2024年新高一數(shù)學(xué)初升高銜接《對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)》含答案解析

數(shù)學(xué)PAGE1數(shù)學(xué)第17講對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，知道對(duì)數(shù)函數(shù)模型是一類重要的函數(shù)模型；2．會(huì)求簡單的對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域；3．會(huì)用描點(diǎn)法畫出對(duì)數(shù)函數(shù)的簡圖；4．掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)解決簡單的與性質(zhì)有關(guān)的問題.知識(shí)點(diǎn)1對(duì)數(shù)函數(shù)的概念1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)（，且）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域?yàn)椋?、判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的依據(jù)（1）形如，且系數(shù)為1；（2）底數(shù)滿足，且；（3）真數(shù)是x而不是x的函數(shù)；（4）整體只有一項(xiàng)；（5）定義域?yàn)椋?，，都不是?duì)數(shù)函數(shù)，可稱為對(duì)數(shù)型函數(shù)．3、兩種特殊的對(duì)數(shù)函數(shù)（1）常用對(duì)數(shù)函數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)函數(shù)．（2）自然對(duì)數(shù)函數(shù)：以無理數(shù)e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)2對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a＞10＜a＜1圖象性質(zhì)定義域(0，＋∞)值域R過定點(diǎn)過定點(diǎn)(1，0)，即x＝1時(shí)，y＝0函數(shù)值的變化當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，y＜0單調(diào)性是(0，＋∞)上的增函數(shù)是(0，＋∞)上的減函數(shù)2、底數(shù)a對(duì)函數(shù)圖象的影響（1）底數(shù)a與1的大小關(guān)系決定了對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的“升降”：當(dāng)時(shí)，圖象呈上升趨勢；當(dāng)時(shí)，圖象呈下降趨勢；（2）函數(shù)與（，且）的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；（3）底數(shù)的大小決定了圖象相對(duì)位置的高低：無論還是，在第一象限內(nèi)，自左向右，圖象對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大．知識(shí)點(diǎn)3反函數(shù)1、反函數(shù)的定義一般地，函數(shù)，設(shè)它的值域?yàn)椋鶕?jù)這個(gè)函數(shù)中的關(guān)系，用把表示出來，得到．如果在中的任何取值，通過，在中都有唯一值和它對(duì)應(yīng)，則就表示是關(guān)于自變量的函數(shù)．這樣的函數(shù)叫做的反函數(shù)，記作．例如，對(duì)數(shù)函數(shù)(,且)是指數(shù)函數(shù)(,且)的反函數(shù)．2、反函數(shù)的性質(zhì)（1）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；（2）若函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)，則點(diǎn)必在其反函數(shù)的圖象上，反之也成立；（3）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性相同；（4）反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域；（5）單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)．考點(diǎn)一：對(duì)數(shù)函數(shù)的概念辨析例1．（22-23高一上·云南曲靖·月考）下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【變式1-1】（22-23高一上·河北唐山·月考）下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）下列函數(shù)，其中為對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【變式1-3】（23-24高一上·全國·課堂例題）（多選）下列函數(shù)中為對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．（是常數(shù)）考點(diǎn)二：對(duì)數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題例2.（23-24高一下·廣東湛江·開學(xué)考試）函數(shù)（且）的圖象所過的定點(diǎn)為（

）A． B． C． D．【變式2-1】（23-24高一下·甘肅威武·開學(xué)考試）函數(shù)（，）的圖象過定點(diǎn)，則的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【變式2-2】（23-24高一上·全國·專題練習(xí)）函數(shù)（且）的圖象恒過的定點(diǎn)是（

）A． B． C． D．【變式2-3】（23-24高一上·江蘇蘇州·月考）已知曲線（且）過定點(diǎn)，若且，，則的最小值為（

）A．16 B．10 C．8 D．4考點(diǎn)三：與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象例3.（23-24高一下·青海西寧·開學(xué)考試）函數(shù)的圖象是（

）A． B．C． D．【變式3-1】（23-24高一上·四川攀枝花·月考）已知且，則函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（

）A．B．C．D．【變式3-2】（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象可能是（

）A．B．C．D．【變式3-3】（23-24高一上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)①y＝logax；②y＝logbx；③y＝logcx；④y＝logdx的大致圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系正確的是（

）A．a(chǎn)＋c＜b＋a B．a(chǎn)＋d＜b＋cC．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c考點(diǎn)四：對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域例4.（23-24高一上·四川廣安·期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【變式4-1】（23-24高一上·河南洛陽·月考）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【變式4-2】（23-24高一下·河南·開學(xué)考試）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A．且 B． C． D．【變式4-3】（23-24高一上·湖北·期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．考點(diǎn)五：對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性例5.（23-24高一上·浙江杭州·期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【變式5-1】（23-24高一下·山西大同·月考）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【變式5-2】（22-23高一下·湖南長沙·期末）已知在上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式5-3】（23-24高一下·貴州遵義·期中）已知函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)六：對(duì)數(shù)型函數(shù)有關(guān)的值域例6.（23-24高三上·陜西漢中·月考）已知，，則的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【變式6-1】（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【變式6-2】（22-23高一下·云南保山·月考）函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式6-3】（23-24高一上·山東菏澤·月考）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．考點(diǎn)七：利用單調(diào)性比較大小例7.（23-24高一下·湖北·月考）已知，，，則（

）A． B． C． D．【變式7-1】（23-24高一下·河南開封·月考）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【變式7-2】（23-24高一下·浙江·期中）已知，，，則，，的大小關(guān)系（

）A． B． C． D．【變式7-3】（23-24高一下·湖南長沙·開學(xué)考試）已知，，，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)八：利用單調(diào)性解對(duì)數(shù)不等式例8.不等式的解集為（）A．B．C．D．【變式8-1】（22-23高一下·湖南株洲·期中）已知，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式8-2】（23-24高一上·四川內(nèi)江·月考）設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式8-3】（23-24高一上·遼寧沈陽·月考）已知不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．考點(diǎn)九：對(duì)數(shù)型函數(shù)的奇偶性例9.（23-24高一下·遼寧撫順·開學(xué)考試）函數(shù)的圖象關(guān)于（

）對(duì)稱.A．直線y=x B．原點(diǎn) C．x軸 D．y軸【變式9-1】（23-24高一上·湖南婁底·期末）已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式9-2】（23-24高一上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求的定義域；(2)求證：函數(shù)為偶函數(shù)；(3)求的值.【變式9-3】（23-24高一上·陜西安康·期末）已知函數(shù)（為常數(shù)）是奇函數(shù).(1)求的值與函數(shù)的定義域；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.考點(diǎn)十：反函數(shù)及其性質(zhì)應(yīng)用例10.（23-24高一上·湖南長沙·期中）若對(duì)數(shù)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，則它的反函數(shù)的解析式為（

）A． B． C． D．【變式10-1】（23-24高一上·遼寧大連·期末）函數(shù)y的反函數(shù)是（

）A． B．C． D．【變式10-2】（23-24高二上·天津和平·月考）如果直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，那么，的值分別為（

）A．， B．， C．， D．，【變式10-3】（23-24高一上·遼寧沈陽·月考）設(shè)函數(shù)存在反函數(shù)，且函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的圖象一定過點(diǎn)（

）A． B． C． D．一、單選題1．（23-24高一下·黑龍江綏化·開學(xué)考試）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）若函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，則a的值是（

）A．1或2 B．1 C．2 D．且3．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期末）已知，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象可能是（

）A．B．C．D．4．（23-24高一上·福建福州·月考）已知函數(shù)，是的反函數(shù)，則（

）A．10 B．8 C．5 D．25．（23-24高一下·湖南衡陽·開學(xué)考試）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．6．（23-24高一下·湖南長沙·期中）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題7．（23-24高一上·貴州黔南·月考）關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．的定義域?yàn)?B．的定義域?yàn)镃．的單調(diào)遞增區(qū)間為 D．的單調(diào)遞減區(qū)間為8．（23-24高一下·貴州貴陽·月考）已知函數(shù)，則下列有關(guān)該函數(shù)敘述正確的有（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．在上單調(diào)遞增 D．的值域?yàn)槿?、填空題9．（23-24高一·上海·假期作業(yè)）函數(shù)的值域是．10．（23-24高一上·云南曲靖·月考）函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn).11．（23-24高一上·陜西咸陽·期末）已知函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的值域?yàn)椋?、解答題12．（23-24高一上·云南昆明·期末）設(shè)函數(shù)且．(1)若，解不等式；(2)若在上的最大值與最小值之差為1，求的值．13．（23-24高一上·河南駐馬店·月考）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的定義域；(2)判斷函數(shù)的奇偶性并說明理由；(3)求證：對(duì)于任意的都有．第17講對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，知道對(duì)數(shù)函數(shù)模型是一類重要的函數(shù)模型；2．會(huì)求簡單的對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域；3．會(huì)用描點(diǎn)法畫出對(duì)數(shù)函數(shù)的簡圖；4．掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)解決簡單的與性質(zhì)有關(guān)的問題.知識(shí)點(diǎn)1對(duì)數(shù)函數(shù)的概念1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)（，且）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域?yàn)椋?、判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的依據(jù)（1）形如，且系數(shù)為1；（2）底數(shù)滿足，且；（3）真數(shù)是x而不是x的函數(shù)；（4）整體只有一項(xiàng)；（5）定義域?yàn)椋?，，都不是?duì)數(shù)函數(shù)，可稱為對(duì)數(shù)型函數(shù)．3、兩種特殊的對(duì)數(shù)函數(shù)（1）常用對(duì)數(shù)函數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)函數(shù)．（2）自然對(duì)數(shù)函數(shù)：以無理數(shù)e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)2對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a＞10＜a＜1圖象性質(zhì)定義域(0，＋∞)值域R過定點(diǎn)過定點(diǎn)(1，0)，即x＝1時(shí)，y＝0函數(shù)值的變化當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，y＜0單調(diào)性是(0，＋∞)上的增函數(shù)是(0，＋∞)上的減函數(shù)2、底數(shù)a對(duì)函數(shù)圖象的影響（1）底數(shù)a與1的大小關(guān)系決定了對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的“升降”：當(dāng)時(shí)，圖象呈上升趨勢；當(dāng)時(shí)，圖象呈下降趨勢；（2）函數(shù)與（，且）的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；（3）底數(shù)的大小決定了圖象相對(duì)位置的高低：無論還是，在第一象限內(nèi)，自左向右，圖象對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大．知識(shí)點(diǎn)3反函數(shù)1、反函數(shù)的定義一般地，函數(shù)，設(shè)它的值域?yàn)?，根?jù)這個(gè)函數(shù)中的關(guān)系，用把表示出來，得到．如果在中的任何取值，通過，在中都有唯一值和它對(duì)應(yīng)，則就表示是關(guān)于自變量的函數(shù)．這樣的函數(shù)叫做的反函數(shù)，記作．例如，對(duì)數(shù)函數(shù)(,且)是指數(shù)函數(shù)(,且)的反函數(shù)．2、反函數(shù)的性質(zhì)（1）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；（2）若函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)，則點(diǎn)必在其反函數(shù)的圖象上，反之也成立；（3）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性相同；（4）反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域；（5）單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)．考點(diǎn)一：對(duì)數(shù)函數(shù)的概念辨析例1．（22-23高一上·云南曲靖·月考）下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】形如的函數(shù)叫作對(duì)數(shù)函數(shù)，它的定義域是，對(duì)于A，滿足，故A正確；對(duì)于B，C，D，形式均不正確，均錯(cuò)誤.故選：A【變式1-1】（22-23高一上·河北唐山·月考）下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)(且)為對(duì)數(shù)函數(shù)，所以ABC均為對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)，而D是底數(shù)為自然常數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù).故選：D.【變式1-2】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）下列函數(shù)，其中為對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)，的真數(shù)不是自變量，它們不是對(duì)數(shù)函數(shù)，AB不是；函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，C是；函數(shù)的底數(shù)含有參數(shù)，而的值不能保證是不等于1的正數(shù)，D不是.故選：C【變式1-3】（23-24高一上·全國·課堂例題）（多選）下列函數(shù)中為對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．（是常數(shù)）【答案】CD【解析】對(duì)于A，真數(shù)是，故A不是對(duì)數(shù)函數(shù)；對(duì)于B，，真數(shù)是，不是，故B不是對(duì)數(shù)函數(shù)；對(duì)于C，的系數(shù)為1，真數(shù)是，故C是對(duì)數(shù)函數(shù)；對(duì)于D，底數(shù)，真數(shù)是，故D是對(duì)數(shù)函數(shù)．故選：CD考點(diǎn)二：對(duì)數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題例2.（23-24高一下·廣東湛江·開學(xué)考試）函數(shù)（且）的圖象所過的定點(diǎn)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)（且），令，解得，則，所以的圖象所過的定點(diǎn)為.故選：A.【變式2-1】（23-24高一下·甘肅威武·開學(xué)考試）函數(shù)（，）的圖象過定點(diǎn)，則的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則，此時(shí)，故定點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：C【變式2-2】（23-24高一上·全國·專題練習(xí)）函數(shù)（且）的圖象恒過的定點(diǎn)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，恒等于0，恒等于1，故恒等于，所以的圖象恒過的定點(diǎn)是.故選：B【變式2-3】（23-24高一上·江蘇蘇州·月考）已知曲線（且）過定點(diǎn)，若且，，則的最小值為（

）A．16 B．10 C．8 D．4【答案】C【解析】對(duì)于，令，即，則，即曲線（且）過定點(diǎn)，即，故，又，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)等號(hào)成立，故選：C考點(diǎn)三：與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象例3.（23-24高一下·青海西寧·開學(xué)考試）函數(shù)的圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，故排除D；當(dāng)時(shí)，，故排除BC；結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知A正確.故選：A.【變式3-1】（23-24高一上·四川攀枝花·月考）已知且，則函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】結(jié)合與可知，兩函數(shù)單調(diào)性一定相反，排除選項(xiàng)A；因?yàn)楹氵^定點(diǎn)，恒過定點(diǎn)，排除選項(xiàng)B，D．故選：C．【變式3-2】（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】函數(shù)，由對(duì)數(shù)函數(shù)可知，且，當(dāng)時(shí)，為過原點(diǎn)的減函數(shù)，為減函數(shù)，則B錯(cuò)誤，D正確；當(dāng)時(shí)，為過原點(diǎn)的增函數(shù)，為增函數(shù)，則A錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤；故選：D.【變式3-3】（23-24高一上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)①y＝logax；②y＝logbx；③y＝logcx；④y＝logdx的大致圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系正確的是（

）A．a(chǎn)＋c＜b＋a B．a(chǎn)＋d＜b＋cC．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c【答案】A【解析】由已知可得b＞a＞1＞d＞c，則a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故A正確，D錯(cuò)誤；又a＋d與b＋c的大小不確定，故B，C錯(cuò)誤．故選A.考點(diǎn)四：對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域例4.（23-24高一上·四川廣安·期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【解析】要使函數(shù)有意義，則，解得，且.故函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D.【變式4-1】（23-24高一上·河南洛陽·月考）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，則，解得且，即其定義域?yàn)?故選：D．【變式4-2】（23-24高一下·河南·開學(xué)考試）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A．且 B． C． D．【答案】C【解析】由題得，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?故選：【變式4-3】（23-24高一上·湖北·期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，∴，∴，即的定義域?yàn)?，故選：B考點(diǎn)五：對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性例5.（23-24高一上·浙江杭州·期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得，，解得，故的定義域?yàn)?，由為增函?shù)，令，對(duì)稱軸為，故其單調(diào)遞減區(qū)間為，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：D.【變式5-1】（23-24高一下·山西大同·月考）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對(duì)于函數(shù)，令，即，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，又，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：A【變式5-2】（22-23高一下·湖南長沙·期末）已知在上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，可得在上是增函數(shù)，故有對(duì)稱軸，即，且，解得，即實(shí)數(shù)的范圍是.故選：B.【變式5-3】（23-24高一下·貴州遵義·期中）已知函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則，解得．故選：B.考點(diǎn)六：對(duì)數(shù)型函數(shù)有關(guān)的值域例6.（23-24高三上·陜西漢中·月考）已知，，則的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，則，又，所以原函數(shù)可變?yōu)?，，所以，，所以的值域?yàn)?故選：A.【變式6-1】（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【解析】．故的值域?yàn)椋蔬x：B．【變式6-2】（22-23高一下·云南保山·月考）函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)椋?，為函?shù)的值域的子集，所以，，解得.故選：C.【變式6-3】（23-24高一上·山東菏澤·月考）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】由函數(shù)，令，令，可得，要使得函數(shù)的值域?yàn)?，則的值域能取遍一切正實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，則滿足，解得；當(dāng)時(shí)，可得，符合題意；當(dāng)時(shí)，則滿足，此時(shí)函數(shù)的值域能取遍一切正實(shí)數(shù)，符合題意，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.考點(diǎn)七：利用單調(diào)性比較大小例7.（23-24高一下·湖北·月考）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，且，所以根?jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，又因?yàn)?，所以，故選：B【變式7-1】（23-24高一下·河南開封·月考）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在R上單調(diào)遞增，故，故，故選：A【變式7-2】（23-24高一下·浙江·期中）已知，，，則，，的大小關(guān)系（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，可得，即；且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可得，即；又因?yàn)?，即；所?故選：A【變式7-3】（23-24高一下·湖南長沙·開學(xué)考試）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】所以.故選：C.考點(diǎn)八：利用單調(diào)性解對(duì)數(shù)不等式例8.不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，不等式的解集為．故選：B【變式8-1】（22-23高一下·湖南株洲·期中）已知，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增，若，則，解得，所以的取值范圍為.故選：D.【變式8-2】（23-24高一上·四川內(nèi)江·月考）設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，即，所以，所以或故選：D.【變式8-3】（23-24高一上·遼寧沈陽·月考）已知不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，不等式即為，由解得，又，所以；當(dāng)時(shí)，不等式即為，由解得或；又，所以.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.考點(diǎn)九：對(duì)數(shù)型函數(shù)的奇偶性例9.（23-24高一下·遼寧撫順·開學(xué)考試）函數(shù)的圖象關(guān)于（

）對(duì)稱.A．直線y=x B．原點(diǎn) C．x軸 D．y軸【答案】B【解析】，令得，故的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，故.該函數(shù)為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.故選：B【變式9-1】（23-24高一上·湖南婁底·期末）已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，則有，解得，即，有意義，，解得，所以有，此時(shí)，滿足在上為奇函數(shù)，由，所以.故選：C.【變式9-2】（23-24高一上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求的定義域；(2)求證：函數(shù)為偶函數(shù)；(3)求的值.【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)【解析】（1）由，則有，解得，所以的定義域?yàn)?；?）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，又，故函?shù)為偶函數(shù)；（3）.【變式9-3】（23-24高一上·陜西安康·期末）已知函數(shù)（為常數(shù)）是奇函數(shù).(1)求的值與函數(shù)的定義域；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?2)【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)（為常數(shù)）是奇函數(shù)，所以，則，即，所以，即，解得，當(dāng)時(shí)，則令，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，符合題意，當(dāng)時(shí)函數(shù)無意義，故舍去；綜上可得，函數(shù)的定義域?yàn)?（2）因?yàn)?，則，因?yàn)楹愠闪?，所以?duì)任意的恒成立，又在上單調(diào)遞增，所以，所以，即的取值范圍是.考點(diǎn)十：反函數(shù)及其性質(zhì)應(yīng)用例10.（23-24高一上·湖南長沙·期中）若對(duì)數(shù)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，則它的反函數(shù)的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，函數(shù)過，即，即，，它的反函數(shù)的解析式為.故選：A【變式10-1】（23-24高一上·遼寧大連·期末）函數(shù)y的反函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵y，∴，∴，即，∴，將x，y調(diào)換可得，，故函數(shù)y的反函數(shù)是．故選：D．【變式10-2】（23-24高二上·天津和平·月考）如果直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，那么，的值分別為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】因?yàn)橹本€與直線關(guān)于直線對(duì)稱，顯然，所以函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，又因?yàn)榈姆春瘮?shù)為，所以，即，故選：A【變式10-3】（23-24高一上·遼寧沈陽·月考）設(shè)函數(shù)存在反函數(shù)，且函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的圖象一定過點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以，解得，即的圖象過點(diǎn)，所以的圖象過點(diǎn)，的圖象過點(diǎn)，所以的圖象過點(diǎn)，故選：A一、單選題1．（23-24高一下·黑龍江綏化·開學(xué)考試）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，解得且，所以的定義域?yàn)?故選：D.2．（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）若函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，則a的值是（

）A．1或2 B．1 C．2 D．且【答案】C【解析】∵函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，∴，且，解得或，∴，故選：C．3．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期末）已知，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意若，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，并過定點(diǎn)，函數(shù)單調(diào)遞減，并過定點(diǎn)，而函數(shù)與函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，所以單調(diào)遞增，并過定點(diǎn)，對(duì)比選項(xiàng)可知，只有B選項(xiàng)符合題意.故選：B.4．（23-24高一上·福建福州·月考）已知函數(shù)，是的反函數(shù)，則（

）A．10 B．8 C．5 D．2【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，是的反函數(shù)，故，故.故選：C5．（23-24高一下·湖南衡陽·開學(xué)考試）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D