河北省滄州市八縣2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

河北省滄州市八縣2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)向量，，若，則（

）A． B． C．1 D．22．過點(diǎn)，且在軸上的截距為的直線方程為（

）A． B． C． D．3．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，則的方程為（

）A． B． C． D．4．已知點(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．兩平行直線與之間的距離為（

）A． B． C． D．6．已知是橢圓的左?右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．47．已知圓：，過圓外一點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為.若，則（

）A． B．1 C． D．8．在四面體中，平面，，點(diǎn)分別為棱上的點(diǎn)，且，，則直線與直線夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列關(guān)于曲線性質(zhì)的描述正確的是（

）A．關(guān)于軸對稱 B．關(guān)于原點(diǎn)對稱C．關(guān)于直線對稱 D．所圍成的圖形的面積小于1210．已知正方體的棱長為2，若，的中點(diǎn)分別為，，則（

）A． B．平面平面C． D．點(diǎn)到平面的距離為11．如圖，曲線可以看作“蝴蝶結(jié)”的一部分，已知曲線上除原點(diǎn)外的所有點(diǎn)均滿足其到原點(diǎn)的距離的立方與該點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之積的絕對值的商恒為定值（），則（

）A．曲線關(guān)于直線對稱B．曲線經(jīng)過點(diǎn)，其方程為C．曲線圍成的圖形面積小于D．存在，使得曲線上有5個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線，若，則．13．圓：與圓：相交于、兩點(diǎn)，則．14．設(shè)，分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且傾斜角為60°的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，則橢圓四、解答題（本大題共5小題）15．已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，.(1)判斷的形狀，并證明；(2)求邊上的高所在直線的方程.16．已知半徑為4的圓與直線相切，圓心在軸的負(fù)半軸上.(1)求圓的方程；(2)已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，且的面積為8，求直線的方程.17．如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是矩形，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)分別是線段上的點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)求平面與平面夾角的余弦值．18．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)A-2,0與點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于異于的，兩點(diǎn)，且.①證明：直線過定點(diǎn)；②求的面積的最大值.19．已知點(diǎn)是平面內(nèi)不同的兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，且，則點(diǎn)的軌跡是以有序點(diǎn)對為“穩(wěn)點(diǎn)”的-阿波羅尼斯圓.若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是以為“穩(wěn)點(diǎn)”的-卡西尼卵形線.已知在平面直角坐標(biāo)系中，.(1)若以為“穩(wěn)點(diǎn)”的-阿波羅尼斯圓的方程為，求的值；(2)在（1）的條件下，若點(diǎn)在以為“穩(wěn)點(diǎn)”的5-卡西尼卵形線上，求（為原點(diǎn)）的取值范圍；(3)卡西尼卵形線是中心對稱圖形，且只有1個(gè)對稱中心，若，求證：不存在實(shí)數(shù)，使得以為“穩(wěn)點(diǎn)”的—阿波羅尼斯圓與—卡西尼卵形線都關(guān)于同一個(gè)點(diǎn)對稱.

參考答案1．【答案】D【詳解】由，得∵，，∴，解得故選：D2．【答案】C【詳解】顯然斜率存在，可設(shè)直線方程為，則，所以，所以直線方程為，即.故選：C3．【答案】B【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且，所以，解得，所以橢圓方程為，又點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓的方程為.故選：B.4．【答案】C【詳解】由題意可知，解得或.故選：C5．【答案】C【詳解】由題意知，所以，則化為，所以兩平行直線與之間的距離為．故選：C．6．【答案】A【詳解】因?yàn)槭菣E圓的左、右焦點(diǎn)，P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，所以.所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.所以.即的最小值為1.故選：A7．【答案】B【詳解】易知圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，連接，如下圖所示：利用對稱性由可知，又易知，所以可得，即，又，所以為正三角形，即可得；故選：B8．【答案】A【詳解】如圖：因?yàn)?，所以，則，又，所以，則，又平面，平面，所以，，即，又，所以所以，，，所以，則直線與直線夾角的余弦值為．故選：A9．【答案】ABD【詳解】把曲線中的同時(shí)換成，方程變?nèi)詾?，所以曲線關(guān)于軸對稱，故A對；把曲線中的，同時(shí)換成，方程變?nèi)詾?，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱，故B對；把曲線中的，同時(shí)換成，方程變?yōu)椋?，所以曲線不關(guān)于直線對稱，故C錯(cuò)；由可得，，所以所圍成的圖形的面積小于12，故D對，故選：ABD10．【答案】BCD【詳解】因?yàn)椤危?，則為平行四邊形，可得∥，且平面，平面，所以∥平面，因?yàn)椤?，且，則為平行四邊形，可得∥，且平面，平面，所以∥平面，又，平面，所以平面∥平面，故B正確；如圖，

分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，，，，，故不成立，成立，故A錯(cuò)誤，C正確；設(shè)平面的法向量，，則，令，則，即，又，所以，故點(diǎn)到平面的距離為，故D正確.故選：BCD11．【答案】ACD【詳解】對于A，先求曲線方程，設(shè)曲線上一點(diǎn)（），由已知，即.若點(diǎn)在曲線上，則也滿足曲線方程，所以曲線關(guān)于直線對稱，A選項(xiàng)正確.對于B，將代入曲線方程，得，即，，此時(shí)方程為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對于C，，則，所以C在以圓心為O，半徑為的圓內(nèi)，結(jié)合圖形知道，C選項(xiàng)正確.對于D，由于，所以，由曲線的對稱性可知，要使曲線上有5個(gè)整點(diǎn)，則曲線在第一象限內(nèi)有兩個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)整點(diǎn)為時(shí)，，此時(shí)整點(diǎn)都在曲線上，其有3個(gè)整點(diǎn)，不滿足題意;當(dāng)整點(diǎn)為時(shí)，，此時(shí)整點(diǎn)均在曲線上，且均不在曲線上，其有5個(gè)整點(diǎn)，滿足題意，D正確.故選：ACD.12．【答案】【詳解】若，則，解得．故答案為：13．【答案】4【詳解】由圓：與圓：，兩圓相減得公共弦AB所在直線方程為：，有圓：，可得圓心，半徑，所以圓心到直線AB的距離，所以.故答案為：4.14．【答案】【詳解】由題意，直線過且斜率為，所以直線為：，與橢圓：聯(lián)立消去，得，設(shè)，則，因?yàn)椋?，可得，代入上式得，消去并化簡整理得：，將代入化簡得：，解得，因此，該雙曲線的離心率.故答案為：.15．【答案】(1)直角三角形，證明見解析(2)【詳解】（1）是直角三角形，理由如下：因?yàn)椋?，，所以，，所以，所以，所以是直角三角形，又，，所以，所以是直角三角形；?）因?yàn)?，所以邊上的高所在直線的斜率為，又邊上的高所在直線過點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得邊上的高所在直線的方程為，即.16．【答案】(1)(2)或.【分析】（1）根據(jù)直線與圓相切,根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求出圓心,再應(yīng)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可;（2）根據(jù)幾何法求弦長,再結(jié)合面積公式計(jì)算即可.【詳解】（1）由已知可設(shè)圓心，則，解得或（舍），所以圓的方程為.（2）設(shè)圓心到直線的距離為，則，即，解得，又，所以，解得，所以直線的方程為或.17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，且四邊形是矩形，所以兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，因?yàn)?，?所以．因?yàn)?，所以，即．?）由（1）得．設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，得，所以．因?yàn)槠矫?，所以平面，所以平面的一個(gè)法向量為．因?yàn)椋Y(jié)合圖形可得：平面與平面夾角的余弦值為．18．【答案】(1)(2)①證明見解析；②【詳解】（1）設(shè)橢圓為，因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)A-2,0與點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓的方程為.（2）①由（1）知，橢圓的方程為，設(shè)，不妨令在軸上方，則，假設(shè)直線斜率不存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，可得，所以解得或（舍去），所以直線方程為；假設(shè)斜率存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，得，所以，，由，可得，解得或，所以直線方程為或，所以直線恒過或（舍去），綜上，直線恒過定點(diǎn).②由上述可知，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，設(shè)定點(diǎn)為點(diǎn)，則，所以；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，，則設(shè)方程為，聯(lián)立得，則，，所以，設(shè)，則，所以，由函數(shù)在上單調(diào)遞增知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，故的面積的最大值為.

19．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【詳解】（1）因?yàn)橐詾椤胺€(wěn)點(diǎn)”的一阿波羅尼斯圓的方程為，設(shè)Px,y是該圓上任意一點(diǎn)，則，所