2024-2025學年新教材高中數(shù)學第十章概率10.1.3古典概型練習含解析新人教A版必修第二冊

PAGE第十章10.110.1.3A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．(多選)下列是古典概型的是()A．從6名同學中，選出4人參與數(shù)學競賽，每人被選中的可能性的大小B．同時擲兩顆骰子，點數(shù)和為7的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10個人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率【答案】ABD【解析】A，B，D為古典概型，因為都適合古典概型的兩個特征：有限性和等可能性，而C不適合等可能性，故不為古典概型．故選ABD．2．(2024年湖南月考)五行學說是華夏民族創(chuàng)建的哲學思想，是華夏文明重要組成部分．古人認為，天下萬物皆由金、木、水、火、土五類元素組成，如圖，分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關(guān)系．若從5類元素中任選2類元素，則2類元素相生的概率為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,5)【答案】A【解析】金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關(guān)系．從5類元素中任選2類元素，基本領(lǐng)件總數(shù)n＝10,2類元素相生包含的基本領(lǐng)件有5個，則2類元素相生的概率p＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).故選A．3．從甲、乙、丙、丁、戊五個人中選取三人參與演講競賽，則甲、乙都當選的概率為()A．eq\f(2,5) B．eq\f(1,5)C．eq\f(3,10) D．eq\f(3,5)【答案】C【解析】從五個人中選取三人有10種不同結(jié)果：(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，而甲、乙都當選的結(jié)果有3種，故所求的概率為eq\f(3,10).故選C．4．(2024年寧德月考改編)2024年起，廣東省高考將實行“3＋1＋2”新高考．“3”是統(tǒng)一高考的語文、數(shù)學和英語三門；“1”是選擇性考試科目，由考生在物理、歷史兩門中選一門；“2”也是選擇性考試科目，由考生從化學、生物、地理、政治四門中選擇兩門，則某考生自主選擇的“1＋2”三門選擇性考試科目中，歷史和政治均被選擇到的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)【答案】A【解析】基本領(lǐng)件總數(shù)n＝12，某考生自主選擇的“1＋2”三門選擇性考試科目中，歷史和政治均被選擇到包含的基本領(lǐng)件個數(shù)m＝3，歷史和政治均被選擇到的概率p＝eq\f(m,n)＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4).故選A．5．某部三冊的小說，隨意排放在書架的同一層上，則各冊從左到右或從右到左恰好為第1,2,3冊的概率為()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)【答案】B【解析】全部樣本點為(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)．其中從左到右或從右到左恰好為第1,2,3冊包含2個樣本點，所以p＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).故選B．6．(2024年滄州期末)定義：abcde＝10000a＋1000b＋100c＋10d＋e，當五位數(shù)abcde滿意a<b<c，且c>d>e時，稱這個五位數(shù)為“凸數(shù)”．由1,2,3,4,5組成的沒有重復數(shù)字的五位數(shù)共120個，若從中隨意抽取一個，則其恰好為“凸數(shù)”的概率為()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,10)C．eq\f(1,12) D．eq\f(1,20)【答案】D【解析】由題意，由1,2,3,4,5組成的沒有重復數(shù)字的五位數(shù)恰好為“凸數(shù)”的有：12543,13542,14532,23541,24531,34521，共6個樣本點，所以恰好為“凸數(shù)”的概率p＝eq\f(6,120)＝eq\f(1,20).故選D．7．(2024年南通模擬)某一般中學有數(shù)學、物理、化學、計算機四個愛好小組，甲、乙兩位同學各自隨機參與一個愛好小組，則這兩位同學參與不同的愛好小組的概率為________．【答案】eq\f(3,4)【解析】甲、乙兩位同學參與愛好小組的基本領(lǐng)件總數(shù)為16，甲、乙兩位同學參與相同的愛好小組的基本領(lǐng)件個數(shù)為4，故兩位同學參與不同的愛好小組的概率p＝1－eq\f(4,16)＝eq\f(3,4).8．(2024年欽州期末)在某學校圖書館的書架上隨意放著編號為1,2,3,4,5的五本書，若某同學從中隨意選出2本書，則選出的2本書編號相連的概率為_________．【答案】eq\f(2,5)【解析】從五本書中隨意選出2本書的全部可能狀況為(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)共10種，滿意2本書編號相連的全部可能狀況為(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)共4種，故選出的2本書編號相連的概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).9．(2024年欽州期末)將一顆質(zhì)地勻稱的骰子先后拋擲2次，視察向上的點數(shù)，并分別記為x，y.(1)若記“x＋y＝5”為事務(wù)A，求事務(wù)A發(fā)生的概率；(2)若記“x2＋y2≤10”為事務(wù)B，求事務(wù)B發(fā)生的概率．解：將一顆質(zhì)地勻稱的骰子拋擲1次，它的點數(shù)有1、2、3、4、5、6這6種結(jié)果，拋擲第2次，它的點數(shù)有1、2、3、4、5、6這6種結(jié)果，因為骰子共拋擲2次，所以共有36種結(jié)果．(1)事務(wù)A發(fā)生的樣本點有(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)共4種結(jié)果，所以事務(wù)A發(fā)生的概率為P(A)＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).(2)事務(wù)B發(fā)生的樣本點有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)共6種結(jié)果，所以事務(wù)B發(fā)生的概率為P(B)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).10．(2024年北京期末)某地區(qū)高考實行新方案，規(guī)定：語文、數(shù)學和英語是考生的必考科目，考生還須從物理、化學、生物、歷史、地理和政治六個科目中選出三個科目作為選考科目．若一名學生從六個科目中選出了三個科目作為選考科目，則稱該學生的選考方案確定；否則，稱該學生選考方案待確定．某學校為了了解高一年級200名學生選考科目的意向，隨機選取20名學生進行了一次調(diào)查，統(tǒng)計選考科目人數(shù)如表：性別選考方案確定狀況物理化學生物歷史地理政治男生選考方案確定的有5人552120選考方案待確定的有7人643242女生選考方案確定的有6人352332選考方案待確定的有2人121011(1)在選考方案確定的男生中，同時選考物理、化學、生物的人數(shù)有多少？(2)從選考方案確定的男生中任選2名，試求出這2名學生選考科目完全相同的概率．解：(1)由統(tǒng)計表可知，選考方案確定的男生中，同時選擇物理、化學和生物的人數(shù)是2.(2)由統(tǒng)計表可知，已確定選考科目5名男生中，有2人選擇物理、化學和生物，記為a1，a2，有1人選擇物理、化學和歷史，記為b，有2人選擇物理、化學和地理，記為c1，c2.從已確定選考科目的男生中任選2人，有10種選法，分別為：a1a2，a1b，a1c1，a1c2，a2b，a2c1，a2c2，bc1，bc2，c1c2，兩名學生選考科目完全相同的有2種選法，分別為：a1a2，c1c2，設(shè)事務(wù)A為“從已確定選考科目的男生中任選出2人，這兩名學生選考科目完全相同”，則P(A)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).B級——實力提升練11．有一列數(shù)由奇數(shù)組成：1,3,5,7,9，…，現(xiàn)在進行如下分組，第一組有1個數(shù)為1，其次組有2個數(shù)為3,5，第三組有3個數(shù)為7,9,11，…，依此類推，則從第10組中隨機抽取一個數(shù)恰為3的倍數(shù)的概率為()A．eq\f(1,10) B．eq\f(3,10)C．eq\f(1,5) D．eq\f(3,5)【答案】B【解析】由已知可得前九組共有1＋2＋3＋…＋9＝45個奇數(shù)，則第10組第一個數(shù)為45×2＋1＝91，第10組有10個數(shù)分別為91,93,95,97,99,101,103,105,107,109，其中恰為3的倍數(shù)的數(shù)為93,99,105.故所求概率p＝eq\f(3,10).故選B．12．從1,2,3,4中任取兩個不同的數(shù)，則取出兩個數(shù)之差的肯定值為2的概率是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)【答案】B【解析】從1,2,3,4中任取兩個不同的數(shù)，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6種不同的結(jié)果，取出的2個數(shù)之差的肯定值為2有(1,3)，(2,4)共2種結(jié)果，故取出兩個數(shù)之差的肯定值為2的概率p＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).故選B．13．(2024年上海月考)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,3)，\f(1,2)，1，2，3))，任取一個數(shù)k∈A，則冪函數(shù)f(x)＝xk為偶函數(shù)的概率為________．【答案】eq\f(1,4)【解析】集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,3)，\f(1,2)，1，2，3))，任取一個數(shù)k∈A，基本領(lǐng)件總數(shù)n＝8，冪函數(shù)f(x)＝xk為偶函數(shù)包含的基本領(lǐng)件個數(shù)m＝2，∴所求概率p＝eq\f(m,n)＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4).14．將兩顆正方體型骰子投擲一次，則向上的點數(shù)之和是10的概率為________，向上的點數(shù)之和不小于10的概率為________．【答案】eq\f(1,12)eq\f(1,6)【解析】將兩骰子投擲一次，共有36種狀況．向上的點數(shù)之和為10的狀況有(4,6)，(5,5)，(6,4)共3種，故概率p1＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)；向上的點數(shù)之和不小于10的狀況有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共6種，故概率p2＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).15．設(shè)a是從集合{1,2,3,4}中隨機取出的一個數(shù)，b是從集合{1,2,3}中隨機取出的一個數(shù)，構(gòu)成一個樣本點(a，b)．記“這些樣本點中，滿意logba≥1”為事務(wù)E，則E發(fā)生的概率是________．【答案】eq\f(5,12)【解析】事務(wù)E發(fā)生包含的樣本點是分別從兩個集合中取一個數(shù)字，共有12種結(jié)果，滿意條件的樣本點是滿意logba≥1，可以列舉出全部的樣本點，當b＝2時，a＝2,3,4；當b＝3時，a＝3,4.所以依據(jù)古典概型的概率公式得到概率是eq\f(3＋2,12)＝eq\f(5,12).16．某校從高二甲、乙兩班各選出3名學生參與書畫競賽，其中從高二甲班選出了2名男同學、1名女同學，從高二乙班選出了1名男同學、2名女同學．(1)若從這6名同學中抽出2名進行活動發(fā)言，寫出全部可能的結(jié)果，并求高二甲班女同學、高二乙班男同學至少有一人被選中的概率；(2)若從高二甲班和乙班各選1名同學現(xiàn)場作畫，寫出全部可能的結(jié)果，并求選出的2名同學性別相同的概率．解：(1)設(shè)選出的3名高二甲班同學為A，B，C，其中A為女同學，B，C為男同學，選出的3名高二乙班同學為D，E，F(xiàn)，其中D為男同學，E，F(xiàn)為女同學．從這6名同學中抽出2人的全部可能結(jié)果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共15種．其中高二甲班女同學、高二乙班男同學至少有一人被選中的可能結(jié)果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，D)，(C，D)，(D，E)，(D，F(xiàn))，共9種，故高二甲班女同學、高二乙班男同學至少有一人被選中的概率p＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).(2)高二甲班和乙班各選1名的全部可能結(jié)果為(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，共9種，選出的2名同學性別相同的有(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，D)，(C，D)，共4種，所以選出的2名同學性別相同的概率為eq\f(4,9).17．在某親子嬉戲結(jié)束時有一項抽獎活動，抽獎規(guī)則是：盒子里面共有4個小球，小球上分別寫有0,1,2,3的數(shù)字，小球除數(shù)字外其他完全相同，每對親子中，家長先從盒子中取出一個小球，登記數(shù)字后將小球放回，孩子再從盒子中取出一個小球，登記小球上數(shù)字將小球放回．①若取出的兩個小球上數(shù)字之積大于4，則嘉獎飛機玩具一個；②若取出的兩個小球上數(shù)字之積在區(qū)間[1,4]上，則嘉獎汽車玩具一個；③若取出的兩個小球上數(shù)字之積小于1，則嘉獎飲料一瓶．(1)求每對親子獲得飛機玩具的概率；(2)試比較每對親子獲得汽車玩具與獲得飲料的概率哪個更大？請說明理由．解：樣本空間Ω＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)}共16個．(1)記“獲得飛機玩具”為事務(wù)A，事務(wù)A包含的樣本點有(2,3)，(3,2)，(3,3)共3個．故每對親子獲得飛機玩具的概率為P(A)＝eq\f(3,16).(2)記“獲得汽車玩具”為事務(wù)B，“獲得飲料”為事務(wù)C．事務(wù)B包含的樣本點有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6個，所以P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).事務(wù)C包含的樣本點有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(2,0)，(3,0)共7個，所以P(C)＝eq\f(7,16).所以P(B)<P(C)，即每對親子獲得飲料的概率大于獲得汽車玩具的概率．C級——探究創(chuàng)新練18．(2024年江西月考)某學校有40名中學生參與足球特長生初選，第一輪測身高和體