專項(xiàng)02 二次函數(shù)最值的應(yīng)用

專項(xiàng)02二次函數(shù)最值的應(yīng)用類型一求高度的最值1.(2023福建漳州康橋?qū)W校期末)如圖，一小球M從斜坡OA上的O點(diǎn)處拋出，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，球的拋出路線是拋物線L1：y=-12x2+bx的一部分，斜坡可以看作直線L2：y=12x的一部分.若小球經(jīng)過點(diǎn)(6，6)，(1)求拋物線L1的表達(dá)式，并直接寫出拋物線L1的對(duì)稱軸；(2)小球在斜坡上的落點(diǎn)為A，求A點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在斜坡OA上的B點(diǎn)有一棵樹，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，樹高為4，小球M能否飛過這棵樹?通過計(jì)算說明理由；(4)直接寫出小球M在飛行的過程中離斜坡OA的最大高度.類型二求幾何圖形面積的最值2.(2023安徽黃山休寧洪里中學(xué)期中)如圖，已知拋物線過點(diǎn)A(4，0)，B(-2，0)，C(0，-4).(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)M是拋物線AC段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)圖中陰影部分的面積最小時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).3.(2023湖南永州冷水灘期末)為落實(shí)國家《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見》，某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻(墻長12m)和21m長的籬笆，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動(dòng)實(shí)踐基地.某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種方案(除圍墻外，實(shí)線部分為籬笆，且不浪費(fèi)籬笆)，請(qǐng)根據(jù)設(shè)計(jì)方案回答下列問題：(1)方案一：如圖1，利用圍墻全部的長度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個(gè)寬1m(AE=1m)的矩形水池AEFH，且需保證總種植面積為32m2，試分別確定CG、DG的長；(2)方案二：如圖2，若使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，則BC應(yīng)設(shè)計(jì)為多長?此時(shí)最大面積為多少?4.(2023河南周口模擬)如圖，學(xué)校準(zhǔn)備在長為16米，寬為12米的矩形草地上規(guī)劃甲、乙、丙三個(gè)區(qū)域栽種花卉，正方形AEFG和正方形CHMN面積相等，且各有兩邊與矩形的邊重合，矩形MOFP是這兩個(gè)正方形的重疊部分，設(shè)PM為x(2≤x≤4)米，PF為y米.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(不用寫出自變量的取值范圍)(2)設(shè)甲、乙、丙的總面積為S(m2)，求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式及其最大值.類型三求銷售類問題的最值5.(2023湖北仙桃中考)某商店銷售某種商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，這種商品在近60天中的日銷售價(jià)與日銷售量的相關(guān)信息如下表(1≤x≤60，x為整數(shù))：第x天1≤x≤3031≤x≤60日銷售價(jià)(元/件)0.5x+3550日銷售量(件)124-2x設(shè)該商品的日銷售利潤為w元.(1)直接寫出w與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)該商品第幾天的日銷售利潤最多?最多日銷售利潤是多少?6.(2023內(nèi)蒙古包頭中考)隨著科技的發(fā)展，掃地機(jī)器人(圖1)已廣泛應(yīng)用于生活中.某公司推出一款新型掃地機(jī)器人，統(tǒng)計(jì)該產(chǎn)品2022年每個(gè)月的銷售情況發(fā)現(xiàn)，每臺(tái)的銷售價(jià)格隨銷售月份的變化而變化.設(shè)該產(chǎn)品2022年x(x為整數(shù))月每臺(tái)的銷售價(jià)格為y元，y與x的函數(shù)關(guān)系如圖2所示(圖中ABC為折線).(1)當(dāng)1≤x≤10時(shí)，求每臺(tái)的銷售價(jià)格y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)該產(chǎn)品2022年第x個(gè)月的銷售量為m萬臺(tái)，m與x的關(guān)系可以用m=110x+1來描述，求哪個(gè)月的銷售收入最多， 7.(2023湖北十堰中考)“端午節(jié)”吃粽子是中國傳統(tǒng)習(xí)俗，在“端午節(jié)”來臨前，某超市購進(jìn)某品牌粽子，每盒進(jìn)價(jià)是40元，并規(guī)定每盒售價(jià)不得少于50元，日銷售量不低于350盒.根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每盒售價(jià)定為50元時(shí)，日銷售量為500盒，每盒售價(jià)每提高1元，日銷售量減少10盒.設(shè)每盒售價(jià)為x元，日銷售量為p盒.(1)當(dāng)x=60時(shí)，p=；

(2)當(dāng)每盒售價(jià)定為多少元時(shí)，日銷售利潤W(元)最大?最大利潤是多少?(3)小強(qiáng)說：“當(dāng)日銷售利潤最大時(shí)，日銷售額不是最大.”小紅說：“當(dāng)日銷售利潤不低于8000元時(shí)，每盒售價(jià)x的取值范圍為60≤x≤80.”你認(rèn)為他們的說法正確嗎?若正確，請(qǐng)說明理由；若不正確，請(qǐng)直接寫出正確的結(jié)論.

專項(xiàng)02二次函數(shù)最值的應(yīng)用答案全解全析1.解析(1)把點(diǎn)(6，6)代入L1：y=-12x2+bx得6=-12×62+6b，解得b=4，∴拋物線L1的解析式為y=-12x2+4x，∵y=-12x2+4x=-12(x-4)2(2)聯(lián)立y=?12x2+4x,y=1(3)小球M能飛過這棵樹，理由如下：當(dāng)x=2時(shí)，y=12×2=1，y=-12×22+4×2=6，6-1=5>4(4)根據(jù)題意得小球M在飛行的過程中離斜坡OA的距離為-12x2+4x-12x=-12x2+72x=-12x?722+2.解析(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x+2)(x-4)，把C(0，-4)代入得a·2×(-4)=-4，解得a=12，∴拋物線解析式為y=12(x+2)(x-4)，即y=12(2)如圖，連結(jié)AC，則AC與拋物線所圍成的圖形的面積為定值，當(dāng)△ACM的面積最大時(shí)，圖中陰影部分的面積最小，作MN∥y軸交AC于N，設(shè)Mx,12x2-x-4，由A(4，0)，C(0，-4)知線段AC所在直線的解析式為y=x-4，則N(x，x-4)，∴MN=x-4-12x2-x-4=-12x2+2x，∴S△ACM=S△MNC+S△MNA=12×4MN=-x2+4x=-(x-2)23.解析(1)∵(21-12)÷3=3(m)，∴Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形的面積之和為12×3=36(m2)，設(shè)水池的長EF為am，則水池的面積為a×1=a(m2)，∴36-a=32，解得a=4，∴DG=EF=4m，∴CG=CD-DG=12-4=8(m)，故CG的長為8m，DG的長為4m.(2)設(shè)BC的長為xm，則CD的長為(21-3x)m，∴總種植面積為(21-3x)·x=-3(x2-7x)=-3x?722+1474，∵-3<0，∴當(dāng)x=72時(shí)，總種植面積最大，最大為1474m2，故BC應(yīng)設(shè)計(jì)為74.解析(1)由題可知，AG+MH=16+PM，AE+MN=12+PF，∴16+PM=12+PF，即16+x=12+y，∴y=x+4.(2)∵正方形AEFG和正方形CHMN的面積相等，∴AG=MH，∴2AG=16+x，∴S正方形AEFG=S正方形CHMN=16+x22，又S乙=xy=x(x+4)，∴S=S甲+S乙+S丙=16×12-(S正方形AEFG+S正方形CHMN-2S乙)=16×12-216+x22+2x(x+4)，整理得S=32x2-8x+64=32x?832+64-323，∵32>0，故當(dāng)x>83時(shí)，S隨x的增大而增大，當(dāng)x<83時(shí)，S隨x的增大而減小，∵4?5.解析(1)當(dāng)1≤x≤30時(shí)，w=(0.5x+35-30)·(-2x+124)=-x2+52x+620.當(dāng)31≤x≤60時(shí)，w=(50-30)(-2x+124)=-40x+2480，∴w與x的函數(shù)關(guān)系式為w=-(2)當(dāng)1≤x≤30時(shí)，w=-x2+52x+620=-(x-26)2+1296，∵-1<0，∴當(dāng)x=26時(shí)，w有最大值，最大值為1296；當(dāng)31≤x≤60時(shí)，w=-40x+2480，∵-40<0，∴當(dāng)x=31時(shí)，w有最大值，最大值為-40×31+2480=1240，∵1296>1240，∴該商品第26天的日銷售利潤最多，最多日銷售利潤是1296元.6.解析(1)當(dāng)1≤x≤10時(shí)，設(shè)每臺(tái)的銷售價(jià)格y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k≠0)，∵圖象過A(1，2850)，B(10，1500)兩點(diǎn)，∴k+b=2850,10k+b=1500,解得k=?150,b=3000,∴當(dāng)1≤x≤10時(shí)(2)設(shè)銷售收入為w萬元，①當(dāng)1≤x≤10時(shí)，w=(-150x+3000)110x+1=-15(x-5)2∵-15<0，∴當(dāng)x=5時(shí)，w有最大值，w最大=3375；②當(dāng)10<x≤12時(shí)，w=1500110x+1=150x+1500，∵150>0，∴當(dāng)x=12時(shí)，w有最大值，w∵3375>3300，∴5月的銷售收入最多，最多為3375萬元.7.解析(1)由題意可得p=500-10(x-50)=-10x+1000，即日銷售量p(盒)與每盒售價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式是p=-10x+1000，當(dāng)x=60時(shí)，p=-10×60+1000=400.(2)由題意可得W=(x-40)(-10x+1000)=-10x2+1400x-40000=-10(x-70)2+9000，由題意可知x≥50,p≥350,即x≥50,-10x+1000≥350,解得50≤x≤65，∵-10<0，∴當(dāng)x=65時(shí)，W取得最大值，此時(shí)W=-10×(65-70)2+9000=8750，故當(dāng)每盒售價(jià)定為65元時(shí)，日銷售利潤W(元)最大(3)小強(qiáng)：設(shè)日銷售額為y元，則y=x·p=x(-10x+1000)=-10x2+1000x=-10(x-50)2+25000，∵-10<0，50≤x≤65，∴當(dāng)x=50時(shí)