北京市第一○一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

北京一零一中2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)（本試卷滿分120分，考試時(shí)間100分鐘）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.點(diǎn)到直線的距離等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.點(diǎn)到直線的距離等于.故選：C2.橢圓的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用橢圓方程求出，借助離心率公式計(jì)算即可.因?yàn)?，所以，解得，故離心率為.故選：C.3.如圖，在四面體中，，，.點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，則（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】由，再結(jié)合三角形法則即可求解.，，故選：D4.在正方體中，分別為和的中點(diǎn)，則異面直線與.所成角的余弦值是（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為求解兩向量夾角的余弦值即可.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，則，由異面直線與.所成角為銳角，則余弦值面直線與.所成角的余弦值為.故選：B.5.若直線：與直線：平行，則（）A.3 B.C.3或 D.3或1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用兩直線平行的充要條件列式計(jì)算即得.由直線：與直線：平行，得，所以.故選：A6.在長(zhǎng)方體中，，則二面角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】畫出長(zhǎng)方體，為二面角所成的平面角，求出的值即可得出答案.長(zhǎng)方體中，，，，平面,平面,,又平面平面，為二面角所成的平面角，，所以二面角的余弦值為.故選：D.7.對(duì)于直線：，下列說法不正確的是（）A.恒過定點(diǎn)2,0 B.當(dāng)時(shí)，不經(jīng)過第二象限C.的斜率一定存在 D.當(dāng)時(shí)，的傾斜角為60°【答案】D【解析】【分析】利用直線過定點(diǎn)的求法判斷A，利用直線的斜截式，結(jié)合其與坐標(biāo)的交點(diǎn)判斷B，將直線方程化為斜截式可判斷C，利用直線的斜率與傾斜角的關(guān)系判斷D，從而得解.對(duì)于A，直線：，可化為，當(dāng)時(shí)，，所以直線過點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，直線為，即，其斜率是2，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別是和，因此直線過一、三、四象限，不過第二象限，故B正確.對(duì)于C，直線方程可化為，斜率為，一定存在，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，傾斜角為，故D錯(cuò)誤；故選：D.8.若直線經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由點(diǎn)可知點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，由題意可得直線和單位圓有公共點(diǎn)，借助圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系可求.因?yàn)?，所以點(diǎn)在單位圓上，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線和單位圓有公共點(diǎn)，所以圓心到直線的距離，可得，故選：D.9.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之積等于12，化簡(jiǎn)得曲線：，下列結(jié)論不正確的是（）A.曲線關(guān)于軸對(duì)稱 B.的最大值為3C.的最小值為 D.的最大值為4【答案】B【解析】【分析】令可判斷A；結(jié)合條件利用基本不等式可判斷B；將曲線方程進(jìn)行變形，結(jié)合換元法與二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷C；利用兩點(diǎn)間的距離公式，結(jié)合的范圍可判斷D.對(duì)于A：方程中的換成方程不變，所以曲線C關(guān)于軸對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B：由題意，得，令，則，，所以，因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)才有，但顯然不成立，所以不可能取得這個(gè)值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由題意得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)椋?，則，解得，因?yàn)椋?，，，此時(shí)，所以，即最大值為4，故D正確，故選：B.10.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)為的中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)滿足，，.給出下列四個(gè)結(jié)論：①平面平面；②設(shè)直線與平面所成角為，則的取值范圍是；③設(shè)平面，則三棱錐的體積為；④以的邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，的取值范圍是.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】①如圖建立坐標(biāo)系，求出平面與平面法向量，即可判斷兩平面關(guān)系；②由坐標(biāo)系可求出表達(dá)式，后由表達(dá)式幾何意義可得其范圍，即可得范圍；③由空間幾何知識(shí)可得點(diǎn)P位置，后由題可得，由空間向量知識(shí)可得點(diǎn)P到平面距離，即可得三棱錐的體積；④由題可得軌跡，畫出平面圖，由圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離最值可得的取值范圍.①如圖建立以D為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，則.則，，，.設(shè)平面法向量為n1=x1取.設(shè)平面法向量為，則，取.注意到，則①平面平面，故①正確；②由①可得，則，又，則.又平面的法向量可取，則.注意到表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離.如下圖所示，則當(dāng)與S無限接近時(shí)，λ?12當(dāng)無限接近或時(shí)，，則，則.故②正確；③如圖，連接，過作MC平行線，則N為AD中點(diǎn)，四點(diǎn)共面，連接，則與交點(diǎn)即為P.注意到與相似，則，則.，設(shè)平面的法向量為，則，取，則點(diǎn)P到平面距離為：，又.則，故③正確.④連接，設(shè)，中點(diǎn)為F.由題可得，則軌跡為以為圓心，以為半徑在平面上圓.又M在平面上的射影為中點(diǎn)G，則，因，則.如下列平面圖，連接EF，則，則.則如圖，當(dāng)E，H，G三點(diǎn)共線時(shí)，最短，為；當(dāng)G，E，I三點(diǎn)共線時(shí)，最長(zhǎng)，為.則，即的取值范圍是.故④正確.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于較復(fù)雜立體幾何問題，常建立坐標(biāo)系，將空間中點(diǎn)，線，面關(guān)系，角度，距離轉(zhuǎn)化為空間向量表達(dá)式.二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.11.如果直線與直線互相垂直，則實(shí)數(shù)的值是______.【答案】【解析】【分析】由題設(shè)條件，可利用兩直線垂直的條件建立方程，解此方程即可得出的值．因?yàn)橹本€與直線互相垂直,所以，解得.故答案為：.12.已知圓的面積為，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓的面積求出圓的半徑，利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出半徑即可列方程求解.圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓的面積為，圓的半徑為，，解得．故答案為：13.過點(diǎn)的直線與圓：交于，兩點(diǎn)，為圓心，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，判斷直線與圓的位置關(guān)系，求出直線的斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式方程求解即可.點(diǎn)在圓：的內(nèi)部，則直線和圓相交，當(dāng)最小時(shí)，圓心到直線的距離最大，此時(shí)直線，直線的斜率，因此直線的斜率為，所以直線的方程為，即.故答案為：14.已知橢圓，左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若的最大值為，則的值是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓定義，結(jié)合通徑的性質(zhì)求解的最值，列方程即可求解.由可知，焦點(diǎn)在x軸上，∵過的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，∴，∴.當(dāng)AB垂直x軸時(shí)AB最小，值最大，此時(shí)，∴，解得.故答案為：215.如圖，長(zhǎng)方形中，，，為的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿向上翻折到的位置，連接，，在翻折的過程中（從初始位置開始，直到點(diǎn)再次落到平面內(nèi)），點(diǎn)到平面距離的最大值為______，的中點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為______.【答案】①.②.【解析】【分析】第一空，直觀想象翻折過程中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合點(diǎn)面距離的定義判斷得所求為，從而得解；第二空，利用平行線的傳遞性，將問題等價(jià)于點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)試，從而得解.第一空：過作交于，易知當(dāng)平面時(shí)，點(diǎn)到平面距離取得最大值，因?yàn)樵谥?，，，，所以，；第二空，取的中點(diǎn)，連接，則，又，則平行且相等，四邊形是平行四邊形，所以點(diǎn)F的軌跡與點(diǎn)的軌跡形狀完全相同.過作的垂線，垂足為，則的軌跡是以為圓心，為半徑的半圓弧，從而PD的中點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度為.故答案為：；.16.已知直線：與：相交于，兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn).給出下列三個(gè)結(jié)論：①弦長(zhǎng)度的最小值為；②點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓；③若點(diǎn)，點(diǎn)，則不存在點(diǎn)使得；其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.【答案】①③【解析】【分析】求出直線過的定點(diǎn)，再利用圓的性質(zhì)求出弦長(zhǎng)最小值判斷①；利用圓的性質(zhì)求出點(diǎn)的軌跡判斷②；判斷兩圓的位置關(guān)系判斷③即可得答案.直線：過定點(diǎn)，：的圓心，半徑，顯然點(diǎn)在內(nèi)，，對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)度最小，最小值為，①正確；對(duì)于②，當(dāng)與都不重合時(shí)，，則點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，當(dāng)與之一重合時(shí)，點(diǎn)也在以線段為直徑的圓上，此圓圓心，半徑為1，而直線不包含過點(diǎn)且垂直于軸的直線，即點(diǎn)的坐標(biāo)不能是，所以點(diǎn)的軌跡是以線段為直徑的一個(gè)圓，除點(diǎn)外，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，以點(diǎn)與為直徑端點(diǎn)的圓的圓心，半徑為，而，即以為直徑的圓和以為直徑的圓相離，點(diǎn)在以為直徑的圓外，因此不存在點(diǎn)使得，③正確，所以所有正確結(jié)論的序號(hào)是①③.故答案為：①③【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：命題③，確定以為直徑的圓和以為直徑的圓相離是解決問題的關(guān)鍵.三、解答題共4小題，共50分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的性質(zhì)判定及面面垂直的判定推理即得.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解.（3）利用空間向量求出點(diǎn)到平面距離.【小問1詳解】在四棱錐中，平面，平面，則，由底面為正方形，得，而平面，因此平面，而平面，所以平面平面.【小問2詳解】由平面，平面，得，，又，則直線兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，所以為平面的一個(gè)法向量，由平面，得為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.【小問3詳解】由（2）知，平面的一個(gè)法向量為，，所以點(diǎn)到平面的距離.18.已知圓過點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在直線上，直線過點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）若與圓相切，求的方程；（3）若與圓相交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，與：的交點(diǎn)為，求證：為定值.【答案】（1）；（2）或；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)，借助兩點(diǎn)間距離公式求出圓心和半徑即可得圓的方程.（1）按直線l1的斜率存在與否分類，借助點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.（2）設(shè)出直線的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即得.【小問1詳解】設(shè)圓心，由圓心在直線上及點(diǎn)和點(diǎn)都在圓上，得，即，解得，即，所以圓的方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為2，直線與圓相切，方程為；當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線為，即，圓心到直線的距離等于半徑2，即，解得，方程為，所以直線方程是或.【小問3詳解】由（2）知，直線的斜率必定存在，且不為0，其方程為：，由，解得，即，又直線與垂直，則直線所在的直線方程為，由，解得，即，因此.所以為定值.19.羨除是《九章算術(shù)》中記載的一種五面體.如圖，五面體是一個(gè)羨除，其中四邊形與四邊形均為等腰梯形，且，，，為中點(diǎn)，平面與平面交于.（1）求證：平面；（2）已知點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，從條件①、條件②中選擇一個(gè)作為已知，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.條件①：平面平面；條件②：.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）證明四邊形為平行四邊形，利用線面平行的判定定理即可證明；（2）若選條件①，則需先證兩兩垂直，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法表示出與平面所成角的正弦值，借助二次函數(shù)即可解決；若選條件②，取的中點(diǎn)，連接，證明得到平面平面，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為條件①的解題過程.小問1詳解】因?yàn)椋覟橹悬c(diǎn)，所以又因?yàn)椋?，且為中點(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【小問2詳解】若選條件①：平面平面，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅闻c四邊形均為等腰梯形，所以，，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以兩兩垂?故以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；因?yàn)?，，所以，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，所以AQ=λAE=所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角，則，結(jié)合二次函數(shù)的知識(shí)可知：當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值的最大值為.若選條件②：，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅闻c四邊形均為等腰梯形，且，，所以，在中，，所以.所以二面角為直二面角，所以平面平面，又平面平面，面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以兩兩垂?故以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；因?yàn)椋?，所以，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，所以AQ=λAE=所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角，則，結(jié)合二次函數(shù)的知識(shí)可知：當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長(zhǎng)度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長(zhǎng)），進(jìn)而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.20.已知集合（，），若與滿足，且（），則稱集合可分，稱為的一個(gè)分法.（1）已知是的一個(gè)分法，試寫出，，，，，的值；（2）若集合可分，證明：集合的分法一定有偶數(shù)個(gè)；（3）判斷，是否可分.若可分，寫出共有幾種分法，并推出所有的分法；若不可分，說明理由.【答案】（1）（2）證明見解析；（3）答案見解析；【解析】【分析】（1）由題可得與的值，后由題可得的可能值，討論后可得答案；（2）證明集合的任意一種分法，與另一種分法相互對(duì)應(yīng)即可；（3）由題可得表達(dá)式，利用為整數(shù)，可完成判斷.后利用列舉法結(jié)合（2）中結(jié)論可推出所有分法.【小問1詳解】由題及集合互異性，可知互不相同.則，.因，則，又1，2，4，則或5.若，與題意不符，則.此時(shí)，1到8中還剩下3與7，則.綜上，；【小問2詳解】證明：若可分，則存在與滿足，且（）.下面證明：若為的一個(gè)分法，則也為的一個(gè)分法，且與不同.因，則.又因互不相同，則互不相同.結(jié)合，則為一個(gè)分法.又因?yàn)槠鏀?shù)，則.若，因，