數學素材：第二章函數

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精教材習題點撥思考與交流1．答：在某個問題中，若存在兩個變量，其中一個變量發(fā)生變化時,就會引起另一個變量的變化，我們把兩個變量之間的這種相互依賴、相互對應的關系，稱為函數關系．2．答：一般地，在某一變化中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說x是自變量，y是x的函數．例如：路程問題s＝60t中，有兩個變量s和t，當t變化時，s隨之發(fā)生變化，并且對于t在其取值范圍內的每一個值，s都有唯一確定的值與之對應．我們就稱t是自變量，s是t的函數．3．解：例如：在圖(2)(3）（5）中，對于集合A中的每個元素，在集合B中都有唯一的元素與之對應，這樣的對應叫做從集合A到集合B的映射．其中，圖(3)中，對于集合B的每一個元素在集合A中也是都有唯一的元素與之對應，這種從集合A到集合B的映射叫做A到B的一一映射．在圖（1）中，集合A中的元素0和5在集合B中沒有元素與之對應，因此,它不是從A到B的映射．在圖（4)中，集合A中的元素30°在B中有兩個元素eq\f（\r(3），2）和eq\f（\r（2），2）與之對應，因此,它不是從A到B的映射．4．答：函數有三種表示法——解析法、列表法、圖象法．圖象法的優(yōu)點:圖象法形象直觀,通過函數的圖象，可以直接、形象地把函數關系表示出來，能夠直觀地研究函數的一些性質,例如函數有沒有最大值（或最小值)？最大(小)值是多少？函數值是隨自變量增大而增大,還是隨自變量的增大而減小等等，函數圖象是研究函數性質的有力工具．數形結合的意義:數形結合是為了發(fā)揮形的生動和直觀，發(fā)揮數的思路規(guī)范、簡明的優(yōu)點,把數量關系的精確刻畫與幾何圖形的形象直觀有機地結合起來,從而充分展現出問題的條件與條件、條件與結論之間的內在聯系,使問題化難為易，化繁為簡．5．答：判定一個函數是增函數還是減函數，一般地按照以下四個步驟進行：第一步：取值，即設x1、x2是該區(qū)間內的任意兩個值，且x1＜x2,則Δx＝x2－x1＞0。第二步：作差變形，即作差Δy＝f(x2）－f（x1),并通過因式分解、配方、有理化等方式，向有利于判斷差的符號的方向變形．第三步:定號，確定Δy的符號，當符號不確定時，應當進行分類討論．第四步：判斷，根據定義作出結論．一般地,對于給定區(qū)間上的函數f(x）．(1）如果對于屬于這個區(qū)間的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1＜x2時,都有f（x1）＜f（x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是增函數．（2）如果對于屬于這個區(qū)間的任意兩個自變量的值x1、x2,當x1＜x2時,都有f（x1）＞f（x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上為減函數．6．解:一次函數y＝kx＋b(k≠0)中，平均變化率eq\f（Δy,Δx）＝eq\f(y2－y1,x2－x1）＝k（x1≠x2），圖象略．7．答:判斷一個函數是奇函數還是偶函數，常分為以下兩個步驟進行:第一步:首先求出函數的定義域，判斷定義域是否關于原點對稱．第二步：對于定義域內的任意一個x,判斷f（－x)與±f(x）的關系，當f（－x）＝f(x)時,f(x）是偶函數；當f（－x)＝－f（x）時，f(x）是奇函數．8．答：學習函數零點的意義是使函數與方程產生聯系，函數的圖象與x軸的交點的橫坐標就是方程f（x)＝0的根．函數與方程密切相關，對于函數y＝f（x)，當y＝0時，就轉化為方程f（x)＝0，也可以把函數式y(tǒng)＝f(x)看做二元方程y－f（x）＝0，函數與方程這種相互轉化的關系十分重要．9．解:二次函數的圖象和性質見下表：函數二次函數y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常數，a≠0）圖象a＞0a＜0性質(1）當a＞0時，拋物線開口向上，并向上無限延伸（1）當a＜0時，拋物線開口向下，并向下無限延伸（2)對稱軸是x＝－eq\f(b，2a)，頂點坐標是eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（b，2a)，\f(4ac－b2，4a)）)（3）在區(qū)間(－∞，－eq\f(b,2a))上是減函數，在區(qū)間eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(b，2a)，＋∞）)上是增函數（3）在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1（－∞，－\f(b,2a）））上是增函數，在區(qū)間eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(b，2a)，＋∞）)上是減函數(4)拋物線有最低點，當x＝－eq\f(b，2a)時，y有最小值,ymin＝eq\f（4ac－b2，4a)（4）拋物線有最高點，當x＝－eq\f(b，2a)時，y有最大值，ymax＝eq\f（4ac－b2,4a）配方法在本章的應用主要是求拋物線的頂點坐標和對稱軸．例如：將拋物線y＝3x2－6x＋5怎樣平移，所得到的拋物線是y＝3x2的圖象．解：∵y＝3x2－6x＋5＝3（x－1）2＋2，∴拋物線y＝3x2－6x＋5的頂點坐標為(1,2）．∵拋物線y＝3x2的頂點是(0,0),∴應將y＝3x2－6x＋5的圖象向左平移1個單位，再向下平移2個單位，即得y＝3x2的圖象．10．答：待定系數法能夠開門見山，直奔主題，使我們明確解題目標，使問題迅速獲得解決．例如：已知一次函數的圖象經過(－4，15）,(6，－5）兩點,求該一次函數的解析式．分析：先設一次函數的解析式為y＝kx＋b,因為它的圖象經過（－4，15），(6，－5)兩點，從而得到關于k、b的方程組，解方程組可求出待定系數k和b，再代回原設即可．解：設此一次函數的解析式為y＝kx＋b.①將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，，y＝15）)和eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝6，，y＝－5）)代入①，得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(15＝－4k＋b，,－5＝6k＋b,））解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(k＝－2，，b＝7。））∴該一次函數的解析式為y＝－2x＋7.11．答：例如：國內投遞信函（外埠)，郵資按下列規(guī)則計算：(1)信函質量不超過100g時,每20g付郵資80分，即信函質量不超過20g付郵資80分，信函質量超過20g，但不超過40g付郵資160分,依次類推；(2）信函質量大于100g時，每100g付郵資200分，即信函質量超過100g，但不超過200g付郵資(A＋200）分(A為質量等于100g的信函的郵資)，信函質量超過200g，但不超過300g付郵資(A＋400)分,依次類推：設一封xg（0＜x≤200)的信函應付的郵資為y（單位：分)，試寫出以x為自變量的函數y的解析式．解：這個函數的定義域是0＜x≤200，函數解析式為鞏固與提高1．解：(1）不是．因為集合A中的元素c在集合B中沒有對應元素．（2）是．(3）不是．因為集合A中的元素a在集合B中的對應元素不唯一，且A中的元素b在集合B中沒有對應元素．（4)是．評注:判斷對應關系是否是映射關系，必須注意：（1)A中無剩余的元素；（2）其對應關系可以是一對一，也可以是多對一，但絕對不可一對多．2．解：圖（1)(2)中的每個x的值都有唯一的y的值與之對應,因此，圖（1)(2）中y是x的函數．圖（3)(4)不符合函數的定義，因此y不是x的函數．評注：檢查一個圖象是不是函數的圖象，可以拿一條與x軸垂直的直線來檢驗，在移動時，交點個數不超過一個，則該圖象便是某個函數的圖象．3．解：從左至右，設第一條線段所在的直線的方程為y＝kx＋b。將點（－3，0），(0，2）的坐標代入，得eq\b\lc\｛\rc\(\A\vs4\Al\co1（0＝－3k＋b，,2＝0＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\（\A\vs4\Al\co1(k＝\f（2,3)，,b＝2,)）∴y＝eq\f（2,3）x＋2.同理可求得其余各條線段所在的直線的方程分別為y＝－x＋2，y＝2x－4，y＝－2x＋8.∵函數f(x)的圖象由四條線段組成，∴f（x)＝eq\b\lc\{\rc\（\A\vs4\Al\co1(\f(2，3）x＋2－3≤x<0,,－x＋20≤x<2，,2x－42≤x〈3，,－2x＋83≤x≤4。))(1）f(1)＝－1＋2＝1；(2)f(0）＝0＋2＝2；(3)f(－2）＝eq\f（2,3)×（－2)＋2＝eq\f(2，3)；(4）f(0。5)＝－0。5＋2＝1.5；(5)f(－0.5)＝eq\f(2，3）×(－0.5）＋2＝eq\f（5，3)；(6)f（3.2)＝－2×3.2＋8＝1.6；（7)由題目給出的圖形可知,f(x)的定義域為［－3，4］;(8）由題目給出的圖形可知，f（0）＝2，f(3）＝2，這兩個函數值相等且最大,∴f(x）的值域為[0，2]．4．解：（1）f(2）＝3×22－5×2＋2＝4,f(a)＝3a2－5a＋2.(2）g(－3)＝－2×（－3）3＋5×(－3)2－3×（－3)＋2＝110，g（b)＝－2b3＋5b2－3b＋2.（3)h（8）＝eq\f(|4－8｜,82）＝eq\f(1，16)，h（a）＝eq\f（｜4－A|,A2)。(4）r(3）＝eq\f（1，3)＋eq\r（3,3＋5）＝eq\f（7，3)，r（－6）＝eq\f(1,－6）＋eq\r(3，－6＋5）＝－eq\f(7，6)。5．解：（1)由x2＋y＝0知，每個x都可確定唯一的y的值,因此y＝－x2表示以x為自變量的函數；(2)由y2－x＝0得y＝±eq\r(x),即每個x都有兩個y值相對應，因此y2＝x不能表示以x為自變量的函數；(3）由x＝5知,x只能取一個數5,y有無數個數與之對應，因此x＝5不能表示以x為自變量的函數；（4）由y＝3知，無論x取何實數，都有唯一的一個y的值3與之對應，因此，y＝3可以表示成以x為自變量的函數．6．解：(1)由3－2x≥0，得2x≤3，即x≤eq\f(3,2），所以y＝eq\r(3－2x)＋3的定義域為eq\b\lc\（\rc\］（\A\vs4\Al\co1（－∞，\f(3,2）))；（2)由y＝x（x－1)是二次函數知,定義域為R；(3）由題意知，eq\f(3,x－1)＞0，即x＞1，定義域為(1，＋∞)；(4）由題意得eq\b\lc\{\rc\（\A\vs4\Al\co1（x＋5≥0,，x－3≠0，））解得x≥－5，且x≠3，∴y＝eq\f(\r（x＋5),x－3)的定義域為［－5，3）∪(3,＋∞)．7．解：(1）如圖（1）．（2)y＝eq\r(x2)＝｜x｜＝eq\b\lc\{\rc\(\A\vs4\Al\co1(xx≥0，,－xx<0，)）如圖（2)．(3)y＝|x｜＋3＝eq\b\lc\｛\rc\（\A\vs4\Al\co1(x＋3x≥0，,－x＋3x<0，）)如圖（3)．（4）y＝|x＋3｜＝eq\b\lc\｛\rc\（\A\vs4\Al\co1(x＋3x≥－3，，－x－3x〈－3，))如圖(4)．8．解：函數的圖象如圖．f(－3）＝2,f(2）＝－2，f(－1)＝0，f（1）＝0,f(100)＝－2.9．解：設這個一次函數為y＝kx＋b（k≠0)．將A(－3，－1），B（1,1）的坐標代入,得eq\b\lc\{\rc\(\A\vs4\Al\co1(－1＝－3k＋b,,1＝k＋b，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\A\vs4\Al\co1（k＝\f（1,2)，,b＝\f（1,2),））∴y＝eq\f（1,2)x＋eq\f（1,2）。10．解:∵a＝9＞0,∴y＝9x2－6x＋6的開口方向向上，在頂點處取得最小值，ymin＝eq\f（4ac－b2，4a)＝eq\f(4×9×6－－62,4×9)＝5.11．解：∵a＝－4＜0,∴y＝－4x2＋28x＋1的開口方向向下，在頂點處取得最大值，ymax＝eq\f(4ac－b2，4a）＝eq\f（4×－4×1－282,4×－4）＝50.12．解：∵a＝－1＜0,∴y＝－x2＋2x＋3開口方向向下,對稱軸為x＝－eq\f(b，2a)＝－eq\f(2，2×－1)＝1，即x＝1為對稱軸方程．∴當x∈(－∞，1］時，函數單調遞增；當x∈［1，＋∞）時，函數單調遞減．13．解:令y＝x2＋2x－3＝0，得x1＝1，x2＝－3，∴零點為－3，1.由y＝x2＋2x－3＝（x＋1）2－4，得頂點坐標為（－1，－4）．14．解:∵二次函數y＝x2＋kx－(k－8)與x軸至多有一個交點，∴關于x的一元二次方程x2＋kx－（k－8)＝0至多有一個實根，則Δ＝k2＋4（k－8)≤0，即－8≤k≤4.∴k的取值范圍為［－8，4]．15．解：設所求函數為f（x)＝ax2＋bx＋c（a≠0)，其中a、b、c待定，根據已知條件,得方程組eq\b\lc\｛\rc\（\A\vs4\Al\co1(4a＋2b＋c＝0，,25a－5b＋c＝0，,0＋0＋c＝1，））解此方程組得eq\b\lc\{\rc\（\A\vs4\Al\co1(a＝－\f（1，10)，,b＝－\f(3,10)，，c＝1。）)因此，所求的函數為f（x）＝－eq\f(1，10)x2－eq\f(3,10)x＋1.16．(1)奇函數．（2）既不是奇函數，也不是偶函數．(3)偶函數．（4）奇函數．17．解:設x∈（－∞，0),則－x∈(0，＋∞)．∵x∈[0，＋∞)時,f（x)＝x（1＋eq\r（3，x）），∴f（－x）＝（－x)（1＋eq\r（3，－x))＝－x(1－eq\r（3，x)）．∵f（x)為奇函數，∴f(x)＝－f（－x）＝x(1－eq\r（3，x）），即x∈(－∞，0）時，f(x)＝x(1－eq\r（3，x））．18．證明：(1)函數的定義域為A＝（－∞，－1）∪（－1，1)∪（1，＋∞)．∵x∈A時，－x∈A，f（－x)＝eq\f(1＋－x2,1－－x2)＝eq\f（1＋x2,1－x2）＝f(x)，∴f(x）是偶函數．（2)feq\b\lc\（\rc\）（\A\vs4\Al\co1(\f（1,x））)＝eq\f（1＋\b\lc\（\rc\）(\A\vs4\Al\co1（\f(1,x)））2，1－\b\lc\(\rc\)(\A\vs4\Al\co1（\f(1,x）))2）＝eq\f(x2＋1,x2－1)＝－eq\f（1＋x2，1－x2）＝－f(x)．19．解：從集合A到集合B的映射有8種,如圖．20．解:(1）設x1、x2是[－3，＋∞）上的任意兩個不相等的實數，且x1＜x2，則Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f（x2）－f（x1）＝xeq\o\Al（2，2）＋6x2－xeq\o\Al（2,1)－6x1＝（x2－x1）(x1＋x2＋6）＝Δx（x1＋x2＋6)，∵Δx＞0,x1≥－3，x2＞－3，∴x1＋x2＞－6，∴x1＋x2＋6＞0,∴Δy＞0?！鄖＝x2＋6x在[－3，＋∞)上是增函數．(2)設x1，x2是(0,＋∞)上的任意兩個不相等的實數，且x1＜x2，則Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f（x2）－f（x1)＝eq\f（1，x\o\Al(2,2)）－eq\f(1，x\o\Al(2，1)）＝eq\f(－Δxx1＋x2,x\o\Al(2，1）x\o\Al（2，2))，∵Δx＞0，x1＞0，x2＞0，x1＋x2＞0，xeq\o\Al（2,1)xeq\o\Al(2,2）＞0,∴Δy＜0，∴y＝eq\f(1,x2)在（0,＋∞)上是減函數．21．解：這個函數具有下列性質:①定義域為R；②值域為［0,＋∞）；③在［－1，0]和[1，＋∞）上是增函數，在（－∞,－1]和［0,1］上是減函數；④是偶函數．如圖．22．解:由于f(0)＝－3＜0，f(2)＝5＞0，可取區(qū)間［0,2］作為計算的初始區(qū)間，用二分法逐步計算，列表如下:端點(中點)坐標計算中點的函數值取區(qū)間［0，2]x1＝1f（x1）＝－2＜0[1，2］x2＝1.5f（x2)＝0.375＞0[1,1。5］x3＝1。25f（x3）＝－1.047＜0［1。25，1。5］x4＝1。375f（x4）＝－0.4＜0［1.375,1。5］x5＝1.4375f（x5)＝－0.03＜0[1。4375,1.5]x6＝1.46875f(x6）＝0.168＞0[1。4375,1.46875]x7＝1。453125f(x7)＝0。068＞0[1。4375,1.453125］x8＝1.4453125f(x8)＝0.019＞0［1。4375，1。4453125］x9＝1.44140625f(x9)＝－0。005＜0[1。44140625，1。4453125]x10＝1。443359375f(x10)＝0.007＞0［1。44140625,1。443359375］由上表計算可知，區(qū)間［1。44140625,1。443359375］的區(qū)間長度小于0。002,所以1.442可作為所求函數的一個正零點的近似值．23．解法1：x3＋2x2－5x－6＝(x＋a)·(x＋b）（x＋c)＝x3＋(a＋b＋c）x2＋(ab＋ac＋bc)x＋abc。由對應項系數相等可得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＋b＋c＝2，，ab＋ac＋bc＝－5,,abc＝－6,））解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝3,,b＝1，，c＝－2;))或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝3，，b＝－2，，c＝1；)）或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝1，,b＝3，,c＝－2；))或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝1，,b＝－2,，c＝3；))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝1，,c＝3；）)或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝－2，，b＝3，，c＝1。）)解法2：x3＋2x2－5x－6＝x3＋x2＋x2－5x－6＝x2（x＋1）＋（x－6）（x＋1）＝（x＋1）(x2＋x－6)＝(x＋1）（x＋3)（x－2)．∵x3＋2x2－5x－6＝(x＋a）（x＋b）（x＋c），∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，，b＝1，,c＝－2;)）或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3,,b＝－2，，c＝1；))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，，b＝3，,c＝－2;）)或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝1,,b＝－2，,c＝3；））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝－2，，b＝1，，c＝3；））或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝－2，，b＝3，，c＝1.）)24．解：設弧長為l，則l＋2r＝20,∴l(xiāng)＝20－2r.∴S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f（1，2）（20－2r）r＝－r2＋10r?！遝q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(20－2r〉0，,r〉0，))∴0＜r＜10.∴S＝f(r)＝－r2＋10r，r∈(0,10）．∵S＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25，∴Smax＝25（cm2）．自測與評估1．（1）B(2)A（3）B(4）C(5）A解析:（1)∵f(－x）＝－f（x），∴f(－1）＝－f（1）＝－(－2)＝2。∵2＞1,∴f（－1）＞f（3），∴選B。（2）y＝x2－2x＋5＝(x－1）2＋4≥4.∴值域為[4，＋∞），∴選A.(3)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－\f(b,2a)＝1,，a－b＋1＝7。))解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－4。）)∴選B。(4）由題意知,對稱軸是x＝－1，即－eq\f(m,2×5)＝－1.解得m＝10，∴選C.(5)∵二次函數y＝x2＋mx＋（m＋3）有兩個不同的零點,∴方程x2＋mx＋（m＋3)＝0有兩個不同的實根．∴Δ＝m2－4（m＋3)＞0，解得m＜－2或m＞6，∴選