專項(xiàng)04 與扇形有關(guān)的不規(guī)則圖形面積的計(jì)算

專項(xiàng)04與扇形有關(guān)的不規(guī)則圖形面積的計(jì)算方法一和差法1.(2023江蘇連云港中考)如圖，矩形ABCD內(nèi)接于☉O，分別以AB、BC、CD、AD為直徑向外作半圓.若AB=4，BC=5，則陰影部分的面積是()A.414π-20 B.412π-20 C.20π 第1題圖 第2題圖2.(2022山東淄博博山二模)如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，點(diǎn)A，B，C，D，O都在格點(diǎn)(小正方形的頂點(diǎn))上，AB和CD所在圓的圓心均為點(diǎn)O，則陰影部分的面積為()A.3π2-2 B.53π-2 C.2π 3.(2020四川攀枝花中考)如圖，直徑AB=6的半圓繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，此時(shí)點(diǎn)A到了點(diǎn)A'的位置，則圖中陰影部分的面積是()A.π2 B.3π4 C.π 第3題圖 第4題圖4.(2023四川廣安中考)如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=22，以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)B為圓心，BC為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積是()A.π-2 B.2π-2 C.2π-4 D.4π-45.(2022河南中考)如圖，將扇形AOB沿OB方向平移，使點(diǎn)O移到OB的中點(diǎn)O'處，得到扇形A'O'B'.若∠O=90°，OA=2，則陰影部分的面積為.

6.如圖，在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=120°，以點(diǎn)A為圓心，1為半徑作弧，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，以點(diǎn)C為圓心，3為半徑作弧，分別交AC、BC于點(diǎn)A、F.若圖中陰影部分的面積分別為S1，S2，則S1-S2的值為.

7.(2023湖北十堰中考)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)為圓心，OA為半徑的半圓分別交AC，BC，AB于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且點(diǎn)E是弧DF的中點(diǎn).(1)求證：BC是☉O的切線；(2)若CE=2，求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留π).方法二割補(bǔ)法8.(2023山東泰安岱岳一模)如圖，矩形ABCD中，BC=4，CD=2，以AD為直徑的半圓O與BC相切于點(diǎn)E，連接BD，則陰影部分的面積為()A.π B.π-2 C.π+2 D.π+49.(2022貴州遵義中考)如圖，在正方形ABCD中，AC和BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線EF交AB于點(diǎn)E(E不與A，B重合)，交CD于點(diǎn)F.以點(diǎn)O為圓心，OC長(zhǎng)為半徑的圓交直線EF于點(diǎn)M，N.若AB=1，則圖中陰影部分的面積為()A.π8-18 B.π8-14 C.π2-110.(2023山東濟(jì)南歷下一模)如圖，已知扇形AOB，點(diǎn)D在AB上，將扇形沿直線CD折疊，點(diǎn)A恰好落在點(diǎn)O處，作DE⊥DA交OB于點(diǎn)E，若∠AOB=150°，OA=4，則圖中陰影部分的面積是.

11.(2022四川廣元中考)如圖，將☉O沿弦AB折疊，AB恰經(jīng)過(guò)圓心O，若AB=23，則陰影部分的面積為.

方法三等積變形法12.(2020山東泰安中考)如圖，點(diǎn)O是半圓圓心，BE是半圓的直徑，點(diǎn)A，D在半圓上，且AD∥BO，∠ABO=60°，AB=8，過(guò)點(diǎn)D作DC⊥BE于點(diǎn)C，則陰影部分的面積是.

13.(2023山東棗莊中考)如圖，AB為☉O的直徑，點(diǎn)C是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作射線BD的垂線，垂足為E.(1)求證：CE是☉O的切線；(2)若BE=3，AB=4，求BC的長(zhǎng)；(3)在(2)的條件下，求陰影部分的面積(用含有π的式子表示).

專項(xiàng)04與扇形有關(guān)的不規(guī)則圖形面積的計(jì)算答案全解全析1.D如圖，連接BD，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴BD是直徑，即BD過(guò)點(diǎn)O.在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2.∴S陰影=S以AD為直徑的圓+S以AB為直徑的圓+S矩形ABCD-S以BD為直徑的圓=π×AD22+π×AB=π4(AD2+AB2-BD22.D連接OC、OD(圖略)，由圖形可知，陰影部分的面積=扇形AOB的面積+△OBD的面積-△ACO的面積-扇形COD的面積=扇形AOB的面積-扇形COD的面積=90π×(22)23.D∵半圓AB繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，∴S陰影=S半圓A'B+S扇形ABA'-S半圓AB=S扇形ABA'=30π×64.C在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=22，∴∠A=∠B=45°.∴陰影部分的面積=S扇形CAE+S扇形CBF-S△ABC=45π×(22)2360×2-125.答案π3+解析如圖，設(shè)O'A'交AB于點(diǎn)T，連接OT.∵OT=OB=OA=2，OO'=O'B=12OB=1∴OT=2OO'.又∵∠OO'T=90°，∴∠O'TO=30°，∴∠TOO'=60°.∴O'T=OT·sin∠TOO'=3.∴S陰影=S扇形A'O'B'-(S扇形TOB-S△OTO')=90π×22360-60π×226.答案934解析∵在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.過(guò)A作AH⊥BC于H(圖略)，∵AB=3，∠B=30°，∴AH=32，∴BH=332，∵△ABC的面積=扇形ACF的面積+扇形DAE的面積-S2+S1，∴S1-S2=△ABC的面積-扇形ACF的面積-扇形DAE的面積=12×33×32-30π×=934-3π4-π3=7.解析(1)證明：連接OE，OD，如圖.∵∠C=90°，AC=BC，∴∠OAD=∠B=45°.∵OA=OD，∴∠ADO=∠OAD=45°.∴∠AOD=∠DOF=90°.∵點(diǎn)E是弧DF的中點(diǎn)，∴∠DOE=∠EOF=12∴∠OEB=180°-∠EOF-∠B=90°.∴OE⊥BC.∵OE是半徑，∴BC是☉O的切線.(2)∵OE⊥BC，∠B=45°，∴△OEB是等腰直角三角形，設(shè)BE=OE=x，則AO=x，OB=2x，∴AB=x+2x.∵AB=2BC，∴x+2x=2(2+x)，解得x=2.∴S陰影=S△OEB-S扇形EOF=12×2×2-45×π×228.A解法一(和差法)：連接OE，如圖，易得AD=BC=4，AB=CD=2，∠ADC=∠C=90°，∵以AD為直徑的半圓O與BC相切于點(diǎn)E，∴OD=2，OE⊥BC.易得四邊形OECD為正方形，∴由弧DE、線段EC、CD所圍成的圖形的面積=S正方形OECD-S扇形EOD=22-90×π×2∴陰影部分的面積=12解法二(割補(bǔ)法)：連接OE交BD于F點(diǎn)，如圖.由解法一可知四邊形OECD是正方形，∴OD=EC=BE，易證△ODF≌△EBF，∴S△ODF=S△EBF.∴陰影部分的面積=S扇形DOE=90×π×29.B∵四邊形ABCD是正方形，∴OB=OD=OC=22，∴∠BOM+∠CON=180°-∠BOC=90°，∴S陰影=90π×222360-12×110.答案8解析如圖，連接OD.∵將扇形沿直線CD折疊，點(diǎn)A恰好落在點(diǎn)O處，∴AD=OD，AD=OD.∴S弓形AD=S弓形OD.∴S陰影=S△ODE.∵AO=OD，∴OA=OD=AD.∴∠AOD=∠ADO=60°.∵∠AOB=150°，∴∠DOE=90°.∵DE⊥DA，∴∠ADE=90°.∴∠ODE=30°.∵AO=OD=4，∴OE=OD·tan∠ODE=43∴圖中陰影部分的面積=S△ODE=12×43311.答案2π解析如圖，過(guò)點(diǎn)O作AB的垂線，垂足為C，交☉O于點(diǎn)D，連接AO，AD，則AC=12AB=12×23=由折疊的性質(zhì)知OA=DA，∵OA=OD，∴OA=OD=AD，∴△AOD是等邊三角形.∴∠D=∠AOD=60°.∴AD=OA=ACsin∠AOD∴S△ACD=S△BCO，∴陰影部分的面積=S扇形ADO=60360×π×22=2π12.答案64π3-8解析如圖，連接OA.∵∠ABO=60°，OA=OB，∴△AOB是等邊三角形.∴∠AOB=60°，OA=AB=8.∵AD∥OB，∴∠DAO=∠AOB=60°.∵OA=OD，∴△AOD是等邊三角形.∴∠AOD=60°.∴∠DOE=60°.∵DC⊥BE，∴CD=OD·sin∠DOC=8×32=43，OC=OD·cos∠DOC=8×12=4.∵AD∥BO，∴S△AOD=S∴S陰影=S扇形AOD+S扇形DOE-S△OCD=2×60π×82360-12×4×43=13.解析(1)證明：如圖，連接OC.∵點(diǎn)C是AD的中點(diǎn)，∴AC=DC.∴∠ABC=∠EBC.∵OB=OC，∴∠ABC=∠OCB.∴∠EBC=∠OCB.∴OC∥BE.∵BE⊥CE，∴∠E=90°.∴∠ECO=180°-90°=90°.∴半徑OC⊥CE.∴CE是☉O的切線.(2)如圖，連接AC.∵AB為☉O的直徑，∴∠ACB=90°.∴∠ACB=∠E=90°.∵∠ABC=∠EBC，∴△ACB∽△CEB.∴ABBC=BC