廣東省深圳市鹽田高級中學(xué)2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

廣東省深圳市鹽田高級中學(xué)2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．在空間直角坐標系中，點關(guān)于平面的對稱點（

）A． B． C． D．2．若直線的方程為，則此直線必不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．24．已知是直線l被橢圓所截得的線段AB的中點，則直線l的方程為（

）A． B． C． D．5．已知圓經(jīng)過兩點，且圓心在直線，則圓的標準方程是（

）A． B．C． D．6．在直四棱柱中，底面ABCD為等腰梯形，，為棱的中點，則點到平面的距離為（

）

A． B． C． D．7．已知直線，直線是直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到的直線，則直線的方程是（

）A． B．C． D．8．已知橢圓：的左、右焦點分別為，為過點的弦，為的中點，，，則的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．點在圓上，點在圓上，則（

）A．的最小值為3 B．的最大值為7C．兩個圓心所在的直線斜率為 D．兩個圓相交弦所在直線的方程為10．在棱長為2的正方體中，分別為的中點，則下列選項正確的是（

）A．B．直線與所成角的余弦值為C．三棱錐的體積為D．存在實數(shù)使得11．已知動點到定點的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)點的軌跡稱為曲線，直線取曲線交于兩點．則下列說法正確的是（

）A．曲線的方程為：B．的最小值為1C．為坐標原點，的最小值為D．為曲線上不同于的一點，且直線的斜率分別為，則三、填空題（本大題共3小題）12．若平面的一個法向量，直線的一個方向向量為，則平面與直線所成角的正弦值為．13．當點到直線l：距離的最大值時，直線l的一般式方程是．14．橢圓的離心率e滿足，則稱該橢圓為“黃金橢圓”．若是“黃金橢圓”，則；“黃金橢圓”兩個焦點分別為、（），P為橢圓C上的異于頂點的任意一點，點M是的內(nèi)心，連接PM并延長交于N，則．四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱AP的長為2，且與的夾角都等于在棱PD上，，設(shè)，.

(1)試用表示向量；(2)求與的夾角.16．已知橢圓的左，右焦點分別為，，上頂點為，且．(1)求的離心率；(2)射線與交于點，且，求的周長．17．如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，O為線段的中點且底面，，，E是的中點.(1)證明：平面；(2)點M為棱的中點，求平面與平面夾角的余弦值.18．已知圓C：與圓：.(1)求C與相交所得公共弦長；(2)若過點且斜率為k的直線l與圓C交于P，Q兩點，其中O為坐標原點，且，求19．在平面直角坐標系中，已知動點到直線的距離與點到點的距離的比是.(1)求動點P的軌跡方程E；(2)若軌跡E與x軸的交點分別為.過點的直線分別與軌跡相交于點M和點N，求四邊形AMBN面積的最大值.

參考答案1．【答案】A【詳解】根據(jù)空間直角坐標系的性質(zhì)，都可點關(guān)于平面的對稱點是．故選：A.2．【答案】A【詳解】由可得，，即直線的斜率為負數(shù)，在軸上的截距為負數(shù)，故直線經(jīng)過第二、三、四象限，即不經(jīng)過第一象限.故選：A.3．【答案】C【分析】利用兩個向量垂直的性質(zhì)，數(shù)量積公式即求得的值．【詳解】向量若，則，．故選C．4．【答案】B【詳解】當直線斜率不存在時，由對稱性可知，此時直線被橢圓所截得的線段AB的中點在軸上，而已知是線段AB的中點，不在軸上，不滿足題意.故直線斜率存在，可設(shè)斜率為，則直線的方程為，即，代入橢圓的方程化簡得，所以，解得，故直線方程為，即.故選：B.5．【答案】C【詳解】設(shè)圓心的坐標為.因為圓心在直線上，所以①，因為是圓上兩點，所以，根據(jù)兩點間距離公式，有，即②，由①②可得.所以圓心的坐標是），圓的半徑.所以，所求圓的標準方程是.故選:C.6．【答案】D【詳解】底面ABCD為等腰梯形，，，如圖，在底面ABCD中，過點作，垂足為，以為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系.則，，設(shè)平面的法向量為，則，所以，兩式相減可得，令，解得，則平面的一個法向量為，則點到平面的距離為.故選：D.

7．【答案】A【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，，則直線的傾斜角為，故其斜率，而直線過點，則直線的點斜式方程為，即直線的方程是.故選：A8．【答案】A【分析】設(shè)，然后根據(jù)勾股定理以及橢圓的定義求解出的關(guān)系，化簡可得的關(guān)系，最后根據(jù)離心率的定義求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，因為，為的中點，所以，，由橢圓定義可得，,所以，.又因為，為的中點，所以，，設(shè)橢圓的半焦距為，因為，，所以，，得到，所以，，則橢圓C的離心率，故選A.9．【答案】ABC【分析】分別找出兩圓的圓心和的坐標，以及半徑和，利用兩點間的距離公式求出兩圓心間的距離，根據(jù)大于兩半徑之和，得到兩圓的位置關(guān)系是外離，又為圓上的點，為圓上的點，便可求出其最值，用斜率公式求出.【詳解】圓的圓心坐標，半徑圓，即的圓心坐標，半徑∴圓心距又在圓上，在圓上則的最小值為，最大值為．故A、B正確；兩圓圓心所在的直線斜率為，C正確；圓心距大于兩圓半徑和，兩圓外離，無相交弦，D錯誤.故答案為：ABC10．【答案】BD【詳解】由題可建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，對于A，，故與不垂直，故A錯誤；對于B，，所以直線與所成角的余弦值為，故B正確；對于C，由上，所以，所以即，又，所以，因為，又由正方體性質(zhì)可知平面即平面，所以，故C錯誤；對于D，若存在實數(shù)使得，則，所以，所以，故D正確.故選：BD.11．【答案】ACD【詳解】對A，設(shè)，則，即，化簡得，故A正確；對B，設(shè)橢圓另一個焦點為，如圖，由O為和中點可知四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以，當且僅當時等號成立，故B錯誤；對C，由定義知動點到定點與它到定直線距離滿足，所以，即求橢圓上一點到與直線距離和的最小值，顯然當在橢圓右頂點時，取得最小值，故C正確；對D，設(shè)，則，所以，故D正確.故選：ACD12．【答案】【詳解】設(shè)與所成角為,設(shè)向量與的夾角為，平面α的一個法向量，直線的一個方向向量為，.故答案為：.13．【答案】【詳解】解：∵直線l：，∴可將直線方程變形為，∴，解得，，由此可得直線l恒過點，所以P到直線l的最遠距離為，此時直線垂直于PA．∵，∴直線l的斜率為，∴，∴，∴直線l的一般方程為．故答案為：．14．【答案】【詳解】因為是“黃金橢圓”，故，故，連接，因為為內(nèi)心，故為角平分線，由角平分線性質(zhì)，有，故，故答案為：，.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）；（2）因為，，，所以，所以，因為，所以與的夾角為.16．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，可得，的關(guān)系，進而求出橢圓的離心率；（2）由（1）可得與，與的關(guān)系，設(shè)直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得點的坐標，求出的表達式，由題意可得，的值，由橢圓的性質(zhì)可得的周長為，即求出三角形的周長．【詳解】（1）依題意可得上頂點，左，右焦點分別為，，所以，，又，所以，即，即，所以，所以離心率；（2）由（1）可得，，則橢圓方程為，射線的方程為，聯(lián)立，整理可得，解得或，則，即，所以，解得，則，所以的周長．

17．【答案】(1)證明見解析(2).【詳解】（1）因為，所以，O為線段的中點且，故，連接，又.所以四邊形為正方形，所以，因為底面，底面，所以，，以O(shè)為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，D0,1,0，因為E是的中點，所以，則，，，設(shè)平面的一個法向量n1=則，即，取，則，故，又因為平面，所以平面.（2）由題意，知底面的一個法向量為，因為，且BC=0,1,0，，所以.因為，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，所以又平面與平面夾角為銳角，所以平面與平面夾角的余弦值為.18．【答案】(1)2(2)【詳解】（1）由題意知，兩圓的公共弦所在直線方程為整理得，圓心到直線的距離，所以所求弦長為；（2）由題設(shè)可知直線l的方程為，設(shè)Px1,將代入方程，整理得，所以，，，因為，解得k=1，經(jīng)檢驗，直線與圓有交點，所以直線l的方程為，故圓心C在直線l上，所以19．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)軌跡法，結(jié)合條件，即可求解；（2）