3.4.3 用向量方法研究立體幾何中的度量關(guān)系課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

第三章空間向量與立體幾何4.3用空間向量研究夾角問題

一般地，兩條異面直線所成的角，可以轉(zhuǎn)化為兩條異面直線的方向向量的夾角來求得.也就是說，若異面直線l1,l2所成的角為θ，其方向向量分別是

則l1l2l1l2OO1.異面直線所成的角問題1

θ=<

>嗎？它們的關(guān)系是什么？θ=或θ=π-1.已知兩異面直線a,b的一個(gè)方向向量分別為a=(-1,1,0)，b=(0,-1,0)，則直線a與b所成的角為_______練一練：45°例8如圖3－41,在空間直角坐標(biāo)系中有長方體ABCD－A'B'C'D',AB=2,BC=1,AA'=3.求AC'與A'D所成角的余弦值.

類似地，直線與平面所成的角，可以轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角.如圖，直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量

，平面α的法向量為.問題3θ=<

>嗎？試用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出它們的關(guān)系.2.線面角(直線與平面所成的角)n

類似地，直線與平面所成的角，可以轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角.如圖，直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量

，平面α的法向量為.αABC2.線面角(直線與平面所成的角)2.已知直線a的一個(gè)方向向量為a=(-1,2,0)，平面的一個(gè)法向量為b=(0,1,2)，則直線a與平面所成角的正弦值為_______練一練：

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q,R分別在棱AA1，BB1上，A1Q=2AQ，BR=2RB1.求直線PQ與C1A1夾角的余弦值.ACBA1C1B1QPRxyz∴直線PQ與C1A1夾角的余弦值為：

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q,R分別在棱AA1，BB1上，A1Q=2AQ，BR=2RB1.求直線PQ與平面A1B1C1夾角的正弦值.ACBA1C1B1QPRxyz∴直線PQ與平面A1B1C1夾角的正弦值為：課堂小結(jié)

1.線線角θ：向量法：2.線面角θ：向量法：[P132練習(xí)1.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有單位正方體ABCD－A'B'C'D',點(diǎn)E是A'D'的中點(diǎn),求直線A'B與直線CE夾角的余弦值.2.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有長方體ABCD－A'B'C'D',AB=2,AD=2,AA'=1,求異面直線A'B

與C'D夾角的余弦值.BEB'O(A)zxyDCC'A'D'第1題BB'O(A)zxyDCC'A'D'第2題3.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有長方體

ABCD－A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=2,求直線B'C與平面B'BDD'夾角的正弦值.4.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有單位正方體ABCD－A'B'C'D',點(diǎn)E,F分別是B'C'和A'D'的中點(diǎn),求直線AC與平面ABEF夾角的正弦值.BFB'O(A)zxyDCC'A'D'第4題E圖中有幾個(gè)二面角？兩個(gè)平面的夾角與這兩個(gè)平面形成的二面角有什么關(guān)系？我們接下來研究面面角的向量表示相等或互補(bǔ)兩個(gè)平面的夾角的范圍：二面角的范圍：[0°，90°][0°，180°]平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角.

如圖，平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角.

類似于兩條異面直線所成的角，若平面α,β的法向量分別是

和

，則平面α與平面β的夾角即為向量

和

的夾角或其補(bǔ)角，設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則3.面面角(平面與平面的夾角)已知兩平面的一個(gè)法向量分別為m=(0,1,0)，n=(0,1,1)，則兩平面夾角的大小為練一練：45°例10