5.2.1三角函數(shù)的概念第1課時(shí) 課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

5.2.1三角函數(shù)的概念（第一課時(shí)）第五章三角函數(shù)logo01知識(shí)回顧函數(shù)的概念：

設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)記作：y=f(x)x∈A．高中函數(shù)的概念是什么？任意唯一確定02新知探索函數(shù)是刻畫(huà)客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要語(yǔ)言和工具.在現(xiàn)實(shí)生活中有這樣一類現(xiàn)象，晝夜更替、月亮圓缺、潮汐變化、四季輪回、鐘擺、摩天輪等，這類現(xiàn)象有什么樣的共同特點(diǎn)？一、情境引入2024年5月3日，嫦娥六號(hào)成功發(fā)射，它是中國(guó)嫦娥探月計(jì)劃第六個(gè)探測(cè)器.月球作為地球的衛(wèi)星，它不僅見(jiàn)證了地球的歷史，對(duì)地球的穩(wěn)定、氣候、生物圈等方面有著重要的意義.在日常生活中，每個(gè)月都可以看到月亮圓缺的變化.我們已學(xué)過(guò)的函數(shù)模型能否刻畫(huà)這種現(xiàn)象呢？這是一幅月相圖，月亮在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，它的位置變化可以用什么來(lái)刻畫(huà)？假設(shè)月亮繞地球旋轉(zhuǎn)的軌跡是個(gè)圓，地球在圓心O處，月亮的位置記為P，它到地球的距離為單位1，則點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，能否建立一個(gè)函數(shù)模型，刻畫(huà)點(diǎn)P的位置變化情況？如圖，以單位圓的圓心O為原點(diǎn)，以射線OA為x軸的非負(fù)半軸，建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，射線OA從x軸非負(fù)半軸開(kāi)始，繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，終止位置為OP．二、構(gòu)建模型【探究1】當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)又是什么？給定一個(gè)角

，它的終邊OP與單位圓的交點(diǎn)P的坐標(biāo)是唯一確定的嗎？

利用勾股定理可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是；當(dāng)或

時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)分別是和，它們都是唯一確定的(如圖).

【探究2】任意給定一個(gè)角

，觀察它的終邊OP與單位圓的交點(diǎn)P的坐標(biāo)，你有什么發(fā)現(xiàn)？【探究3】你認(rèn)為點(diǎn)

P

的坐標(biāo)

是角

的函數(shù)嗎?如果是,你能用集合與對(duì)應(yīng)語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)這種函數(shù)關(guān)系嗎？

f:實(shí)數(shù)(弧度)對(duì)應(yīng)于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)yA集合B集合

自變量函數(shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系

【結(jié)論】一般地，任意給定一個(gè)角，它的終邊OP與單位圓的交點(diǎn)P的坐標(biāo)，無(wú)論是橫坐標(biāo)x還是縱坐標(biāo)y，都是唯一確定的.所以，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y都是角

的函數(shù)．下面給出這些函數(shù)的定義．

設(shè)α是一個(gè)任意角，，它的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)(1)把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù)，記作sinα，即y=sinα；(2)把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù)，記作cosα，即x=cosα；(3)把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)的比值叫做α的

,記作,即(x≠0).三、生成概念設(shè)

是一個(gè)任意角，，它的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)，可以看出，當(dāng)時(shí)，α的終邊始終在y軸上，這時(shí)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)x等于0，所以

無(wú)意義.除此之外，正切tanα與實(shí)數(shù)α是一一對(duì)應(yīng)的，所以它們之間也是函數(shù)關(guān)系，稱為正切函數(shù)．

角確定→角的終邊唯一確定→角的終邊與單位圓的交點(diǎn)確定→角的三角函數(shù)值（正弦值、余弦值、正切值）確定，所以角的三角函數(shù)值是關(guān)于角的函數(shù)，通常我們把自變量角記為x，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值記為y．

我們把正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常把它們記為：正弦函數(shù)：y=sinx，

x∈R；余弦函數(shù)：y=cosx，

x∈R；正切函數(shù)：y=tanx，

．OxyP(x，y)α1M利用銳角三角函數(shù)概念可得：與按本節(jié)三角函數(shù)定義求得的結(jié)論是相同的．【探究4】在初中我們學(xué)了銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，設(shè)，把按銳角三角函數(shù)的定義求得的銳角x的正弦值記為z1，并把按本節(jié)三角函數(shù)定義求得的x的正弦值記為y1，那么z1與y1相等嗎？對(duì)于余弦、正切也有相同的結(jié)論嗎？【例1】求的正弦、余弦和正切值．Oxy1M【解析】在坐標(biāo)系中作出∠AOB=，易知:∠AOB的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以如何求

角的三角函數(shù)值?借助解直角三角形求得

終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)，再通過(guò)三角函數(shù)的定義求出

的三角函數(shù)值．四、應(yīng)用新知【例2】如圖，設(shè)

是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P(不與原點(diǎn)O重合)的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為r．求證：【解析】設(shè)

的終邊與單位圓交于點(diǎn)P0(x0，y0)，分別過(guò)點(diǎn)P，P0作x軸的垂線PM，P0M0，垂足分別為M，M0，則:|P0M0|＝|y0|，|PM|＝|y|，|OM0|＝|x0|，|OM|＝|x|，ΔOMP∽ΔOM0P0思考：根據(jù)例2，若已知點(diǎn)P為角

終邊上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，那么

的各個(gè)三角函數(shù)值是否可以確定？故只要知道角

終邊上任意一點(diǎn)，那么就可以求得角

的各個(gè)三角函數(shù)值，顯然任意角

的三角函數(shù)值僅與有關(guān)，而與點(diǎn)P在角的終邊上的位置無(wú)關(guān).03拓展提升三角學(xué)與天文學(xué)雷格蒙塔努斯，最早將三角學(xué)從天文學(xué)中獨(dú)立出來(lái)的數(shù)學(xué)家，著作《論各種三角形》.2卷平面三角形，明確使用正弦定理.3卷球面三角形，給出球面三角形的正弦定理和余弦定理.為三角學(xué)在平面、球面幾何中的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ).對(duì)16世紀(jì)的數(shù)學(xué)家產(chǎn)生了極大影響.哥白尼的學(xué)生雷提庫(kù)斯將傳統(tǒng)的弧與弦的關(guān)系改進(jìn)為三角函數(shù)的關(guān)系，把三角函數(shù)定義為直角三角形的邊的比，使平面三角從球面三角中獨(dú)立出來(lái)，定義了正弦、余弦、正切、余切、正割，余割六個(gè)三角函數(shù).大大推動(dòng)了三角學(xué)的發(fā)展.韋達(dá)將平面三角形和斜三角形的公式匯集在一起，補(bǔ)充了自己發(fā)現(xiàn)的正切公式，和差化積公式，將斜三角形中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問(wèn)題，平面三角形與球面三角系統(tǒng)轉(zhuǎn)化工作，使三角學(xué)得到進(jìn)一步發(fā)展.04歸納總結(jié)1、單位圓：以單位長(zhǎng)度為半徑的圓.2、任意角的三角函數(shù)概念3、思想方法：數(shù)形結(jié)合思想若點(diǎn)P為角