2019初中數(shù)學(xué)必考知識(shí)點(diǎn)歸納

2019初中數(shù)學(xué)必考知識(shí)點(diǎn)歸納

第一章：實(shí)數(shù)

重要復(fù)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)：

一、實(shí)數(shù)的分類:

‘正整數(shù)'

整數(shù)零

有理數(shù)負(fù)整數(shù)有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)力數(shù)

實(shí)數(shù)'正分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)

1J

'正無(wú)理數(shù)

無(wú)理數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

、負(fù)無(wú)理數(shù)

1、有理數(shù)：任何一個(gè)有理數(shù)總可以寫成"的形式，其中p、q

q

是互質(zhì)的整數(shù)，這是有理數(shù)的重要特征。

2、無(wú)理數(shù)：初中遇到的無(wú)理數(shù)有三種：開不盡的方根，如叵、

V?；特定結(jié)構(gòu)的不限環(huán)無(wú)限小數(shù),如1.101001000100001...；

特定意義的數(shù)，如n、sin45°等。

3、判斷一個(gè)實(shí)數(shù)的數(shù)性不能僅憑表面上的感覺(jué)，往往要經(jīng)過(guò)整

理化簡(jiǎn)后才下結(jié)論。

二、實(shí)數(shù)中的幾個(gè)概念

1、相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)。

(1)實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a；(2)a和b互為相反數(shù)oa+b=0

2、倒數(shù):

（1）實(shí)數(shù)a（aWO）的倒數(shù)是工；（2）a和b互為倒數(shù)o

a

ab=l；（3）注意。沒(méi)有倒數(shù)

3、絕對(duì)值：

（1）一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值有以下三種情況：

a,aA0

|i7|=<0,a=0

一a,aY0

（2）實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是一個(gè)非負(fù)數(shù)，從數(shù)軸上看，一個(gè)實(shí)數(shù)的絕

對(duì)值，就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。

（3）去掉絕對(duì)值符號(hào)（化簡(jiǎn)）必須要對(duì)絕對(duì)值符號(hào)里面的實(shí)數(shù)

進(jìn)行數(shù)性（正、負(fù)）確認(rèn)，再去掉絕對(duì)值符號(hào)。

4、n次方根

（1）平方根，算術(shù)平方根：設(shè)a20,稱土被叫a的平方根，

6叫a的算術(shù)平方根。

（2）正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；

負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。

（3）立方根：〃■叫實(shí)數(shù)a的立方根。

（4）一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；。的立方根是0；一個(gè)負(fù)數(shù)有

一個(gè)負(fù)的立方根。

三、實(shí)數(shù)與數(shù)軸

1、數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線稱為數(shù)軸。原

點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度是數(shù)軸的三要素。

2、數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一

個(gè)實(shí)數(shù)，而每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的唯一的點(diǎn)來(lái)表示。實(shí)數(shù)

和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

四、實(shí)數(shù)大小的比較

1、在數(shù)軸上表示兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

2、正數(shù)大于0；負(fù)數(shù)小于0；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)絕對(duì)

值大的反而小。

五、實(shí)數(shù)的運(yùn)算

1、加法：

（1）同號(hào)兩數(shù)相加，取原來(lái)的符號(hào)，并把它們的絕對(duì)值相加；

（2）異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕

對(duì)值減去較小的絕對(duì)值?？墒褂眉臃ń粨Q律、結(jié)合律。

2、減法：

減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。

3、乘法：

（1）兩數(shù)相乘，同號(hào)取正，異號(hào)取負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。

（2）n個(gè)實(shí)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0,積就為0；若n個(gè)非0的

實(shí)數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí),

積為正；當(dāng)負(fù)因數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)。

（3）乘法可使用乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律。

4、除法：

（1）兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。

（2）除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

（3）。除以任何數(shù)都等于0,0不能做被除數(shù)。

5、乘方與開方：乘方與開方互為逆運(yùn)算。

6、實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序：乘方、開方為三級(jí)運(yùn)算，乘、除為二級(jí)運(yùn)

算，力口、減是一級(jí)運(yùn)算，如果沒(méi)有括號(hào)，在同一級(jí)運(yùn)算中要從左

到右依次運(yùn)算，不同級(jí)的運(yùn)算，先算高級(jí)的運(yùn)算再算低級(jí)的運(yùn)算,

有括號(hào)的先算括號(hào)里的運(yùn)算。無(wú)論何種運(yùn)算，都要注意先定符號(hào)

后運(yùn)算。

六、有效數(shù)字和科學(xué)記數(shù)法

1、科學(xué)記數(shù)法：設(shè)N>0,則2aXlO"（其中l(wèi)Wa<10,n為

整數(shù)）。

2、有效數(shù)字：一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)，到精確

到的數(shù)位為止，所有的數(shù)字，叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。精確度的

形式有兩種：（1）精確到那一位；（2）保留幾個(gè)有效數(shù)字。

例題：

例1、已知實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，且

問(wèn)下網(wǎng)o

化間：時(shí)-,+母-0-4

分析：從數(shù)軸上a、b兩點(diǎn)的位置可以看到：a<0,b>0且

心網(wǎng)

所以可得：

：JM5^4——a+〃+/?—/?+〃=a

例2、若a=（-；）-3,&=-（1）3,°=弓）一③，比較a、b、c的

大小。

分析：?=-（1）3-<-1；〃=>-15.^^0；c>0；所以容

易得出：

a<b<Co

解：略

例3、若卜-2|與燈+2|互為相反數(shù)，求a+b的值

分析：由絕對(duì)值非負(fù)特性，可知，—2|20,|ZJ+2|>0,又由題

意可知：,一2|+性+2|=0

所以只能是：a-2=0,b+2=0,即a=2,b=-2,所以a+b=O

解：略

例4、已知a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，m的絕對(duì)值是1,

求a+b-cd+1n?的值。

m

解：原式=0-1+1=0

/]12zj\2

eH—c—

例5、計(jì)算：(1)81994X0.1251994(2)—-----J

22

解：(1)原式二(8x0.12519%=11994=1

(1(1

e+—e——e+—e——1

(2)原式=-+—.———=e'=l

2222e

第二章：代數(shù)式

基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：

一、代數(shù)式

1、代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式

子，叫代數(shù)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或者一個(gè)字母也是代數(shù)式。

2、代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)里的字母，計(jì)算后得到的

結(jié)果叫做代數(shù)式的值。

3、代數(shù)式的分類:

’單項(xiàng)式

整式＜

有理式多項(xiàng)式

代數(shù)式

分式

、無(wú)理式

二、整式的有關(guān)概念及運(yùn)算

1、概念

（1）單項(xiàng)式：像X、7、2/y,這種數(shù)與字母的積叫做單

項(xiàng)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式。

單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)叫做這個(gè)單

項(xiàng)式的次數(shù)。

單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫單項(xiàng)式的系數(shù)。

（2）多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。

多項(xiàng)式的項(xiàng)：多項(xiàng)式中每一個(gè)單項(xiàng)式都叫多項(xiàng)式的項(xiàng)。一個(gè)

多項(xiàng)式含有幾項(xiàng)，就叫幾項(xiàng)式。

多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式里，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)

多項(xiàng)式的次數(shù)。不含字母的項(xiàng)叫常數(shù)項(xiàng)。

升（降）累排列：把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從小

（大）到大（?。┑捻樞蚺帕衅饋?lái)，叫做把多項(xiàng)式按這個(gè)字母升

（降）募排列。

（3）同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別

相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。

2、運(yùn)算

（1）整式的加減：

合并同類項(xiàng)：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字

母及字母的指數(shù)不變。

去括號(hào)法則：括號(hào)前面是“+”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“+”

號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都不變；括號(hào)前面是“-”號(hào)，把括號(hào)和它

前面的“-”號(hào)去掉，括號(hào)里的各項(xiàng)都變號(hào)。

添括號(hào)法則：括號(hào)前面是“+”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不

變；括號(hào)前面是“-”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都變號(hào)。

整式的加減實(shí)際上就是合并同類項(xiàng)，在運(yùn)算時(shí)，如果遇到括

號(hào)，先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)。

(2)整式的乘除：

募的運(yùn)算法則：其中m、n都是正整數(shù)

同底數(shù)易相乘：am-an=am+n-,同底數(shù)易相除：

募的乘方：(優(yōu)7)"=a""積的乘方：(ab)"=a"b"。

單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式：用它們系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對(duì)于相

同的字母，用它們的指數(shù)的和作為這個(gè)字母的指數(shù)；對(duì)于只在一

個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。

單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再

把所得的積相加。

多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多

項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。

單項(xiàng)除單項(xiàng)式：把系數(shù)，同底數(shù)累分別相除，作為商的因式,

對(duì)于只在被除式里含有字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)，

再把所得的商相加。

乘法公式：

平方差公式：(a+Z>)(a—b)=a~—b2；

完全平方公式：(a+b)?=a?+2aZ;+〃，

(a-Z?)2=cr-2ab+b2

三、因式分解

1、因式分解概念：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,

叫因式分解。

2、常用的因式分解方法：

(1)提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)

(2)運(yùn)用公式法：

平方差公式：a2-b~=(a+b)(a—b)；完全平方公式：

a1±2ab+b2=(a±Z>)2

(3)十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=(x+d)(x+b)

(4)分組分解法：將多項(xiàng)式的項(xiàng)適當(dāng)分組后能提公因式或

運(yùn)用公式分解。

(5)運(yùn)用求根公式法：若af+b九+。=0(。。0)的兩個(gè)根是

修、龍2，則有：

ax2+bx+c=a(x-xj(x-x2)

3、因式分解的一般步驟：

(1)如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；

(2)提出公因式或無(wú)公因式可提，再考慮可否運(yùn)用公式或

十字相乘法；

(3)對(duì)二次三項(xiàng)式，應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解，不行的

再用求根公式法。

(4)最后考慮用分組分解法。

四、分式

A

1、分式定義：形如△的式子叫分式，其中A、B是整式，

B

且B中含有字母。

（1）分式無(wú)意義：B=0時(shí)，分式無(wú)意義；BWO時(shí)，分式有

意義。

（2）分式的值為0：A=0,BW0時(shí)，分式的值等于0。

（3）分式的約分：把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去

叫做分式的約分。方法是把分子、分母因式分解，再約去公因式。

（4）最簡(jiǎn)分式：一個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有公因式時(shí)，叫

做最簡(jiǎn)分式。分式運(yùn)算的最終結(jié)果若是分式，一定要化為最簡(jiǎn)分

式。

（5）通分：把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來(lái)分式相等

的同分母分式的過(guò)程，叫做分式的通分。

（6）最簡(jiǎn)公分母：各分式的分母所有因式的最高次募的積。

（7）有理式：整式和分式統(tǒng)稱有理式。

2、分式的基本性質(zhì)：

（1）4=0衛(wèi)（”是片0的整式）；（2）

BBM

—=■,些是w0的整式）

BB'M

（3）分式的變號(hào)法則：分式的分子，分母與分式本身的符

號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變。

3、分式的運(yùn)算：

（1）力口、減：同分母的分式相加減，分母不變，分子相加

減；異分母的分式相加減，先把它們通分成同分母的分式再相加

減。

（2）乘：先對(duì)各分式的分子、分母因式分解，約分后再分

子乘以分子，分母乘以分母。

（3）除：除以一個(gè)分式等于乘上它的倒數(shù)式。

（4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分別乘方。

五、二次根式

1、二次根式的概念：式子&(a20)叫做二次根式。

(1)最簡(jiǎn)二次根式：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式,

被開方數(shù)中不含能開得盡方的因式的二次根式叫最簡(jiǎn)二次根式。

(2)同類二次根式：化為最簡(jiǎn)二次根式之后，被開方數(shù)相

同的二次根式，叫做同類二次根式。

(3)分母有理化：把分母中的根號(hào)化去叫做分母有理化。

(4)有理化因式：把兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如

果它們的積不含有二次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化

因式(常用的有理化因式有：&與后；a&+c日與

a4b-c4d)

2、二次根式的性質(zhì)：

(1)(V^)2=a(a>0)；(2)=lai=<(；

[-a(a<0)

(3)4ab=4a-4b(aNO,bNO)；(4)

的子(a2(W0)

3、運(yùn)算：

(1)二次根式的加減：將各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后,

合并同類二次根式。

(2)二次根式的乘法：4a-4b=4ab(aNO,bNO)。

(3)二次根式的除法：^=^(a>0,b>0)

二次根式運(yùn)算的最終結(jié)果如果是根式，要化成最簡(jiǎn)二次根式。

例題：

、因式分解:

1、提公因式法：

例1、2Acr(x-y)+6b2(y-x)

分析：先提公因式，后用平方差公式

解：略

［規(guī)律總結(jié)］因式分解本著先提取，后公式等，但應(yīng)把第一個(gè)

因式都分解到不能再分解為止，往往需要對(duì)分解后的每一個(gè)因式

進(jìn)行最后的審查，如果還能分解，應(yīng)繼續(xù)分解。

2、十字相乘法：

例2、(1)--5爐—36；(2)(x+y)2-4(x+y)-12

分析：可看成是/和(x+y)的二次三項(xiàng)式，先用十字相乘法,

初步分解。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］應(yīng)用十字相乘法時(shí)，注意某一項(xiàng)可是單項(xiàng)的一字

母，也可是某個(gè)多項(xiàng)式或整式，有時(shí)還需要連續(xù)用十字相乘法。

3、分組分解法：

例3、X3+2X2-x-2

分析：先分組，第一項(xiàng)和第二項(xiàng)一組，第三、第四項(xiàng)一組，

后提取，再公式。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］對(duì)多項(xiàng)式適當(dāng)分組轉(zhuǎn)化成基本方法因式分組，分

組的目的是為了用提公因式，十字相乘法或公式法解題。

4、求根公式法：

例4^x2+5%+5

解：略

二、式的運(yùn)算

巧用公式

例5、計(jì)算：（1——1）2_（1+1）2

a-ba-b

分析：運(yùn)用平方差公式因式分解，使分式運(yùn)算簡(jiǎn)單化。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］抓住三個(gè)乘法公式的特征，靈活運(yùn)用，特別要掌

握公式的幾種變形，公式的逆用，掌握運(yùn)用公式的技巧，使運(yùn)算

簡(jiǎn)便準(zhǔn)確。

2、化簡(jiǎn)求值：

例6、先化簡(jiǎn)，再求值：5——（3,+5無(wú)2）+（4,之+7盯），其

中x=-1y=1-^2

解：略

［規(guī)律總結(jié)］一定要先化到最簡(jiǎn)再代入求值，注意去括號(hào)的法

則。

3、分式的計(jì)算：

例7、化簡(jiǎn)士3+（*--a-3）

2a—6Q—3

分析：-。-3可看成

ci-3

解：略

［規(guī)律總結(jié)］分式計(jì)算過(guò)程中：（1）除法轉(zhuǎn)化為乘法時(shí)，要

倒轉(zhuǎn)分子、分母；（2）注意負(fù)號(hào)

4、根式計(jì)算

例8、已知最簡(jiǎn)二次根式e江1和是同類二次根式,

求b的值。

分析：根據(jù)同類二次根式定義可得：2b+l=7-b?

解：略

［規(guī)律總結(jié)］二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算是中考必考內(nèi)容，特別是

二次根式的化簡(jiǎn)、求值及性質(zhì)的運(yùn)用是中考的主要考查內(nèi)容。

第三章：方程和方程組

基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：

一、方程有關(guān)概念

1、方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫方

程的解，含有一個(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判斷方程無(wú)解的過(guò)程叫做解方

程。

4、方程的增根：在方程變形時(shí)，產(chǎn)生的不適合原方程的根

叫做原方程的增根。

二、一元方程

1、一元一次方程

（1）一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：ax+b=O（其中x是未知數(shù),

a、b是已知數(shù)，aWO）

（2）一玩一次方程的最簡(jiǎn)形式：ax=b（其中x是未知數(shù)，a、

b是已知數(shù),aWO）

（3）解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、

合并同類項(xiàng)和系數(shù)化為1。

（4）一元一次方程有唯一的一個(gè)解。

2、一元二次方程

（1）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（其中x

是未知數(shù)，a、b、c是已知數(shù)，aWO）

（2）一元二次方程的解法：直接開平方法、配方法、公式

法、因式分解法

（3）一元二次方程解法的選擇順序是：先特殊后一般，如

果沒(méi)有要求，一般不用配方法。

（4）一元二次方程的根的判別式：A=Z?2—4ac

當(dāng)A>0時(shí)o方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△=（）時(shí)o方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)0時(shí)o方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，無(wú)解；

當(dāng)A20時(shí)o方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

（5）一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：

若和12是一元二次方程a%?+，％+c=0的兩個(gè)根，那么：

bc

Xy+/=----，匹?X?——

aa

（6）以兩個(gè)數(shù)再,馬為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）

1

是：x-（x；+x2）x+xYx2=0

三、分式方程

（1）定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

（2）分式方程的解法：

一般解法：去分母法，方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母。

特殊方法：換元法。

（3）檢驗(yàn)方法：一般把求得的未知數(shù)的值代入最簡(jiǎn)公分母,

使最簡(jiǎn)公分母不為0的就是原方程的根；使得最簡(jiǎn)公分母為0的

就是原方程的增根，增根必須舍去，也可以把求得的未知數(shù)的值

代入原方程檢驗(yàn)。

四、方程組

1、方程組的解：方程組中各方程的公共解叫做方程組的解。

2、解方程組：求方程組的解或判斷方程組無(wú)解的過(guò)程叫做

解方程組

3、一次方程組：

（1）二元一次方程組：

一般形式：'（%,。2,仇也不全為°）

a2x+b2y=c2....................

解法：代入消遠(yuǎn)法和加減消元法

解的個(gè)數(shù)：有唯一的解，或無(wú)解，當(dāng)兩個(gè)方程相同時(shí)有無(wú)數(shù)

的解。

（2）三元一次方程組：

解法：代入消元法和加減消元法

4、二元二次方程組：

（1）定義：由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成

的方程組以及由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組叫做二元二次方

程組。

（2）解法：消元，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程，或者降次，轉(zhuǎn)

化為二元一次方程組。

考點(diǎn)與命題趨向分析

例題：

一、一元二次方程的解法

例1、解下列方程：

(1)1(x+3)2=2；(2)2X2+3X=1；(3)

4(x+3)2=25(x—2產(chǎn)

分析：(1)用直接開方法解；(2)用公式法；(3)用因式分

解法

解：略

［規(guī)律總結(jié)］如果一元二次方程形如(龍+加尸=〃(〃20),就可以用

直接開方法來(lái)解；利用公式法可以解任何一個(gè)有解的一元二次方

程，運(yùn)用公式法解一元二次方程時(shí)，一定要把方程化成一般形式。

例2、解下列方程：

(1)/一心―2a+b)=0(x為未矢口數(shù))；(2)

x2+2ax-Sa2=0

分析：(1)先化為一般形式，再用公式法解；(2)直接可以十

字相乘法因式分解后可求解。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］對(duì)于帶字母系數(shù)的方程解法和一般的方程沒(méi)有什么區(qū)

別，在用公式法時(shí)要注意判斷△的正負(fù)。

二、分式方程的解法：

例3、解下列方程：

(2)-^-y=--—1；(2)^1+-^=5

1—xx+1xx+2

分析：(1)用去分母的方法；(2)用換元法

解：略

［規(guī)律總結(jié)］一般的分式方程用去分母法來(lái)解，一些具有特殊關(guān)系

如：有平方關(guān)系，倒數(shù)關(guān)系等的分式方程，可采用換元法來(lái)解。

三、根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系

例4、已知關(guān)于x的方程：+2/?x+夕+3=0有兩個(gè)相等

的實(shí)數(shù)根，求p的值。

分析：由題意可得A=0,把各系數(shù)代入A=0中就可求出p,但要

先化為一般形式。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］對(duì)于根的判別式的三種情況要很熟練，還有要特別留

意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0

例5、已知a、b是方程九2—后％—1=0的兩個(gè)根，求下列各式的

值：

(1)a2+b\(2)-+-

ab

分析：先算出a+b和ab的值，再代入把(1)(2)變形后的式

子就可求出解。

［規(guī)律總結(jié)］此類題目都是先算出兩根之和和兩根之積，再把要求

的式子變形成含有兩根之和和兩根之積的形式，再代入計(jì)算。但

要注意檢驗(yàn)一下方程是否有解。

例6、求作一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別比方程

/—%—5=0的兩個(gè)根小3

分析：先出求原方程的兩根之和匹+%和兩根之積七/再代入求

出(%-3)+(%-2)和(尤i-3)(X2-3)的值，所求的方程也就容易

寫出來(lái)。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］此類題目可以先解出第一方程的兩個(gè)解，但有時(shí)這樣

又太復(fù)雜，用根與系數(shù)的關(guān)系就比較簡(jiǎn)單。

三、方程組

例7、解下列方程組：

［x+y-2z=1

（1）產(chǎn)+3，=3；⑵2-=5

x-2y=5

i［x+y+3z=4

分析：（1）用加減消元法消X較簡(jiǎn)單；（2）應(yīng)該先用加減消元

法消去y,變成二元一次方程組，較易求解。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］加減消元法是最常用的消元方法，消元時(shí)那個(gè)未知數(shù)

的系數(shù)最簡(jiǎn)單就先消那個(gè)未知數(shù)。

例8、解下列方程組：

ri、（x+y=7cf3x2-xy-4y2-3x+4y=0

xy=12+V=25

分析：（1）可用代入消遠(yuǎn)法，也可用根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)求解；

（2）要先把第一個(gè)方程因式分解化成兩個(gè)二元一次方程，再與

第二個(gè)方程分別組成兩個(gè)方程組來(lái)解。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］對(duì)于一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方

程組一般用代入消元法，對(duì)于兩個(gè)二元二次方程組成的方程組，

一定要先把其中一個(gè)方程因式分解化為兩個(gè)一次方程再和第二個(gè)

方程組成兩個(gè)方程組來(lái)求解。

第四章：列方程（組）解應(yīng)用題

知識(shí)點(diǎn):

一、列方程(組)解應(yīng)用題的一般步驟

1、審題：

2、設(shè)未知數(shù)；

3、找出相等關(guān)系，列方程(組)；

4、解方程(組)；

5、檢驗(yàn)，作答；

二、列方程(組)解應(yīng)用題常見類型題及其等量關(guān)系；

1、工程問(wèn)題

(1)基本工作量的關(guān)系：工作量=工作效率X工作時(shí)間

(2)常見的等量關(guān)系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合

作的工作總量

(3)注意：工程問(wèn)題常把總工程看作“1”，水池注水問(wèn)題

屬于工程問(wèn)題

2、行程問(wèn)題

(1)基本量之間的關(guān)系：路程=速度X時(shí)間

(2)常見等量關(guān)系：

相遇問(wèn)題：甲走的路程+乙走的路程=全路程

追及問(wèn)題(設(shè)甲速度快)：

同時(shí)不同地：甲的時(shí)間=乙的時(shí)間；甲走的路程-乙走的路

程=原來(lái)甲、乙相距路程

同地不同時(shí)：甲的時(shí)間=乙的時(shí)間-時(shí)間差；甲的路程=乙的

路程

3、水中航行問(wèn)題：

順流速度=船在靜水中的速度+水流速度；

逆流速度=船在靜水中的速度-水流速度

4、增長(zhǎng)率問(wèn)題：

常見等量關(guān)系：增長(zhǎng)后的量=原來(lái)的量+增長(zhǎng)的量；增長(zhǎng)的量

=原來(lái)的量X(1+增長(zhǎng)率)；

5、數(shù)字問(wèn)題：

基本量之間的關(guān)系：三位數(shù)=個(gè)位上的數(shù)+十位上的數(shù)X10+

百位上的數(shù)X100

三、列方程解應(yīng)用題的常用方法

1、譯式法：就是將題目中的關(guān)鍵性語(yǔ)言或數(shù)量及各數(shù)量間

的關(guān)系譯成代數(shù)式，然后根據(jù)代數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系找出等量關(guān)系。

2、線示法：就是用同一直線上的線段表示應(yīng)用題中的數(shù)量

關(guān)系，然后根據(jù)線段長(zhǎng)度的內(nèi)在聯(lián)系，找出等量關(guān)系。

3、列表法：就是把已知條件和所求的未知量納入表格，從

而找出各種量之間的關(guān)系。

4、圖示法：就是利用圖表示題中的數(shù)量關(guān)系，它可以使量

與量之間的關(guān)系更為直觀，這種方法能幫助我們更好地理解題意。

例題：

例1、甲、乙兩組工人合作完成一項(xiàng)工程，合作5天后,

甲組另有任務(wù)，由乙組再單獨(dú)工作1天就可完成，若單獨(dú)完成這

項(xiàng)工程乙組比甲組多用2天，求甲、乙兩組單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各

需幾天？

分析：設(shè)工作總量為1,設(shè)甲組單獨(dú)完成工程需要x天，則

乙組完成工程需要(x+2)天，等量關(guān)系是甲組5天的工作量+乙組

6天的工作量=工作總量

解：略

例2、某部隊(duì)奉命派甲連跑步前往90千米外的A地，1小時(shí)

45分后，因任務(wù)需要，又增派乙連乘車前往支援，已知乙連比

甲連每小時(shí)快28千米，恰好在全程的工處追上甲連。求乙連的

3

行進(jìn)速度及追上甲連的時(shí)間

分析：設(shè)乙連的速度為V千米/小時(shí)，追上甲連的時(shí)間為t

小時(shí)，則甲連的速度為（V-28）千米/小時(shí)，這時(shí)乙連行了

7

?+-）小時(shí)，其等量關(guān)系為：甲走的路程=乙走的路程=30

4

解：略

例3、某工廠原計(jì)劃在規(guī)定期限內(nèi)生產(chǎn)通訊設(shè)備60臺(tái)支援

抗洪，由于改進(jìn)了操作技術(shù)；每天生產(chǎn)的臺(tái)數(shù)比原計(jì)劃多50%,

結(jié)果提前2天完成任務(wù)，求改進(jìn)操作技術(shù)后每天生產(chǎn)通訊設(shè)備多

少臺(tái)？

分析：設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)通訊設(shè)備x臺(tái)，則改進(jìn)操作技術(shù)后

每天生產(chǎn)x（1+0.5）臺(tái)，等量關(guān)系為：原計(jì)劃所用時(shí)間-改進(jìn)技

術(shù)后所用時(shí)間=2天

解：略

例4、某商廈今年一月份銷售額為60萬(wàn)元，二月份由于種

種原因，經(jīng)營(yíng)不善，銷售額下降10%,以后經(jīng)加強(qiáng)管理，又使月

銷售額上升，到四月份銷售額增加到96萬(wàn)元，求三、四月份平

均每月增長(zhǎng)的百分率是多少？

分析：設(shè)三、四月份平均每月增長(zhǎng)率為x%,二月份的銷售

額為60（1-10%）萬(wàn)元，三月份的銷售額為二月份的（1+x）倍，

四月份的銷售額又是三月份的（l+x）倍，所以四月份的銷售額

為二月份的（l+x）之倍，等量關(guān)系為：四月份銷售額為=96萬(wàn)元。

解：略

例5、一年期定期儲(chǔ)蓄年利率為2.25%,所得利息要交納20%

的利息稅，例如存入一年期100元，到期儲(chǔ)戶納稅后所得到利息

的計(jì)算公式為：

稅后利息=

1OOx2.25%-100x2.25%x20%=100x2.25%（l-20%）

已知某儲(chǔ)戶存下一筆一年期定期儲(chǔ)蓄到期納稅后得到利息是

450元，問(wèn)該儲(chǔ)戶存入了多少本金？

分析：設(shè)存入x元本金，則一年期定期儲(chǔ)蓄到期納稅后利息

為2.25%（1-20%）X元,方程容易得出。

例6、某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天售出20件，每

件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定

采取適當(dāng)?shù)慕档统杀敬胧?，?jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1

元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件。若商場(chǎng)平均每天要盈利1200

元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？

分析：設(shè)每件襯衫應(yīng)該降價(jià)x元，則每件襯衫的利潤(rùn)為

（40-x）元，平均每天的銷售量為（20+2x）件，由關(guān)系式：

總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)X售出商品的叫量，可列出方程

解：略

第五章：不等式及不等式組

知識(shí)點(diǎn)：

一、不等式與不等式的性質(zhì)

1、不等式：表示不等關(guān)系的式子。（表示不等關(guān)系的常用

符號(hào)：關(guān)，<,>）o

2、不等式的性質(zhì)：

（1）不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方

向不改變，如a>b,c為實(shí)數(shù)na+c>b+c

（2）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方

向不變，如a>b,c>0nac>bc。

（3）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方

向改變，如a>b,c<O=>ac<bc.

注：在不等式的兩邊都乘以（或除以）一個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，一定要

養(yǎng)成好的習(xí)慣、就是先確定該數(shù)的數(shù)性（正數(shù)，零，負(fù)數(shù)）再確

定不等號(hào)方向是否改變，不能像應(yīng)用等式的性質(zhì)那樣隨便，以防

出錯(cuò)。

3、任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b的大小關(guān)系（三種）：

（1）a—b>0oa>b

（2）a-b=Ooa=b

（3）a-b<OoaVb

4、（1）a>b>O<t5>>4b

（2）a>b>Oo?2<b2

二、不等式（組）的解、解集、解不等式

1、能使一個(gè)不等式（組）成立的未知數(shù)的一個(gè)值叫做這個(gè)

不等式（組）的一個(gè)解。

不等式的所有解的集合，叫做這個(gè)不等式的解集。

不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分叫做不等式組的解

集。

2.求不等式（組）的解集的過(guò)程叫做解不等式（組）。

三、不等式（組）的類型及解法

1、一元一次不等式：

（1）概念：含有一個(gè)未知數(shù)并且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是一

次的不等式，叫做一元一次不等式。

（2）解法：與解一元一次方程類似，但要特別注意當(dāng)不等

式的兩邊同乘以（或除以）一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)方向要改變。

2、一元一次不等式組:

（1）概念：含有相同未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式所組成

的不等式組，叫做一元一次不等式組。

（2）解法：先求出各不等式的解集，再確定解集的公共部

分。

注：求不等式組的解集一般借助數(shù)軸求解較方便。

例題：

方法1：利用不等式的基本性質(zhì)

1、判斷正誤：

（1）若a>b,c為實(shí)數(shù)，則°°2>丘2；

（2）ac2>be2,則a>b

分析：在（1）中，若C=0,則/2=/2；在中，因

為">"，所以。CWO,否則應(yīng)有0°2=反2故a>b

解：略

［規(guī)律總結(jié)］將不等式正確變形的關(guān)鍵是牢記不等式的三條

基本性質(zhì)，不等式的兩邊都乘以或除以含有字母的式子時(shí)，要對(duì)

字母進(jìn)行討論。

方法2：特殊值法

例2、若a<b<0,那么下列各式成立的是（）

A,-<-B、ab<0C,-<1D.->1

abbb

分析：使用直接解法解答常常費(fèi)時(shí)間，又因?yàn)榇鸢冈谝话闱?/p>

況下成立，當(dāng)然特殊情況也成立，因此采用特殊值法。

解：根據(jù)a<b<0的條件，可取a=—2,b=—1,代入檢驗(yàn),

易知色〉1,所以選D

b

［規(guī)律總結(jié)］此種方法常用于解選擇題，學(xué)生知識(shí)有限，不

能直接解答時(shí)使用特殊值法，既快，又能找到符合條件的答案。

方法3：類比法

例3、解下列一元一次不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)。

X—1X—1

(1)8-2(x+2)<4x-2；(2)1——22—-

23

分析：解一元一次不等式的步驟與解一元一次方程類似，主

要步驟有去分母，去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，把系數(shù)化成1,

需要注意的是，不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等

號(hào)要改變方向。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］解一元一次不等式與解一元一次方程的步驟類

似，但要注意當(dāng)不等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等

號(hào)的方向必須改變，類比法解題，使學(xué)生容易理解新知識(shí)和掌握

新知識(shí)。

方法4：數(shù)形結(jié)合法

2(x+8)<10-4(%-3)

例4、求不等式組：x+16x+7的非負(fù)整數(shù)解

----------------<1

分析：要求一個(gè)不等式組的非負(fù)整數(shù)解，就應(yīng)先求出不等式

組的解集，再?gòu)慕饧姓页銎渲械姆秦?fù)整數(shù)解。

解：略

方法5：逆向思考法

例5^已知關(guān)于x的不等式(。-2)%>10-a的解集是x>3,

求a的值。

分析：因?yàn)殛P(guān)于X的不等式的解集為x>3,與原不等式的

不等號(hào)同向，所以有a-2>0,即原不等式的解集為x〉里二9

〃—2

比*=3解此方程求出a的值。

CL—2

解：略

［規(guī)律總結(jié)］此題先解字母不等式，后著眼已知的解集，探求

成立的條件，此種類型題都采用逆向思考法來(lái)解。

第六章：函數(shù)及其圖像

知識(shí)點(diǎn)：

一、平面直角坐標(biāo)系

1、平面內(nèi)有公共原點(diǎn)且互相垂直的兩條數(shù)軸，構(gòu)成平面直

角坐標(biāo)系。在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)之間建立了一

一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

2、不同位置點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：

(1)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)有如下特征：

點(diǎn)P(x,y)在第一象限ox>0,y>0；

點(diǎn)P(x,y)在第二象限ox<0,y>0；

點(diǎn)P(x,y)在第三象限ox<0,y<0；

點(diǎn)P(x,y)在第四象限ox>0,y<0o

(2)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)有如下特征：

點(diǎn)P(x,y)在x軸上oy為0,x為任意實(shí)數(shù)。

點(diǎn)P(x,y)在y軸上ox為0,y為任意實(shí)數(shù)。

3.點(diǎn)P(x,y)坐標(biāo)的幾何意義：

(1)點(diǎn)P(x,y)到x軸的距離是1y；

(2)點(diǎn)P(x,y)到y(tǒng)袖的距離是1x；

(3)點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離是J二+倒

4.關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：

(1)點(diǎn)P(a,b)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是《(a,-A)；

(2)點(diǎn)P(a,b)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是舄(-a,方)；

(3)點(diǎn)P(a,b)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是片(-a,-b)；

二、函數(shù)的概念

1、常量和變量：在某一變化過(guò)程中可以取不同數(shù)值的量叫

做變量；保持?jǐn)?shù)值不變的量叫做常量。

2、函數(shù)：一般地，設(shè)在某一變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y,

如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)x

是自變量，y是x的函數(shù)。

(1)自變量取值范圍的確是：

①解析式是只含有一個(gè)自變量的整式的函數(shù)，自變量取值范

圍是全體實(shí)數(shù)。

②解析式是只含有一個(gè)自變量的分式的函數(shù)，自變量取值范

圍是使分母不為0的實(shí)數(shù)。

③解析式是只含有一個(gè)自變量的偶次根式的函數(shù)，自變量取

值范圍是使被開方數(shù)非負(fù)的實(shí)數(shù)。

注意：在確定函數(shù)中自變量的取值范圍時(shí)，如果遇到實(shí)際問(wèn)

題，還必須使實(shí)際問(wèn)題有意義。

(2)函數(shù)值：給自變量在取值范圍內(nèi)的一個(gè)值所求得的函

數(shù)的對(duì)應(yīng)值。

（3）函數(shù)的表示方法：①解析法；②列表法；③圖像法

（4）由函數(shù)的解析式作函數(shù)的圖像，一般步驟是：①列表;

②描點(diǎn)；③連線

三、幾種特殊的函數(shù)

1、一次函數(shù)

自變量的

圖像性質(zhì)

取值范圍

全體

實(shí)數(shù)

①

、-

二當(dāng)k>0時(shí)y

隨

x的增大而

增

②

*s

-芻kV0時(shí)y

隨

x的增大而

減

全體

實(shí)數(shù)

直線位置與k,b的關(guān)系：

（1）k>0直線向上的方向與x軸的正方向所形成的夾角為

銳角；

（2）kVO直線向上的方向與x軸的正方向所形成的夾角為

鈍角；

（3）b>0直線與y軸交點(diǎn)在x軸的上方；

（4）b=0直線過(guò)原點(diǎn)；

（5）b<0直線與y軸交點(diǎn)在x軸的下方；

2、二次函數(shù)

自變量的

函數(shù)解析式圖像(拋物線)

取值范圍

.y

(1)一般式:y=K+bx+c

(a#0)

體

(2)a(x-m)2+n全￡

頂點(diǎn)扎尸\

二次

數(shù)

頂點(diǎn)為(m,n)實(shí)

函數(shù)V

(3)72Ta

兩根式:

y=a(x-X])(x-X2)與

X軸兩交點(diǎn)：(X],O)(X2,O)a>0a<0

-y>0-<o

2aa

拋物線位置與a,b,c的關(guān)系:

。>0o開口向上

(1)a決定拋物線的開口方向<

開口向下

(2)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)的位置:

c>0o圖像與y軸交點(diǎn)在x軸上方；c=0o圖像過(guò)原點(diǎn)；

c<0o圖像與y軸交點(diǎn)在x軸下方；

(3)a,b決定拋物線對(duì)稱軸的位置：a,b同號(hào)，對(duì)稱軸在

y軸左側(cè)；b=0,對(duì)稱軸是y軸；a,b異號(hào)。對(duì)稱軸在y軸右

側(cè)；

3、反比例函數(shù):

4、正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的對(duì)照表:

函數(shù)正比例函數(shù)反比例函數(shù)

解析式y(tǒng)-kx(kx。)y=—(A#0)

X

圖像直線，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)雙曲線，與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)

自變量取值范圍全體實(shí)數(shù)的一切實(shí)數(shù)

圖像的位置當(dāng)人>0時(shí)，在一、三象限；當(dāng)4>0時(shí)，在一、三象限；

當(dāng)4<0時(shí)，在二、四象限。當(dāng)A<0時(shí)，在二、四象限。

性質(zhì)當(dāng)A>0時(shí),y隨，增大而增大；當(dāng)A>0時(shí),y隨x增大而減??；

當(dāng)G<0時(shí),y隨x的增大而減小。當(dāng)人<0時(shí)，y隨工增大而增大。

例題：

例1、正比例函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(m,4),

已知點(diǎn)P到x軸的距離是到y(tǒng)軸的距離2倍.

⑴求點(diǎn)P的坐標(biāo).；

⑵求正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式。

分析：由點(diǎn)P到x軸的距離是到y(tǒng)軸的距離2倍可知：

21ml=4,易求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求出這正、反

比例函數(shù)的解析式。

解：略

例2、已知a,b是常數(shù)，且y+b與x+a成正比例.求證：y

是x的一次函數(shù).

分析：應(yīng)寫出y+b與x+a成正比例的表達(dá)式，然后判斷所得

結(jié)果是否符合一次函數(shù)定義.

證明：由已知,有y+b=k(x+a),其中kWO.

整理，得y=kx+(ka—b).①

因?yàn)閗WO且ka—b是常數(shù)，故y=kx+(ka—b)是x的一次函

數(shù)式.

例3、填空：如果直線方程ax+by+c=O中，a<0,b<0且be

<0,則此直線經(jīng)過(guò)第象限.

分析：先把a(bǔ)x+by+c=O化為.因?yàn)閍<0,b<0,所

bb

以色〉0,-@〈o,又bc<o,即￡<o,故一￡>o.相當(dāng)于在一次函

bbbb

數(shù)y=kx+l中，k=——<0,1=-->0,此直線與y軸的交點(diǎn)(0,

bb

—￡)在X軸上方.且此直線的向上方向與X軸正方向所成角是鈍

b

角，所以此直線過(guò)第一、二、四象限.

例4、把反比例函數(shù)y=8與二次函數(shù)y=kx2(k^O)畫在同一

X

個(gè)坐標(biāo)系里，正確的是().

答：選(D).這兩個(gè)函數(shù)式中的k的正、負(fù)號(hào)應(yīng)相同(圖13—110).

圖13-110

例5、畫出二次函數(shù)y=x2-6x+7的圖象，根據(jù)圖象回答下列

問(wèn)題：

(1)當(dāng)x=T,1,3時(shí)y的值是多少？

(2)當(dāng)y=2時(shí)，對(duì)應(yīng)的x值是多少？

(3)當(dāng)x>3時(shí)，隨x值的增大y的值怎樣變化？

(4)當(dāng)x的值由3增加1時(shí)，對(duì)應(yīng)的y值增加多少？

分析：要畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象，首先用配方法把y=x?-

6x+7變形為y=（x-3）2-2,確定拋物線的開口方向、對(duì)稱軸、

頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后列表、描點(diǎn)、畫圖.

解：圖象略.

例6、拖拉機(jī)開始工作時(shí)，油箱有油45升，如果每小時(shí)耗

油6升.

（1）求油箱中的余油量Q（升）與工作時(shí)間t（時(shí)）之間的

函數(shù)關(guān)系式；

（2）畫出函數(shù)的圖象.

答:（1）Q=45-6t.

（2）圖象略.注意：這是實(shí)際問(wèn)題，圖象只能由自變量t

的取值范圍0WtW7.5決定是一條線段，而不是直線.

第七章：統(tǒng)計(jì)初步

知識(shí)點(diǎn)：

一、總體和樣本：

在統(tǒng)計(jì)時(shí)，我們把所要考察的對(duì)象的全體叫做總體，其中每

一考察對(duì)象叫做個(gè)體。從總體中抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一

個(gè)樣本，樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量。

二、反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的特征數(shù)

1、平均數(shù)

-I

（1）玉,尤2，無(wú)3,…，尤”的平均數(shù)，X=—（%1+々+…+X”）

n

（2）加權(quán)平均數(shù)：如果n個(gè)數(shù)據(jù)中，引出現(xiàn)力次，馬出現(xiàn)

人次，...，隊(duì)出現(xiàn)九次（這里工+力+…+九=〃），則

—1

x=一（X力+xf+---+xf）

n22kk

（3）平均數(shù)的簡(jiǎn)化計(jì)算:

當(dāng)一組數(shù)據(jù)西，尤2，/，…,與中各數(shù)據(jù)的數(shù)值較大，并且都與

常數(shù)a接近時(shí),設(shè)玉-a,%-居-a的平均數(shù)為x'則:

x=x'+ao

2、中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)接從小到大的順序排列，處在最中

間位置上的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)

中位數(shù)就是處在中間位置上兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

3、眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)

據(jù)的眾數(shù)。一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能不止一個(gè)。

三、反映數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的特征數(shù)：

1、方差：

（1）下,電，/，…，居的方差，

2（王一工）？+（X。-X）2H---1-（X-X）~

3C=------------------------n-----

n

222_

（2）簡(jiǎn)化計(jì)算公式：s2=%12-x2

n

（國(guó),巧,龍3,…,為為較小的整數(shù)時(shí)用這個(gè)公式要比較方便）

（3）記尤］，龍2,無(wú)3,…，龍"的方差為力，設(shè)a為常數(shù),

=

龍］—a,尤2—a,尤3—a,—,xn—a的差為S~；貝?。軸~S'~。

注：當(dāng)玉,巧，與，…,居各數(shù)據(jù)較大而常數(shù)a較接近時(shí)，用該

法計(jì)算方差較簡(jiǎn)便。

2、標(biāo)準(zhǔn)差：方差（S?）的算術(shù)平方根叫做標(biāo)準(zhǔn)差（S）。

注：通常由方差求標(biāo)準(zhǔn)差。

四、頻率分布

1、有關(guān)概念

（1）分組：將一組數(shù)據(jù)按照統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)分成若干組稱為分

組，當(dāng)數(shù)據(jù)在100個(gè)以內(nèi)時(shí)，通常分成5—12組。

（2）頻數(shù)：每個(gè)小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫做該組的頻數(shù)。各

個(gè)小組的頻數(shù)之和等于數(shù)據(jù)總數(shù)no

（3）頻率：每個(gè)小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)n的比值叫做這一

小組的頻率，各小組頻率之和為1。

（4）頻率分布表：將一組數(shù)據(jù)的分組及各組相應(yīng)的頻數(shù)、

頻率所列成的表格叫做頻率分布表。

（5）頻率分布直方圖：將頻率分布表中的結(jié)果，繪制成的,

以數(shù)據(jù)的各分點(diǎn)為橫坐標(biāo)，以頻率除以組距為縱坐標(biāo)的直方圖，

叫做頻率分布直方圖。

圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的高等于該組的頻率除以組距。

每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于該組的頻率。

所有小長(zhǎng)方形的面積之和等于各組頻率之和等于lo

樣本的頻率分布反映樣本中各數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)分別占樣本容量n

的比例的大小，總體分布反映總體中各組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)分別在總體

中所占比例的大小，一般是用樣本的頻率分布去估計(jì)總體的頻率

分布。

2、研究頻率分布的方法；得到一數(shù)據(jù)的頻率分布和方法，

通常是先整理數(shù)據(jù)，后畫出頻率分布直方圖，其步驟是：

（1）計(jì)算最大值與最小值的差；（2）決定組距與組數(shù)；

（3）決定分點(diǎn)；（4）列領(lǐng)率分布表；（5）繪頻率分布直方圖。

例題：

例1、某養(yǎng)魚戶搞池塘養(yǎng)魚，放養(yǎng)鰭魚苗20000尾，其成活

率為70%,隨意撈出10尾魚，稱得每尾的重量如下（單位：千

克）0.8、0.9、1.2、1.3、0.8、1.1、1.0、1.2、0.8、

0.9

根據(jù)樣本平均數(shù)估計(jì)這塘魚的總產(chǎn)量是多少千克？

分析：先算出樣本的平均數(shù)，以樣本平均數(shù)乘以20000,再

乘以70%o

解：略

［規(guī)律總結(jié)］求平均數(shù)有三種方法，即當(dāng)所給數(shù)據(jù)比較分散

時(shí)，一般用平均數(shù)的概念來(lái)求；著所給數(shù)據(jù)較大且都在某一數(shù)a

上下波動(dòng)時(shí)，通常采用簡(jiǎn)化公式；若所給教據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，通常

采用加權(quán)平均數(shù)公式來(lái)計(jì)算。

例2、一次科技知識(shí)競(jìng)賽，兩次學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下

分?jǐn)?shù)5060708090100

甲組人數(shù)251013146

乙組人數(shù)441621212

已經(jīng)算得兩個(gè)組的人均分都是80分，請(qǐng)根據(jù)你所學(xué)過(guò)的統(tǒng)

計(jì)知識(shí)進(jìn)一步判斷這兩個(gè)組成績(jī)誰(shuí)優(yōu)誰(shuí)次，并說(shuō)明理由

解：（1）甲組成績(jī)的眾數(shù)90分，乙組成績(jī)的眾數(shù)為70分,

從眾數(shù)比較看，甲組成績(jī)好些。

（2）算得S甲2=172,S乙2=256

所以甲組成績(jī)較乙組波動(dòng)要小。

（3）甲、乙兩組成績(jī)的中位數(shù)都是80分，甲組成績(jī)?cè)谥形?/p>

數(shù)以上的有33人，乙組成績(jī)?cè)谥形粩?shù)以上的有26人，從這一角

度看甲組的成績(jī)總體要好。

（4）從成績(jī)統(tǒng)計(jì)表看，甲組成績(jī)高于80分的人數(shù)為20人,

乙組成績(jī)高于80分的人數(shù)為24人，所以，乙組成績(jī)集中在高分

段的人數(shù)多，同時(shí)，乙組得滿分的人數(shù)比甲組得滿分的人數(shù)多6

人，從這一角度看，乙組的成績(jī)較好。

［規(guī)律總結(jié)］明確方差或標(biāo)準(zhǔn)差是衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)的大

小的，恰當(dāng)選用方差的三個(gè)計(jì)算公式，應(yīng)抓住三個(gè)公式的特征，

根據(jù)題中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)選用計(jì)算公式。

例3、到從某學(xué)校3600人中抽出50名男生，取得他們的身

高（單位cm）,數(shù)據(jù)如下：181181179177177177

176175175175175174174174174173173173173

172172172172172171171171170170169

1691681