2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.3蝗制學(xué)案含解析北師大版必修4

PAGE3弧度制考綱定位重難突破1.了解角的另外一種度量方法——弧度制．2.能夠嫻熟地在角度制和弧度制之間進行換算．3.駕馭弧度制中扇形的弧長公式和面積公式.重點：弧度與角度的換算，弧度制下的弧長公式．難點：用弧度解決有關(guān)問題.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第4頁[自主梳理]1．角的度量單位角的度量角度制弧度制規(guī)定周角的eq\f(1,360)為1度的角，用度作為單位來度量角稱為角度制在以單位長為半徑的圓中，單位長度的弧所對的圓心角為1弧度的角．它的單位符號為rad，讀作弧度換算360°2πrad180°πrad(eq\f(180,π))°≈57.30°＝57°18′1rad1°eq\f(π,180)rad≈0.01745rad2.弧度數(shù)的計算3．一些特別角的角度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)關(guān)系度0°1°30°45°60°90°弧度0eq\f(π,180)eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)度120°135°150°180°270°360°弧度eq\f(2,3)πeq\f(3,4)πeq\f(5,6)ππeq\f(3,2)π2π4．扇形弧長公式及面積公式設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，α為其圓心角，則度量單位類別α為角度制α為弧度制扇形的弧長l＝eq\f(|n|πr,180)l＝|α|r扇形的面積S＝eq\f(|n|πr2,360)S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2[雙基自測]1．下列說法正確的是()A．1弧度的圓心角所對的弧長等于半徑B．大圓中1弧度的圓心角比小圓中1弧度的圓心角大C．全部圓心角為1弧度的角所對的弧長都相等D．用弧度表示的角都是正角解析：對于A，依據(jù)弧度的定義知，“1弧度的圓心角所對的弧長等于半徑”，故A正確；對于B，大圓中1弧度的圓心角與小圓中1弧度的圓心角相等，故B錯誤；對于C，不在同圓或等圓中，1弧度的圓心角所對的弧長是不等的，故C錯誤；對于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D錯誤．答案：A2.eq\f(5,6)π弧度化為角度是()A．235° B．150°C．135° D．60°解析：∵πrad＝180°，∴eq\f(5,6)π＝eq\f(5,6)×180°＝150°.答案：B3．若2弧度的圓心角所對的弧長為4cm，則這個圓心角所在的扇形面積為________cm2.解析：依據(jù)面積公式S＝eq\f(1,2)lr，可得S＝eq\f(1,2)×4×eq\f(4,2)＝4cm2.答案：4授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第5頁探究一角度、弧度的互化[典例1]設(shè)角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝eq\f(3π,5)，β2＝－eq\f(7π,3).(1)將α1、α2用弧度制表示出來，并指出它們各自所在的象限；(2)將β1、β2用角度制表示出來，并在－720°～0°之間找出與它們有相同終邊的全部角．[解析](1)∵180°＝πrad，∴－570°＝－570×eq\f(π,180)＝－eq\f(19π,6).∴α1＝－eq\f(19π,6)＝－2×2π＋eq\f(5π,6).同理，α2＝2×2π＋eq\f(π,6).∴α1在其次象限，α2在第一象限．(2)∵β1＝eq\f(3π,5)＝eq\f(3π,5)×(eq\f(180,π))°＝108°，設(shè)θ＝k·360°＋β1(k∈Z)．由－720°≤θ＜0°，∴－720°≤k·360°＋108°＜0°.∴k＝－2或k＝－1.∴在－720°～0°間與β1有相同終邊的角是－612°和－252°.同理，β2＝－420°＝－360°－60°，且在－720°～0°間與β2有相同的終邊的角是－60°.1．將角度制化為弧度制，當(dāng)角度制中含有“分”“秒”單位時，應(yīng)先將它們統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為“度”，再利用1°＝eq\f(π,180)rad化為弧度即可．2．以弧度為單位表示角時，常把弧度寫成多少π的形式．如無特別要求，不必把π寫成小數(shù)．1．將下列角度與弧度進行互化：(1)20°；(2)－15°；(3)eq\f(7π,12)；(4)－eq\f(11,5)π.解析：(1)20°＝20×eq\f(π,180)rad＝eq\f(π,9)rad.(2)－15°＝－15×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(π,12)rad.(3)eq\f(7,12)πrad＝eq\f(7,12)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180°,π)))＝105°.(4)－eq\f(11,5)πrad＝－eq\f(11,5)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝－396°.探究二用弧度表示終邊相同的角[典例2]把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第幾象限角：(1)－1500°；(2)eq\f(23π,6)；(3)－4.[解析](1)∵－1500°＝－1800°＋300°＝－5×360°＋300°.∴－1500°可化成－10π＋eq\f(5π,3)，是第四象限角．(2)∵eq\f(23π,6)＝2π＋eq\f(11π,6)，∴eq\f(23π,6)與eq\f(11π,6)終邊相同，是第四象限角．(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，eq\f(π,2)<2π－4<π.∴－4與2π－4終邊相同，是其次象限角．(1)無論用角度制還是用弧度制來度量角，都能在角的集合與實數(shù)集R之間建立一種一一對應(yīng)的關(guān)系：每一個角都有唯一的一個實數(shù)與它對應(yīng)；反過來，每一個實數(shù)也都有唯一的一個角與它對應(yīng)．(2)用弧度制表示終邊相同角α＋2kπ(k∈Z)時，留意2kπ是π的偶數(shù)倍，而不是π的奇數(shù)倍．2．(1)把－1480°寫成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π；(2)若β∈[－4π，0]，且β與(1)中α的終邊相同，求β.解析：(1)∵－1480°＝－eq\f(74π,9)＝－10π＋eq\f(16π,9)，又0<eq\f(16,9)π<2π，∴－1480°＝eq\f(16,9)π＋2×(－5)π.(2)∵β與α終邊相同，∴β＝α＋2kπ＝eq\f(16,9)π＋2kπ(k∈Z)．又β∈[－4π，0]，∴β1＝eq\f(16,9)π－2π＝－eq\f(2,9)π，β2＝eq\f(16,9)π－4π＝－eq\f(20,9)π.∴β＝－eq\f(2,9)π或β＝－eq\f(20,9)π.探究三弧長與扇形面積公式的應(yīng)用[典例3]已知一扇形的周長為8，當(dāng)它的半徑和圓心角取什么值時，扇形的面積最大？并求出最大面積．[解析]設(shè)扇形的面積為S，弧長為l，半徑為r，圓心角為α，則l＋2r＝8，l＝8－2r，所以S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)r(8－2r)＝－r2＋4r，則當(dāng)r＝2時，扇形面積S取最大值4，此時l＝8－2r＝4，所以|r|＝eq\f(l,r)＝2，即當(dāng)扇形的半徑為2，圓心角為2弧度時，扇形的面積最大，最大為4.涉及扇形的周長、弧長、圓心角、面積等的計算時，應(yīng)先分析題目已知哪些量求哪些量，然后敏捷運用弧長、扇形面積公式干脆求解或列方程(組)求解．3．一個扇形OAB的面積是1cm2，它的周長是4cm，求圓心角的弧度數(shù)和弦長AB.解析：設(shè)圓的半徑為rcm，弧長為lcm，圓心角為α(0＜α＜2π)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)lr＝1，,l＋2r＝4.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝2，))∴圓心角α＝eq\f(l,r)＝2rad.如圖，過點O作OH⊥AB于點H，則∠AOH＝1rad.∴AH＝1·sin1＝sin1(cm)，∴AB＝2sin1(cm)．函數(shù)思想的運用[典例]已知一個扇形的周長為a，求當(dāng)扇形的圓心角多大時，扇形的面積最大，并求出這個最大值．[解析]設(shè)扇形的弧長為l，半徑為r，圓心角為α，面積為S.由已知，得2r＋l＝a，即l＝a－2r.所以S＝eq\f(1,2)l·r＝eq\f(1,2)(a－2r)·r＝－r2＋eq\f(a,2)r＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r－\f(a,4)))2＋eq\f(a2,16).因為r>0，l＝a－2r>0，所以0<r<eq\f(a,2).所以當(dāng)r＝eq\