四川省綿陽市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月學(xué)生學(xué)業(yè)發(fā)展指導(dǎo)（文化學(xué)科）測評數(shù)學(xué)試題 含解析

【考試時間：2024年11月5日14：15—16：15】高中2024級學(xué)生學(xué)業(yè)發(fā)展指導(dǎo)（文化學(xué)科）測評數(shù)學(xué)本試卷分為試題卷和答題卡兩部分，其中試題卷由第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）組成，共4頁：答題卡共6頁．滿分150分，測試時間120分鐘．注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫清楚，同時用2B鉛筆將考號準確填涂在“考號”欄目內(nèi)．2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對應(yīng)題目標號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再選涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色墨水簽字筆書寫在答題卡的對應(yīng)框內(nèi)，案超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效．3．考試結(jié)束后將答題卡收回．第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)交集的定義可求.【詳解】，故選：C2.若，則下列選項正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用反例可判斷ABC的正誤，利用不等式的性質(zhì)可判斷D的正誤.【詳解】取，則，，故AC錯誤；取，則，故B錯誤；對于D，由不等式的性質(zhì)可得成立，故D正確；故選：D.3.設(shè)函數(shù)則（）A.12 B.10 C.5 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件求出后可求.【詳解】，故選：B4.已知命題，若命題是假命題，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】首先求命題為真命題時的取值范圍，再求其補集.【詳解】若命題為真命題，則，解得：或，所以當(dāng)命題為假命題時，得到取值范圍是.故選：A5.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義及冪函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷后可得正確的選項.【詳解】對于A，設(shè)，則，故為上偶函數(shù)，而在為增函數(shù)，故A正確；對于B，設(shè)，則，故為上奇函數(shù)，故B錯誤；對于C，在上為減函數(shù)，故C錯誤；對于D，，該函數(shù)為反比例函數(shù)，為上的奇函數(shù)，故D錯誤；故選：A.6.函數(shù)的圖象不可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】討論，和三種情況，討論函數(shù)類型，即可判斷函數(shù)的圖象.【詳解】當(dāng)時，，，為A的圖象；當(dāng)時，為對勾函數(shù)，為B圖象；當(dāng)時，，函數(shù)的零點是，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，為C圖象；不管為何值，都不可能是D的圖象.故選：D7.某公園有如圖所示一塊直角三角形空地，直角邊．現(xiàn)欲建一個如圖的內(nèi)接矩形花園，點在斜邊上（不包括端點），則花園的面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式可求面積最大值.【詳解】設(shè)，則，因為，所以，解得，其中，所以花園的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故花園的面積的最大值為，故選：B.8.已知函數(shù)，對任意，使得關(guān)于的不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，利用參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即可求解.【詳解】，在區(qū)間和都是增函數(shù)，且，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以不等式，即，在恒成立，即，恒成立，即，得或.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，下面有關(guān)結(jié)論正確的有（）A.定義域為 B.函數(shù)在上的值域為C.在上單調(diào)遞增 D.函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)反例可判斷BC的正誤，求出函數(shù)的定義域后可判斷A的正誤，判斷函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域后可判斷D的正誤.【詳解】因為，故其定義域為，故A正確；而，，故在上不單調(diào)遞增，故C錯誤，而，故函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，故D錯誤；又當(dāng)時，因均為增函數(shù)，故在上為增函數(shù)，故其值域為，故B正確.故選：AB.10.下列敘述中正確的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.命題“”的否定是“”C.“”的一個必要不充分條件是“”D.集合中只有一個元素的充要條件是【答案】ABC【解析】【分析】對于ACD，根據(jù)各選項中條件之間的推出關(guān)系可判斷它們的條件關(guān)系，根據(jù)存在性命題的否定的結(jié)構(gòu)形式可判斷B的正誤，從而可得正確的選項.【詳解】對于A，當(dāng)時，由，而，成立，但不成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故A正確；對于B，命題“”的否定是“”，故B正確；對于C，若，則，故成立，若，成立，但，故“”的一個必要不充分條件是“”，故C成立；對于D，若，則，集合中只有一個元素推不出，但時，，該集合為單元素集合，故集合中只有一個元素的充分不必要條件是，故D錯誤，故選：ABC.11.高斯是著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號．設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，也被稱為“高斯函數(shù)”，例如：，．已知函數(shù)，下列說法中正確的是（）A若，則B.方程在區(qū)間上有4個實數(shù)根C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.，都有【答案】ABD【解析】【分析】對于A，根據(jù)高斯函數(shù)的定義可得，故可判斷A的正誤，對于B，分段討論后可判斷其正誤，對于C，利用反例可判斷其正誤，結(jié)合A的范圍及高斯函數(shù)的定義可判斷其正誤.【詳解】對于A，因為x表示不超過的最大整，故，故，所以，，，所以，故A正確；對于B，當(dāng)時，，此時的解為；當(dāng)時，，此時的解為；當(dāng)時，，此時的解為；當(dāng)時，，此時的解為；當(dāng)時，，不是的解，故方程在區(qū)間上有4個實數(shù)根，故B正確；對于C，，故在0,+∞上不是單調(diào)遞增，故C錯誤；對于D，由A的分析可得，故，故D正確.故選：ABD.【點睛】思路點睛：對于函數(shù)新定義題，應(yīng)根據(jù)新定義研究函數(shù)的性質(zhì)，必要時需分段討論.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的定義域為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)具體函數(shù)的形式，列不等式，即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域需滿足，解得：，且，所以函數(shù)的定義域是.故答案為：13.已知是定義在上的奇函數(shù)，若，則______．【答案】【解析】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)計算可求得的值.【詳解】因為，，所以，又因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，又，所以，解得.故答案為：.14.若關(guān)于的方程有四個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】把原方程解轉(zhuǎn)化為在0,+∞上有兩個不同的正數(shù)解，利用判別式及韋達定理可求參數(shù)的范圍.【詳解】令，則，則原方程可化為，因為關(guān)于的方程有四個不同的實數(shù)根，故在0,+∞上有兩個不同的正數(shù)解，故，解得.故答案為：.第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）四、解答題：共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設(shè)集合．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出結(jié)合，根據(jù)補集并集的定義可求.（2）根據(jù)條件關(guān)系可得集合的包含關(guān)系，從而得到關(guān)于的不等式組，求出其解后可得的取值范圍．【小問1詳解】當(dāng)時，，而，故.【小問2詳解】因為“”是“”的充分不必要條件，故是的真子集，故，故.16.已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在上單調(diào)遞增．（1）求的值及函數(shù)的解析式；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1），.（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)單調(diào)性可得，再根據(jù)奇偶性可得，從而得到函數(shù)解析式；（2）根據(jù)單調(diào)性和奇偶性可得，解該不等式可得實數(shù)的取值范圍．【小問1詳解】因為在上單調(diào)遞增，故即，而為整數(shù)，故，因為冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，故為偶數(shù)，故，此時.【小問2詳解】因為，故，所以，所以或.17.已知，且．（1）若，求的最小值及此時相應(yīng)的值；（2）若，求的最小值，并求出此時的值．【答案】（1）的最小值為，此時.（2）的最小值為，此時.【解析】【分析】（1）根據(jù)基本不等式求得，故可求其的最小值及對應(yīng)的的值；（2）利用“1”的代換結(jié)合基本不等式可求的最小值及對應(yīng)的的值，從而可求原代數(shù)式的最小值.【小問1詳解】因為，所以，當(dāng)或（舍），故，當(dāng)且等號成立，故的最小值為，此時.【小問2詳解】因為，故，又，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，而，故的最小值為，此時.18.某文旅公司設(shè)計文創(chuàng)作品，批量生產(chǎn)并在旅游景區(qū)進行售賣．經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，若在旅游季在文創(chuàng)作品的原材料上多投入萬元，文創(chuàng)作品的銷售量可增加千個，其中每千個的銷售價格為萬元，另外每生產(chǎn)1千個產(chǎn)品還需要投入其他成本0.5萬元．（1）求該文旅公司在旅游季增加的利潤與（單位：萬元）之間的函數(shù)關(guān)系；（2）當(dāng)為多少萬元時，該公司在旅游季增加的利潤最大？最大為多少萬元？【答案】（1）（2）當(dāng)（萬元）時，該公司在旅游季增加的利潤最大，最大為萬元.【解析】【分析】（1）由利潤公式，結(jié)合與的函數(shù)關(guān)系式，分段寫出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，分段求函數(shù)的最值，再比較即可求解.【小問1詳解】本季度增加的利潤，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以該公司增加的利潤與（單位：萬元）之間的函數(shù)關(guān)系式為；【小問2詳解】，當(dāng)時，，當(dāng)，即時，等號成立，當(dāng)時，是減函數(shù)，當(dāng)時，取得最大值16，因為，所以當(dāng)（萬元）時，該公司在旅游季增加的利潤最大，最大為萬元.19.定義在上的函數(shù)滿足：對任意，都存在唯一，使得，則稱函數(shù)是“型函數(shù)”（其中）．（1）判斷是否為“型函數(shù)”？并說明理由；（2）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)是“型函數(shù)”，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由；（3）若函數(shù)是“型函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）不是“型函數(shù)”（2）（3）【解析】【分析】（1）分別求函數(shù)在和時函數(shù)值的范圍，再結(jié)合定義，即可判斷；（2）根據(jù)的定義域求的取值范圍，結(jié)合“型函數(shù)”的定義以及函數(shù)的單調(diào)性求得的取值范圍；（3）對進行分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分別求兩段函數(shù)的范圍，再結(jié)合“型函數(shù)”的定義，即可求解.【小問1詳解】函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，不存在，使，所以不是“型