2024年新高一數(shù)學(xué)初升高銜接《基本不等式》含答案解析

數(shù)學(xué)PAGE1數(shù)學(xué)第07講基本不等式模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．了解基本不等式的證明過程；2．能利用基本不等式證明簡單的不等式及比較代數(shù)式的大小；3．熟練掌握利用基本不等式求函數(shù)的最值問題；4．會用基本不等式求解實際應(yīng)用題.知識點1基本不等式1、重要不等式（1）公式：對于任意的實數(shù)，有，當且僅當時，等號成立．【說明】，當且僅當時，等號成立．（2）常見變形：、、．2、基本不等式（1）公式：如果，，那么，當且僅當時，等號成立．【說明】叫做正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)的幾何平均數(shù)．因此基本不等式表明：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．（2）常見變形：；（3）常用結(jié)論：=1\*GB3①（同號），當且僅當時取等號；（異號），當且僅當時取等號．=2\*GB3②（），當且僅當時取等號；（），當且僅當時取等號；知識點2最值定理1、最值定理：已知都是正數(shù)，（1）若x＋y＝s(和s為定值)，則當x=y時，積xy有最大值，且這個值為eq\f(s2,4)．（2）若xy＝p(積p為定值)，則當x=y時，和x＋y有最小值，且這個值為2eq\r(p)．最值定理簡記為：積定和最小，和定積最大．2、在用基本不等式求函數(shù)的最值時，要滿足三個條件：一正二定三取等．①一正：各項均為正數(shù)；②二定：含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；③三相等：含變數(shù)的各項均相等，取得最值．知識點3基本不等式的變式與拓展1、基本不等式鏈或．當且僅當時等號成立．其中，為的調(diào)和平均值，為的平方平均值2、基本不等式的拓展（1）三元基本不等式：（均為正實數(shù)），當且僅當時等號成立．（2）元基本不等式：（均為正實數(shù)），當且僅當時等號成立．考點一：對基本不等式的理解例1．（22-23高一上·河北邯鄲·月考）不等式（x-2y）+≥2成立的前提條件為（

）A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y【變式1-1】（23-24高一上·西藏林芝·期中）下列命題中正確的是（

）A．若，且，則B．若，則C．若，則D．對任意，均成立.【變式1-2】（23-24高一上·山西運城·月考）（多選）已知，且，則下列不等式中，恒成立的是（

）A． B．C． D．【變式1-3】（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）（多選）《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)問題，這種方法是數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有圖形如圖所示，為線段上的點，且，，為的中點，以為直徑作半圓，過點作的垂線交半圓于，連接、、，過點作的垂線，垂足為.則該圖形可以完成的所有的無字證明為（

）A． B．C． D．考點二：利用基本不等式比較大小例2.（23-24高一上·甘肅會寧·期中）設(shè)（、為互不相等的正實數(shù)），，則與的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【變式2-1】（23-24高一上·江蘇淮安·期中）已知實數(shù)a，b，c滿足，，且，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【變式2-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）（多選）若，則，中不可能是最大值的是（

）A． B． C． D．【變式2-3】（23-24高一上·全國·專題練習(xí)）（多選）若，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．考點三：利用基本不等式求最值例3.（23-24高一下·貴州貴陽·月考）已知，則的最大值是（）A． B．3 C．1 D．6【變式3-1】（23-24高一上·廣東韶關(guān)·月考）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式3-2】（23-24高一下·河南周口·月考）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．16【變式3-3】（23-24高一下·陜西榆林·月考）若正數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．【變式3-4】（23-24高一下·廣西·開學(xué)考試）已知，，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．考點四：利用基本不等式證明不等式例4.（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）已知，求證:(1);(2).【變式4-1】（23-24高一上·四川雅安·期中）已知，，且，證明：(1)；(2)．【變式4-2】（23-24高一上·全國·專題練習(xí)）設(shè)a，b，c均為正數(shù)，求證：．【變式4-3】（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知是正實數(shù).(1)證明：；(2)若，證明：.(3)已知是正數(shù)，且，求證：．考點五：基本不等式恒成立問題例5.（23-24高一上·貴州安順·期末）若不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．9【變式5-1】（23-24高一上·吉林延邊·月考）已知，，且．若恒成立，則實數(shù)的最大值是（）A．4 B．8 C．3 D．6【變式5-2】（23-24高一上·廣東揭陽·期中）已知，，且，若不等式恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式5-3】（23-24高一下·湖南株洲·開學(xué)考試）（多選）若對于任意，恒成立，則實數(shù)的取值可以是（

）A． B． C． D．考點六：基本不等式在實際中的應(yīng)用例6.（23-24高一下·浙江·月考）如圖，某燈光設(shè)計公司生產(chǎn)一種長方形線路板，長方形的周長為4，沿折疊使點B到點位置，交于點P．研究發(fā)現(xiàn)當?shù)拿娣e最大時用電最少，則用電最少時，的長度為（

）

A． B． C． D．【變式6-1】（23-24高一上·江蘇連云港·月考）某工廠建造一個無蓋的長方體貯水池，其容積為4800，深度為3m．如果池底每平方米的造價為100元，池壁每平方米的造價為80元，怎樣設(shè)計水池能使總造價最低？最低總造價為多少元？【變式6-2】（23-24高一上·廣東佛山·月考）某工廠擬造一座平面圖（如圖）為長方形且面積為的三級污水處理池．由于地形限制，該處理池的長、寬都不能超過16m，且高度一定．如果四周池壁的造價為400元/，中間兩道隔墻的造價為248元/，池底造價為80元/，那么如何設(shè)計該處理池的長和寬，才能使總造價最低？（池壁的厚度忽略不計）【變式6-3】（23-24高一上·四川樂山·期中）用籬笆在一塊靠墻的空地圍一個面積為的等腰梯形菜園，如圖所示，用墻的一部分做下底，用籬笆做兩腰及上底，且腰與墻成，當?shù)妊菪蔚难L為多少時，所用籬笆的長度最?。坎⑶蟪鏊没h笆長度的最小值．一、單選題1．（23-24高一上·陜西寶雞·期中）取最小值時的取值為（

）A．1 B． C．2 D．2．（23-24高一上·湖南婁底·期末）若，，且，則的最大值是（

）A． B． C． D．13．（22-23高一上·江蘇宿遷·月考）若，則的最小值是（

）A． B． C． D．4．（23-24高一下·云南麗江·開學(xué)考試）已知a，b為正數(shù)，，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．85．（23-24高一上·湖南婁底·期末）已知，則的最小值為（

）A．5 B．3 C． D．或36．（23-24高一上·山東濟南·期末）如圖所示，線段為半圓的直徑，為圓心，為半圓弧上不與重合的點，.作于于，設(shè)，則下列不等式中可以直接表示的是（

）A． B．C． D．二、多選題7．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列說法正確的是（

）A．的最小值為2 B．的最大值為2C．的最小值為2 D．最小值為8．（23-24高一上·全國·單元測試）已知，且，則下列四個不等式中，恒成立的為（

）A． B．C．2 D．三、填空題9．（23-24高一上·廣西百色·期末）若，則的最小值為.10．（23-24高一上·北京·期中）某快遞公司為提高效率，引進智能機器人分揀系統(tǒng)，以提高分揀效率和降低物流成本．已知購買臺機器人的總成本為（單位：萬元）．若要使每臺機器人的平均成本最低，則應(yīng)買機器人臺.11．（23-24高一上·吉林延邊·月考）若，關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.四、解答題12．（23-24高一上·山東菏澤·月考）（1）已知，則取得最大值時的值為？（2）函數(shù)的最小值為？（3）已知x，y是正實數(shù)，且，求的最小值．13．（23-24高一上·安徽馬鞍山·月考）如圖，我國古代的“弦圖”是由四個全等的直角三角形圍成的.設(shè)直角三角形的直角邊長為，且直角三角形的周長為2.（已知正實數(shù)，都有，當且僅當時等號成立）(1)求直角三角形面積的最大值；(2)求正方形面積的最小值.第07講基本不等式模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．了解基本不等式的證明過程；2．能利用基本不等式證明簡單的不等式及比較代數(shù)式的大?。?．熟練掌握利用基本不等式求函數(shù)的最值問題；4．會用基本不等式求解實際應(yīng)用題.知識點1基本不等式1、重要不等式（1）公式：對于任意的實數(shù)，有，當且僅當時，等號成立．【說明】，當且僅當時，等號成立．（2）常見變形：、、．2、基本不等式（1）公式：如果，，那么，當且僅當時，等號成立．【說明】叫做正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)的幾何平均數(shù)．因此基本不等式表明：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．（2）常見變形：；（3）常用結(jié)論：=1\*GB3①（同號），當且僅當時取等號；（異號），當且僅當時取等號．=2\*GB3②（），當且僅當時取等號；（），當且僅當時取等號；知識點2最值定理1、最值定理：已知都是正數(shù)，（1）若x＋y＝s(和s為定值)，則當x=y時，積xy有最大值，且這個值為eq\f(s2,4)．（2）若xy＝p(積p為定值)，則當x=y時，和x＋y有最小值，且這個值為2eq\r(p)．最值定理簡記為：積定和最小，和定積最大．2、在用基本不等式求函數(shù)的最值時，要滿足三個條件：一正二定三取等．①一正：各項均為正數(shù)；②二定：含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；③三相等：含變數(shù)的各項均相等，取得最值．知識點3基本不等式的變式與拓展1、基本不等式鏈或．當且僅當時等號成立．其中，為的調(diào)和平均值，為的平方平均值2、基本不等式的拓展（1）三元基本不等式：（均為正實數(shù)），當且僅當時等號成立．（2）元基本不等式：（均為正實數(shù)），當且僅當時等號成立．考點一：對基本不等式的理解例1．（22-23高一上·河北邯鄲·月考）不等式（x-2y）+≥2成立的前提條件為（

）A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y【答案】B【解析】由均值不等式的條件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提條件是各項均為正數(shù)，所以不等式成立的前提條件為，即.故選：B.【變式1-1】（23-24高一上·西藏林芝·期中）下列命題中正確的是（

）A．若，且，則B．若，則C．若，則D．對任意，均成立.【答案】A【解析】A選項，，當且僅當時等號成立，A選項正確.B選項，當時，，所以B選項錯誤.C選項，當時，，所以C選項錯誤.D選項，當時，，不成立，所以D選項錯誤.故選：A【變式1-2】（23-24高一上·山西運城·月考）（多選）已知，且，則下列不等式中，恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】對于A，當為負數(shù)時不成立，故A錯誤，對于B，，則，故B正確，對于C，，則都為正數(shù)，，當且僅當，即時等號成立，故C正確，對于D，，當且僅當和同時成立，即時等號成立，故D正確，故選：BCD【變式1-3】（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）（多選）《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)問題，這種方法是數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有圖形如圖所示，為線段上的點，且，，為的中點，以為直徑作半圓，過點作的垂線交半圓于，連接、、，過點作的垂線，垂足為.則該圖形可以完成的所有的無字證明為（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】由題意可知，，因為，，則，所以，，即，所以；在中，，即當時，、點重合，，此時，則，所以A正確；對于C選項，在中，，則，又因為，所以，，可得，即，所以，由于，所以，當時，，此時，綜上，，所以C正確；由于在該圖中沒有相應(yīng)的線段與之對應(yīng)，故BD中的不等式無法通過這種幾何方法來證明，故選：AC.考點二：利用基本不等式比較大小例2.（23-24高一上·甘肅會寧·期中）設(shè)（、為互不相等的正實數(shù)），，則與的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】、為互不相等的正實數(shù)，則，所以，，時，，所以．故選：A．【變式2-1】（23-24高一上·江蘇淮安·期中）已知實數(shù)a，b，c滿足，，且，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，由基本不等式得，故，因為，，兩式相減得，，故，所以，故，所以.故選：B【變式2-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）（多選）若，則，中不可能是最大值的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】由于，則，故，，則，不可能是最大值，B，C符合題意；由于，當時，，，故，即，故不可能是最大值，A符合題意，故選：ABC【變式2-3】（23-24高一上·全國·專題練習(xí)）（多選）若，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對于選項A，因為，則，所以，故選項A正確；因為，所以，，又，得到故，所以選項B和D正確，對于選項C，取，滿足，但，所以C錯誤，故選：ABD.考點三：利用基本不等式求最值例3.（23-24高一下·貴州貴陽·月考）已知，則的最大值是（）A． B．3 C．1 D．6【答案】B【解析】，當且僅當，即取得等號，滿足題意.故選：B.【變式3-1】（23-24高一上·廣東韶關(guān)·月考）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，故，即，當且僅當時，等號成立，所以.故選：A.【變式3-2】（23-24高一下·河南周口·月考）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．16【答案】C【解析】因為，當且僅當時取等號，所以的最小值為8.故選：C.【變式3-3】（23-24高一下·陜西榆林·月考）若正數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】由正數(shù)，滿足，得，當且僅當，即，時取等號，所以的最小值為．故選：B【變式3-4】（23-24高一下·廣西·開學(xué)考試）已知，，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為且，，所以，則，當且僅當時，即當，時，等號成立.因此，的最小值是.故選：C.考點四：利用基本不等式證明不等式例4.（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）已知，求證:(1);(2).【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【解析】（1），，當且僅當，即時等號成立.（2），.當且僅當時，即時等號成立.【變式4-1】（23-24高一上·四川雅安·期中）已知，，且，證明：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【解析】（1）因為，所以，因為，，所以，當且僅當時，等號成立，所以，即，故；（2）因為，所以，因為，，所以，，所以，當且僅當，即時，等號成立，則，即．【變式4-2】（23-24高一上·全國·專題練習(xí)）設(shè)a，b，c均為正數(shù)，求證：．【答案】證明見解析【解析】∵a，b，c均為正數(shù)，∴，當且僅當，即時，等號成立．，當且僅當，即時，等號成立．∴，故，當且僅當時，等號成立．【變式4-3】（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知是正實數(shù).(1)證明：；(2)若，證明：.(3)已知是正數(shù)，且，求證：．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【解析】（1）由，當且僅當時等號成立，即，得證.（2）由，當且僅當時等號成立，則，得證.（3）由，當且僅當時等號成立，不等式得證.考點五：基本不等式恒成立問題例5.（23-24高一上·貴州安順·期末）若不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．9【答案】D【解析】由題意恒成立，即恒成立.又，當且僅當時取等號.故實數(shù)的最大值為9.故選：D【變式5-1】（23-24高一上·吉林延邊·月考）已知，，且．若恒成立，則實數(shù)的最大值是（）A．4 B．8 C．3 D．6【答案】A【解析】由，則，當且僅當，即，時，等號成立.故選：A.【變式5-2】（23-24高一上·廣東揭陽·期中）已知，，且，若不等式恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故，，，，故，當且僅當，即時取等號，故，最小值是16，由不等式恒成立可得.a的取值范圍是，故選：B.【變式5-3】（23-24高一下·湖南株洲·開學(xué)考試）（多選）若對于任意，恒成立，則實數(shù)的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】因為，所以，當且僅當，即時等號成立，由任意，恒成立，

所以，符合條件有，，，故A、C、D對；，故B錯；故選：ACD考點六：基本不等式在實際中的應(yīng)用例6.（23-24高一下·浙江·月考）如圖，某燈光設(shè)計公司生產(chǎn)一種長方形線路板，長方形的周長為4，沿折疊使點B到點位置，交于點P．研究發(fā)現(xiàn)當?shù)拿娣e最大時用電最少，則用電最少時，的長度為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，設(shè)，由矩形的周長為4，可知．設(shè)，則．，．在中，由勾股定理得，即，解得，所以．所以的面積．所以，當且僅當時，即當時，的面積最大，面積的最大值為，故選：B．【變式6-1】（23-24高一上·江蘇連云港·月考）某工廠建造一個無蓋的長方體貯水池，其容積為4800，深度為3m．如果池底每平方米的造價為100元，池壁每平方米的造價為80元，怎樣設(shè)計水池能使總造價最低？最低總造價為多少元？【答案】當水池設(shè)計成底面邊長為40m的正方形時，總造價最低，為198400元．【解析】設(shè)池底的一邊長為，則另一邊長為，總造價為元，則，當且僅當，即時，等號成立，所以當水池設(shè)計成底面邊長為40m的正方形時，總造價最低，最低為198400元．【變式6-2】（23-24高一上·廣東佛山·月考）某工廠擬造一座平面圖（如圖）為長方形且面積為的三級污水處理池．由于地形限制，該處理池的長、寬都不能超過16m，且高度一定．如果四周池壁的造價為400元/，中間兩道隔墻的造價為248元/，池底造價為80元/，那么如何設(shè)計該處理池的長和寬，才能使總造價最低？（池壁的厚度忽略不計）【答案】長為m，寬為m時總造價最低．【解析】設(shè)處理池的長和寬分別為，，高為，總造價為，則，，，當且僅當，又，即，時取到等號，故長為m，寬為m時總造價最低．【變式6-3】（23-24高一上·四川樂山·期中）用籬笆在一塊靠墻的空地圍一個面積為的等腰梯形菜園，如圖所示，用墻的一部分做下底，用籬笆做兩腰及上底，且腰與墻成，當?shù)妊菪蔚难L為多少時，所用籬笆的長度最小？并求出所用籬笆長度的最小值．【答案】當?shù)妊菪蔚难L為時，所用籬笆長度最小，其最小值為．【解析】設(shè)，上底，分別過點作下底的垂線，垂足分別為，則，，則下底，該等腰梯形的面積，所以，則，所用籬笆長為，當且僅當，即，時取等號．所以，當?shù)妊菪蔚难L為時，所用籬笆長度最小，其最小值為．一、單選題1．（23-24高一上·陜西寶雞·期中）取最小值時的取值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】由題意可知，，，當且僅當，即時，等號成立，即取最小值時的取值為．故選：．2．（23-24高一上·湖南婁底·期末）若，，且，則的最大值是（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】由題意，解得，等號成立當且僅當.故選：B.3．（22-23高一上·江蘇宿遷·月考）若，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值是.故選：C.4．（23-24高一下·云南麗江·開學(xué)考試）已知a，b為正數(shù)，，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】正數(shù)a，b滿足，則，當且僅當，即時取等號，所以當時，取得最小值4.故選：C5．（23-24高一上·湖南婁底·期末）已知，則的最小值為（

）A．5 B．3 C． D．或3【答案】B【解析】由，得，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為3．故選：B.6．（23-24高一上·山東濟南·期末）如圖所示，線段為半圓的直徑，為圓心，為半圓弧上不與重合的點，.作于于，設(shè)，則下列不等式中可以直接表示的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，所以，在中，，又，所以，在中，，故，得到，所以，所以，即，故選：D.二、多選題7．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列說法正確的是（

）A．的最小值為2 B．的最大值為2C．的最小值為2 D．最小值為