高職數(shù)學(xué)課件 1.1函數(shù)

1.1函數(shù)1.1.1、一元函數(shù)1.1.2、基本初等函數(shù)1.1.3、復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)1.1.4、初等函數(shù)第1章函數(shù)與極限1.1.1、一元函數(shù)1.函數(shù)的概念定義域記作自變量因變量都有唯一確定的值與則稱變量是變量的函數(shù),之對應(yīng),定義1是一個非空的實數(shù)集合，設(shè)個變量,若當變量在內(nèi)任意給定一個數(shù)值時，變量按照一定的規(guī)律，和是兩

當自變量注:如果兩個函數(shù)具有相同的定義域和對應(yīng)法則,那么它們是相同的函數(shù).,函數(shù)值組成的數(shù)集稱為函數(shù)的值域,取數(shù)值時,與對應(yīng)的值稱為函數(shù)的在點處的函數(shù)值,或記作.記為函數(shù)的兩要素:定義域和對應(yīng)法則例1

下列函數(shù)是否相同，為什么？解

⑴與不是相同的函數(shù),因為定義域不同.⑵

與是相同的函數(shù),因為定義域與對應(yīng)法則都相同.(5)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集.注

求函數(shù)定義域時應(yīng)注意的一般規(guī)律(1)開偶次方,根號內(nèi)的表達式不小于零;(2)對數(shù)中的真數(shù)必須大于零;(3)分式中的分母不能為零;(4)反正弦和反余弦符號下的表達式的絕對值不能大于1;（1）公式法2.函數(shù)的三種表示法自變量與因變量的關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表示出來的方法稱為公式法。例如已知某商品的總成本函數(shù)為：

其中與都是變量，是生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量，當變化時，商品的總成本函數(shù)也隨著的變化而發(fā)生變化。（2）列表法自變量與因變量的關(guān)系用表格列出來的方法稱為列表法。例如，某型號彩電單價為3100元，購買彩電的臺數(shù)與付款金額的函數(shù)關(guān)系如下表所示：臺數(shù)（臺）12345款額（元）3100620093001240015500這就是函數(shù)的列表表示法。（3）圖像法自變量與因變量的關(guān)系用表示出來的方法稱為圖像法。例如，需求函數(shù)與供給函數(shù).,SDEQPQ=f(P)OP表示商品價格,Q表示需求量,供給量,E點為需求和供給平衡點．

如圖.3、函數(shù)的幾種特性(1)單調(diào)性使若對任意正數(shù)M,均存在稱為有上界稱為有下界當時,稱為I

上的稱為I

上的單調(diào)增函數(shù);單調(diào)減函數(shù).設(shè)函數(shù)且有區(qū)間(2)奇偶性且有若則稱

f(x)為偶函數(shù);若則稱f(x)為奇函數(shù).

說明:若在x=0有定義,為奇函數(shù)時,則當必有例如,

偶函數(shù)雙曲余弦記注（1）奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱,偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱;（2）一個函數(shù)可以既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù),如函數(shù).（3）偶（奇）函數(shù)的和或差仍為偶（奇）函數(shù)；（4）兩個偶（奇）函數(shù)的積或商為偶函數(shù)；（5）一偶一奇兩個函數(shù)的積或商為奇函數(shù)。(3)周期性且則稱為周期函數(shù)

,若稱

T

為周期(一般指最小正周期

).周期為

周期為注:

周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常量函數(shù)(4)有界性使稱使稱說明:

還可定義有上界、有下界、無界為有界函數(shù).在I

上有界.例1證明是以為周期的函數(shù).證因為1.1.2基本初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)

⑴冪函數(shù)(為實數(shù));⑵指數(shù)函數(shù)(是常數(shù)且);⑶對數(shù)函數(shù)(是常數(shù)且);⑷三角函數(shù)⑸反三角函數(shù)arccot

(為實數(shù)).

形式:

定義域、圖像及性質(zhì)依不同而不同.（1）冪函數(shù)

(，).

形式:

定義域:.

值域:.

圖像:

過點,位于軸的上方.

單調(diào)減少

單調(diào)增加

·常用以為底的指數(shù)函數(shù).

是一個無理數(shù),=2.718281828459…．.本課程:（2）指數(shù)函數(shù)

(，).

形式:

定義域:.

值域:.

圖像:

過點,位于軸的右方.

單調(diào)減少

單調(diào)增加

·（3）對數(shù)函數(shù)(ⅰ)正弦函數(shù)

形式:

定義域:.

值域:.幾何特性：奇函數(shù)；內(nèi)非單調(diào)函數(shù)；周期；有界函數(shù).（4）三角函數(shù)(ⅱ)余弦函數(shù)

形式:

定義域:.

值域:.幾何特性：奇函數(shù)；內(nèi)非單調(diào)函數(shù)；周期；有界函數(shù).(ⅲ)正切函數(shù)

形式:

定義域:.

值域:.幾何特性：奇函數(shù);在內(nèi)單調(diào)增加；周期；無界函數(shù).(ⅳ)余切函數(shù)

形式:

定義域:.

值域:.幾何特性:奇函數(shù)；在內(nèi)單調(diào)減少；周期；無界函數(shù).今后要用到的三角公式今后要用到的三角公式特殊角的三角函數(shù)值

(ⅰ)反正弦函數(shù)

形式:

定義域:

值域:

(ⅱ)反余弦函數(shù)

形式:

定義域:

值域:

單調(diào)減少

單調(diào)增加

（5）反三角函數(shù)(ⅲ)反正切函數(shù)形式:定義域:值域:(ⅳ)反余切函數(shù)形式:值域:定義域:

單調(diào)減少

單調(diào)增加1.1.3復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)1．復(fù)合函數(shù)設(shè)有兩個函數(shù)

，．我們稱此函數(shù)為f和g復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，是自變量，稱為中間變量．如果函數(shù)g

的值域與函數(shù)f的定義域Df的交非空，則通過中間變量構(gòu)成的函數(shù)，稱為由及復(fù)合而成的關(guān)于的復(fù)合函數(shù)，記作兩個以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如,可定義復(fù)合函數(shù):例

函數(shù)是有哪些較簡單的函數(shù)復(fù)合而成的?解是由三個較簡單的函數(shù)復(fù)合而成的.2.反函數(shù)習慣上用表示自變量,表示因變量,故常把的反函數(shù)記為設(shè)是定義在上的一個函數(shù),其值域為.如果對每一數(shù)值,有確定的且滿足的數(shù)值與之對應(yīng),其對應(yīng)法則記為則定義在上的函數(shù)稱為函數(shù)的反函數(shù)注函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱.例如,對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對稱.指數(shù)函數(shù)例2求的反函數(shù)。

解由解出