3.2.2奇偶性課件-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.2.2奇偶性課程標(biāo)準(zhǔn)1.結(jié)合具體函數(shù)理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義.2.了解奇函數(shù)、偶函數(shù)圖象的特征.3.會判斷(或證明)函數(shù)的奇偶性.“對稱美”是自古以來中國的一種審美形式，實際生活中、傳統(tǒng)文化里、自然界中對稱的例子比比皆是，體現(xiàn)著“對稱美”！【探究】哪些圖形是軸對稱圖形？哪個圖形是中心對稱圖形？新課引入圖象關(guān)于y軸對稱

55在平面直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)

和

的圖象，并觀察這兩個函數(shù)圖象，總結(jié)出它們的共同特征。x-3-2-10123f(x)=x2g(x)=2-|x|不妨取自變量的一些特殊值，填寫表格，觀察相應(yīng)函數(shù)值的情況：可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)自變量x取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的函數(shù)值f(x)相等.9410149-101210-1

類比函數(shù)的單調(diào)性,你能用符號語言精確描述“函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱”的這種特征嗎？（自變量與函數(shù)值之間的變化關(guān)系？）

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)．知識點1

偶函數(shù)的定義與圖像特征圖像特征：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反之,結(jié)論也成立,即圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)一定是偶函數(shù).函數(shù)f(x)=x2,x∈[-2,2]是偶函數(shù)嗎？函數(shù)g(x)=x2,x∈[-1,2]是偶函數(shù)嗎？是偶函數(shù)不是偶函數(shù)偶函數(shù)定義中要求?x∈I，都有－x∈I-x、x必須同時屬于定義域,即偶函數(shù)定義域需關(guān)于原點對稱

觀察函數(shù)

和

的圖象，你能發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)有什么共同特征嗎？圖象關(guān)于原點中心對稱x-3-2-10123f(x)=x

為了用數(shù)學(xué)符號語言描述這一特征，不妨取自變量的一些特殊值，觀察相應(yīng)函數(shù)值的情況，如下表：

可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)自變量x取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的函數(shù)值f(x)也是一對相反數(shù).-3-2-10123

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)．知識點2

奇函數(shù)的定義與圖像特征圖像特征：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱;反之,結(jié)論也成立,即圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)一定是奇函數(shù).若奇函數(shù)f(x)在x=0處有定義,則必有f(0)=0思考：是否函數(shù)為奇函數(shù)一定有f(0)=0？

函數(shù)f(x)=x,x∈[-2,2]是奇函數(shù)嗎？是奇函數(shù)函數(shù)g(x)=x,x∈[-1,3]是奇函數(shù)嗎？定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)類比偶函數(shù)定義，奇函數(shù)定義中也有?x∈I，都有－x∈I因此，奇函數(shù)定義域也需關(guān)于原點對稱對函數(shù)奇偶性定義的理解1.函數(shù)的奇偶性是相對于定義域D內(nèi)的任意一個x而言的,而函數(shù)的單調(diào)性是相對于定義域內(nèi)的某個子集而言的,從這個意義上講,函數(shù)的單調(diào)性屬于“局部性質(zhì)”,而函數(shù)的奇偶性則屬于“整體性質(zhì)”，判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)先明確它的定義域.2.無論是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，其定義域都一定關(guān)于原點對稱.探究點一判斷函數(shù)的奇偶性【例1】

判斷下列函數(shù)的奇偶性:

(2)f(x)=x3-2x;

解

函數(shù)的定義域為{x|x≠-1},不關(guān)于原點對稱,故f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).解

函數(shù)的定義域為R,關(guān)于原點對稱,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),∴f(x)是奇函數(shù).規(guī)律方法判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法(1)定義法:(2)圖象法:

解得-1≤x<1,即函數(shù)的定義域為[-1,1),不關(guān)于原點對稱,所以f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).解

f(x)的定義域是R,關(guān)于原點對稱，又f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x)是偶函數(shù).變式訓(xùn)練1判斷下列函數(shù)的奇偶性:【例2】

已知f(x)為R上的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=-2x2+3x+1,求f(x)的解析式.解

設(shè)x<0,則-x>0,此時f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函數(shù),則f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1(x<0),探究點二利用函數(shù)的奇偶性求解析式規(guī)律方法利用函數(shù)奇偶性求解析式的方法(1)“求誰設(shè)誰”,即在哪個區(qū)間上求解析式,x就應(yīng)在哪個區(qū)間上設(shè).(2)要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入.(3)利用f(x)的奇偶性寫出-f(x)或f(-x),從而解出f(x).提醒:若函數(shù)f(x)的定義域包含0且為奇函數(shù),則必有f(0)=0,但若為偶函數(shù),未必有f(0)=0.變式探究

已知f(x)為R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=-2x2+3x+1.(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.解

(1)因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù),所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.(2)設(shè)x<0時,則-x>0,則f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函數(shù),則f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1,x<0.當(dāng)x=0時,f(-0)=-f(0),則f(0)=-f(0),即f(0)=0.本課結(jié)束探究3

奇、偶函數(shù)單調(diào)性與最值

偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反;偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b],[-b,-a](0<a<b)上有相同的最大(小)值.探究3

奇、偶函數(shù)單調(diào)性與最值

奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同;若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b](0<a<b)上有最大值M,最小值m,則f(x)在區(qū)間[-b,-a]上的最大值為-m,最小值為-M.探究點4奇偶函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用角度1.奇偶函數(shù)的圖象性質(zhì)已知f(x)為奇函數(shù),其局部圖象如圖所示,那么(

)A.f(2)=2 B.f(2)=-2C.f(2)>-2 D.f(2)<-2C規(guī)律方法由于奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,因此根據(jù)奇、偶函數(shù)圖象的對稱性可以解決如求函數(shù)值或畫出奇偶函數(shù)圖象的問題.角度2.利用奇偶函數(shù)的性質(zhì)求解析式中的參數(shù)【例4】

若函數(shù)f(x)=ax2+2bx+4a+b是偶函數(shù),定義域為[3a,a+2],則a+b=

.

規(guī)律方法利用奇偶性求參數(shù)的方法:(1)定義域含參數(shù):奇、偶函數(shù)f(x)的定義域為[a,b],根據(jù)定義域關(guān)于原點對稱,利用a+b=0求參數(shù).(2)解析式含參數(shù):根據(jù)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比較系數(shù)即可求解.變式訓(xùn)練3(1)若f(x)=(x+a)(x-4)為偶函數(shù),則實數(shù)a=

.

4解析

f(x)=x2+(a-4)x-4a,∵f(x)是偶函數(shù),∴a-4=0,即a=4.0當(dāng)a=-1,b=1時,經(jīng)檢驗知f(x)為奇函數(shù),符合題意,故a+b=0.奇±奇=奇偶±偶=偶奇+偶=非奇非偶奇-偶=非奇非偶注：同性加減奇偶不變，異性加減非奇非偶同性乘除為偶，異性乘除為奇

奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)奇函數(shù)÷奇函數(shù)=偶函數(shù)偶函數(shù)÷偶函數(shù)=偶函數(shù)奇函數(shù)÷偶函數(shù)=奇函數(shù)成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測12341.已知一個奇函數(shù)的定義域為{-1,2,a,b},則a+b等于(

)A.-1 B.1 C.0 D.2A解析

因為一個奇函數(shù)的定義域為{-1,2,a,b},根據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱,所以a與b有一個等于1,一個等于-2,所以a+b=1+(-2)=-1.12342.(多選題)下列函數(shù)中,既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是(

)ABD解析

根據(jù)定義域知選項A符合題意,根據(jù)奇偶性的定義可知選項BD符合題意,選項C是偶函數(shù).12343.f(x)是定義在R上的奇函數(shù),下列結(jié)論中不一定正確的是(

)A.f(-x)+f(x)=0B.f(-x)-f(x)=-2f(x)C.f(x)f(-x)≤0D解析

f(x)為奇函數(shù),則f(-x)=-f(x),所以A,B,C均正確.12344.已知函數(shù)f(x)為定義域為R的奇函