高三數(shù)學(xué)各地二模試題分項(xiàng)專題07 圓錐曲線(文)優(yōu)良金卷含解析

...wd......wd......wd...【2018高三數(shù)學(xué)各地優(yōu)質(zhì)二模試題分項(xiàng)精品】專題七圓錐曲線一、選擇題1．【2018廣東佛山高三二?！侩p曲線的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為，假設(shè)為等腰三角形，則該雙曲線的離心率為()A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意得不妨設(shè)，則，因?yàn)闉榈妊切危灾荒苁羌?，〔舍去?fù)值〕，選A.點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建設(shè)關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.2．【2018湖南株洲高三二?！侩p曲線的右焦點(diǎn)為，其中一條漸近線與圓交于兩點(diǎn)，為銳角三角形，則雙曲線的離心率的取值范圍是()A.B.C.D.【答案】D詳解：雙曲線的右焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為，圓的圓心，半徑為，漸近線與圓交于兩點(diǎn)，為銳角三角形，可得：可得又可得可得：，由可得所以雙曲線的離心率的取值范圍是．應(yīng)選D．點(diǎn)睛：此題考察雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考察轉(zhuǎn)化思想已經(jīng)計(jì)算能力．3．【2018延安高三模擬】，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線與圓相切于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為〔〕A.B.2C.3D.【答案】D即有|MF2|=3|MF1|=3a，由OM為三角形MF1F2的中線，可得〔2|OM|〕2+〔|F1F2|〕2=2〔|MF1|2+|MF2|2〕，即為4b2+4c2=2〔a2+9a2〕，即有c2+b2=5,再根據(jù)得到雙曲線的離心率為.應(yīng)選：D．點(diǎn)睛：此題主要考察雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)．求解雙曲線的離心率問題的關(guān)鍵是利用圖形中的幾何條件構(gòu)造的關(guān)系,處理方法與橢圓一樣,但需要注意雙曲線中與橢圓中的關(guān)系不同．求雙曲線離心率的值或離心率取值范圍的兩種方法：〔1〕直接求出的值,可得；〔2〕建設(shè)的齊次關(guān)系式,將用表示,令兩邊同除以或化為的關(guān)系式,解方程或者不等式求值或取值范圍．4．【2018安徽淮北高三二?！窟^拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，分別過作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為兩點(diǎn)，以為直徑的圓過點(diǎn)，則圓的方程為〔〕A.B.C.D.【答案】C5．【2018衡水金卷高三二?！侩p曲線的一條漸近線與直線垂直，且焦點(diǎn)在圓上，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，即①，又雙曲線的焦點(diǎn)在圓上，故令，解得，所以②，又③，聯(lián)立①②③解得，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，應(yīng)選B.6．【2018安徽安慶高三二模】過雙曲線的左焦點(diǎn)F作圓的切線，切點(diǎn)為M，又直線FM與直線相交于第一象限內(nèi)一點(diǎn)P，假設(shè)M為線段FP的中點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為A.B.2C.D.3【答案】B【解析】因?yàn)檫xB.點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建設(shè)關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.7．【2018東莞高三二?！侩p曲線的離心率為2，過右焦點(diǎn)的直線交雙曲線的兩條漸近線于兩點(diǎn)，且，則直線的斜率的值等于()A.B.C.D.【答案】A8．【2018廣東惠州高三4月模擬】是拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值是〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意可得，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為．過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角．∴當(dāng)最小時(shí)，最小，則當(dāng)和拋物線相切時(shí)，最?。O(shè)切點(diǎn)，由的導(dǎo)數(shù)為，則的斜率為.∴，則.∴，∴應(yīng)選C．點(diǎn)睛：此題主要考察拋物線的定義和幾何性質(zhì)，與焦點(diǎn)、準(zhǔn)線有關(guān)的問題一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)，解決這類問題一定要注意點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的轉(zhuǎn)化，這樣可利用三角形相似，直角三角形中的銳角三角函數(shù)或是平行線段比例關(guān)系可求得距離弦長以及相關(guān)的最值等問題.9．【2018河南鄭州高三二模】如圖，拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且過點(diǎn)，圓,過圓心的直線與拋物線和圓分別交于,則的最小值為()A.23B.42C.12D.52【答案】A【點(diǎn)睛】當(dāng)拋物線方程為，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，則有，拋物線的極坐標(biāo)方程為，所以，，所以，即證。10．【2018內(nèi)蒙古呼和浩特高三一調(diào)】是雙曲線的上、下兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線的上下兩支分別交于點(diǎn)，假設(shè)為等邊三角形，則雙曲線的漸近線方程為〔〕A.B.C.D.【答案】D【點(diǎn)睛】此題主要考察雙曲線的定義和簡單幾何性質(zhì)等知識，根據(jù)條件求出a，b的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．11．【2018四川德陽高三二診】如圖，過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，與拋物線及其準(zhǔn)線從上到下依次交于、、點(diǎn)，令，，則當(dāng)時(shí)，的值為〔〕A.3B.4C.5D.6【答案】C分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，則同理可得，應(yīng)選B.12．【2018重慶高三4月二診】設(shè)集合，，記，則點(diǎn)集所表示的軌跡長度為〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】由題意得圓的圓心在圓上，當(dāng)變化時(shí)，該圓繞著原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，集合A表示的區(qū)域是如以以下圖的環(huán)形區(qū)域．由于原點(diǎn)到直線的距離為，所以直線恰好與圓環(huán)的小圓相切．所以表示的是直線截圓環(huán)的大圓所得的弦長．故點(diǎn)集所表示的軌跡長度為．選D．點(diǎn)睛：解答此題的關(guān)鍵是正確理解題意，弄懂集合和的含義，然后將問題轉(zhuǎn)化為求圓的弦長的問題處理，在圓中求弦長時(shí)要用到由半徑、弦心距和半弦長構(gòu)成的直角三角形，然后利用勾股定理求解。13．【2018湖南衡陽高三二?！吭O(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為,弦的過且垂直于軸，過點(diǎn)分別作直線的垂線，兩垂線交于點(diǎn)，假設(shè)到直線的距離小于，則該雙曲線離心率的取值范圍是()A.B.C.D.【答案】B點(diǎn)睛：圓錐曲線里求離心率的取值范圍，一般是找到關(guān)于離心率的不等式，再解不等式.此題就是根據(jù)到直線的距離小于得到，再解這個(gè)不等式得到離心率的范圍的.14．【2018廣東茂名高三二?！窟^拋物線的焦點(diǎn)，且與其對稱軸垂直的直線與交于兩點(diǎn)，假設(shè)在兩點(diǎn)處的切線與的對稱軸交于點(diǎn)，則外接圓的半徑是〔〕A.B.C.D.【答案】B15．【2018河北石家莊高三一模】拋物線：的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)時(shí)，的面積為〔〕A.1B.2C.D.4【答案】B【解析】過作垂足為，則∴∴的高等于，設(shè)則的面積又由，三角形為等腰直角三角形，所以，∴的面積2應(yīng)選B.二、填空題16．【2018新疆烏魯木齊高三質(zhì)監(jiān)二】是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段的延長線交橢圓于點(diǎn)，且，橢圓的離心率為__________．【答案】點(diǎn)睛：此題主要考察的知識點(diǎn)是橢圓的離心率。解決的關(guān)鍵是根據(jù)向量的關(guān)系，即題目中給的條件，，結(jié)合相似比得到點(diǎn)，進(jìn)而代入到方程中，求解得到結(jié)論，屬于根基題。17．【2018陜西榆林高三二?！繏佄锞€的焦點(diǎn)為是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)，則的最大值為__________．【答案】〔或60°〕【解析】由，得，∵，所以∠MFN的最大值為故答案為：點(diǎn)睛：在解決與拋物線有關(guān)的問題時(shí)，要注意拋物線的定義在解題中的應(yīng)用。拋物線定義有兩種用途：一是當(dāng)曲線是拋物線時(shí)，拋物線上的點(diǎn)M滿足定義，它到準(zhǔn)線的距離為d，則|MF|＝d，可解決有關(guān)距離、最值、弦長等問題；二是利用動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件符合拋物線的定義，從而得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線．18．【2018重慶高三4月二診】雙曲線〔，〕的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線的左支上，與雙曲線右支交于點(diǎn)，假設(shè)為等邊三角形，則該雙曲線的離心率是__________．【答案】點(diǎn)睛：求雙曲線的離心率時(shí)，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量的方程或不等式，利用和轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍．19．【2018廣東茂名高三二模】設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，為橢圓下半局部上一點(diǎn)，假設(shè)橢圓在處的切線平行于，且橢圓的離心率為，則直線的斜率是__________．【答案】20．【2018寧夏銀川高三4月質(zhì)檢】設(shè)點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，過拋物線上一點(diǎn)作其準(zhǔn)線的垂線，垂足為，直線交軸于點(diǎn)且的面積為，則該拋物線的方程為__________．【答案】或【解析】根據(jù)題意作出如以以下圖的圖象：其中，，為雙曲線的準(zhǔn)線，且準(zhǔn)線方程為，，.設(shè)，則，.在中，為的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，即，.∵的面積為∴，即.∵∴，即.∴或∴該拋物線的方程為或.故答案為或.點(diǎn)睛：解答此題的關(guān)鍵是借助題設(shè)條件，解答此題的關(guān)鍵是利用三角形中位線的性質(zhì)得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再根據(jù)三角形面積，數(shù)形結(jié)合求得，然后再依據(jù)條件建設(shè)方程求出，使得問題獲解.21．【2018河南商丘高三二?！窟^圓的圓心的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且，則點(diǎn)到圓上任意一點(diǎn)的距離的最小值為__________．【答案】【解析】設(shè)由題得不妨設(shè)所以點(diǎn)到圓上任意一點(diǎn)的距離的最小值為故填.點(diǎn)睛：此題的難點(diǎn)在于探究解題的思路，根據(jù)數(shù)形結(jié)合可得點(diǎn)到圓上任意一點(diǎn)的距離的最小值為|MA|-r,所以要求點(diǎn)A的坐標(biāo)，所以要找到關(guān)于點(diǎn)A，B的兩個(gè)方程即可，從哪里找到方程，一個(gè)是，一個(gè)是.三、解答題22．【2018廣東佛山高三質(zhì)檢二】直線過點(diǎn)，且與拋物線相交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中點(diǎn)在第四象限，為坐標(biāo)原點(diǎn).(Ⅰ)當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；(Ⅱ)以為直徑的圓交直線于點(diǎn)，求的值.【答案】〔1〕〔2〕4試題解析：(Ⅰ)因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，，點(diǎn)在軸上，所以的橫坐標(biāo),代入得，，又點(diǎn)在第四象限，所以的坐標(biāo)為，所以直線即直線的方程為.(Ⅱ)顯然直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為,又三點(diǎn)共線，則可設(shè)為且，聯(lián)立方程，化簡得到,由韋達(dá)定理得,又在上，所以,因?yàn)樵谝詾橹睆降膱A上,所以，即,又，所以,即,所以.23．【2018衡水金卷高三調(diào)研二?！奎c(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過的直線交拋物線于兩點(diǎn).〔1〕假設(shè)直線的斜率為1，，求拋物線的方程；〔2〕假設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，，求的值.【答案】〔1〕；〔2〕2.試題解析：〔1〕由題意知，直線的方程為.聯(lián)立得.設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則.由拋物線的性質(zhì)，可得，解得，所以拋物線的方程為.〔2〕由題意，得，拋物線，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立得.所以①因?yàn)?，所?因?yàn)槿c(diǎn)共線，且方向一樣，所以，所以，所以，代入①，得解得，又因?yàn)?，所以，所?點(diǎn)睛：此題主要考察了直線與拋物線的位置關(guān)系以及過焦點(diǎn)弦長問題，屬于中檔題；聯(lián)立直線與拋物線的方程將韋達(dá)定理和弦長公式相結(jié)合屬常見方法，解決此題的難點(diǎn)是將面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系.24．【2018安徽安慶高三二?！吭谥苯亲鴺?biāo)系中，設(shè)點(diǎn)A〔-3，0〕，B〔3，0〕，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是〔1〕試討論點(diǎn)M的軌跡形狀；〔2〕當(dāng)0<b<3時(shí)，假設(shè)點(diǎn)M的軌跡上存在點(diǎn)P〔P在x軸的上方〕，使得∠APB=120°，求b的取值范圍.【答案】〔1〕見解析〔2〕試題解析：〔〔Ⅰ〕設(shè)點(diǎn)，由題意得：化簡得，所以點(diǎn)的軌跡方程為當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓〔除去A,B兩點(diǎn)〕；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是圓〔除去A,B兩點(diǎn)〕；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓〔除去A,B兩點(diǎn)〕〔Ⅱ〕方法一：當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作垂直于軸，垂足為，因?yàn)辄c(diǎn)P在點(diǎn)M的軌跡上，所以，∴因此的取值范圍是方法二：當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴以下同方法一25．【2018東莞高三二?！繖E圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過原點(diǎn)且斜率為1的直線交橢圓于兩點(diǎn)，四邊形的周長與面積分別為8與.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，求證：到直線的距離為定值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)見解析.【解析】試題分析：(Ⅰ)利用四邊形的周長和橢圓的定義得到，再利用四邊形的面積公式和點(diǎn)在橢圓上求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、平面向量的數(shù)量積為0進(jìn)展求解.試題解析：(Ⅰ)不妨設(shè)點(diǎn)是第一象限的點(diǎn)，依題可得.∵.∵.∵點(diǎn)在橢圓上，，解得，或〔舍〕,∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(Ⅱ)當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為,由消去得,設(shè)則,∵,即,即,到直線的距離為.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為.由橢圓的對稱性易知到直線的距離為.到直線的距離為定值.【點(diǎn)睛】此題考察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線和橢圓的位置關(guān)系.在研究直線和圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，往往要先利用題意設(shè)出直線方程，再聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)展求解，但要注意討論直線的斜率是否存在，如此題中，直線不存在斜率的直線符合題意.26．【2018黑龍江大慶高三質(zhì)檢二】橢圓的焦距為，且過點(diǎn).(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)設(shè)分別是橢圓的下頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于為線段的中點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：【答案】〔Ⅰ〕.〔Ⅱ〕證明見解析.【試題解析】〔Ⅰ〕由題設(shè)知焦距為，所以.又因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以代入橢圓方程得因?yàn)?，解得，故所求橢圓的方程是．〔Ⅱ〕設(shè)，，則，．因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以．即．又，所以直線的方程為．令，得，所以．又，為線段的中點(diǎn)，所以．所以，．因，所以,即．【點(diǎn)睛】本小題主要考察橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,考察直線和圓錐曲線的位置關(guān)系,考察利用向量的數(shù)量積證明兩條直線垂直的方法.要求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,即求得的值,需要兩個(gè)條件,題目給定橢圓的焦距和橢圓上一點(diǎn)的坐標(biāo),由此可以建設(shè)方程,解,聯(lián)立方程組可求得的值.27．【2018江西新余高三二?！繏佄锞€過點(diǎn)，直線過點(diǎn)與拋物線交于，兩點(diǎn).點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，連接.〔1〕求拋物線線的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2〕問直線是否過定點(diǎn)假設(shè)是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；假設(shè)不是，請說明理由.【答案】(1)；(2)答案見解析.解析：(1)將點(diǎn)代入拋物線的方程得，.所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè)直線的方程為，又設(shè)，，則.由得.則，，.所以.于是直線的方程為．所以.當(dāng)時(shí)，，所以直線過定點(diǎn).點(diǎn)睛：圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題是考察的重點(diǎn)，一般難度較大，計(jì)算較復(fù)雜，考察較強(qiáng)的分析能力和計(jì)算能力.求定值問題常見的方法：〔1〕從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)定值與變量無關(guān)；〔2〕直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.