專題03平面向量（重難點突破）學生版

專題03平面向量【重難點知識點網(wǎng)絡】：1、向量的有關概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長度為0的向量記作0，其方向是任意的單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共線向量)0與任一向量平行或共線相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不相等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02、向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差三角形法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算|λa|＝|λ||a|，當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3、平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.4、平面向量的坐標運算運算坐標表示和(差)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)數(shù)乘已知a＝(x1，y1)，則λa＝(λx1，λy1)，其中λ是實數(shù)任一向量的坐標已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)5、向量的夾角定義圖示范圍共線與垂直已知兩個非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，則∠AOB就是a與b的夾角設θ是a與b的夾角，則θ的取值范圍是0°≤eq\a\vs4\al(θ)≤180°eq\o(θ＝0°,\s\do4())或θ＝eq\o(180°,\s\do4())?a∥b，θ＝90°?a⊥b6、平面向量的數(shù)量積定義設兩個非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積7、向量數(shù)量積的運算律交換律a·b＝b·a分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c數(shù)乘結合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)8、平面向量數(shù)量積的有關結論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.結論幾何表示坐標表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))【重難點題型突破】：一、平面向量的有關概念例1、（多選題）（河北衡水二中2019屆高三調研）下列有關向量命題，不正確的是（）A．若，則 B．已知，且，則C．若，則 D．若，則且【變式訓練11】、下列敘述錯誤的是________(填序號)．①已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，則向量a＋b的方向與向量a的方向相同；②|a|＋|b|＝|a＋b|?a與b方向相同；③向量b與向量a共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ，使得b＝λa；④eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0；⑤若λa＝λb，則a＝b.【變式訓練12】、設是已知的平面向量且，關于向量的分解，有如下四個命題：①給定向量，總存在向量，使；②給定向量和，總存在實數(shù)和，使；③給定單位向量和正數(shù)，總存在單位向量和實數(shù)，使；④給定正數(shù)和，總存在單位向量和單位向量，使；上述命題中的向量，和在同一平面內且兩兩不共線，則真命題的個數(shù)是()A．1 B．2C．3D．4

二、平面向量的線性運算例2（1）（2020·全國高三專題練習）在中，，則（）A． B． C． D．（2）設分別為的三邊的中點，則()B．C．D．【變式訓練21】、(2019·河北衡水中學調研)一直線l與平行四邊形ABCD中的兩邊AB，AD分別交于點E，F(xiàn)，且交其對角線AC于點M，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(5,2)μ－λ＝()A.－eq\f(1,2) B.1 C.eq\f(3,2) D.－3【變式訓練22】、（廣東省惠州中學2021屆高三期末）如圖所示，矩形的對角線相交于點，為的中點，若，則等于（）A． B．C． D．【變式訓練23】、（廣東省汕頭市金山中學2021屆高三期中）在中,,,為斜邊上靠近點的三等分點,為邊的中點,則的值為__________.

三、平面向量的的坐標運算例3．（1）向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若(λ，μ∈R)，則=．（2）(2019·高考全國卷Ⅱ)已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，t)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．－3 B．－2C．2 D．3（3）（2019·天津新華中學調研）設A(0，1)，B(1，3)，C(－1，5)，D(0，－1)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A.－2eq\o(AD,\s\up6(→))B.2eq\o(AD,\s\up6(→))C.－3eq\o(AD,\s\up6(→))D.3eq\o(AD,\s\up6(→))【變式訓練31】、已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且eq\o(MP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up7(→))，則P點的坐標為()A．(－8,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D．(8，－1)【變式訓練32】、已知非零向量a，b滿足，且b，則a與b的夾角為（）A． B． C． D．

【變式訓練33】、已知點、、、，則向量在方向上的投影為A． B． C． D．四、平面向量的數(shù)量積例4．（多選題）下列結論正確的是（）A．若，則是鈍角三角形B．若，則C．，D．若，，三點滿足，則，，三點共線【變式訓練41】、（2020·全國高三專題練習）已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（）A． B．C． D．【變式訓練42】、．（2020·武威第六中學高三月考（理））已知向量滿足，，則（）A．4 B．3 C．2 D．0

【變式訓練43】、已知向量滿足，，，則（）A． B． C． D．【變式訓練44】、（2020·山東臨沂·高三期中）已知向量，，若，，則______．【變式訓練45】、（福建省莆田第一中學2021屆高三期中）設向量，，，且，則（）A．3 B．2 C．2 D．3【變式訓練46】、（福建省永安市第三中學2021屆高三期中）已知向量，，若，且，則實數(shù)（）A． B．C． D．

五、平面向量的的綜合應用例5．（多選題）（2021·山東師范大學附中高三學業(yè)考試）下列關于平面向量的說法中正確的是（）A