專項(xiàng)27-相似三角形的判定-重難點(diǎn)題型

相似三角形的判定-重難點(diǎn)題型【知識(shí)點(diǎn)1相似三角形的判定】判定定理判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)稱為兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似．如圖，如果，，則．判定定理2：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)稱為三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似．如圖，如果，則．判定定理3：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，并且對(duì)應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)稱為兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似．如圖，如果，，則．【題型1相似三角形的判定（判定定理1）】【例1】（越秀區(qū)校級(jí)二模）如圖，在△ABC中，四邊形DBFE是平行四邊形．求證：△ADE∽△EFC．【變式1-1】（越秀區(qū)校級(jí)二模）如圖，在△PAB中，點(diǎn)C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求證：△APC∽△PBD．【變式1-2】（寧德期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，AC⊥DE，垂足為F．求證：△ABC∽△ECD．【變式1-3】（淮安期末）如圖，在矩形ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，EF⊥EC交AB于F，連接FC，求證：△AEF∽△DCE．【題型2相似三角形的判定（判定定理2）】【例2】根據(jù)下列條件，判斷△ABC與△A′B′C′是否相似，并說(shuō)明理由（1）AB＝12，BC＝15，AC＝24，A′B′＝25，B′C′＝40，C′A′＝20（2）AB＝3，BC＝4，AC＝5，A′B′＝12，B′C′＝16，C′A′＝20【變式2-1】（南召縣期中）如圖，在△ABC和△A′B′C′中，D、D′分別是AB、A′B′上一點(diǎn)，ADAB=A′D′A′B′．當(dāng)CDC′D′=ACA′C′=【變式2-2】（肥東縣月考）如圖，在矩形ABEF中，四邊形ABCH、四邊形CDGH和四邊形DEFG都是正方形，圖中的△ACD與△ECA相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式2-3】如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，P1、P2、P3、P4、P5是△DEF邊上的5個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)按要求完成下列各題：（1）試證明△ABC為直角三角形；（2）判斷△ABC和△DEF是否相似，并說(shuō)明理由；（3）直接寫出一個(gè)與△ABC相似的三角形，使它的三個(gè)頂點(diǎn)為P1、P2、P3、P4、P5中的三個(gè)格點(diǎn)．【題型3相似三角形的判定（判定定理3）】【例3】（浦東新區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)D，E分別在線段AB和AC上，BE與CD相交于點(diǎn)O，AD?AB＝AE?AC，DF∥AC，求證：△DOF∽△DOB．【變式3-1】（肇州縣期末）如圖，點(diǎn)B，C分別在△ADE的邊AD，AE上，且AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5．求證：△ABC∽△AED．【變式3-2】（朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，在四邊形ABCD中，CA是∠BCD的角平分線，且AC2＝CD?BC，求證：△ABC∽△DAC．【變式3-3】（蜀山區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，DE、BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，且EF?DF＝CF?BF．求證：△CAB∽△DAE．【題型4相似三角形的判定（多結(jié)論問題）】【例4】（（阿勒泰地區(qū)一模）如圖，G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的點(diǎn)，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，現(xiàn)有如下結(jié)論：①BE＝DH；②△AGE≌△ECF；③∠FCD＝45°；④△GBE∽△ECH．其中，正確的結(jié)論有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式4-1】（淄川區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，P為BC邊上一點(diǎn)，在下列條件中：①∠APB＝∠EPC；②AB?PC＝EC?BP；③P為BC的中點(diǎn)；④PB：BC＝2：3．其中能得到△ABP與△ECP相似的是（）A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③【變式4-2】（南召縣期中）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，DE＝2，則下列敘述正確的是（）①BC＝4；②AEEC=12；③S△ADES△ABCA．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④【變式4-3】（天心區(qū)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，下列條件中能判斷△ABC∽△AED的是（）①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③ADAE=ACABA．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【題型5相似三角形的判定（網(wǎng)格問題）】【例5】（芝罘區(qū)期末）如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）A． B． C． D．【變式5-1】（龍港區(qū)一模）如圖所示的4個(gè)三角形中，相似三角形有（）A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)【變式5-2】（鹿邑縣期末）如圖，A、B、C、D、E、G、H、M、N都是方格中的格點(diǎn)（即小正方形的頂點(diǎn)），要使△DEF與△ABC相似，則點(diǎn)F應(yīng)是G、H、M、N中的（）A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M【變式5-3】（成華區(qū)期末）如圖，在6×6的正方形的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，已知Rt△ABC是網(wǎng)格中的格點(diǎn)三角形，則該網(wǎng)格中與Rt△ABC相似且面積最大的格點(diǎn)三角形的面積是，符合條件的格點(diǎn)三角形共有個(gè)．【題型6相似三角形的判定（動(dòng)點(diǎn)問題）】【例6】（龍口市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度沿CA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨即停止運(yùn)動(dòng)．（1）經(jīng)過(guò)幾秒后，△MCN的面積等于△ABC面積的25（2）經(jīng)過(guò)幾秒，△MCN與△ABC相似？【變式6-1】（濮陽(yáng)期末）在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)B開始沿BA邊運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A開始沿AC邊運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s．如果D，E兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)它們運(yùn)動(dòng)s時(shí)，由D，A，E三點(diǎn)連成的三角形與△ABC相似．【變式6-2】（渭濱區(qū)期末）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，點(diǎn)E由點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，速度為1cm/s，點(diǎn)F由點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向向點(diǎn)C勻速移動(dòng)，速度為2cm/s，如果動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)從A，B兩點(diǎn)出發(fā)，連接EF，若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，解答下列問題：（1）當(dāng)t為多少時(shí)，△BEF為等腰直角三角形；（2）是否存在某一時(shí)刻t，使△EFB∽△FDC？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式6-3】（舒城縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AC向點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．（1）如果點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒鐘時(shí)△PCQ的面積為8cm2？（2）如果點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒鐘時(shí)以P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

相似三角形的判定-重難點(diǎn)題型（解析版）【知識(shí)點(diǎn)1相似三角形的判定】判定定理判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)稱為兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似．如圖，如果，，則．判定定理2：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)稱為三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似．如圖，如果，則．判定定理3：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，并且對(duì)應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)稱為兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似．如圖，如果，，則．【題型1相似三角形的判定（判定定理1）】【例1】（越秀區(qū)校級(jí)二模）如圖，在△ABC中，四邊形DBFE是平行四邊形．求證：△ADE∽△EFC．【解題思路】根據(jù)平行得角相等，即可得證相似．【解答過(guò)程】證明：∵四邊形DBFE是平行四邊形，∴DE∥BC，EF∥AB，∴∠CEF＝∠A，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△EFC．【變式1-1】（越秀區(qū)校級(jí)二模）如圖，在△PAB中，點(diǎn)C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求證：△APC∽△PBD．【解題思路】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠PCD＝∠PDC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠A+∠APC＝∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC，求出∠B＝∠APC，再根據(jù)相似三角形的判定推出即可．【解答過(guò)程】證明：∵PC＝PD，∴∠PCD＝∠PDC，∵∠A+∠APC＝∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC，又∵∠A＝∠BPD，∴∠B＝∠APC，∴△APC∽△PBD．【變式1-2】（寧德期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，AC⊥DE，垂足為F．求證：△ABC∽△ECD．【解題思路】利用“兩角法”證得結(jié)論．【解答過(guò)程】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BCD＝90°．∴∠ACB+∠ACD＝90°．又∵AC⊥DE，∴∠CDE+∠ACD＝90°．∴∠ACB＝∠CDE．∴△ABC∽△ECD．【變式1-3】（淮安期末）如圖，在矩形ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，EF⊥EC交AB于F，連接FC，求證：△AEF∽△DCE．【解題思路】用∠FEC＝90°，可得到△AEF和△DCE一對(duì)銳角相等，再加上一對(duì)直角相等，可證相似．【解答過(guò)程】證明：∵∠FEC＝90°，∴∠AEF+∠DEC＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∵∠A+∠AFE+∠AEF＝180°，∴∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠DEC＝∠AFE，又∵∠A＝∠D，∴△AEF∽△DCE．【題型2相似三角形的判定（判定定理2）】【例2】根據(jù)下列條件，判斷△ABC與△A′B′C′是否相似，并說(shuō)明理由（1）AB＝12，BC＝15，AC＝24，A′B′＝25，B′C′＝40，C′A′＝20（2）AB＝3，BC＝4，AC＝5，A′B′＝12，B′C′＝16，C′A′＝20【解題思路】（1）通過(guò)計(jì)算得出兩個(gè)三角形三邊成比例，即可得出結(jié)論．（2）通過(guò)計(jì)算得出兩個(gè)三角形三邊成比例，即可得出結(jié)論．【解答過(guò)程】解：（1）∵ABC′A′∴△ABC∽△A′B′C′（2）∵AB∴△ABC∽△A′B′C′．【變式2-1】（南召縣期中）如圖，在△ABC和△A′B′C′中，D、D′分別是AB、A′B′上一點(diǎn)，ADAB=A′D′A′B′．當(dāng)CDC′D′=ACA′C′=【解題思路】根據(jù)相似三角形的判定解答即可．【解答過(guò)程】解：相似，理由如下：∵ADAB∴ADA′D′又∵CDC′D′∴CDC′D′∴△ADC∽△A′D′C′，∴∠A＝∠A′，又∵ACA′C′∴△ABC∽△A′B′C′．【變式2-2】（肥東縣月考）如圖，在矩形ABEF中，四邊形ABCH、四邊形CDGH和四邊形DEFG都是正方形，圖中的△ACD與△ECA相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【解題思路】設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，分別求得兩個(gè)三角形各邊的長(zhǎng)，再根據(jù)各邊是否對(duì)應(yīng)成比例來(lái)判定兩三角形是否相似．【解答過(guò)程】解：結(jié)論：相似．理由：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則AC=2，CD＝1，AD=5，EC＝2，EA∵AC∴△ACD∽△ECA．【變式2-3】如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，P1、P2、P3、P4、P5是△DEF邊上的5個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)按要求完成下列各題：（1）試證明△ABC為直角三角形；（2）判斷△ABC和△DEF是否相似，并說(shuō)明理由；（3）直接寫出一個(gè)與△ABC相似的三角形，使它的三個(gè)頂點(diǎn)為P1、P2、P3、P4、P5中的三個(gè)格點(diǎn)．【解題思路】（1）先根據(jù)勾股定理求出各個(gè)邊的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可；（2）先根據(jù)勾股定理求出各個(gè)邊的長(zhǎng)度，再根據(jù)相似三角形的判定定理得出即可；（3）先根據(jù)勾股定理求出各個(gè)邊的長(zhǎng)度，再根據(jù)相似三角形的判定定理得出即可．【解答過(guò)程】（1）證明：由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，AC2＝22+12＝5，BC2＝32+42＝25，即AB2+AC2＝BC2，所以△ABC是直角三角形；（2）解：相似，理由是：由勾股定理得：DF=22+22=22，DE=42由（1）知：AB＝25，AC=5，BC所以DFAC所以△△ABC和△DEF相似；（3）解：和△ABC相似的三角形是△P2P4P5，理由是：∵由勾股定理得：P5P2=12+32=10，P2P4=1又∵AB＝25，AC=5，BC∴ACP∴△ABC∽△P4P5P2．【題型3相似三角形的判定（判定定理3）】【例3】（浦東新區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)D，E分別在線段AB和AC上，BE與CD相交于點(diǎn)O，AD?AB＝AE?AC，DF∥AC，求證：△DOF∽△DOB．【解題思路】根據(jù)相似三角形的判定得出△ABE與△ACD相似，利用相似三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠C，再利用平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定解答即可．【解答過(guò)程】證明：∵AD?AB＝AE?AC，∴ADAE∵∠A＝∠A，∴△ABE∽∠ACD，∴∠B＝∠C，∵DF∥AC，∴∠C＝∠ODF，∴∠B＝∠ODF，∵∠DOF＝∠BOD，∴△DOF∽△DOB【變式3-1】（肇州縣期末）如圖，點(diǎn)B，C分別在△ADE的邊AD，AE上，且AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5．求證：△ABC∽△AED．【解題思路】根據(jù)相似三角形的判定解答即可．【解答過(guò)程】證明：∵AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5．∴AE＝5，AD＝6，∴ACAD=3∴ACAD∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED．【變式3-2】（朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，在四邊形ABCD中，CA是∠BCD的角平分線，且AC2＝CD?BC，求證：△ABC∽△DAC．【解題思路】根據(jù)兩邊成比例夾角相等兩三角形相似證明即可．【解答過(guò)程】證明：∵AC平分∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD，∵AC2＝CD?BC，∴ACCD∴△ABC∽△DAC．【變式3-3】（蜀山區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，DE、BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，且EF?DF＝CF?BF．求證：△CAB∽△DAE．【解題思路】根據(jù)相似三角形的判定得出△EFC∽△BFD，得出∠CEF＝∠B，進(jìn)而證明△CAB∽△DAE即可．【解答過(guò)程】證明：∵EF?DF＝CF?BF．∴EFBF∵∠EFC＝∠BFD，∴△EFC∽△BFD，∴∠CEF＝∠B，∴∠B＝∠AED，∵∠CAB＝∠DAE，∴△CAB∽△DAE．【題型4相似三角形的判定（多結(jié)論問題）】【例4】（（阿勒泰地區(qū)一模）如圖，G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的點(diǎn)，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，現(xiàn)有如下結(jié)論：①BE＝DH；②△AGE≌△ECF；③∠FCD＝45°；④△GBE∽△ECH．其中，正確的結(jié)論有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【解題思路】由∠BEG＝45°知∠BEA＞45°，結(jié)合∠AEF＝90°得∠HEC＜45°，據(jù)此知HC＜EC，即可判斷①；求出∠GAE+∠AEG＝45°，推出∠GAE＝∠FEC，根據(jù)SAS推出△GAE≌△CEF，即可判斷②；求出∠AGE＝∠ECF＝135°，即可判斷③；求出∠FEC＜45°，根據(jù)相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判斷④．【解答過(guò)程】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∵AG＝CE，∴BG＝BE，∴∠BEG＝45°，∴∠BEA＞45°，∵∠AEF＝90°，∴∠HEC＜45°，則HC＜EC，∴CD﹣CH＞BC﹣CE，即DH＞BE，故①錯(cuò)誤；∵BG＝BE，∠B＝90°，∴∠BGE＝∠BEG＝45°，∴∠AGE＝135°，∴∠GAE+∠AEG＝45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∵∠BEG＝45°，∴∠AEG+∠FEC＝45°，∴∠GAE＝∠FEC，在△GAE和△CEF中，∵AG=CE∴△GAE≌△CEF（SAS），∴②正確；∴∠AGE＝∠ECF＝135°，∴∠FCD＝135°﹣90°＝45°，∴③正確；∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG+∠FEC＝45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④錯(cuò)誤；故選：C．【變式4-1】（淄川區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，P為BC邊上一點(diǎn)，在下列條件中：①∠APB＝∠EPC；②AB?PC＝EC?BP；③P為BC的中點(diǎn)；④PB：BC＝2：3．其中能得到△ABP與△ECP相似的是（）A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③【解題思路】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，再逐個(gè)判斷即可．【解答過(guò)程】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠APB＝∠EPC，∴△ABP和△ECP相似，故①正確；∵AB?PC＝EC?BP，∴ABEC∵∠B＝∠C，∴△ABP∽△ECP，故②正確，∵P為BC的中點(diǎn)，E為DC的中點(diǎn)，∴BP＝CP=12BC，CE=∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∴BP＝CP＝CE，∴ABBP=2即ABBP即△ABP和△ECP不相似，故③錯(cuò)誤；設(shè)PB＝2x，BC＝3x，則PC＝3x﹣2x＝x，AB＝BC＝3x，CE=12BC=∴ABBP=3x即ABBP∴ABCE∵∠B＝∠C＝90°，即△ABP和△ECP相似，故④正確；所以正確的為①②④，故選：C．【變式4-2】（南召縣期中）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，DE＝2，則下列敘述正確的是（）①BC＝4；②AEEC=12；③S△ADES△ABCA．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④【解題思路】利用平行線的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)一一判斷即可．【解答過(guò)程】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=DEBC=AEAC=∴AEEC∵DE＝2，∴BC＝6，∴②④正確，故選：D．【變式4-3】（天心區(qū)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，下列條件中能判斷△ABC∽△AED的是（）①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③ADAE=ACABA．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【解題思路】根據(jù)相似三角形的判定方法一一判斷即可．【解答過(guò)程】解：∵∠A＝∠A，∴∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C時(shí)，△ABC∽△AED．∵ADAE∴AD∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故①②③可以判斷三角形相似，故選：B．【題型5相似三角形的判定（網(wǎng)格問題）】【例5】（芝罘區(qū)期末）如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）A． B． C． D．【解題思路】應(yīng)用兩三角形相似判定定理，三邊對(duì)應(yīng)成比例，分別對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行分析即可得出答案．【解答過(guò)程】解：已知給出的三角形的各邊分別為2、2、10、只有選項(xiàng)A的各邊為1、2、5與它的各邊對(duì)應(yīng)成比例．故選：A．【變式5-1】（龍港區(qū)一模）如圖所示的4個(gè)三角形中，相似三角形有（）A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)【解題思路】先分別求出三角形的三條邊，根據(jù)相似三角形的判定方法判斷即可．【解答過(guò)程】解：第一個(gè)三角形的三邊的三邊之比為：1：2：5，第二個(gè)三角形的三邊的三邊之比為：2：5：5，第三個(gè)三角形的三邊的三邊之比為：1：2：5，第一個(gè)四角形的三邊的三邊之比為：1：1：2，只有第一和第三個(gè)三角形的三邊成比例，所以只有第一和第三個(gè)三角形相似，故選：A．【變式5-2】（鹿邑縣期末）如圖，A、B、C、D、E、G、H、M、N都是方格中的格點(diǎn)（即小正方形的頂點(diǎn)），要使△DEF與△ABC相似，則點(diǎn)F應(yīng)是G、H、M、N中的（）A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M【解題思路】根據(jù)兩三角形三條邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似進(jìn)行解答．【解答過(guò)程】解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則△ABC的各邊分別為3、13、10，只能F是M或N時(shí)，其各邊是6、213，210．與△ABC各邊對(duì)應(yīng)成比例，故選：C．【變式5-3】（成華區(qū)期末）如圖，在6×6的正方形的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，已知Rt△ABC是網(wǎng)格中的格點(diǎn)三角形，則該網(wǎng)格中與Rt△ABC相似且面積最大的格點(diǎn)三角形的面積是10，符合條件的格點(diǎn)三角形共有16個(gè)．【解題思路】根據(jù)Rt△ABC的各邊長(zhǎng)得出與其相似的三角形的兩直角邊之比為1：2，在6×6的網(wǎng)格圖形中可得出與Rt△ABC相似的三角形的短直角邊長(zhǎng)應(yīng)小于4，在圖中嘗試可畫出符合題意的最大三角形，進(jìn)而解答即可．【解答過(guò)程】解：在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，∴AB=5，AC：BC∴與Rt△ABC相似的格點(diǎn)三角形的兩直角邊的比值為1：2，若該三角形最短邊長(zhǎng)為4，則另一直角邊長(zhǎng)為8，但在6×6網(wǎng)格圖形中，最長(zhǎng)線段為62，但此時(shí)畫出的直角三角形為等腰直角三角形，從而畫不出端點(diǎn)都在格點(diǎn)且長(zhǎng)為8的線段，故最短直角邊長(zhǎng)應(yīng)小于4，在圖中嘗試，可畫出DE=10，EF＝210，DF＝52∵101∴△ABC∽△DFE，∴∠DEF＝∠C＝90°，∴此時(shí)△DEF的面積為：10×210÷2＝10，△Rt△ABC的三邊為1：2：5的直角三角形，∵相似，直角邊為1：2，∴直角邊最長(zhǎng)應(yīng)為10與210，如圖中4個(gè)，每旋轉(zhuǎn)90°又有4個(gè)，∴共4×4＝16（個(gè)）．故答案為：10；16．【題型6相似三角形的判定（動(dòng)點(diǎn)問題）】【例6】（龍口市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度沿CA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨即停止運(yùn)動(dòng)．（1）經(jīng)過(guò)幾秒后，△MCN的面積等于△ABC面積的25（2）經(jīng)過(guò)幾秒，△MCN與△ABC相似？【解題思路】（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，△MCN的面積等于△ABC面積的25（2）根據(jù)相似三角形的判定得出兩種情況，再求出t即可．【解答過(guò)程】解：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，△MCN的面積等于△ABC面積的2512×2x（8﹣x）=1解得x1＝x2＝4．答：經(jīng)過(guò)4秒后，△MCN的面積等于△ABC面積的25（2）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒，△MCN與△ABC相似．∵∠C＝∠C，∴可分為兩種情況：①M(fèi)CBC=NC解得t=16②MCAC=NC解得t=40答：經(jīng)過(guò)167或4013秒，△MCN與△【變式6-1】（濮陽(yáng)期末）在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)B開始沿BA邊運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A開始沿AC邊運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s．如果D，E兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)它們運(yùn)動(dòng)32或187s時(shí)，由D，A，E三點(diǎn)連成的三角形與△【解題思路】分兩種情形①當(dāng)AEAB=ADAC時(shí)，【解答過(guò)程】解：根據(jù)題意得：AE＝2t，BD＝t，∴AD＝6﹣t，∵∠A＝∠A，∴分兩種情況：①當(dāng)AEAB即2t6=6?t9②當(dāng)AEAC即2t9=6?t6綜上所述：當(dāng)t=32或187時(shí)，△ADE【變式6-2】（渭濱區(qū)期末）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，點(diǎn)E由點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，速度為1cm/s，點(diǎn)F由點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向向點(diǎn)C勻速移動(dòng)，速度為2cm/s，如果