北京市大興區(qū)2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試題含答案

北京市大興區(qū)2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共10小題）1．直線(xiàn)的傾斜角的正切值為（

）A． B．C． D．2．已知兩個(gè)向量，且，則（

）A． B．C． D．3．過(guò)點(diǎn)，的直線(xiàn)的斜率為，則（

）A． B．C． D．4．圓關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的圓的方程為（

）A． B．C． D．5．若是直線(xiàn)的方向向量，是平面的法向量，則直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系是（

）A．直線(xiàn)在平面內(nèi) B．平行 C．相交但不垂直 D．垂直6．已知直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則它們之間的距離為（

）A． B． C． D．7．在平行六面體中，，，則的長(zhǎng)為（

）A． B．C． D．8．已知圓，過(guò)直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)作圓的一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．29．已知點(diǎn)C（2，0），直線(xiàn)kx－y＋k=0（k≠0）與圓交于A，B兩點(diǎn)，則“△ABC為等邊三角形”是“k=1”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件10．如圖，放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”整體是一個(gè)圓形，且黑色陰影區(qū)域與白色區(qū)域關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，其中黑色陰影區(qū)域在軸右側(cè)部分的邊界為一個(gè)半圓.已知直線(xiàn).給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，若直線(xiàn)截黑色陰影區(qū)域所得兩部分面積記為，則；②當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與黑色陰影區(qū)域有個(gè)公共點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線(xiàn)有個(gè)公共點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①③C．②③ D．①②③二、填空題（本大題共5小題）11．已知，，三點(diǎn)共線(xiàn)，則．12．已知圓，則圓心坐標(biāo)為，當(dāng)圓與軸相切時(shí)，實(shí)數(shù)的值為.13．已知平面過(guò)點(diǎn)三點(diǎn)，直線(xiàn)與平面垂直，則直線(xiàn)的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)可以是．14．直線(xiàn)和與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的四邊形的面積為．15．如圖，在正方體中，，為的中點(diǎn)，為棱（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在，使得；②存在，使得平面；③當(dāng)為線(xiàn)段中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最?。虎墚?dāng)與重合時(shí)，直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值最小.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題（本大題共6小題）16．已知平面內(nèi)兩點(diǎn).（1）求的中垂線(xiàn)方程；（2）求過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)的方程．17．已知圓的半徑為2，圓心在軸的正半軸上，直線(xiàn)與圓相切.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）求直線(xiàn)：與圓相交的弦長(zhǎng).18．如圖，在四棱錐中，平面，，，且．(1)求直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的大??；(2)求直線(xiàn)PD與平面PAC所成角的正弦值．19．已知圓過(guò)三點(diǎn)，直線(xiàn)．(1)求圓的方程；(2)求圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的圓的方程；(3)若為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值．20．在四棱錐中，底面ABCD是正方形，Q為PD的中點(diǎn)，，，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．條件①：平面平面；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．21．已知圓：及其上一點(diǎn)．(1)若圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線(xiàn)上，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓相交的另一交點(diǎn)為，且為直角三角形，求的方程；(3)設(shè)動(dòng)點(diǎn)，若圓上存在兩點(diǎn)，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案1．【答案】A【詳解】直線(xiàn)的斜率為，傾斜角為，所以.故選：A2．【答案】C【詳解】由于，所以.故選：C3．【答案】B【詳解】依題意，，解得，所以，所以.故選：B4．【答案】D【詳解】圓的圓心為，半徑為，因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，所以對(duì)稱(chēng)圓的方程為，故選：D.5．【答案】C【詳解】∵，，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，則，即無(wú)解.不存在實(shí)數(shù)，使得成立，因此l與α不垂直．由，可得直線(xiàn)l與平面α不平行．因此直線(xiàn)l與平面α的位置關(guān)系是相交但不垂直．故選：C6．【答案】C【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)平行，所以,解得，因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)所以它們之間的距離為．故選：C7．【答案】B【詳解】依題意，，所以.所以.故選：B8．【答案】C【分析】連接，，當(dāng)最小時(shí)，最小，計(jì)算點(diǎn)到直線(xiàn)的距離得到答案.【詳解】如圖所示：連接，則，當(dāng)最小時(shí)，最小，，故的最小值為.故選：C.9．【答案】A【詳解】設(shè)圓心為，易知，半徑，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，，而，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，直線(xiàn)為：，而，所以，所以，所以為等腰三角形，因?yàn)?，圓心到直線(xiàn)的距離為，即，所以圓心為的重心，同時(shí)也是的外心，所以為等邊三角形，所以“為等邊三角形”是“”的充要條件，故選：A.10．【答案】A【詳解】如圖1所示，大圓的半徑為2，小圓的半徑為1，所以大圓的面積為，小圓的面積為．對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為．此時(shí)直線(xiàn)將黑色陰影區(qū)域的面積分為兩部分，，所以，故①正確．對(duì)于②，根據(jù)題意，黑色陰影區(qū)域在第一象限的邊界方程為,當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，即，小圓圓心到直線(xiàn)的距離，所以直線(xiàn)與該半圓弧相切，如圖2所示，所以直線(xiàn)與黑色陰影區(qū)域只有一個(gè)公共點(diǎn)，故②正確．對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，如圖3所示，直線(xiàn)與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線(xiàn)有2個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線(xiàn)有1個(gè)公共點(diǎn)，故③錯(cuò)誤．綜上所述，①②正確．故選：A．11．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以直線(xiàn)斜率存在，因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn)，所以，所以，解得，故答案為：.12．【答案】.4.【詳解】由，配方得，所以圓心C的坐標(biāo)為；當(dāng)圓與軸相切時(shí)，則有，解得；故答案是，4.13．【答案】（答案不唯一）【詳解】設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以，所以，所以，取，所以，又因?yàn)橹本€(xiàn)與平面垂直，所以直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量共線(xiàn)，所以可取方向向量為（不唯一，非零共線(xiàn)即可），故答案為：（答案不唯一）.14．【答案】【詳解】令中，得，所以與軸交于，令中，得，所以與軸交于，由可得，所以?xún)芍本€(xiàn)交于，所以圍成的四邊形面積為，故答案為：.15．【答案】②④【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系設(shè)，①：因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，解得，不符合題意，故①錯(cuò)誤；②：當(dāng)與重合時(shí)，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以，且平面，平面，所以平面，故②正確；③：設(shè)到平面的距離為，所以，且為定值，所以當(dāng)最小時(shí)，三棱錐的體積最小，因?yàn)椋?，設(shè)平面的法向量為，所以，所以，取，所以，又，所以，當(dāng)時(shí)有最小值，故③錯(cuò)誤；④：設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角為，因?yàn)椋?，令，所以，所以，因?yàn)?，所以時(shí)取最大值，此時(shí)取最小值，此時(shí)，即與重合，故④正確；故答案為：②④.16．【答案】（1）；（2）.【詳解】試題分析：(1)首先求得中點(diǎn)坐標(biāo)，然后求得斜率，最后利用點(diǎn)斜式公式即可求得直線(xiàn)方程；(2)利用點(diǎn)斜式可得直線(xiàn)方程為.試題解析：（1），∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為，∴的中垂線(xiàn)斜率為∴由點(diǎn)斜式可得∴的中垂線(xiàn)方程為（2）由點(diǎn)斜式∴直線(xiàn)的方程17．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)直線(xiàn)與圓相切，應(yīng)用點(diǎn)線(xiàn)距離公式求圓心坐標(biāo)，寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）根據(jù)相交弦、弦心距、半徑之間的幾何關(guān)系求弦長(zhǎng)即可.【詳解】（1）令圓心為且，∴由圓與相切，有，即可得.∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知：，，∴到直線(xiàn)的距離為，∴直線(xiàn)與圓相交的弦長(zhǎng)為.18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由于平面，平面，所以，由于，所以?xún)蓛上嗷ゴ怪?以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角為，則，由于，所以.（2），，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線(xiàn)PD與平面PAC所成角為，則.19．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，代入，則，解得，所以圓的方程為；（2）設(shè)，由對(duì)稱(chēng)關(guān)系可知，解得，所以，又因?yàn)閷?duì)稱(chēng)圓的半徑不變，所以的方程為；（3）因?yàn)?，由?）可知關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)，所以，即的最小值為.20．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【詳解】（1）若選①，由于平面平面，且交線(xiàn)為，平面，，所以平面.若選②，由于，，平面，所以平面.（2）由（1）知平面，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別所在的直線(xiàn)為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，A0,0,0，，，所以，由（1）知平面的法向量，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，設(shè)平面與平面夾角的為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.（3）由已知得，，所以點(diǎn)到平面的距離為.21．【答案】(1)(2)或(3)【詳解】（1）圓