數(shù)學素材：數(shù)學歸納法

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精教材習題點撥“思考”：如果用數(shù)學歸納法證明某命題對于全體正整數(shù)都成立,應取n0為何值?為什么？答：n0＝1.第一個正整數(shù)為1.習題4.11．證明：（1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝1，等式成立．（2)假設當n＝k時，等式成立，即1＋3＋5＋…＋（2k－1)＝k2,那么當n＝k＋1時，即1＋3＋5＋…＋(2k－1）＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝（k＋1）2，就是說，當n＝k＋1時，等式成立．根據(jù)(1）(2）可知等式對任何的n∈N＋都成立．2．證明：（1)當n＝1時，左邊＝12＝1,右邊＝eq\f(1×2×3,6）＝1,等式成立．(2)假設當n＝k時，等式成立,就是12＋22＋32＋…＋k2＝eq\f(k（k＋1)（2k＋1），6)。則當n＝k＋1時,12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＝eq\f(k（k＋1）(2k＋1）,6)＋（k＋1）2＝eq\f(k（k＋1）(2k＋1)＋6(k＋1)2,6）＝eq\f（(k＋1)（2k2＋7k＋6）,6）＝eq\f（（k＋1)［（k＋1)＋1］[2（k＋1）＋1]，6）。就是說,當n＝k＋1時,等式成立．根據(jù)(1)（2)，可知等式對于任何的n∈N＋都成立．3．證明：（1）當n＝1時,左邊＝1×4＝4，右邊＝1×22＝4，等式成立．（2）假設當n＝k時，等式成立,就是1×4＋2×7＋3×10＋…＋k（3k＋1）＝k（k＋1）2，則當n＝k＋1時，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)［3(k＋1)＋1］＝k（k＋1)2＋（k＋1)［3（k＋1)＋1]＝k（k＋1）2＋（k＋1)（3k＋4)＝［k(k＋1)＋（3k＋4)](k＋1）＝（k2＋4k＋4）(k＋1)＝(k＋1）[(k＋1）＋1]2。就是說，當n＝k＋1時，等式成立．根據(jù)(1）（2），可知等式對于任何的n∈N＋都成立．4．證明：（1）當n＝1時,x2－1＋y2－1＝x＋y能被x＋y整除．(2)假設當n＝k時，等式成立，就是x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除．則當n＝k＋1時，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1＝x2k＋1＋y2k＋1＝x2k＋1＋y2k＋1－x2y2k－1＋x2y2k－1＝x2（x2k－1＋y2k－1)＋（y2－x2)y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1）＋(y＋x)（y－x）y2k－1，x2（x2k－1＋y2k－1）,(y＋x)(y－x）y2k－1都能被x＋y整除．就是說，當n＝k＋1時，等式成立．根據(jù)(1）（2），可知命題對于任何的n∈N＋都成立．5．解：四邊形有兩條對角線，五邊形有5條對角線，…，凸n邊形共有f（n）＝eq\f(1,2)n(n－3）條對角線．證明如下：(1）當n＝4時，f（4)＝2顯然成立．（2)假設當n＝k時，等式成立,就是f（k）＝eq\f（1,2）k(k－3）．當凸k邊形A1A2…Ak增加一個頂點Ak＋1成為凸k＋1邊形時,由頂點Ak＋1與另外的(k－2)個頂點連線，可增加(k－2)條對角線,同時原來的一條邊A1Ak變?yōu)榱藢蔷€．這樣，共增加了(k－1）條對角線,所以凸k＋1邊形的對角線條數(shù)共有f(k＋1）＝eq\f（1，2)k(k－3）＋k－1＝eq\f(1，2)(k2－k－2)＝eq\f(1，2）（k＋1)（k－2）＝eq\f（1，2)（k＋1)[（k＋1）－3]．就是說，當n＝k＋1時，命題成立．根據(jù)（1）(2）,可知命題對于任何的n∈N＋都成立,即凸n邊形共有f(n）＝eq\f(1,2）n(n－3）條對角線．6．解:這n條直線將平面分成了eq\f（1,2)(n2＋n＋2)個區(qū)域．證明如下：(1)當n＝1時，一條直線把平面分為兩塊，而eq\f（1,2）（12＋1＋2)＝2顯然成立．(2）假設當n＝k時，等式成立,就是k條直線將平面分為eq\f（1，2）(k2＋k＋2)塊．當n＝k＋1時，k＋1條直線中的k條直線把平面分成了eq\f（1，2)(k2＋k＋2）塊．第k＋1條直線被這k條直線分成了k＋1段．每段把所在的平面塊又分成了兩塊，因此增加了k＋1個平面塊．所以k＋1條直線把平面分成了eq\f（1，2)(k2＋k＋2）＋k＋1＝eq\f(1,