浙江省強基聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期11月聯(lián)考數(shù)學試題

浙江強基聯(lián)盟2024年11月高二聯(lián)考數(shù)學試題浙江強基聯(lián)盟研究院命制考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.若集合，則（）A.B.C.D.2.如果橢圓的方程是，那么它的焦點坐標是（）A.B.C.D.3.已知點，若，則（）A.1B.C.1或D.或54.已知圓和圓，則與的位置關(guān)系是（）A.外切B.內(nèi)切C.相交D.外離5.在正方體中，以下說法正確的是（）A.若為的中點，則平面B.若為的中點，則平面C.若為的中點，則D.若為的中點，則6.已知，則函數(shù)的最小值是（）A.B.C.3D.27.在平行六面體中，若直線與的交點為.設(shè)，則下列向量中與共線的向量是（）A.B.C.D.8.如果函數(shù)那么（）A.2020B.2021C.2023D.2025二?多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數(shù)，以下說法正確的是（）A.的實部是3B.C.D.在復平面內(nèi)對應的點在第一象限10.拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，記隨機事件“點數(shù)為”，其中，則以下說法正確的是（）A.若隨機事件“點數(shù)不大于3”，則與互斥B.若隨機事件“點數(shù)為偶數(shù)”，則C.若隨機事件“點數(shù)不大于2”，則與對立D.若隨機事件“點數(shù)為奇數(shù)”，則與相互獨立11.棱長為1的正四面體的內(nèi)切球球心為，點是該內(nèi)切球球面上的動點，則以下說法正確的是（）A.記直線與直線的夾角是，則B.記直線與平面的夾角是，則C.記的最小值為，則D.記在上的投影向量為，則三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.點到直線的距離是__________.13.已知圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，弧長為的扇形，則該圓錐的體積是__________.14.設(shè)是坐標原點，是橢圓的左焦點，橢圓上的點關(guān)于的對稱點是，若，則該橢圓的離心率是__________.四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.15.（13分）已知圓，點，且直線經(jīng)過點.（1）若與相切，求的方程；（2）若的傾斜角為，求被圓截得的弦長.16.（15分）在中，內(nèi)角的對邊分別是，記的面積為，已知.（1）若，求外接圓的半徑；（2）求的值.17.（15分）如圖，在四棱錐中，是正三角形，四邊形為等腰梯形，且有分別是的中點，動點在上.（1）證明：平面平面；（2）當時，求平面與平面所成角的余弦值.18.（17分）在平面直角坐標系中，已知是坐標原點，點，直線相交于點，且它們的斜率之積是.記點的軌跡是曲線，點是曲線上的一點.（1）求曲線的方程；（2）若，直線過點與曲線的另一個交點為，求面積的最大值；（3）過點作直線交曲線于兩點，且，證明：為定值.19.（17分）在平面直角坐標系中，我們可以采用公式（其中為常數(shù)），將點變換成點，我們稱該變換為線性變換，上式為坐標變換公式.常見的線性變換有平移變換和旋轉(zhuǎn)變換.（1）將點向左平移1個單位，再向上平移2個單位，得到點，求該變換的坐標變換公式，并求將橢圓向左平移1個單位，再向上平移2個單位后，所得新橢圓的方程；（2）將點繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到點，求上述變換的坐標變換公式，并求將橢圓繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后，所得新橢圓的方程；（3）若點滿足，證明：點的軌跡是橢圓.浙江強基聯(lián)盟2024年11月高二聯(lián)考數(shù)學卷參考答案與評分標準1.D，故選D.2.C由，則它的焦點坐標是，故選C.3.C由兩點間的距離公式可得，解得或，選C.4.A由，可得與的圓心距是5，又，所以與外切，故選A.5.A如圖所示，，則有平面，故選A.6.B令，則在單調(diào)遞增，所以的最小值是，故選B.7.C由空間向量的線性運算可得.選項D中，，與共線，故選D.8.B記，根據(jù)定義可得，考慮，，所以（2022）=，所以周期為5，取值分別是，故選B.9.ABC，則的實部是3，故A正確；，B正確；正確，在復平面內(nèi)對應的點的坐標是，在第四象限，故D錯誤.故選ABC.10.BD“點數(shù)為”，“點數(shù)為1”，則，則與不互斥，A錯誤；“點數(shù)為，”點數(shù)為2“，則，B正確；”點數(shù)為“點數(shù)為3”，“點數(shù)為”，不是全集，故C錯誤；“點數(shù)為”，“點數(shù)為3，4”，則.，故D正確.故選BD.11.ACD如圖，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，易得正確；直線與平面的夾角是，則，B錯誤；令，則是平面內(nèi)一動點，，即球面上的點到平面上點之間的距離，最小值表示球面上的點到平面的距離，，即，C正確；點在線段上的投影為線段的中心，點在線段上的投影點位于點的左側(cè)或右側(cè)，且的最大值等于，則，D選項正確.故選ACD.12.由點到直線的距離公式.13.，則圓錐的母線長是，由，得圓錐底面半徑，則，由圓錐的體積公式可得.14.由，可得.【法一】則由橢圓的定義不妨設(shè)，由余弦定理和中線長公式得即得，則，【法二】設(shè)，即化簡得，即，得.15.解：（1）因為點在圓上，則直線的斜率為，則直線的斜率是，可得直線的方程是，即.（2）由于直線的傾斜角是，則直線的斜率是，可得，則圓心到直線的距離是，則直線被圓截得的弦長是.16.解：（1）由，得，由，可得，的外接圓半徑是.（2）.17.解：（1）因為四邊形等腰梯形，分別為的中點，所以，又因為，所以，又因為，所以平面，而平面，所以平面平面.（2）當時.假設(shè)，所以，得到，所以.如圖建立空間直角坐標系，得，.設(shè)平面的一個法向量，.則取得.設(shè)平面的一個法向量取得.設(shè)平面與平面所成角為，則，所以平面與平面所成角的余弦值為.18.解：（1）設(shè)點，所以直線的斜率為，同理直線的斜率為，由已知可得，化簡得點的軌跡的方程是.（2）計算得，則直線，當直線且與相切，切點為，此時的面積取最大值，設(shè)直線，聯(lián)立方程組得，，解得，直線與之間的距離，所以.（2）由題知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線，設(shè)，聯(lián)立方程組得，則所以，因為，則直線，聯(lián)立方程組得，所以，得，所以，為定值.19.解：（1）由平移可得，所以此即為坐標變換公式.設(shè)上任一點，向左平移1個單位，向上平移2個單位.得到的新的橢圓上一點，則所以所以.所以新橢圓的方程為.（2）設(shè)將軸逆時針轉(zhuǎn)到的角為點，點繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到點由三角函數(shù)可得當時，此即為坐標變換式.設(shè)將上