2.3.2二次函數(shù)與一元二次方程、不等式課件-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.3.2二次函數(shù)與一元二次方程、不等式分式不等式的解法(1)分式不等式的概念分母中含有未知數(shù)的不等式叫做分式不等式.各種分式不等式經(jīng)過同解變形,都可化為標(biāo)準(zhǔn)形式

>0(或≥0)或

<0(或≤0)(其中f(x),g(x)為整式,且g(x)不為0).(2)分式不等式的解法解分式不等式的思路——轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.化分式不等式為標(biāo)準(zhǔn)型的方法:移項,通分,右邊化為0,左邊化為

的形式.將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式的同解變形如下表:探究點一一元二次不等式的求解【例1】(2)-3x2+6x-2>0;

解

不等式可化為3x2-6x+2<0.因為方程3x2-6x+2=0的判別式Δ=36-4×3×2=12>0,規(guī)律方法解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟

探究點二含參數(shù)的一元二次不等式問題角度1.已知一元二次不等式的解集求參數(shù)值【例2】

若關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集為

,求a,b,c.

規(guī)律方法1.一元二次不等式的解集的端點值就是對應(yīng)的一元二次方程的根,要充分利用這個關(guān)系解題.2.不等式解集的形式與二次項系數(shù)有直接的關(guān)系,對于關(guān)于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2);當(dāng)a>0時,其解集是{x|x<x1,或x>x2};當(dāng)a<0時,其解集是{x|x1<x<x2}.角度2.含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例3】

[北師大版教材例題]求關(guān)于x的不等式x2+(1-a)x-a<0的解集,其中a是常數(shù).解

依題意知方程x2+(1-a)x-a=0的實數(shù)根為x1=-1,x2=a,且一元二次函數(shù)y=x2+(1-a)x-a的圖象是開口向上的拋物線.(1)當(dāng)a<-1時,如圖①,一元二次函數(shù)y=x2+(1-a)x-a的圖象與x軸從左至右有兩個交點(a,0)與(-1,0).所以原不等式的解集為{x|a<x<-1}.(2)當(dāng)a=-1時,如圖②,一元二次函數(shù)y=x2+(1-a)x-a的圖象與x軸只有一個交點(-1,0).所以原不等式的解集為?.(3)當(dāng)a>-1時,如圖③,一元二次函數(shù)y=x2+(1-a)x-a的圖象與x軸從左至右有兩個交點(-1,0)與(a,0).所以原不等式的解集為{x|-1<x<a}.綜上所述,當(dāng)a<-1時,原不等式的解集為{x|a<x<-1};當(dāng)a=-1時,原不等式的解集為?;當(dāng)a>-1時,原不等式的解集為{x|-1<x<a}.規(guī)律方法解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟

角度3.不等式的恒成立問題【例4】

(1)已知關(guān)于x的不等式kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.解

當(dāng)k=0時,原不等式化為-2<0,顯然符合題意.當(dāng)k≠0時,令f(x)=kx2+2kx-(k+2),∵f(x)<0恒成立,∴函數(shù)f(x)圖象都在x軸的下方,即開口向下,且與x軸無交點.綜上,實數(shù)k的取值范圍是{k|-1<k≤0}.(2)當(dāng)1≤x≤2時,關(guān)于x的不等式x2+mx+4<0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

解

令g(x)=x2+mx+4.∵當(dāng)1≤x≤2時g(x)<0恒成立,規(guī)律方法1.如圖①,關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)在R上恒成立?一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集為R?二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象恒在x軸上方?2.如圖②,關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)在R上恒成立?一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集為R?二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象恒在x軸下方?3.含參數(shù)的一元二次不等式在某一范圍恒成立問題,求解時主要有兩種方法:一種是將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化為恒成立問題;另一種是利用二次不等式對應(yīng)的二次方程根的分布及數(shù)形結(jié)合思想求解.探究點三一元二次不等式的實際應(yīng)用【例5】

行駛中的汽車,在剎車時由于慣性作用,要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下,這段距離叫做剎車距離.在某種路面上,某種型號汽車的剎車距(1)求n的值.(2)要使剎車距離不超過12.6m,則行駛的最大速度是多少?因