第1章-晶體學(xué)基礎(chǔ)-2-倒格子

倒易點(diǎn)陣主講：張希清11/22/20241為了研究衍射波的特性，1921年德國物理學(xué)家厄瓦爾德(P．P．Ewald)引入了倒易點(diǎn)陣的概念。倒易點(diǎn)陣是相對于正空間中的晶體點(diǎn)陣而言的，它是衍射波的方向與強(qiáng)度在空間的分布。由于衍射波是由正空間中的晶體點(diǎn)陣與入射波作用形成的，正空間中的一組平行晶面就可以用倒空間中的一個矢量或陣點(diǎn)來表示。用倒易點(diǎn)陣處理衍射問題時，能使幾何概念更清楚，數(shù)學(xué)推理簡化?？梢院唵蔚叵胂?，每一幅單晶的衍射花樣就是倒易點(diǎn)陣在該花樣平面上的投影。五、倒易點(diǎn)陣2倒易點(diǎn)陣定義假定晶體點(diǎn)陣基矢為a1、a2、a3，倒易點(diǎn)陣基矢為a1*、a2*、a3*，a1*、a2*、a3*

由下式定義：abcc*a*b*a*1=(a2×a3)/[a1·(a2×a3)]=(a2×a3)/V

a*2=(a3×a1)/[a2·(a3×a1)]=(a3×a1)/V

a*3=(a1×a2)/[a3·(a1×a2)]=(a1×a2)/V式中：V——陣胞（a1、a2、a3構(gòu)成之平行六面體）體積，按矢量混合積幾何意義，V=a1

(a2×a3)。

3

倒易點(diǎn)陣參數(shù)及

*（a*2與a*3夾角）、

*（a*3與a*1夾角）和

*（a*1與a*2夾角）由正點(diǎn)陣參數(shù)表達(dá)為

a*1=(a2a3sin

)/V

a*2=(a3a1sin

)/V

a*3=(a1a2sin

)/V

cos

*[=(a*2·a*3)/a*2a*3]=(cos

cos

-cos

)/sin

sin

cos

*[=(a*3·a*1)/a*3a*1]=(cos

cos

-cos

)/sin

sin

cos

*[=(a*1·a*2)/a*1a*2]=(cos

cos

-cos

)/sin

sin

4以立方晶系為例：立方晶系有a=b=c，

=

=

，V=a3；將其代入上式，則有

*=90

同理可得b*、c*、

*、

*，即a*=b*=c*=1/a

*=

*=

*=90

5正點(diǎn)陣和倒易點(diǎn)陣中基本平移矢量之間的關(guān)系正點(diǎn)陣基本平移矢量：倒易點(diǎn)陣基本平移矢量：晶胞體積倒易點(diǎn)陣任一基矢和晶體點(diǎn)陣中的兩基矢正交。體積互為倒數(shù).·········6倒易基矢垂直于晶面bc*a*b*100001010ac倒易基矢的方向a*

(100)b*

(010)c*

(001)7與正點(diǎn)陣相同，由倒易點(diǎn)陣基矢可以定義倒易點(diǎn)陣矢量（為整數(shù)），具有以上形式的矢量稱為倒易點(diǎn)陣矢量，同晶體點(diǎn)陣類似，倒易點(diǎn)陣就是由倒易點(diǎn)陣矢量所聯(lián)系的諸點(diǎn)的列陣。倒易矢量：由倒易點(diǎn)陣的原點(diǎn)O至任一倒易點(diǎn)hkl的矢量為G*由倒格子組成的空間,也叫狀態(tài)空間.倒格子是(晶體結(jié)構(gòu))晶格在狀態(tài)空間的化身.倒易矢量*8(1)G*的方向與實(shí)際點(diǎn)陣面（hkl）相垂直，或G

*的方向是實(shí)際點(diǎn)陣面（hkl）的法線方向。(2)G

*的大小等于實(shí)際點(diǎn)陣面（hkl）面間距的倒數(shù)，即倒易矢量的兩個重要性質(zhì)G*幾何意義:

正點(diǎn)陣中的每一組平行晶面(hkl)對應(yīng)于倒易點(diǎn)陣中的一個點(diǎn),此點(diǎn)處于這組晶面的公共法線上,即倒易矢量方向上;它至原點(diǎn)的距離為該晶面間距的倒數(shù)。9只需證明，則肯定垂直于平面。若離原點(diǎn)最近的晶面，在、、三個晶軸上的截距為：∵

而

∴

同理∴證明:10面間距ｄ就是或在法線方向的投影，法線方向就是的方向，此時原點(diǎn)也在晶面族的某一個平面上，因此只要求出原點(diǎn)與晶面之間的距離即可。1111、每個倒易矢量（每個倒易點(diǎn)）代表一組晶面,該矢量的方向垂直于所代表的晶面。該矢量的長度為晶面間距的倒數(shù)。倒易點(diǎn)陣的本質(zhì)Oa1a3b3001002003004005006100101102103104105106200201202203204205206300301302303304305306a2b1空間點(diǎn)陣中的(hkl)面在倒易點(diǎn)陣中用一個結(jié)點(diǎn)表示12電子衍射圖2、實(shí)驗(yàn)中:照相底片上的點(diǎn)是倒易點(diǎn)陣的投影。 照片上的點(diǎn)+投影形式

倒易點(diǎn)陣

實(shí)點(diǎn)陣13晶面間距的計(jì)算晶面間距(面網(wǎng)間距)指兩個相鄰晶面間的垂直距離。對晶面(hkl),一般用dhkl來表示其晶面間距。一般的規(guī)律是，在空間點(diǎn)陣中，晶面的晶面指數(shù)越小，其晶面間距越大，晶面的結(jié)點(diǎn)密度越大，它的X射線衍射強(qiáng)度越大，它的重要性越大。晶面間距在X射線分析中是十分重要的。14晶面間距的計(jì)算將的定義式代入上式，經(jīng)適當(dāng)運(yùn)算后，即可得各晶系的晶面間距表達(dá)式。15立方晶系：四方晶系：六方晶系：16正交（斜方）單斜三斜17例1某斜方晶體的a=7.417?,b=4.945?,c=2.547?,計(jì)算d110和d200。d110=4.11?,d200=3.71?18干涉指數(shù)若僅考慮晶面的空間方位，則A1，B1，A2，B2，…與A1，A2，A3，…一樣，均以晶面指數(shù)（010）標(biāo)識，但若進(jìn)一步考慮二者晶面間距之不同，則可分別用（010）和（020）標(biāo)識，此即為干涉指數(shù)。

（010）與（020）面（干涉指數(shù)引例）19干涉指數(shù)是對晶面空間方位與晶面間距的標(biāo)識。（晶面指數(shù)只標(biāo)識晶面的空間方位。）

干涉指數(shù)與晶面指數(shù)的關(guān)系：若將（hkl）晶面間距記為dhkl，則晶面間距為dhkl／n（n為正整數(shù)）的晶面干涉指數(shù)為（nh

nk

nl），記為（HKL），dhkl／n則記為dHKL。例如晶面間距分別為d110／2，d110/3的晶面，其干涉指數(shù)分別為（220）和（330）。干涉指數(shù)表示的晶面并不一定是晶體中的真實(shí)原子面，即干涉指數(shù)表示的晶面上不一定有原子分布。20(100)a/2a/4(200)(400)原點(diǎn)110220440原點(diǎn)21晶面夾角(其法線間的夾角）的計(jì)算很復(fù)雜，根據(jù)各晶系的特點(diǎn)，將倒點(diǎn)陣參數(shù)與正點(diǎn)陣參數(shù)換算，即可得到不同晶系各自的晶面夾角關(guān)系式。22對于等軸（立方）晶體，有：cosΦ=(H1H2+K1K2+L1L2)/[(H12+K12+L12)(H22+K22+L22)]1/2對于四方晶體，有：cosΦ=c2(H1H2+H1H2)+a2L1L2/[[c2(H12+K12)+a2L12]c2(H22+K22)+a2L22]]1/223晶帶晶帶方程：由于同一[uvw]晶帶各（HKL）晶面中法線與晶帶軸垂直，也即各（HKL）面對應(yīng)的倒易矢量r*HKL與晶帶軸垂直，r*HKL?ruvw=0故有

得

Hu+Kv+Lw=0此式稱為晶帶方程（晶帶定理）24同一[uvw]晶帶中各（HKL）面對應(yīng)的倒易（陣）點(diǎn)（及相應(yīng)的倒易矢量）位于過倒易原點(diǎn)O*的一個倒易（陣點(diǎn)）平面內(nèi)。反之，也可以說過O*的每一個倒易（陣點(diǎn)）平面上各倒易點(diǎn)（或倒易矢量