2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.1不等關(guān)系學(xué)案含解析北師大版必修5

PAGE§1不等關(guān)系內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.會(huì)用不等式(組)正確表示出不等關(guān)系.2.理解并駕馭不等式的常用基本性質(zhì).3.會(huì)用作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小.嚴(yán)密邏輯推理提升數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)范性質(zhì)應(yīng)用授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第51頁(yè)[基礎(chǔ)相識(shí)]學(xué)問(wèn)點(diǎn)一不等式與不等關(guān)系預(yù)習(xí)教材P69－74，思索并完成以下問(wèn)題某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不小于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.(1)問(wèn)題中表示不等關(guān)系的詞是什么？用符號(hào)怎樣表示？提示：不少于，用符號(hào)表示為≥.(2)你能用不等式表示對(duì)脂肪和蛋白質(zhì)含量的規(guī)定嗎？提示：f≥2.5%，p≥2.3%.學(xué)問(wèn)梳理1.不等式的定義所含的兩個(gè)要點(diǎn)．(1)不等符號(hào)＞、＜、≥、≤或≠．(2)所表示的關(guān)系是不等關(guān)系．2．不等式中的文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換.文字語(yǔ)言大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于符號(hào)語(yǔ)言＞≥＜≤≤≥≥≤學(xué)問(wèn)點(diǎn)二實(shí)數(shù)的大小比較思索并完成以下問(wèn)題1．在指數(shù)、冪、對(duì)數(shù)比較大小時(shí)，常用什么方法？提示：?jiǎn)握{(diào)性比較．2．假如給定實(shí)數(shù)a與b，那么如何比較它們的大小呢？提示：通常是通過(guò)推斷它們的差(a－b)的符號(hào)來(lái)比較它們的大?。?dāng)a與b都不為0時(shí)，也可通過(guò)它們的商與1的大小關(guān)系來(lái)比較它們的大?。畬W(xué)問(wèn)梳理比較實(shí)數(shù)a，b的大小的依據(jù)學(xué)問(wèn)點(diǎn)三不等式的性質(zhì)思索并完成以下問(wèn)題我們知道等式有一些基本性質(zhì)，例如：(1)a＝bb＝a；(2)a＝b，b＝ca＝c；(3)a＝ba＋c＝b＋c；(4)a＝b，c≠0ac＝bc.那么不等式是否也具有類似的性質(zhì)呢？提示：不等式也具有類似的性質(zhì)．學(xué)問(wèn)梳理不等式的幾個(gè)重要性質(zhì)名稱式子表達(dá)性質(zhì)1(對(duì)稱性)a＞bb＜a性質(zhì)2(傳遞性)a＞b，b＞ca＞c性質(zhì)3(可加性)a＞ba＋c＞b＋c性質(zhì)4(可乘性)a＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac性質(zhì)5(同向可加性)a＞b，c＞da＋c＞b＋d性質(zhì)6(同向同正可乘性)a＞b＞0，c＞d＞0ac＞性質(zhì)7(可乘方性)a＞b＞0an＞bn(n∈N，n≥1)性質(zhì)8(可開(kāi)方性)a＞b＞0eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)[自我檢測(cè)]1．完成一項(xiàng)裝修工程，請(qǐng)木工需付工資每人500元，請(qǐng)瓦工需付工資每人400元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算20000元，設(shè)木工x(x≥0)人，瓦工y(y≥0)人，則關(guān)于工資x，y滿意的不等關(guān)系是()A．5x＋4y＜200 B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200解析：依據(jù)題，500x＋400y≤20000，即5x＋4y≤200，故選D.答案：D2．若A＝eq\f(1,x2)＋3與B＝eq\f(1,x)＋2，則A與B的大小關(guān)系是()A．A＞B B．A＜BC．A≥B D．不確定解析：由于A－B＝eq\f(1,x2)＋3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)＞0，所以A＞B，故選A.答案：A3．已知－1＜2x－1＜1，則eq\f(2,x)－1的取值范圍是________．解析：由－1＜2x－1＜1，得0＜x＜1，所以eq\f(1,x)＞1.于是eq\f(2,x)＞2，eq\f(2,x)－1＞1，故eq\f(2,x)－1的取值范圍是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第52頁(yè)探究一用不等式(組)表示不等關(guān)系[閱讀教材P70例4例5及解答]題型：用不等式(組)表示不等關(guān)系方法步驟：①找到表示不等關(guān)系的詞語(yǔ)；②用不等式將不等關(guān)系表示出來(lái)．[例1](1)如圖所示的兩種廣告牌，其中圖1是由兩個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成的，圖2是一個(gè)矩形，則這兩個(gè)廣告牌面積的大小關(guān)系可用含字母a，b(a≠b)的不等式表示為_(kāi)_______．(2)商人假如將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元銷售，每天可銷售100件，現(xiàn)在他采納提高售價(jià)，削減進(jìn)貨量的方法增加利潤(rùn)．已知這種商品的售價(jià)每提高1元，銷售量就可能相應(yīng)削減10件，若把提價(jià)后的商品的售價(jià)設(shè)為x元，怎樣用不等式表示每天的利潤(rùn)不低于300元？[解題指南](1)借助兩圖形面積的大小關(guān)系建立a，b的不等式．(2)利用利潤(rùn)＝(售價(jià)－進(jìn)價(jià))×銷售量及利潤(rùn)不低于300元建立不等式．[解析](1)題圖1所示的廣告牌的面積為eq\f(1,2)(a2＋b2)，題圖2所示的廣告牌的面積為ab，明顯不等式表示為eq\f(1,2)(a2＋b2)＞ab.(2)若提價(jià)后商品的售價(jià)為x元，則銷售量削減eq\f(x－10,1)×10件，因此，每天的利潤(rùn)為(x－8)[100－10(x－10)]元，則“每天的利潤(rùn)不低于300元”可以表示為不等式(x－8)[100－10(x－10)]≥300.[答案](1)eq\f(1,2)(a2＋b2)＞ab(2)見(jiàn)解析方法技巧1.用不等式(組)表示不等關(guān)系的方法(1)仔細(xì)審題，設(shè)出所求量，并確認(rèn)所求量滿意的不等關(guān)系．(2)找出體現(xiàn)不等關(guān)系的關(guān)鍵詞：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超過(guò)”“不超過(guò)”等．用代數(shù)式表示相應(yīng)各量，并用關(guān)鍵詞連接．特殊須要考慮的是“＜”“＞”中的“＝”能否取到．(3)多個(gè)不等關(guān)系用不等式組來(lái)表示．留意：對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中不要漏掉隱含條件．2．文字語(yǔ)言與數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換．將實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系寫(xiě)成對(duì)應(yīng)的不等式時(shí)，問(wèn)題中關(guān)鍵性的文字語(yǔ)言與對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言之間的正確轉(zhuǎn)換，關(guān)系到是否能正確地用不等式表示出不等關(guān)系．跟蹤探究1.已知甲、乙兩種食物的維生素A，B含量如下表：食物甲乙維生素A/(單位/kg)600700維生素B/(單位/kg)800400設(shè)用xkg的甲種食物與ykg的乙種食物配成混合食物，并使混合食物內(nèi)至少含有56000單位的維生素A和63000單位的維生素B，試用不等式組表示x，y所滿意的不等關(guān)系．解析：由題意知xkg的甲種食物中含有維生素A600x單位，含有維生素B800x單位，ykg的乙種食物中含有維生素A700y單位，含有維生素B400y單位，則xkg的甲種食物與ykg的乙種食物配成的混合食物總共含有維生素A(600x＋700y)單位，含有維生素B(800x＋400y)單位，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(600x＋700y≥56000，,800x＋400y≥63000，,x≥0，,y≥0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6x＋7y≥560，,4x＋2y≥315，,x≥0，,y≥0.))探究二比較數(shù)(式)的大小[閱讀教材P72例6及解答]試比較(x＋1)(x＋5)與(x＋3)2的大?。}型：比較兩代數(shù)式的大?。椒ú襟E：①作差．②化簡(jiǎn)．③推斷符號(hào)下結(jié)論．[例2](1)設(shè)a＞0，b＞0，且a≠b，則abba和aabb的大小關(guān)系是________；(2)已知x＞1，比較x3－1與2x2－2x的大?。甗解題指南](1)由a＞b＞0可知aabb＞0，abba＞0，故可考慮用作商法比較大??；(2)由于是整式比較大小，可以考慮用作差法比較大?。甗解析](1)∵a＞0，b＞0，且a≠b，可知aabb＞0，abba＞0，由eq\f(aabb,abba)＝aa－bbb－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(a－b)，當(dāng)a＞b＞0時(shí)，由eq\f(a,b)＞1，a－b＞0，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(a－b)＞1，∴aabb＞abba.當(dāng)b＞a＞0時(shí)，由0＜eq\f(a,b)＜1，a－b＜0，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(a－b)＞1，∴aabb＞abba.綜上可得，aabb＞abba.(2)(x3－1)－(2x2－2x)＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)．因?yàn)閤＞1，所以x－1＞0，又x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)＞0.所以(x－1)(x2－x＋1)＞0，即x3－1＞2x2－2x.[答案](1)aabb＞abba(2)見(jiàn)解析延長(zhǎng)探究1.若題(2)中條件不變，問(wèn)法改為“比較x3＋6x與x2＋6的大小”結(jié)果如何？解析：因?yàn)?x3＋6x)－(x2＋6)＝x3－x2＋6x－6＝x2(x－1)＋6(x－1)＝(x－1)(x2＋6)，又因?yàn)閤＞1，所以(x－1)(x2＋6)＞0，所以x3＋6x＞x2＋6.2．題(2)中，若把條件“x＞1”改為“x∈R”解析：(x3－1)－(2x2－2x)＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)．因?yàn)閤2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)＞0，所以當(dāng)x＞1時(shí)，(x－1)(x2－x＋1)＞0，即x3－1＞2x2－2x；當(dāng)x＝1時(shí)，(x－1)(x2－x＋1)＝0，即x3－1＝2x2－2x；當(dāng)x＜1時(shí)，(x－1)(x2－x＋1)＜0，即x3－1＜2x2－2x.方法技巧比較大小的方法(1)作差法：比較兩個(gè)代數(shù)式的大小，可以依據(jù)它們的差的符號(hào)進(jìn)行推斷，一方面留意題目本身供應(yīng)的字母的取值范圍，另一方面通常將兩代數(shù)式的差進(jìn)行因式分解轉(zhuǎn)化為多個(gè)因式相乘，或通過(guò)配方轉(zhuǎn)化為幾個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)之和，然后推斷正負(fù)．作差法的一般步驟：作差——變形——判號(hào)——定論(2)作商法：作商比較通常適用于兩代數(shù)式同號(hào)的情形，然后比較它們的商與1的大?。魃谭ǖ囊话悴襟E：作商——變形——與1比較大小——定論(3)單調(diào)性法：利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，通常先構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，再利用單調(diào)性．跟蹤探究2.設(shè)0＜x＜1，a＞0且a≠1，試比較|loga(1－x)|與|loga(1＋x)|的大?。馕觯骸?＜x＜1，∴0＜1－x＜1，1＜1＋x＜2，當(dāng)a＞1時(shí)，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)．∵0＜x＜1，∴0＜1－x2＜1.∴l(xiāng)oga(1－x2)＜0，－loga(1－x2)＞0，∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.當(dāng)0＜a＜1時(shí)，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝loga(1－x)＋loga(1＋x)＝loga(1－x2)∵0＜x＜1，∴0＜1－x2＜1，∴l(xiāng)oga(1－x2)＞0.∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.綜上所述：當(dāng)0＜x＜1，a＞0且a≠1時(shí)，|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.探究三不等式性質(zhì)的應(yīng)用[閱讀教材P73例8及解答]題型：不等式性質(zhì)的應(yīng)用方法步驟：①分別表示出增加面積前后的比值；②比較兩個(gè)比值的大??；③得出結(jié)論．[例3](1)已知－6＜a＜8，2＜b＜3，則eq\f(a,b)的取值范圍是________．(2)已知a＞b＞0，c＞0，求證eq\f(c,a)＜eq\f(c,b).[解題指南](1)留意對(duì)a分0≤a＜8和－6＜a＜0探討．(2)依據(jù)不等式的可乘性證明．[解析](1)當(dāng)0≤a＜8時(shí)，由2＜b＜3，所以eq\f(1,3)＜eq\f(1,b)＜eq\f(1,2)，所以0≤eq\f(a,b)＜4；當(dāng)－6＜a＜0時(shí)，0＜－a＜6，又eq\f(1,3)＜eq\f(1,b)＜eq\f(1,2).所以0＜－eq\f(a,b)＜3，－3＜eq\f(a,b)＜0.綜上，得－3＜eq\f(a,b)＜4.(2)證明：因?yàn)閍＞b＞0，所以ab＞0，eq\f(1,ab)＞0，于是a×eq\f(1,ab)＞b×eq\f(1,ab)，即eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)，又c＞0，得eq\f(c,b)＞eq\f(c,a)，即eq\f(c,a)＜eq\f(c,b).[答案](1)(－3，4)(2)見(jiàn)解析延長(zhǎng)探究3.題(2)中條件“c＞0”改為“c＞d＞0”，證明：eq\r(\f(c,b))＞eq\r(\f(d,a)).證明：因?yàn)閍＞b＞0，所以ab＞0，eq\f(1,ab)＞0，于是a×eq\f(1,ab)＞b×eq\f(1,ab)，即eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)＞0，又c＞d＞0.所以eq\f(c,b)＞eq\f(d,a)＞0，所以eq\r(\f(c,b))＞eq\r(\f(d,a)).4．題(2)中條件“c＞0”改為“c＜d＜0，e＞0”，證明：eq\f(e,a－c)＜eq\f(e,b－d).證明：因?yàn)閏＜d＜0，所以－c＞－d＞0，又因?yàn)閍＞b＞0，所以a－c＞b－d＞0.所以0＜eq\f(1,a－c)＜eq\f(1,b－d).又e＞0，所以eq\f(e,a－c)＜eq\f(e,b－d).方法技巧1.利用不等式的性質(zhì)證明不等式留意事項(xiàng)(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問(wèn)題肯定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并留意在解題中敏捷精確地加以應(yīng)用．(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)留意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不行省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．2．求含有字母的數(shù)(或式)的取值范圍時(shí)的留意點(diǎn)(1)要留意題設(shè)中的條件；(2)要正確運(yùn)用不等式的性質(zhì)，尤其是兩個(gè)同向不等式可加不行減，可乘不行除．跟蹤探究3.假如3＜a＜7，1＜b＜10，試求a＋b，3a－2b，eq\f(b,a2)的取值范圍．解析：因?yàn)?＜a＜7，1＜b＜10，所以3＋1＜a＋b＜7＋10，即4＜a＋b＜17.又因?yàn)?＜3a＜21，－20＜－2b＜－2，所以－11＜3a－2b＜19.因?yàn)?＜a2＜49，所以eq\f(1,49)＜eq\f(1,a2)＜eq\f(1,9)，于是eq\f(1,49)＜eq\f(b,a2)＜eq\f(10,9).授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第54頁(yè)[課后小結(jié)](1)運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)，肯定要