數(shù)學(xué)學(xué)案：集合之間的關(guān)系

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學(xué)人教B必修1第一章1。1．理解集合之間包含與相等的含義，能識別一些給定集合的子集．2．能使用維恩（Venn)圖表達(dá)集合之間的關(guān)系，尤其要注意空集這一特殊集合的意義．3．理解集合關(guān)系與其特征性質(zhì)之間的關(guān)系，并能寫出有限集的子集、真子集與非空真子集．1．集合之間的關(guān)系定義性質(zhì)特殊規(guī)定（結(jié)論）子集一般地，如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的____，記作____或____,讀作“A______B”或“B____A”對于集合A，B,C，如果A?B，B?C，則A____C根據(jù)子集的定義,任意一個集合A都是______的子集，即________．空集是____________的子集．也就是說,對任意集合A，都有____（其中A也可能是)真子集如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的______，記作____或____，讀作“A________B”或“B______A”對于集合A，B，C,如果AB,BC，則A____C空集是____________的真子集，也就是說,對任意一個非空集合A,都有___________相等一般地,如果集合A的______元素都是集合B的元素，反過來,集合B的______元素也都是集合A的元素，那么我們就說集合A等于集合B,記作A＝B如果A?B，又B?A，則____;反之，如果A＝B，則________對于元素較少的有限集，可以將集合中的元素全部列舉出來，說明兩個集合中的元素完全相同,從而得到兩個集合相等．對于無限集，只需說明兩個集合之間具有相互包含關(guān)系,就可以得到兩個集合相等A?B包括AB和A＝B兩種情況．其中AB，可形象地理解為B中元素至少比A中元素多一個;而A＝B，可從A的元素與B的元素完全一樣去理解．【做一做1－1】有下列關(guān)系：①1∈{0，1,2}；②｛1｝∈｛0,1,2};③{0,1，2｝?{0，1,2｝；④{0，1，2}＝｛2,0，1｝．其中錯誤的個數(shù)是（）A．1B．2C．3D．4【做一做1－2】已知集合A＝｛1,2,3},B＝{3，x2,2},若A＝B，則x的值是（)A．1B．－1C．±1D．0【做一做1－3】集合｛x∈Z｜2009≤x≤2011}的真子集的個數(shù)為（)A．3B．6C．7D．2．維恩(Venn)圖我們常用平面內(nèi)一條____________來表示一個集合,用這種圖形可以形象地表示出集合之間的關(guān)系,這種圖形通常叫做維恩(Venn）圖．如果集合A是集合B的______，那么就把表示A的區(qū)域畫在表示B的區(qū)域的內(nèi)部（如圖所示）．【做一做2】如圖所示，對于集合A，B，C，D的關(guān)系，描述正確的是()A．B?CB．D?AC．ABD．AC3．集合關(guān)系與其特征性質(zhì)之間的關(guān)系設(shè)A＝｛x｜p(x)｝，B＝{x|q(x)}，則有集合間的關(guān)系特征性質(zhì)間的關(guān)系A(chǔ)?B________A?B________A＝B________【做一做3】已知集合M＝{x|x＞2011｝，N＝{x｜x≥a｝，且x≥a?x＞2011,則a滿足的條件為__________．一、“∈”與“?"的區(qū)別與聯(lián)系剖析：符號“∈”表示元素與集合之間的從屬關(guān)系，也就是個體與總體的關(guān)系，是指單個對象與對象的全體的從屬關(guān)系；而符號“?"表示集合與集合之間的包含關(guān)系，也就是部分與總體的關(guān)系，是指由某些對象組成的部分與全部對象組成的全體之間的包含關(guān)系．從屬關(guān)系（∈）一般只能用在元素與集合之間；包含關(guān)系（?，）只能用在集合與集合之間．在使用以上符號的時候先要弄清楚是元素與集合的關(guān)系還是集合與集合之間的關(guān)系．例如，表示元素與集合之間的關(guān)系有:1∈N，－1?N,1∈{1}，0∈｛0}等，但不能寫成0＝｛0｝或0?｛0｝；表示集合與集合之間的關(guān)系有：N?R，｛1,2，3｝?{1，2，3}，｛1，2,3｝{1，2，3，4｝等；但需要引起注意的是{｝與∈｛}的寫法都是正確的，前者是從兩個集合間的關(guān)系來考慮的，后者則把看成集合{｝中的元素來考慮．二、探索集合的子集個數(shù)問題剖析：由子集的定義可知:若集合A是集合B的子集，則有A?B，它包含以下兩個方面：(1）AB；(2)A＝B．由以上知識，可以得到：若B＝｛a},則其子集可以是，｛a}，即集合中若有1個元素,其子集個數(shù)為2;若B＝{a，b}，則其子集可以是，{a},｛b｝，｛a，b}，即集合中若有2個元素，其子集個數(shù)為4；若B＝{a,b，c｝,則其子集可以是，{a｝,{b｝,｛c｝，{a，b｝,{a，c｝，｛b，c｝，{a，b，c}，即集合中若有3個元素，其子集的個數(shù)為8；若B＝{a,b,c,d}，則其子集可以是，{a}，,｛c}，lzmptcz，{a，b}，｛a，c｝,{a,d｝,｛b，c｝，｛b,d｝,｛c，d}，{a，b，c｝，{a,b，d},｛a,c，d｝，｛b，c，d}，｛a，b，c，d}，即集合中若有4個元素，其子集的個數(shù)為16。綜上所述，集合中的元素個數(shù)每增加1,其子集的個數(shù)變?yōu)樵瓉淼?倍，其對應(yīng)關(guān)系為：元素個數(shù)子集數(shù)目12＝2122×21＝2232×22＝2342×23＝24由此可以猜測：若集合中有n個元素,則其子集的個數(shù)應(yīng)為2n，其非空子集的個數(shù)為（2n－1),其真子集的個數(shù)應(yīng)為(2n－1),其非空真子集的個數(shù)為(2n－2)．三、教材中的“思考與討論”已知集合A的特征性質(zhì)為p（x),集合B的特征性質(zhì)為q（x)．“如果p(x),那么q(x）”是正確的命題，試問集合A和B的關(guān)系如何？并舉例說明．剖析：設(shè)A＝｛x|p(x)}，B＝｛x|q(x)｝，“如果p（x），那么q（x）"是正確的命題，則有p（x)?q(x)，即x∈A?x∈B，根據(jù)子集的定義有A?B．舉例說明如下：A＝｛x｜x是6的約數(shù)｝,B＝{x｜x是12的約數(shù)｝，即集合A的特征性質(zhì)p(x）是:x是6的約數(shù);集合B的特征性質(zhì)q(x）是：x是12的約數(shù)．而6的約數(shù)是1,2，3,6，12的約數(shù)是1，2，3，4，6，12，由此得知，“如果p（x),那么q（x）”是真命題，則有“如果x是6的約數(shù)，那么x是12的約數(shù)"，即x∈A?x∈B,所以A?B．題型一子集、真子集的概念【例1】（2011·東北五校高一期末）有下列關(guān)系：①0∈{0}；②｛0}；③｛0，1}?{(0，1)｝;④｛(a，b）}＝{(b，a）｝．其中正確的個數(shù)為（)A．1B．2C．3D．反思：注重元素與集合、集合與集合間關(guān)系的判斷的本質(zhì)要求,判斷時要注意看清楚集合是數(shù)集還是點集，更要注意空集的特殊性．題型二兩個集合相等及其應(yīng)用【例2】已知M＝{2，a，b}，N＝｛2a，2，b2｝,且M＝N,求a，b的值分析：eq\x(M＝N)→eq\x（列方程組）→eq\x（解方程組求a，b的值）反思：由集合相等的概念不難得到，若兩個有限集相等，則一定會具有以下性質(zhì):（1）兩個集合的元素的個數(shù)相等；（2)兩個集合的元素之和相等；（3）兩個集合的元素之積相等．另外，在考慮兩個集合相等時，還應(yīng)注意到集合中元素的互異性．本題結(jié)果易出現(xiàn)含有eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝0，，b＝0））這種情況的錯誤,導(dǎo)致該種錯誤的原因是忽視了集合中元素的互異性．題型三根據(jù)子集關(guān)系，確定參數(shù)的值【例3】設(shè)集合A＝｛－1,1｝，集合B＝｛x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠，B?A，求a，b的值．分析：由B≠，B?A，可見B是A的非空子集．而A的非空子集有三個:{－1}，｛1},｛－1，1｝,所以B要分三種情形討論．反思：利用分類討論的思想，考慮集合B的所有可能的情況，這是處理集合與其子集之間關(guān)系的常用方法．另外，此題也可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求解．此題容易發(fā)生的錯誤是：沒有注意題中的已知條件而考慮B＝的情形．題型四集合關(guān)系與其特征性質(zhì)之間的關(guān)系【例4】已知集合A＝｛x｜x＝1＋a2，a∈R｝,B＝｛y|y＝a2－4a＋5,a∈R｝,判斷這兩個集合之間的關(guān)系,并判斷它們的特征性質(zhì)之間的關(guān)系分析：首先化簡集合，可以得出集合之間的關(guān)系，從而得出其特征性質(zhì)之間的關(guān)系．反思：集合關(guān)系與其特征性質(zhì)之間的關(guān)系是必修1中新增添的內(nèi)容，我們不僅可以通過判斷兩個集合之間的關(guān)系來判斷它們的特征性質(zhì)之間的關(guān)系，還可以用集合特征性質(zhì)之間的關(guān)系判斷集合之間的關(guān)系，但要注意轉(zhuǎn)化的等價性．題型五易錯辨析【例5】集合A＝{x｜－2≤x≤5｝，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1｝（1)若B?A，求實數(shù)m滿足的條件；（2)當(dāng)x∈Z時，求A的非空真子集的個數(shù)．錯解:（1)由題意并結(jié)合數(shù)軸(如下圖），得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，，2m－1≤5.))解得2≤m≤3。所以實數(shù)m滿足的條件是2≤m≤3。(2）當(dāng)x∈Z時，A＝{－2，－1，0,1,2，3，4,5｝，所以A的非空真子集的個數(shù)為28－1＝255.反思：空集是一種特殊的集合，也是集合運(yùn)算中最活躍的一個集合,它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．當(dāng)B?A時，B可能為易被忽視，要注意這一“陷阱”，在條件不明確時，要注意分類討論．1已知集合A＝｛x∈N＋｜－2011＜x＜2012｝，B＝{x∈Z|0≤x≤2011}，則集合A，B之間的關(guān)系為(）A．A＝BB．ABC．BAD．A?B2已知集合A＝｛a}，C＝{a,b，c｝，若A?B且B?C，則集合B的個數(shù)是（)A．1B．2C．3D．3設(shè)集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x｜x＜a｝，若A?B,則a滿足的條件是（）A．a(chǎn)≥2B．a(chǎn)≤1C．a(chǎn)≥1D．a(chǎn)4已知集合A＝{2,9}，集合B＝{m2－m，9}，且A＝B，則實數(shù)m等于__________．5有下面5個命題：①空集沒有子集；②任意集合至少有兩個子集；③空集是任何集合的真子集;④若A，則A≠；⑤集合A?B，就是集合A中的元素都是集合B中的元素，集合B中的元素也都是集合A中的元素．其中不正確命題的序號有__________．6已知集合A中元素的特征性質(zhì)p（x):x2－2x－3＝0，集合B中元素的特征性質(zhì)q(x)：ax－1＝0,a∈R。若q(x)?p（x)，試求a的值．答案：基礎(chǔ)知識·梳理1．子集A?BB?A包含于包含?它本身A?A任意一個集合?A真子集ABBA真包含于真包含任意一個非空集合A每一個每一個A＝BA?B，且B?A【做一做1－1】A①正確；②錯誤，應(yīng)為{1｝｛0,1,2｝；③正確,也可以寫成{0,1，2}＝｛0,1，2};④正確．故選A.【做一做1－2】C【做一做1－3】C∵｛x∈Z｜2009≤x≤2011}＝{2009,2010,2011｝，集合中有3個元素，∴真子集個數(shù)為23－1＝7.2．封閉曲線的內(nèi)部真子集【做一做2】D3．p（x)?q（x）q（x）?p（x）p(x)?q（x)【做一做3】a＞2011∵x≥a?x＞2011，∴N?M.∴a＞2011.典型例題·領(lǐng)悟【例1】B根據(jù)元素與集合的關(guān)系可知0∈｛0｝正確；由空集是任意非空集合的真子集可知｛0｝正確;③中集合{0,1｝的元素是數(shù)，而集合｛(0，1）}的元素是點，因此沒有包含關(guān)系，故③錯誤；④中集合中的元素是點,而點的坐標(biāo)有順序性，因此{(lán)（a,b)｝≠{（b，a）}，故④錯誤；綜上，應(yīng)選B.【例2】解：根據(jù)集合中元素的互異性和M＝N,有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝2a,,b＝b2）)或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝b2，，b＝2a.）)解方程組，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0,,b＝0））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，，b＝1））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝\f（1,4)，,b＝\f（1,2)。))再根據(jù)集合中元素的互異性，知eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，，b＝0))不符合要求,舍去，所以a，b的值為eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝0,，b＝1）)或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝\f（1,4)，，b＝\f（1,2）.））【例3】解：由B?A，知B中的所有元素都屬于集合A。又B≠，故集合B有三種情形:B＝｛－1}或B＝｛1｝或B＝｛－1,1｝．當(dāng)B＝{－1}時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2a＋b＝0,,（－2a）2－4b＝0，)）解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝－1，,b＝1；））當(dāng)B＝｛1｝時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（1－2a＋b＝0，，(－2a)2－4b＝0,）)解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1;))當(dāng)B＝{－1,1｝時，eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(1＋2a＋b＝0,,1－2a＋b＝0,）)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝－1。）)綜上所述，a,b的值為eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝－1，，b＝1）)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝1,，b＝1)）或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝0，，b＝－1.))【例4】解：因為x＝1＋a2，a∈R，所以x≥1.因為y＝a2－4a＋5＝（a－2)2＋1,a∈R，所以y≥1，故A＝{x｜x≥1｝,B＝{y|y≥1｝,所以A＝B.故它們的特征性質(zhì)之間的關(guān)系為：x＝1＋a2,a∈