遼寧省沈陽(yáng)市東北育學(xué)校2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷含答案

遼寧省沈陽(yáng)市東北育學(xué)校2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．下列可使，，構(gòu)成空間的一個(gè)基底的條件是（

）A． B．，，兩兩垂直C． D．2．已知直線：，直線：，則命題：是命題：的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知雙曲線的離心率為，則的值為（

）A．18 B． C．27 D．4．若方程表示圓，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．已知橢圓的兩焦點(diǎn)為為橢圓上一點(diǎn)且，則（

）A． B． C． D．26．在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量與關(guān)于軸對(duì)稱，若向量滿足，記的軌跡為，則（

）A．是一條垂直于軸的直線 B．是兩條平行直線C．是一個(gè)半徑為1的圓 D．是橢圓7．“十字貫穿體”是學(xué)習(xí)素描時(shí)常用的幾何體實(shí)物模型，圖①是某同學(xué)繪制“十字貫穿體”的素描作品.“十字貫穿體”是由兩個(gè)完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個(gè)四棱柱分別有兩條相對(duì)的側(cè)棱交于兩點(diǎn)，另外兩條相對(duì)的側(cè)棱交于一點(diǎn)（該點(diǎn)為所在棱的中點(diǎn)）.若該同學(xué)繪制的“十字貫穿體”有兩個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為的正四棱柱構(gòu)成，在其直觀圖中建立如圖②所示的空間直角坐標(biāo)系，則（

）A．B．點(diǎn)的坐標(biāo)為C．，，，四點(diǎn)共面D．直線與直線所成角的余弦值為8．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（

）A．若空間向量，，則在上的投影向量為B．若空間向量，滿足，則與夾角為銳角C．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面D．若直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則10．已知點(diǎn)是左、右焦點(diǎn)為，的橢圓：上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．若，則的面積為B．使為直角三角形的點(diǎn)有6個(gè)C．的最大值為D．若，則的最大、最小值分別為和11．四葉草又稱“幸運(yùn)草”，有一種說法是：第一片葉子代表希望?第二片葉子表示信心?第三片葉子表示愛情?第四片葉子表示幸運(yùn).在平面直角坐標(biāo)系中，“四葉草形”曲線的方程為，則下列關(guān)于曲線的描述正確的有（

）A．其圖象是中心對(duì)稱圖形B．其圖象只有2條對(duì)稱軸C．其圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以重合D．其圖象上任意兩點(diǎn)的距離的最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知，，，點(diǎn)，若平面ABC，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．13．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，直線的斜率為，則.14．已知橢圓，過橢圓右焦點(diǎn)F作互相垂直的兩條弦，，則的最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，.(1)求邊上的高所在的直線方程；(2)若直線過點(diǎn)，且與直線平行，求直線的方程；(3)求邊上的中線所在的直線方程.16．已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切.(1)求圓的方程;(2)過點(diǎn)的直線與圓相交與兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線方程；(3)已知實(shí)數(shù)滿足圓的方程，求的最小值.17．如圖，在三棱柱中，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，平面.

(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的正弦值.18．設(shè)常數(shù)且，橢圓：，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)．(1)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)，若定點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的最大值與最小值；(3)設(shè)，若上的另一動(dòng)點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：到直線PQ的距離是定值．19．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方），且的周長(zhǎng)為8．將平面沿x軸向上折疊，使二面角為直二面角，如圖所示，折疊后A，B在新圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，．

(1)當(dāng)時(shí)，①求證：；②求平面和平面所成角的余弦值；(2)是否存在，使得折疊后的周長(zhǎng)為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

參考答案1．【答案】B【詳解】選項(xiàng)AD中，三個(gè)向量一定共面，選項(xiàng)C中，可能共面，只有選項(xiàng)B中，一定不共面，故選：B．2．【答案】C【詳解】由可得：，解得：或，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，不合題意，當(dāng)時(shí)，兩直線平行.故選：C.3．【答案】A【分析】借助雙曲線離心率定義計(jì)算即可得.【詳解】由題可得實(shí)半軸長(zhǎng)，所以半焦距，所以．故選A．4．【答案】B【詳解】因?yàn)楸硎緢A，所以,解得或.故選：B.5．【答案】A【詳解】橢圓得，，，設(shè)，，則，，，，，，即．故選：A．6．【答案】C【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，由可得，即.故選：C.7．【答案】C【詳解】依題意，正方形的對(duì)角線，則，，，，對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，于是，又為三個(gè)向量的公共起點(diǎn)，因此四點(diǎn)共面，C正確；對(duì)于D，，，直線與直線所成角的余弦值為，D錯(cuò)誤.故選：C8．【答案】A【詳解】如圖，，垂足為，因?yàn)?，所以，為的中點(diǎn)，，，，，整理得，所以，即，，，在中，，在中，，，化簡(jiǎn)整理得，，解得或，又，.故選：A.

9．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，在上的投影向量為，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)，同向共線時(shí)也成立，但與夾角不為銳角，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在中，故四點(diǎn)共面，故C正確；對(duì)于D，由，即，故，故D正確.故選：ACD.10．【答案】BCD【詳解】A選項(xiàng)：由橢圓方程，所以，，所以，所以的面積為，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：當(dāng)或時(shí)為直角三角形，這樣的點(diǎn)有4個(gè)，設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，，則,同理，知，所以當(dāng)位于橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)也為直角三角形，其他位置不滿足，滿足條件的點(diǎn)有6個(gè)，故B正確；C選項(xiàng)：由于，所以當(dāng)最小即時(shí)，取得最大值，故C正確；D選項(xiàng)：因?yàn)椋?，則的最大、最小值分別為和，當(dāng)點(diǎn)位于直線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：BCD11．【答案】AC【詳解】在方程中，以替換，以替換，方程不變，所以其圖象是中心對(duì)稱圖形，故正確；在方程中，以替換，以替換，方程不變，所以其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，同理，以替換，以替換，方程不變，所以其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以其圖象有4條對(duì)稱軸，故錯(cuò)誤；在方程中，以替換，以替換，方程不變，設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的點(diǎn)為或，將點(diǎn)或的坐標(biāo)代入曲線的方程，方程不變，所以圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以重合，故正確；曲線上任意兩點(diǎn)的距離的最大值即為曲線的外接圓的直徑，，，所以曲線在圓的內(nèi)部，所以曲線上任意兩點(diǎn)的距離的最大值小于，故錯(cuò)誤.故選：.12．【答案】【詳解】由題可得，，平面ABC，，，，.故答案為：.13．【答案】.【分析】設(shè)圓的半徑為且，根據(jù)三角形的面積公式，得到時(shí)，的最大值為，結(jié)合圓的性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程，即可求解.【詳解】由，可化為，則圓心，設(shè)圓的半徑為且，則，當(dāng)時(shí)，的最大值為，不妨取直線的方程為，因?yàn)椋渣c(diǎn)到直線的距離為，所以，解得，又由，可得，解得.故答案為：.14．【答案】/【詳解】由橢圓可知右焦點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為，則，此時(shí)，；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，則，又設(shè)點(diǎn)．聯(lián)立方程組，消去y并化簡(jiǎn)得，因?yàn)檫^橢圓右焦點(diǎn)F，則必有，，，，由題意知，直線的斜率為，同理可得，所以．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故綜合以上，的最小值為，故答案為：.15．【答案】(1)；(2)；(3).【詳解】（1）直線的斜率，則邊上的高所在的直線斜率為3，所以邊上的高所在的直線方程為，即.（2）依題意，設(shè)直線的方程為，而直線過點(diǎn)，則，解得，所以直線的方程為.（3）依題意，邊的中點(diǎn)，因此邊上的中線所在直線的斜率，所以邊上的中線所在直線的方程為，即.16．【答案】(1)(2)x=0或(3)【詳解】（1）（1）由題意知點(diǎn)到直線的距離為圓的半徑，由點(diǎn)到直線的距離公式可得,所以圓的方程為.（2）因?yàn)橹本€與圓相交與兩點(diǎn)，且，所以可得圓心到直線的距離為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，圓心到直到直線的距離為，符合題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由題意可得，解得，所以直線的方程為，即，綜上所述：直線的方程為或.（3）表示點(diǎn)到的距離的平方，又圓心到到的距離為，所以點(diǎn)到的距離的最小值為，所以的最小值為.17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接，設(shè)，連接，由三棱柱的性質(zhì)可知，側(cè)面為平行四邊形，為的中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，在中，，又平面，平面，平面.（2）由題意可知，，兩兩垂直，故以，，所在直線為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，.所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得；設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為.18．【答案】(1)；(2)最大值為5，最小值為；(3)詳見解析.【分析】(1)由題可得，，即得；(2)由題可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得；(3)當(dāng)直線PQ斜率存在時(shí)設(shè)其方程為，聯(lián)立橢圓方程可得，利用韋達(dá)定理及條件可得，進(jìn)而可得到直線PQ的距離為定值，當(dāng)直線PQ斜率不存在時(shí)，可得，易得到直線PQ的距離為定值，即證.【詳解】(1)∵橢圓：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，，∴的焦點(diǎn)坐標(biāo)為；(2)設(shè)，又，由題知，即，∴，又，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為25；當(dāng)時(shí)，取得最小值為；∴的最大值為5，最小值為.(3)當(dāng)時(shí)，橢圓：，設(shè)，當(dāng)直線PQ斜率存在時(shí)設(shè)其方程為，則由，得，∴，由可知，即，∴，即，∴，可得，滿足，∴到直線PQ的距離為為定值；當(dāng)直線PQ斜率不存在時(shí)，，可得直線方程為，到直線PQ的距離為.綜上，到直線PQ的距離是定值．19．【答案】(1)①證明過程見解析；②(2)，理由見解析【分析】（1）①根據(jù)橢圓定義得到，結(jié)合離心率得到，求出，得到橢圓方程，聯(lián)立直線方程和橢圓，得到，得到⊥，結(jié)合二面角為直二面角，得到線面垂直，證明出結(jié)論；②建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，從而求出面面角的余弦值；（2）設(shè)折疊前，折疊后對(duì)應(yīng)的，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)折疊前后的周長(zhǎng)關(guān)系得到，變形得到，代入兩根之和，兩根之積，求出，進(jìn)而求出的值.【詳解】（1）①由橢圓定義可知，所以的周長(zhǎng)，所以，因?yàn)殡x心率為，故，解得，則，由題意，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以橢圓方程為，直線，即，聯(lián)立得，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方，所以，故⊥，折疊后有⊥，因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，即平面⊥，交線為，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫妫浴?；②以為坐?biāo)原點(diǎn)，折疊后的軸負(fù)半軸為軸，原軸為軸，原軸正半軸為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，其中平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令得，故，設(shè)平面與平面的夾角為，則，故平面與平面的夾角的余弦值為；（2）設(shè)折疊前，折疊后對(duì)應(yīng)的，設(shè)直線方程為，將直線與橢圓方程聯(lián)立得，，則，在折疊前可知，折疊后