數(shù)學(xué)素材：圓的方程

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精教材習(xí)題點(diǎn)撥練習(xí)A1．（1）x2＋y2＝4；(2)x2＋(y－1)2＝4;(3)(x＋2）2＋(y－1)2＝3；(4)（x－3）2＋(y－4）2＝25.2．∵12＋12＝2＜4，∴點(diǎn)A在圓內(nèi)．∵12＋(eq\r(3））2＝4，∴點(diǎn)B在圓上．∵12＋22＝5＞4，∴點(diǎn)C在圓外．3．（1)圓心坐標(biāo)為（0,0),半徑為eq\r(5）；（2）圓心坐標(biāo)為（3，0)，半徑為2;(3）圓心坐標(biāo)為（0，－1），半徑為eq\r(2）；(4）圓心坐標(biāo)為（－2，1）,半徑為eq\r（3）.練習(xí)B1．(1）圓心C為AB的中點(diǎn)，∴圓心C（3,6)．半徑r＝eq\f（｜AB|，2）＝eq\f（1,2）eq\r（（4－2）2＋（9－3）2)＝eq\r（10)，∴圓的方程為(x－3)2＋(y－6）2＝10。(2）設(shè)圓的方程為x2＋（y＋3)2＝r2，由題意，得9＋(1＋3）2＝r2，∴r2＝25.故x2＋（y＋3）2＝25為所求圓的方程．（3）解法1:設(shè)圓的方程為x2＋y2＝a（a＞0），∵這個(gè)圓與直線y＝－2x＋eq\f（1,2）相切，代入圓的方程得5x2－2x＋eq\f(1,4)－a＝0,∴Δ＝4－4×5×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，4)－a)）＝0，∴a＝eq\f(1,20）.∴圓的方程為x2＋y2＝eq\f（1,20)。解法2:圓心O(0,0）到直線4x＋2y－1＝0的距離d＝eq\f(|－1|,\r（16＋4)）＝eq\f（\r(5),10）,∴r＝eq\f（\r（5)，10），∴圓的方程為x2＋y2＝eq\f（1，20).（4)設(shè)圓的方程為(x－a)2＋（y－b)2＝1,由題意，得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a2＋(1－b)2＝1，，a2＋（3－b)2＝1,））解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝0，,b＝2。））∴所求圓的方程為x2＋(y－2)2＝1.2．設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a，0），則｜CA｜＝｜CB|，∴eq\r(（a＋1）2＋1)＝eq\r（（a－1）2＋32），解得a＝2?！鄨A心坐標(biāo)為C(2,0）．r＝|BC｜＝eq\r((2－1)2＋32）＝eq\r(10），故圓的方程為(x－2)2＋y2＝10。練習(xí)A1．（1)∵x2＋y2－6x＝0，∴(x－3）2＋y2＝9.∴圓心坐標(biāo)為(3，0），半徑為3。（2）圓心坐標(biāo)為（0，2),半徑為3;(3)圓心坐標(biāo)為(2,3），半徑為1;(4）圓心坐標(biāo)為(1，－2）,半徑為eq\f(\r(10),2）。2．（1）原點(diǎn)；（2)以（1，－2）為圓心，eq\r（11）為半徑的圓；（3）以(1,1）為圓心，eq\r(5）為半徑的圓；(4)ab≠0時(shí)，以（－a，0）為圓心，eq\r(a2＋b2)為半徑的圓,a＝b＝0時(shí),表示點(diǎn)(0，0）．練習(xí)B1．設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0,則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（F＝0，，32＋22＋3D＋2E＋F＝0，，(－4)2－4D＋F＝0，）)解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（D＝4，，E＝－\f(25,2），，F(xiàn)＝0.)）故所求圓的方程為x2＋y2＋4x－eq\f(25，2)y＝0.2．設(shè)軌跡上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為P（x,y）,由題意，得eq\f（|PA｜,|PB｜)＝eq\r（2），eq\f（\r（（x＋1）2＋（y－2)2），\r(（x－3）2＋(y－2)2）)＝eq\r（2）?；?jiǎn)整理得x2＋y2－14x－4y＋21＝0。練習(xí)A1．(1)圓心坐標(biāo)為(1，－2)，半徑為r＝eq\r(6)，圓心到直線2x＋y－5＝0的距離d＝eq\f（｜2－2－5｜,\r（22＋1）)＝eq\r（5)。（2）∵d＝eq\r（5）＜eq\r(6)＝r,∴圓與直線相交．2．圓x2＋y2＝13的圓心坐標(biāo)為（0,0)，半徑r＝eq\r（13)，圓心(0,0）到直線x－y－1＝0的距離d＝eq\f(｜－1｜,\r(2）)＝eq\f(\r（2），2)＜eq\r（13)，∴圓與直線相交．由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x2＋y2＝13，，x－y－1＝0，））得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2)）或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－3.）)∴交點(diǎn)坐標(biāo)為(3，2)，（－2,－3)．3．（1）圓x2＋y2－8x＋2y－8＝0可化為(x－4)2＋(y＋1)2＝25，∴圓心坐標(biāo)為(4，－1），半徑r＝5。圓心(4，－1)到直線4x－3y＋6＝0的距離d＝eq\f(|16＋3＋6｜，\r(16＋9)）＝5＝r.∴圓與直線相切．(2)圓x2＋y2－4x＋3＝0可化為（x－2）2＋y2＝1，圓心坐標(biāo)為(2,0），半徑r＝1,圓心到直線2x－y＋5＝0的距離d＝eq\f(|4＋5|，\r（4＋1)）＝eq\f(9,\r（5）)＝eq\f(9\r(5),5)＞1＝r。∴圓與直線相離．練習(xí)B1．圓x2＋y2＝4的圓心坐標(biāo)為(0,0），半徑為2.圓心(0，0）到直線x－y－C＝0的距離d＝eq\f（|C｜，\r(2）)。故當(dāng)eq\f(｜C|,\r(2）)＞2,即C＜－2eq\r(2）或C＞2eq\r（2）時(shí)，沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)eq\f（｜C｜,\r（2)）＝2，即C＝±2eq\r（2)時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)eq\f(|C｜,\r（2））＜2，即－2eq\r(2)＜C＜2eq\r(2)時(shí)，有兩個(gè)公共點(diǎn)．2．過(guò)圓x2＋y2＝10上一點(diǎn)M(2,eq\r（6））的切線方程為2x＋eq\r（6）y－10＝0。3．圓x2＋y2＝4的圓心坐標(biāo)為(0，0），半徑r＝2，圓心坐標(biāo)為(0，0),到直線y＝mx＋4的距離d＝eq\f（4,\r(m2＋1)).由題意，得eq\f(4,\r（1＋m2))＝2，得m＝±eq\r（3）。故所求切線方程為±eq\r（3)x－y＋4＝0.4．圓x2＋（y－1)2＝5的圓心坐標(biāo)為(0，1)，半徑r＝eq\r(5)，設(shè)直線方程為y＝2x＋b，則圓心(0，1)到直線2x－y＋b＝0的距離d＝eq\f(｜b－1|,\r(22＋1))＝eq\r（5)，解得b＝6或b＝－4。∴直線的方程為2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0。練習(xí)A1．由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x－3＝0，①，x2＋y2－4x＋2y＋3＝0，②）)①－②得2x－2y－6＝0，即y＝x－3，③代入①式得x2＋（x－3)2－2x－3＝0，∴x2－4x＋3＝0.得x＝1或x＝3,代入③得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝1,，y＝－2)）或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝3，，y＝0。))∴交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－2）和(3，0)．2．(1）圓心O1（2，3），半徑r1＝2，圓心O2（－6,－3)，半徑r2＝8,∵|O1O2｜＝eq\r（（2＋6）2＋（3＋3）2）＝10＝r1＋r2，∴兩圓外切．（2）圓心O1（－1,1）,半徑r1＝2，圓心O2（2,3）,半徑r2＝4，∵|O1O2|＝eq\r(32＋22)＝eq\r(13)，4－2＜eq\r(13）＜4＋2，∴兩圓相交．練習(xí)B1．⊙O1：x2＋y2＝1，∴O1（0，0），r1＝1.⊙O2：（x＋4）2＋(y－a)2＝25,∴O2（－4，a),r2＝5.∵⊙O1與⊙O2相切，故（1）當(dāng)兩圓外切時(shí)，｜O1O2｜＝r1＋r2，即eq\r（16＋a2）＝6,∴a＝±2eq\r(5)；（2）當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，|O1O2|＝|r1－r2|，即eq\r（16＋a2)＝4,∴a＝0.綜上所述，a的值為±2eq\r(5)或0.2．設(shè)所求圓的方程為（x－3)2＋（y－4)2＝r2（r＞0)．∵所求圓與圓x2＋y2＝1相外切，∴eq\r(32＋42）＝1＋r,∴r＝4.故所求圓的方程為(x－3)2＋（y－4）2＝16。3．(1)圓x2＋y2＋6x－4＝0的圓心坐標(biāo)為(－3，0）,半徑為eq\r（13），圓x2＋y2＋6x－28＝0的圓心坐標(biāo)為（－3，0)，半徑為eq\r（37).∵兩圓圓心相同，eq\r(13）＜eq\r(37),∴兩圓內(nèi)含，沒(méi)有公共點(diǎn)．（2)圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心為O1(2，－3)，半徑為eq\r(13)，圓x2＋y2－2x＋4y＝0的圓心為O2（1，－2），半徑為eq\r(5）.∵|O1O2｜＝eq\r(（2－1）2＋（－3＋2)2)＝eq\r(2),又（eq\r(2)＋eq\r（5）)2＝7＋2eq\r（10）＞7＋6＝13,∴eq\r（2)＋eq\r(5）＞eq\r（13），即eq\r（13)－eq\r(5)＜｜O1O2|＜eq\r（13）＋eq\r(5)?！鄡蓤A相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x2＋y2－4x＋6y＝0,①，x2＋y2－2x＋4y＝0，②))①－②得－2x＋2y＝0?！鄕＝y(tǒng).代入②得2x2＋2x＝0，得x＝0或x＝－1.∴交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）,(－1，－1)．習(xí)題23A1．(1）r＝eq\r(（－2－4）2＋(1＋1)2)＝2eq\r（10)，∴圓的方程為（x＋2）2＋(y－1)2＝40。（2)∵AB為直徑，A(－2，4），B(8，－2)，設(shè)圓心坐標(biāo)為(x,y）,半徑為r，∴x＝eq\f（8－2，2）＝3，y＝eq\f(4－2，2)＝1?！鄨A心坐標(biāo)為(3，1)．r＝eq\f（|AB｜,2）＝eq\f（\r（100＋36),2)＝eq\r（34)。∴圓的方程為（x－3）2＋（y－1)2＝34。(3)d＝eq\f(|3＋35＋2｜,\r(49＋1)）＝4eq\r（2），∴圓的方程為（x－3)2＋（y＋5)2＝32。（4)設(shè)圓心坐標(biāo)為（0，y）,∴eq\r(16＋(y＋2)2)＝eq\r(4＋（y－2）2)，得y＝－eq\f(3，2),∴r2＝eq\f（65，4)。∴圓的方程為x2＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3，2）))2＝eq\f(65,4).2．設(shè)x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0為圓的方程，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(36＋6D＋F＝0，,34＋5D－3E＋F＝0，,10＋3D＋E＋F＝0)）?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－8，,E＝2，，F(xiàn)＝12。))故所求圓的方程為x2＋y2－8x＋2y＋12＝0.3．∵A、B在圓上，∴AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心,AB的垂直平分線方程為x－y＋4＝0.由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2x＋y＋2＝0,，x－y＋4＝0）)?eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－2,，y＝2。）)∴圓心坐標(biāo)為（－2,2),r2＝（－2－1）2＋(2－1)2＝9＋1＝10?！鄨A的方程為（x＋2）2＋(y－2)2＝10.4．圓心坐標(biāo)為O(4，－1），半徑r＝5，圓心到直線的距離d＝eq\f（｜4×4＋3×1＋6｜，5)＝5＝r，∴直線4x－3y＋6＝0與圓(x－4)2＋(y＋1）2＝25相切．5．圓心坐標(biāo)為O（0,0），半徑r＝5，圓心到直線的距離d＝eq\f(|C｜,\r（26）),由題意,得eq\f(|C|，\r(26）)＝5，即｜C｜＝5eq\r(26)，直線與圓相切，則C＝±5eq\r(26）。6．O(0,0），C（－1,eq\r(3))，kOC＝eq\f（\r(3),－1）＝－eq\r(3),∴切線斜率k＝eq\f(\r(3)，3）.故所求切線方程為y－eq\r（3)＝eq\f（\r(3)，3)（x＋1）．∴3y－3eq\r(3)＝eq\r（3）x＋eq\r(3），∴eq\r（3）x－3y＋4eq\r（3）＝0，即x－eq\r(3)y＋4＝0。7．(1）圓心坐標(biāo)為（1，0)，半徑為eq\r(6)；（2）圓心坐標(biāo)為(－1，2)，半徑為3；(3）圓心坐標(biāo)為(－2,0)，半徑為2；（4)圓心坐標(biāo)為（0，eq\f（5,2）),半徑為eq\f(\r(21），2）.畫(huà)圖略．8．⊙C1:x2＋y2＋2x＋6y＋6＝0的圓心C1（－1，－3)，⊙C2:x2＋y2－4x－8y＋7＝0的圓心C2(2,4)，∴兩圓的圓心距｜C1C2｜＝eq\r(（－1－2)2＋(－3－4)2)＝eq\r(58)。9．圓x2＋y2－4x＋3＝0的圓心坐標(biāo)為(2，0），半徑為1，圓心（2,0）到直線x－2y＋1＝0的距離d＝eq\f（｜2－2×0＋1|,\r（5)）＝eq\f（3\r（5)，5)＞1.∴直線與圓相離．10．設(shè)C(x,y）是軌跡上任意一點(diǎn)，則由|AB|＝|AC|，得eq\r(（3－x)2＋（20－y）2)＝eq\r(（3－3）2＋（20－5）2），即(x－3）2＋(y－20)2＝225（x≠3)．習(xí)題23B1．設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a,b），半徑為r，則圓的方程為(x－a）2＋(y－b）2＝r2。由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a|＝|b|＝r,，(8－a)2＋(1－b）2＝r2，））∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝b,，（8－a）2＋（1－b）2＝b2，)）或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝－b，，(8－a)2＋（1－b)2＝b2，)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝13，，b＝13)）或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝5.，b＝5.))故所求圓的方程為（x－13)2＋(y－13）2＝169或(x－5)2＋（y－5）2＝25.2．設(shè)圓心坐標(biāo)為（a,b），半徑為5，則圓的方程為（x－a)2＋(y－b)2＝25。由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（｜b｜＝5,,（1－a）2＋（2－b）2＝25,))∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（b＝5，，(1－a)2＋（2－b)2＝25））或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（b＝－5，,(1－a）2＋(2－b)2＝25。)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（b＝5，，a＝－3）)或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝5，,a＝5。))故所求圓的方程為（x＋3)2＋（y－5）2＝25或（x－5)2＋（y－5)2＝25。3．由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1，，y＝kx－2，））消去y，得（1＋k2）x2－4kx＋3＝0。Δ＝16k2－4（1＋k2）·3＝4k2－12＝4(k2－3)．當(dāng)Δ＞0，即k2－3＞0,得k＜－eq\r（3）或k＞eq\r（3)時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)Δ＝0，即k2－3＝0,得k＝±eq\r(3）時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)Δ＜0,即k2－3＜0，得－eq\r（3）＜k＜eq\r（3)時(shí)，直線與圓相離．4．證明：∵以線段AB為直徑，∴圓心C的坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2，2），\f(y1＋y2，2）））,半徑r＝eq\f(1,2）|AB｜＝eq\f(1，2）eq\r（(x2－x1）2＋（y2－y1)2），∴圓的方程為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f（x1＋x2，2)))2＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(y－\f（y1＋y2,2）))2＝eq\f（1,4）[(x2－x1)2＋(y2－y1)2］,即x2－(x1＋x2)x＋eq\f(1,4)(xeq\o\al（2，1）＋2x1x2＋xeq\o\al(2,2)）＋y2－（y1＋y2）y＋eq\f(1，4）（yeq\o\al（2，1)＋2y1y2＋yeq\o\al(2，2)）＝eq\f(1，4)(xeq\o\al（2，1）＋xeq\o\al（2，2）－2x1x2)＋eq\f（1，4)(yeq\o\al(2，1）＋yeq\o\al（2，2）－2y1y2），∴x2－(x1＋x2)x＋x1x2＋y2－(y1＋y2）y＋y1y2＝0，即（x－x1)(x－x2)＋（y－y1)（y－y2)＝0。5．圓（x－3）2＋（y－4）2＝25的圓心為C（3，4)，kCA＝eq\f（8－4，6－3）＝eq\f(4，3），設(shè)所求切線斜率為k，則k·eq\f(4，3）＝－1，∴k＝－eq\f(3,4)。故切線方程為y－8＝－eq\f(3，4）(x－6）,即3x＋4y－50＝0。6．圓的方程x2＋y2－4x－5＝0可化為（x－2）2＋y2＝9，圓心為C（2，0）,半徑r＝3。P(0,4)到圓心C(2,0）的距離為eq\r（(2－0）2＋(0－4）2）＝2eq\r（5）。故所求的切線長(zhǎng)為eq\r(（2\r（5)）2－r2)＝eq\r（20－9)＝eq\r（11）.7．由題意,切線的斜率為3，設(shè)切線方程為y＝3x＋b.圓x2＋y2＝4的圓心坐標(biāo)為（0,0)，半徑為2.∴圓心到直線的距離d＝eq\f（|b｜，\r（32＋1）)＝2。得b＝±2eq\r(10）.故所求切線方程為y＝3x±2eq\r(10)。8．設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x,y)，點(diǎn)P(x0，y0），則xeq\o\al（2，0)＋yeq\o\al(2,0)＝9。①由題意得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝\f（15＋x0,2),,y＝\f(y0,2），）)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－15，，y0＝2y。)）代入①式得（2x－15）2＋4y2＝9，即eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f(15,2)）)2＋y2＝eq\f(9，4）。9．設(shè)圓心為C(x，y）,由題意，被軸截得的弦所對(duì)的圓心角為90°，有eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＝R2－1，,y2＝\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(\r(2）,2)R)）2，))消去R，得x2－2y2＋1＝0，由C的任意性得到圓心的軌跡方程為x2－2y2＋1＝0。①又知圓心(x，y)到直線l：x－2y＝0的距離為eq\f(\r(5）,5），∴eq\f(|x－2y|,\r（5）)＝eq\f(\r（5),5），∴｜x－2y｜＝1.②聯(lián)立①②，解方程組得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－1，，y＝－1）)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1，,y＝1。)）故圓心坐標(biāo)為（1,1）或(－1，－1)．由x2＝R2－1,知圓半徑R＝eq\r（2)。故所求圓的方程為(x－1）2＋(y－1)2＝2或（x＋1)2＋(y＋1)2＝2.10．建立坐標(biāo)系，如圖所示，使圓心在y軸上，設(shè)圓心坐標(biāo)為（0，b)，半徑為r，則圓的方程為x2＋（y－b)2＝r2(y≥0)．①將（0，4)，(10，0）代入①式得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1((4－b)2＝r2，,100＋b2＝r2,)）解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（b＝－10。5，,r2＝14.52.)）故圓的方程為x2＋(y＋10。5)2＝14。52(y≥0）．②將點(diǎn)P1、P2的橫坐標(biāo)－6、－2分別代入②得(－6)2＋(y1＋10.5）2＝14。52，（－2)2＋(y2＋10。5）2＝14。52，得y1≈2.70,y2≈3.86。同理，y3≈3.86,y4≈2.70.答:四根支柱的長(zhǎng)分別為2。70m，3.86m,3。86m，2.70m。探索與研究我們已掌握了圓的方程和如何用代數(shù)方法求解圓的一些問(wèn)題．下面我們?cè)俳o出兩個(gè)問(wèn)題，通過(guò)探索研究，從中進(jìn)一步體會(huì)如何用坐標(biāo)方法解幾何問(wèn)題．（1)到兩定點(diǎn)O,A距離的比為任意一個(gè)常數(shù)k(k＞0)的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是什么？從得到的方程你能說(shuō)明軌跡是什么曲線嗎？(2）如果上一問(wèn)中所得到的軌跡與OA相交于P點(diǎn)，當(dāng)k取不同的常數(shù)時(shí),或M點(diǎn)位置變化時(shí),分別度量∠OMP和∠AMP的大小，你猜想到什么結(jié)論?你能夠證明自己的猜想嗎？解：(1）以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖,不妨設(shè)兩個(gè)定點(diǎn)O