方圖、頻率、頻數的計算公式等基礎知識,考查學生的分析問題、解決問題的能力.在頻率分布直方圖中,第n個小矩形的面積就是相應組的頻率,所有小矩形的面積之和為1,這是解題的關鍵,也是識圖的基礎.3.如圖2,四邊形為矩形,平面,,,作如圖3折疊,折痕.其中點、分別在線段、上,沿折疊后點在線段上的點記為,并且.(1)證明:平面;(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)詳見解析;(2).【解析】試題分析:(1)要證CF⊥平面MDF,只需證CF⊥MD,且CF⊥MF即可;由PD⊥平面ABCD,得出平面PCD⊥平面ABCD,即證MD⊥平面PCD,得CF⊥MD;(2)求出△CDE的面積S△CDE,對應三棱錐的高MD,計算它的體積VMCDE.試題解析:(1)證明:∵PD⊥平面ABCD,PD?平面PCD,∴平面PCD⊥平面ABCD;又平面PCD∩平面ABCD=CD,MD?平面ABCD,MD⊥CD,∴MD⊥平面PCD,CF?平面PCD,∴CF⊥MD;又CF⊥MF,MD、MF?平面MDF,MD∩MF=M,∴CF⊥平面MDF;(2)∵CF⊥平面MDF,∴CF⊥DF,又易知∠PCD=60°,∴∠CDF=30°,∴CF=CD=;∵EF∥DC,∴,即,∴,∴,,=,∴【考點】空間線面垂直、面面垂直的判定與性質,空間幾何體的體積計算,邏輯推論證能力,運算求解能力4.已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點.與的公共弦的長為.過點的直線與相交于,兩點,與相交于,兩點,且與同向.(1)求的方程;(2)若,求直線的斜率.【答案】(1);(2).【解析】(1)由拋物線方程可求出焦點,進而得出,再由公共弦的長為可得出,聯立方程可求出,,寫出方程即可;(2)設,,,,由題可得,即,設的方程為,聯立直線與拋物線可得,,聯立直線與橢圓可得,,即可建立方程求出.【詳解】(1)由知其焦點的坐標為.因為也是橢圓的一個焦點,所以.①又與的公共弦的長為,與都關于軸對稱,且的方程為,由此易知與的公共點的坐標為,所以.②聯立①,②得,.故的方程為.(2)如圖,設,,,.因與同向,且,所以,從而,即,于是.③設直線的斜率為,則的方程為.由,得.而,是這個方程的兩根,所以,.④由,得.而,是這個方程的兩根,所以,,⑤將④,⑤代入③,得,即,所以,解得,即直線的斜率為.【點睛】本題考查橢圓方程的求法,考查拋物線與橢圓的綜合應用,屬于中檔題.5.設f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x,aR.(Ⅰ)令g(x)=f'(x),求g(x)的單調區(qū)間;(Ⅱ)已知f(x)在x=1處取得極大值.求實數a的取值范圍.【答案】(Ⅰ)當時,函數單調遞增區(qū)間為,當時,函數單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為;(Ⅱ)【解析】試題分析:(Ⅰ)先求出,然后討論當時,當時的兩種情況即得.(Ⅱ)分以下情況討論:①當時,②當時,③當時,④當時,綜合即得.試題解析:(Ⅰ)由可得,則,當時,時,,函數單調遞增;當時,時,,函數單調遞增,時,,函數單調遞減.所以當時,單調遞增區(qū)間為;當時,函數單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,.①當時,,單調遞減.所以當時,,單調遞減.當時,,單調遞增.所以在x=1處取得極小值,不合題意.②當時,,由(Ⅰ)知在內單調遞增,可得當當時,,時,,所以在(0,1)內單調遞減,在內單調遞增,所以在x=1處取得極小值,不合題意.③當時,即時,在(0,1)內單調遞增,在內單調遞減,所以當時,,單調遞減,不合題意.④當時,即,當時,,單調遞增,當時,,單調遞減,所以f(x)在x=1處取得極大值,合題意.綜上可知,實數a的取值范圍為.【考點】應用導數研究函數的單調性、極值,分類討論思想【名師點睛】本題主要考查導數的計算、應用導數研究函數的單調性與極值、分類討論思想.本題覆蓋面廣,對考生計算能力要求較高,是一道難題.解答本題,準確求導是基礎,恰當分類討論是關鍵,易錯點是分類討論不全面、不徹底、不恰當.本題能較好地考查考生的邏輯思維能力、基本計算能力及分類討論思想等.6.在直角坐標系中,圓的方程為.(Ⅰ)以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,求的極坐標方程;(Ⅱ)直線的參數方程是(為參數),與交于兩點,,求的斜率.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】試題分析:(Ⅰ)利用,化簡即可求解;(Ⅱ)先
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