第4章 概率統(tǒng)計(jì)

第4章概率統(tǒng)計(jì)4.1隨機(jī)事件與概率4.2隨機(jī)變量及其分布4.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.4統(tǒng)計(jì)量與參數(shù)估計(jì)返回4.1隨機(jī)事件與概率4.1.1隨機(jī)事件1.隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件「先行問(wèn)題」(1)請(qǐng)問(wèn)“拋一石塊，會(huì)往地上落嗎?”您會(huì)肯定地回答:“是的.”(2)請(qǐng)問(wèn)“在常溫下，焊錫能熔化嗎?”您一定會(huì)回答:“不能.”(3)請(qǐng)問(wèn)“明天一定下雨嗎?”您會(huì)猶豫地回答:“不能確定，可能下雨，一也可能不下雨.”在一定條件下必然發(fā)生或必然不發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定現(xiàn)象(必然現(xiàn)象)，如問(wèn)題(1)、問(wèn)題(2);在一定條件下，事先不能確定會(huì)出現(xiàn)哪種結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象(偶然現(xiàn)象)，如問(wèn)題(3).如果在相同條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)，偶然現(xiàn)象一也會(huì)呈現(xiàn)其規(guī)律性，例如，在相同條件下下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率多次拋擲一枚均勻硬幣，正、反兩面出現(xiàn)的機(jī)會(huì)分別約占一半，這種規(guī)律稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律.概率就是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的科學(xué).為了尋求隨機(jī)現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律，就要對(duì)其進(jìn)行大量重復(fù)觀察，我們把一次觀察稱為一次隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn).如每擲一次J殷子，就是一次試驗(yàn).試驗(yàn)具有以下三個(gè)特點(diǎn):(1)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行;(2)每次試驗(yàn)可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確所有可能結(jié)果;(3)每次試驗(yàn)的結(jié)果事先無(wú)法預(yù)知.

隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能發(fā)生的結(jié)果稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，通常用大寫字母A,B,C,…表示.不能再分解的隨機(jī)事件稱為基本事件，如上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率擲一枚J殷子，“出現(xiàn)1點(diǎn)”，“出現(xiàn)2點(diǎn)”，“出現(xiàn)3點(diǎn)”各是一個(gè)隨機(jī)事件，由于它們都不能再分解，所以它們都是基本事件.而“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”各是一個(gè)隨機(jī)事件，由于它們還可以再分解，比如，“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”可分解為“出現(xiàn)2點(diǎn)”或“出現(xiàn)4點(diǎn)”或“出現(xiàn)6點(diǎn)”，所以不是基本事件.全體基本事件的集合稱為這個(gè)試驗(yàn)的基本事件組，記作Ω.

特殊地，Ω一也是一個(gè)隨機(jī)事件，由于每次試驗(yàn)總是Ω中的一個(gè)基本事件發(fā)生，即Ω必然發(fā)生，所以Ω稱為必然事件，它是一個(gè)特殊的“隨機(jī)”事件.同樣空集?也是一個(gè)特殊的“隨機(jī)”事件，由于任何一個(gè)基本事件都不屬于?，這樣在每一次試驗(yàn)中，?都不可能發(fā)生，所以，稱?為不可能事件.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率2.事件間的關(guān)系與運(yùn)算和集合的關(guān)系與運(yùn)算相對(duì)應(yīng)，下面介紹事件之間的關(guān)系與運(yùn)算.設(shè)Ω為樣本空間，A,B,Ak.(k=1，2，3,···，n，···)為事件，它們都是Ω的子集.

(1)包含與相等若事件A的發(fā)生必然導(dǎo)致事件召發(fā)生，則稱事件B包含事件A.記作AB或BA.如圖4.1所示.若AB和BA同時(shí)成立，則稱事件A與B相等，記作A=B.例如擲一枚骰子，設(shè)A={出現(xiàn)2點(diǎn)}，B={出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)}，有AB(2)事件的積(交)“兩事件A與B都發(fā)生”這一事件稱為事件A與召的積(交)，記為上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率A∩B或AB.如圖4.2中的陰影部分.對(duì)任意事件A，有AA=A,AΩ=A,A?=?.例如上例中，A={出現(xiàn)2點(diǎn)}，B={出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)}，則AB=A，而C={出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)}，則BC=?.(3)事件的和(并)“兩事件A與召中至少有一件發(fā)生”這一事件稱為事件A與召的和(并)，記為A∪B或A+B.如圖4.3中的陰影部分.對(duì)任意事件A，有A+A=A,A+Ω=Ω,A+?=A.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率例如擲一枚骰子，A1={出現(xiàn)1點(diǎn)}，A2={出現(xiàn)2點(diǎn)},則A1+A2={出現(xiàn)1點(diǎn)

或2點(diǎn)}.(4)事件的差“事件A發(fā)生而B不發(fā)生”這一事件稱做事件A與B的差，并記作A-B,如圖4.4中的陰影部分:(5)互不相容事件若事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，也就是說(shuō)A∩B是一個(gè)不可能事件，即A∩B=?，則稱事件A與B互不相容.如圖4.5所示.例如，投擲一枚硬幣，A={正面向上}，B={正面向下}，則A,B互不相容.基本事件間是互斥的，不可能事件與任何事件是互斥的.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率(6)互逆事件(對(duì)立事件)若事件A與B滿足A+B=Ω且AB=?，則稱事件A與B互逆，并稱事件A(或B)是B(或A)的逆事件(或?qū)α⑹录?，常將事件A(或B)的逆事件B(或A)記為(或 ).即=B(或 =A>.若A是一個(gè)事件，令 =Ω-A，稱

是A的對(duì)立事件或逆事件.如圖4.6中的陰影部分所示.例如上例中，A,B也是對(duì)立事件.容易知道，在一次試驗(yàn)中，若A發(fā)生，則

必不發(fā)生.即A與二者只能有一個(gè)發(fā)生，并且一也必然發(fā)生一個(gè).因而有A=?,A+ =Ω.此外顯然有=A.注意:互逆與互不相容是不同的兩個(gè)概念，互逆必互不相容，但互不相容不一定互逆.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率例4-1從一批包含正品和次品的產(chǎn)品中，一件一件地依次任意取出三件，若記A1={第一個(gè)零件是正品}，A2={第二個(gè)零件是正品},A3={第三個(gè)零件是正品}，試表示:(1)沒(méi)有一個(gè)零件是次品;(2)只有第一個(gè)零件是次品;(3)恰有一個(gè)零件是次品;(4)至少有一個(gè)零件是次品.解(1){沒(méi)有一個(gè)零件是次品}表示成:A1A2A3;(2){只有第一個(gè)零件是次品}表示成: A2A3;(3){恰有一個(gè)零件是次品}表示成:A2A3∪A1A3∪A1A2;(4){至少有一個(gè)零件是次品}表示成: 或 .上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率「課堂練習(xí)」1.指出下列事件中哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是隨機(jī)事件?(1)A={一副撲克牌中隨機(jī)地抽出一張是黑桃};(2)B={沒(méi)有水分，水稻發(fā)芽};(3)C={某電話機(jī)在一分鐘內(nèi)接到至少15次呼喚};(4)D={同性電荷，相互排斥}.2.設(shè)A、B、C為三事件，用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系來(lái)表示下列事件(1)A發(fā)生，B與C不發(fā)生;(2)A與B都發(fā)生，而C不發(fā)生;(3)A、B、C都發(fā)生;(4)A、B、C中至少有一個(gè)發(fā)生;(5)A、B、C都不發(fā)生.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率4.1.2隨機(jī)事件的概率1.古典概型「先行問(wèn)題」擲一枚均勻的硬幣，可能出現(xiàn)的結(jié)果有“正面向上”，“反面向上”分別以A1、A2表示，它們是該隨機(jī)試驗(yàn)的2個(gè)基本事件，且由于硬幣質(zhì)地均勻，可以認(rèn)為每一個(gè)基本事件白勺出現(xiàn)等可能，出現(xiàn)每種情況的機(jī)會(huì)都為1/2有100張彩券，其中有2張三等獎(jiǎng)券，現(xiàn)有100人各取一張，問(wèn)每人得到三等獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)有多大?大家可以通過(guò)分析判斷或猜測(cè)得出答案:2%.該數(shù)值表達(dá)了“每個(gè)人得到三等獎(jiǎng)”這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小.上兩例中“投擲硬幣”“抓彩券”試驗(yàn)有如下兩個(gè)特征:上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率(1)基本事件總數(shù)有限;(2)每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等.滿足上述兩個(gè)特征的試驗(yàn)?zāi)Ｐ头Q為古典概型.概率的古典定義在古典概型中，若基本事件總數(shù)為n，事件A包含的基本事件數(shù)為m，則事件A的概率為由該定義知古典概率有如下性質(zhì):(1)非負(fù)性:對(duì)于任何事件A，有0≤P(A)≤1;(2)規(guī)范性:P(Ω)=1P(?)=0;上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率(3)可加性:如果A與B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B).以上性質(zhì)中，(1)、(2)是顯然的，(3)的證明作為練習(xí).用這個(gè)定義求概率時(shí)，關(guān)鍵是要求出一切基本事件的總數(shù)n，其次是要正確求出事件所包含的基本事件個(gè)數(shù)m，計(jì)算n和m時(shí)經(jīng)常使用排列與組合的計(jì)算公式.例4-2在100件產(chǎn)品中，有95件合格品,5件次品，從中任取2件，求:恰有1件次品的概率.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率例4-3在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對(duì)各種不同的搭配方式作比較，在試制某種牙膏新品種時(shí)，需要選用兩種不同的添加劑，現(xiàn)有芳香度分別為0,1,2,3,4,5的六種添加劑可供選用.根據(jù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)學(xué)原理，通常首先要隨機(jī)選取兩種不同的添加劑進(jìn)行搭配試驗(yàn)，求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4的概率.解從六種不同的添加劑中任取不同的兩種，可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)一共有n= =15種，設(shè)事件A={所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4}，而芳香度之和等于4的取法有2種，即(0,4)和(1,3)，則事件A包含的基本事件數(shù)m=2種.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率2.概率的加法公式「先行問(wèn)題」一個(gè)電路上裝有甲、乙兩根熔絲，甲熔斷的概率為0.8，乙熔斷的概率為0.7，兩根同時(shí)熔斷的概率為0.6，問(wèn)至少有一根熔斷的概率是多少?分析設(shè)A={甲熔絲熔斷}，P={乙熔絲熔斷}，則{兩根熔絲同時(shí)熔斷}為AB,{至少有一根熔絲熔斷}為A+B，現(xiàn)在的問(wèn)題是:已知P(A)=0.8P(B)=0.7P(AB)=0.6，求P<A}B>.

因Ω是必然事件，P(Ω)=1，如圖4.7所示.設(shè)矩形的面積為1,P(A+B)可用圖中陰影部分的面積表示，它應(yīng)該等于A的面積P(A)與B的面積P(B)之和減去重復(fù)計(jì)算了一次的AB的面積P(AB)，即P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.7-0.6=0.9=90%,即至少有一根熔絲熔斷的概率為90%.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率概率的加法公式一般地，有如下計(jì)算A與B和的概率P(A+B)的公式:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)(4-1)可以得到如下推論:推論1若事件A與B互斥，則P(A+B)-P(A)+P(B).

一般地，若事件A1,A2,A3,···,An，彼此互斥，那么事件A1+A2+A3+···+An發(fā)生(即A1,A2,A3,···,An中有一個(gè)發(fā)生)的概率，等于這n個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，在例3中，求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3的概率.解設(shè)事件A={所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3},上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率事件A1={所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于1},事件A2={所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于2},則事件A的對(duì)立事件為={所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和小于3}.因?yàn)閺牧N不同的添加劑中任取不同的兩種，可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)一共有=15種，上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率注:本題也可以直接計(jì)算芳香度之和為3,4,5,6,7,8,9的概率，再將相應(yīng)的概率相加.例4-4某班有70%的學(xué)生參加了數(shù)學(xué)竟賽,50%的學(xué)生參加了外語(yǔ)竟賽，40%的學(xué)生既參加了數(shù)學(xué)竟賽又參加了外語(yǔ)竟賽，若從該班學(xué)生中任選一人，發(fā)現(xiàn)沒(méi)有參加這兩種竟賽的學(xué)生的概率是多少?解設(shè)A={參加數(shù)學(xué)竟賽的學(xué)生}，B={參加外語(yǔ)竟賽的學(xué)生}，則AB={既參加數(shù)學(xué)竟賽又參加外語(yǔ)竟賽的學(xué)生}，A+B={至少參加這兩種競(jìng)賽中的一種的學(xué)生}，={沒(méi)有參加這兩種競(jìng)賽的學(xué)生}，因?yàn)镻(A)=0.7,P(B)=0.5,P(AB)=0.4,又P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7+0.5-0.4=0.8上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率所以 =1-P(A+B)=1-0.8=0.2因此，從該班學(xué)生中任選一人，發(fā)現(xiàn)沒(méi)有參加這兩種竟賽的概率為0.2.3.概率的乘法公式「先行問(wèn)題」在實(shí)際問(wèn)題中，除了考慮事件A發(fā)生的概率P(A)，有時(shí)還需考慮在“事件B已發(fā)生”的條件下，事件A發(fā)生的概率.由于增加了新的條件“事件B已發(fā)生”，所以后者的概率一般來(lái)說(shuō)不同于P(A)，一般我們稱它為A對(duì)B的條件概率，記為P(A︳B).為了說(shuō)明這個(gè)特點(diǎn)，先看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子.

例4-5考慮有兩個(gè)孩子的家庭，假定男女出生率一樣，則兩個(gè)孩子(依大小排列)的性別分別為(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)的可能性是一樣的.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率解若記A={隨機(jī)抽取一個(gè)這樣的家庭中有一男一女}則P(A)=1/2，但如果我們事先知道這個(gè)家庭至少有一個(gè)女孩，則上述事件的概率為2/3.這兩種情況下算出的概率不同，這一也很容易理解，因?yàn)樵诘诙N情況下我們多知道了一個(gè)條件.記B={這個(gè)家庭中至少有一個(gè)女孩}，因此我們算得的概率是“在已知事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生”的概率(可記此概率為P(A|B)，見下面的定義，，則這個(gè)概率P(A︳B=2/3;上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率這雖然是一個(gè)特殊的例子，但是容易驗(yàn)證對(duì)一般的古典概型，只要P(B)＞0上述等式總是成立的，因而我們給出下列定義:1)條件概率定義設(shè)A,B是樣本空間Ω中的兩個(gè)事件(即某個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)下的兩個(gè)事件)，若P(B)＞0，則稱為“在召發(fā)生下A的條件概率”或“A對(duì)召的條件概率”，簡(jiǎn)稱條件概率.例4-6已知某家三胞胎小孩中有女孩，求至少有一個(gè)男孩的概率(假定每個(gè)小孩是男是女是等可能的).上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率解三胞胎小孩的所有可能結(jié)果不難一一列出，即Ω={(女，女，女)，(女，女，男)(女，男，女)，(男，女，女)，(女，男，男)，(男，女，男)，(男，男，女)，(男，男，男)}共8個(gè)樣本.記A={三胞胎中至少一個(gè)是男孩}，B={三胞胎中有女孩}.不難驗(yàn)證條件概率具有概率的三個(gè)基本性質(zhì)，即非負(fù)性、規(guī)范性以及有限可加性.由此可知，對(duì)給定的一個(gè)概率空間和屬于該概率空間的事件，如果該事件的概率非負(fù)，則其條件概率一也是該概率空間上對(duì)該事件的一個(gè)概率測(cè)度.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率例4-7已知一臺(tái)電腦的壽命不低于3年的概率為0.5，壽命不低于5年的概率為0.2，現(xiàn)有一臺(tái)電腦已經(jīng)使用了3年，問(wèn):它可以使用超過(guò)5年的概率.解設(shè)A={電腦使用期不低于3年},B={電腦使用期不低于5年}，該題要解決的實(shí)際上是A已經(jīng)發(fā)生的情況下召發(fā)生的概率，因此是一個(gè)典型的條件概率，同時(shí)電腦使用期不低于}>年這個(gè)事件包含在使用期不低于3年這個(gè)事件當(dāng)中，即:BA，那么有P(AB)=P(B)=0.2，再根據(jù)條件概率公式，該電腦已經(jīng)使用了3年，可以使用超過(guò)5年的概率是:上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率2)概率的乘法公式由條件概率的定義，變換其形式，就可以得到一般情況下概率的乘法公式:(1)當(dāng)P(A)＞0時(shí)，有P(AB)=P(A)P(B︱A)(4一3)(2)當(dāng)P(B)＞0時(shí)，有

P(AB)=P(B)P(A︱B)

(4一4)推廣到多個(gè)事件概率積的計(jì)算，有乘法公式在概率計(jì)算中有非常重要的作用.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率例4-8罐中有三個(gè)自球兩個(gè)黑球，從中依次取出三個(gè)，試求取出的三個(gè)球都是白球的概率.解記Ai={第i次取球得白球}例4-9甲、乙兩市都位于長(zhǎng)江下游，據(jù)一百多年來(lái)的氣象記錄，知道在一年中的雨天的比例甲市占20%，乙市占15%，兩地同時(shí)下雨占10%.記A={甲市出現(xiàn)雨天},B={乙市出現(xiàn)雨天}求:(1)兩市至少有一市是雨天的概率;(2)乙市出現(xiàn)雨天的條件下，甲市一也出現(xiàn)雨天的概率;上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率(3)甲市出現(xiàn)雨天的條件下，乙市一也出現(xiàn)雨天的概率.解由題意，可得(1)兩市至少有一市是雨天的概率可表示為P(A+B)，根據(jù)加法公式有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.2+0.15-0.1=0.25;(2)乙市出現(xiàn)雨天的條件下，甲市一也出現(xiàn)雨天的概率可表示為P(A︱B)，根據(jù)條件概率公式有(3)甲市出現(xiàn)雨天的條件下，乙市一也出現(xiàn)雨天的概率可表示為P(B︱A)，根據(jù)條件概率公式有上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率「課堂練習(xí)」1.在40根纖維中，有12根的長(zhǎng)度超過(guò)30mm，從中任取1根，求取到長(zhǎng)度超過(guò)30mm的纖維的概率.2.已知P(A)=0.4,P(B)=0.6,P(B︱A)=0.8，求P().3.設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取一件，取兩次，且不放回，求兩次所取的產(chǎn)品都是不合格品的概率.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率4.1.3事件的獨(dú)立性貝努里概型1.相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率「先行問(wèn)題」在一盒子中裝有10只晶體管，2只是次品，8只是正品，從中每次取一個(gè)，有放回地取兩次，記A={第一次取到次品}，B={第二次取到次品}，求P(A)，P(B)，P(AB).分析該例是放回抽樣的問(wèn)題.所謂放回抽樣，是指第一次無(wú)論是取到次品，都要放回袋中，第二次仍從盒子中10只晶體管中任取一只，因此，事件A的發(fā)生與否不影響與事件B的發(fā)生，這時(shí)，也稱事件A與事件B相互獨(dú)立一般有如下定義:上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率定義4.1若兩個(gè)事件A、B中，任一事件的發(fā)生與否不影響另一事件的概率，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立.可以推出，相互獨(dú)立的事件有如下性質(zhì):性質(zhì)1事件A與B相互獨(dú)立的充要條件是尸<AB>=P<A>"P<B>.性質(zhì)2若事件A與B相互獨(dú)立，則A與B,A與B,A與B也都是相互獨(dú)立的.事件的獨(dú)立性概念可以推廣到有限個(gè)事件的情形.在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，對(duì)于事件的獨(dú)立性，我們常常不是根據(jù)定義來(lái)判斷，而是根據(jù)實(shí)際意義來(lái)加以判斷.例4-10設(shè)三臺(tái)機(jī)床正常工作的概率分別是0.95,0.90,0.85，求在任一時(shí)刻上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率(1)三臺(tái)機(jī)床都正常工作的概率;(2)三臺(tái)機(jī)床至少有一臺(tái)正常工作的概率.解由于三臺(tái)機(jī)床工作正常與否是相互獨(dú)立的，所以設(shè)Ai={第i臺(tái)機(jī)床正常工作}(i=1,2,3)，則A1,A2,A3相互獨(dú)立，且

也相互獨(dú)立，故(1)所求事件的概率為(2)所求事件的概率為上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率例4-11設(shè)有電路如圖4.8，其中1,2,3,4為繼電器接點(diǎn)，設(shè)各繼電器接點(diǎn)導(dǎo)通的概率均為p，求L到R為通路的概率.解設(shè)事件Ai={第i個(gè)繼電器接點(diǎn)導(dǎo)通}(i=1,2,3,4)，A={L到R為通路}.2.貝努里概型「先行問(wèn)題」一頭病牛服用一種藥品后被治愈的概率是90%，計(jì)算服用這種藥的3頭病牛中恰有2頭被治愈的概率.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率

分析設(shè)Ai={第i頭牛被治愈}(i=1,2,3)，則={第i頭牛沒(méi)有被治愈}(i=1，2，3)在上面的例子中，3頭牛服藥可以看成是進(jìn)行了3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率

一般地，如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k(0≤k≤n)次的概率為例4-12某類電子元件使用時(shí)數(shù)在1000h以上的概率為0.1，求:三個(gè)電子元件在使用1000h以后至少有兩個(gè)沒(méi)有損壞的概率.解把對(duì)一個(gè)元件的觀察視為一次試驗(yàn)，三個(gè)電子元件獨(dú)立工作的觀察相當(dāng)于三次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，設(shè)三個(gè)電子至少有兩個(gè)沒(méi)有損壞的概率，就是三個(gè)電子元件恰有兩個(gè)沒(méi)有損壞的概率與三個(gè)電子元件都沒(méi)有損壞的概率之和，上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率因此，三個(gè)電子元件在使用使用1000h以后至少有兩個(gè)沒(méi)有損壞的概率為0.028.例4-13在質(zhì)量管理中常用的質(zhì)量控制圖，如圖4.9所示，其中CL叫做中心線，UCL叫做上控制線，LCL叫做下控制線，在上下控制線之間，一個(gè)隨機(jī)的點(diǎn)落在中心線兩側(cè)的概率相等(各為1/2).試求11個(gè)獨(dú)立點(diǎn)中恰有10個(gè)點(diǎn)落在中心線同一側(cè)的概率.解設(shè)事件A1={1個(gè)點(diǎn)落在中心線上側(cè)}A2={1個(gè)點(diǎn)落在中心線下側(cè)}B1={11個(gè)獨(dú)立點(diǎn)恰有10個(gè)點(diǎn)落在中心線上側(cè)}B2={11個(gè)獨(dú)立點(diǎn)恰有10個(gè)點(diǎn)落在中心線下側(cè)}上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率A={11個(gè)獨(dú)立點(diǎn)恰有10個(gè)點(diǎn)落在中心線同一側(cè)}于是11個(gè)獨(dú)立的點(diǎn)恰有10個(gè)點(diǎn)落在中心線同一側(cè)的概率為上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.1隨機(jī)事件與概率

在上例中，11個(gè)隨機(jī)點(diǎn)有10個(gè)落在中心線同一側(cè)的概率只有1%，是個(gè)小概率事件，如果確實(shí)發(fā)生了，可以認(rèn)為生產(chǎn)中可能會(huì)有某種不正常的因素，應(yīng)予以檢查.

注意:(1)貝努力試驗(yàn)是n次獨(dú)立試驗(yàn)的每一次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果A及;(2)每次試驗(yàn)中A的概率保持不變.上一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布為了研究隨機(jī)現(xiàn)象的整體規(guī)律及運(yùn)用更多的數(shù)學(xué)工具，引人了隨機(jī)變量的概念.一般地，隨機(jī)變量有離散型與連續(xù)型之分.4.2.1離散型隨機(jī)變量與直方圖1.離散型隨機(jī)變量「先行問(wèn)題」在10件同類型產(chǎn)品中，有3件次品，現(xiàn)任取2件，如果用X表示抽取所得的次品數(shù)，問(wèn)X可能取值有哪些?分析X有三種可能取值，分別為0,1,2，且

X=0時(shí)，取得2件全是正品;X=1時(shí)，取得2件中恰有一件是正品;X=2時(shí)，取得2件中沒(méi)有正品.下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布從上述例子受到啟發(fā)，在隨機(jī)現(xiàn)象中，引進(jìn)隨機(jī)變量的概念，會(huì)為表示隨機(jī)事件提供方便.在隨機(jī)現(xiàn)象中，如果一個(gè)量X可能取的值可以一一列舉出來(lái)，并且X取每個(gè)值都表示一個(gè)隨機(jī)事件，則稱X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量.定義4.2設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，x3，…，xn，且其相應(yīng)的概率分別為p1,p2,p3,...，pn，記P(X=xi)=pi,(i=1,2,3,...,n)，稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列.也可用表格形式表示分布，如表4一1所示.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布概率分布具有以下兩個(gè)性質(zhì):

如上例中，10件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)任取2件，這2件中的次品數(shù)X的分布列，可寫成如下表4-2形式:上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布

其直方圖如圖4.11所示2.常見離散型隨機(jī)變量分布(1)兩點(diǎn)分布「先行問(wèn)題」

一批產(chǎn)品共100件，其中有3件次品.從這批產(chǎn)品中任取一件，考察取上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布出的產(chǎn)品是正品還是次品，試用隨機(jī)變量描述該試驗(yàn)的結(jié)果，并寫出其概率分布.分析在該試驗(yàn)中，試驗(yàn)的結(jié)果只有兩種可能，要么取出正品，要么取出次品若用A表示取出正品，自然應(yīng)用A表示取出次品，顯然有設(shè)x是一個(gè)隨機(jī)變量，若用{x=0}表示取出次品，{x=1}表示取出正品，則x只有兩個(gè)值，且上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布X的分布列也可寫成如下表4-3形式:上述X的分布稱為兩點(diǎn)分布.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布一般地，如果隨機(jī)變量X只取0,1兩個(gè)值，即其分布列為其中0＜p＜1，q=1-p，則X服從參數(shù)為fi的兩點(diǎn)分布或(0-1)分布記為X～(0-1)分布.注意:(1)兩點(diǎn)分布是簡(jiǎn)單且又經(jīng)常遇到的一種分布，一次試驗(yàn)只可能出現(xiàn)兩種結(jié)果時(shí)，便確定一個(gè)服從兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量.如檢驗(yàn)產(chǎn)品是否上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布合格、電路是“通路”還是“斷路”、新生兒的性別、系數(shù)運(yùn)行是否正常等，相應(yīng)的結(jié)果均服從兩點(diǎn)分布.(2)(0-1)分布與貝努里概型緊密相連.「課堂練習(xí)」籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得。分，已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，求他罰球1次得分的分布列.(2)二項(xiàng)分布如果隨機(jī)變量X具有分布列則稱X服從參數(shù)為n,pi的二項(xiàng)分布，記為X～B(n,P).上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布設(shè)隨機(jī)變量X表示在n重貝努里試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則“在n重貝努里試驗(yàn)中，事件A發(fā)生k次”的概率可表示為由此可知，二項(xiàng)分布是用來(lái)描述n重貝努里試驗(yàn)的.特別地，當(dāng)，n=1時(shí)，二項(xiàng)分布就是兩點(diǎn)分布.例4-14某大樓裝有兩部電梯，每部電梯因故障不能使用的概率均為0.02,設(shè)同時(shí)不能使用的電梯數(shù)為X，求:X的分布列.解因?yàn)閄～B(2,0.02),上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布所以X的分布列為表4一4所示:例4-15在一個(gè)車間里有9個(gè)工人相互獨(dú)立地工作，且他們間歇地使用電力，若每個(gè)工人在1小時(shí)內(nèi)平均有12分鐘需要電力，問(wèn)在1小時(shí)內(nèi)至少有7人需要電力的概率是多少?解設(shè)X表示在1小時(shí)內(nèi)需要用電的工人數(shù)，則X～B(9,0.2)，依題設(shè)，每個(gè)工人在1小時(shí)內(nèi)需要用電的概率P=12/60=0.2，至少有7人需要用電的概率是:P(X≥7)=P(X=7)+P(X=8>P(X=9)上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布「課堂練習(xí)」

某工廠的螺絲的次品率為o.05,設(shè)每個(gè)螺絲是否為次品是相互獨(dú)立的，這個(gè)工廠將10個(gè)螺絲包成一包出售，并保證若發(fā)現(xiàn)一包內(nèi)多于一個(gè)次品即可退貨，求:售出的螺絲的退貨率.(3)泊松(PoiSSon)分布(X-P(λ))如果在二項(xiàng)分布的概率計(jì)算中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)增加，而每次試驗(yàn)中某事件出現(xiàn)的概率很小，即n很大，p很小，而np大小適中時(shí)，可以證明有近似公式:定義4.3如果隨機(jī)變量X的分布列為:其中λ>0，則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記為X～P(λ).上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布泊松分布是概率論的重要分布一方面，當(dāng)，，很大，fi很小時(shí)，它可以近似代替二項(xiàng)分布(二項(xiàng)分布計(jì)算量較大);另一方面，許多隨機(jī)現(xiàn)象服從泊松分布.例如:在一段時(shí)間內(nèi)電話臺(tái)的呼喚次數(shù)、紡織廠生產(chǎn)的疵點(diǎn)數(shù)、一塊線路板上的焊接不良處、某段時(shí)間內(nèi)放射物質(zhì)放射的粒子數(shù)等，都可用泊松分布來(lái)描述.例4-16某網(wǎng)吧有一批計(jì)算機(jī)，假設(shè)機(jī)器間的工作狀況是相互獨(dú)立的，且發(fā)生故障的概率都是0.01，若(1)由1人負(fù)責(zé)維修20臺(tái)計(jì)算機(jī);(2)由3人負(fù)責(zé)維修80臺(tái)計(jì)算機(jī).試分別求計(jì)算機(jī)發(fā)生故障而需要等待維修的概率(假定一臺(tái)計(jì)算機(jī)的故障可由1人來(lái)處理)，并比較兩種方案的優(yōu)劣.解設(shè)X表示同一時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的計(jì)算機(jī)的臺(tái)數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布，且n較大，p較小.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布

上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布由0.0091<0.0175可見，第二種方案不僅每人平均維修的計(jì)算機(jī)數(shù)量有所增加，而且計(jì)算機(jī)發(fā)生故障需要等待維修的概率會(huì)大大降低，因此優(yōu)于第一種方案.「課堂練習(xí)」一街口15s內(nèi)通過(guò)的車輛服從參數(shù)為λ=0.8的泊松分布，試寫出X的分布列，并求15s內(nèi)通過(guò)4輛車的概率.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布4.2.2連續(xù)型隨機(jī)變量與正態(tài)分布1.連續(xù)型隨機(jī)變量「先行問(wèn)題」

測(cè)試某批燈泡的壽命(單位:h)，若用X表示區(qū)間「0，+∞」上的任意實(shí)數(shù)，顯然X是一個(gè)變量，它取不同的數(shù)值表示測(cè)得壽命的不同結(jié)果.例如{500X1000}表示事件{被測(cè)試的燈泡壽命在5ooh到1000h之間}.

像這樣在某一個(gè)或若干個(gè)有限或無(wú)限區(qū)間上取值的隨機(jī)變量稱為連續(xù)型隨機(jī)變量.對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X來(lái)說(shuō)，由于它可以取某一區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，因此不考慮X在此區(qū)間內(nèi)某一點(diǎn)取值的概率，只有確知它在此區(qū)間內(nèi)某一部分區(qū)間上取值的概率時(shí)，才能掌握其取值的概率分布情況，如上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布上例中，考察X在「500,1000」的概率，即被測(cè)試的燈泡壽命在500h到1000h之間的概率.對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X，恒有P(X=x)=0，以及隨機(jī)事件“X=x”也沒(méi)有實(shí)際意義，因而需要研究的是隨機(jī)變量X在某個(gè)區(qū)間上取值的概率，即P(a＜X＜b)，這個(gè)概率P(a＜X＜b)可以通過(guò)一個(gè)定積分來(lái)求得.定義4.4于隨機(jī)變量X，若存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)?(x)(-∞x<+∞)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b(a＜b)，有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱?(x)為隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱密度函數(shù)或概率密度.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布密度函數(shù)?(x)滿足如下性質(zhì):

由定義可知，對(duì)任意實(shí)數(shù)a，有P(X=a)=0，從而有由此可見，計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量X在某一區(qū)間的概率時(shí)，可以不必分開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間，如果給出了隨機(jī)變量的概率密度，那么它在任何區(qū)間取值的概率就等于概率密度在這個(gè)區(qū)間的定積分.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布我們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系中畫出密度函數(shù)?(x)的圖像，稱其為密度曲線.如圖4.12所示，密度曲線位于x軸上方，X在任一區(qū)間(a,b)內(nèi)取值的概率等于以(a,b)為底，曲線?(x)為頂?shù)那吿菪蔚拿娣e，?(x)與x軸之間的面積為1.注意概率密度?(x)不表示隨機(jī)變量X取值為x的概率，而表示隨機(jī)變量X在點(diǎn)x附近取值的密集程度.可以認(rèn)為連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)?(x)，相當(dāng)于離散型隨機(jī)變量X的概率直方圖函數(shù).例4-17設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布試確定常數(shù)k，并求P(X>0.1).上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布一般地，如果X的密度函數(shù)常數(shù)，則X服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布.例4-18某種燈泡的壽命(單位:h>X服從θ=1000的指數(shù)分布，求一只這樣的燈泡，其壽命不少于500h的概率.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布即任取一只燈泡，其壽命不少于500h的概率為0.6065.在實(shí)際中，經(jīng)常遇到下面的連續(xù)分布.如果隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為則稱X在(a,b)上服從均勻分布.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布例4-19設(shè)電阻的阻值R是一個(gè)隨機(jī)變量，均勻分布在900～1100Ω，求R的概率密度及R落在900～1050Ω的概率.解R的概率密度為「課堂練習(xí)」

是某連續(xù)型隨上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布機(jī)變量X概率密度.(1)求常數(shù)k;(2)P(1＜X＜3);(3)P(X＜1).2.正態(tài)分布(1)正態(tài)分布的密度函數(shù)在高中，我們已學(xué)了作出100個(gè)產(chǎn)品尺寸的頻率分布直方圖，并指出了當(dāng)樣本容量無(wú)限增大時(shí)，這個(gè)頻率分布直方圖無(wú)限接于一條總體密度曲線.在其他條件穩(wěn)定條件下，產(chǎn)品尺寸的總體密度曲線就是或近似地是以下函數(shù)的圖象.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布式中的實(shí)數(shù)μ,σ(σ＞0)是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，其分布叫做正態(tài)分布，正態(tài)分布由參數(shù)μ,σ唯一確定.因此，正態(tài)分布常記作X～N(μ,σ2)，其圖像對(duì)應(yīng)的曲線稱正態(tài)曲線.正態(tài)曲線具有兩頭低、中間高、左右對(duì)稱的基本特征(圖4.13).如圖4.14中畫出了三條正態(tài)曲線:(1)μ=-1,σ=0.5，(2)μ=0，σ=1，(3)μ=1，σ=2.特別地，當(dāng)μ=0,σ=1時(shí)，稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即X～-N(0,1)，其概率密度函數(shù)記為上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的密度函數(shù)是偶函數(shù)，即φ(-x)=φ(x)，其圖形關(guān)于y軸對(duì)稱.在自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象中，大量的隨機(jī)變量都服從或近似服從正態(tài)分布，例如，測(cè)量誤差，各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)(如零件尺寸、材料的強(qiáng)度等)，人的身高或體重，某種植物的株高，某城市每天的用電量，某個(gè)教學(xué)班的考試成績(jī)等.正態(tài)分布是一種最常見的重要分布.在歷史上，高斯曾對(duì)正態(tài)分布研究作出貢獻(xiàn)，因此正態(tài)分布一也稱高斯分布.通常，如果一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象受多個(gè)因素的影響，而每個(gè)因素影響的作用都很小時(shí)，可以認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象服從或近似服從正態(tài)分布.(2)正態(tài)分布的計(jì)算1)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布研究正態(tài)分布的隨機(jī)變量X的概率規(guī)律，常常也需要計(jì)算P(a≤X＜b)、P(X＜b)等概率，由于{X＜b}={X＜a}+{a≤X＜b}，所以φ(x)的值可用近似方法求得，為了便于計(jì)算，數(shù)學(xué)工作者編制了φ(x)的數(shù)值表，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表(見附表1),隨機(jī)變量X在區(qū)間「a,b」上的概率為上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布數(shù)值表時(shí)，有以下幾種情況:(1)因表中x的范圍為「0,3.09」，因此，當(dāng)x∈「0,3.09」時(shí)，可直接查表，對(duì)于x>3.09時(shí)，取φ(x)≈1;上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布2)一般正態(tài)分布的概率計(jì)算正態(tài)分布N(μ,σ2)均可化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)來(lái)計(jì)算，可以證明，對(duì)正態(tài)分布X～N(μ,σ2)，有上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布這樣，正態(tài)分布的概率計(jì)算都可以通過(guò)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布數(shù)值表完成.例4-21某工廠生產(chǎn)一種斜拉橋鋼索，拉斷強(qiáng)度服從正態(tài)分布，其參數(shù)μ=5.72t/cm2，σ=0.50t/cm2，某大橋根據(jù)設(shè)計(jì)要求，需要采用拉斷強(qiáng)度不小于4.20t/cm2的鋼索.如果大橋所用鋼索合格率在99.9%以上，則認(rèn)為是安全的.問(wèn):該大橋能否使用此工廠生產(chǎn)的鋼索?解設(shè)鋼索的拉斷強(qiáng)度為X,因?yàn)閄～N(5.72,0.502)，上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布答:該大橋能使用該工廠生產(chǎn)的鋼索.例4-22某廠計(jì)劃對(duì)全廠5%產(chǎn)量最高的工人發(fā)放特別獎(jiǎng)金.已知該廠工人的月產(chǎn)量Y～N(3000,1600).問(wèn)發(fā)放特別獎(jiǎng)的最低產(chǎn)量應(yīng)為多少?

解因?yàn)榻o5%的工人發(fā)放特別獎(jiǎng)，設(shè)獲獎(jiǎng)?wù)叩淖畹驮庐a(chǎn)量應(yīng)為x，則應(yīng)有上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布

答:應(yīng)把發(fā)放特別獎(jiǎng)的最低月產(chǎn)量定為3066件.「課堂練習(xí)」已知X～N(3,22)，求P(2≤X≤5).3)正態(tài)分布在工程中的應(yīng)用例如產(chǎn)品某個(gè)質(zhì)量特性X的不合格品率的計(jì)算要知道下列兩件事:(1)質(zhì)量特性X的分布，在過(guò)程受控情況下，X的分布常為正態(tài)分布N(μ,σ2),這是穩(wěn)定過(guò)程的概括.(2)產(chǎn)品的規(guī)范限，常包括上規(guī)范限TU和下規(guī)范限TＬ，這些都是以文上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布件形式對(duì)產(chǎn)品特性所作的要求，這些要求可能是顧客要求、可能是公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)、也可能是企業(yè)下達(dá)的生產(chǎn)任務(wù)書.明確了這兩點(diǎn)后，產(chǎn)品質(zhì)量特性X的不合格品率為ｐ＝ｐＬ+ｐＵ其中pＬ為X低于下規(guī)范限的概率，ｐＵ為X高于上規(guī)范限的概率.為了具體說(shuō)明不合格品率的計(jì)算，可看下面的例子.(1)某廠生產(chǎn)的電阻器的規(guī)范限為80士4kΩ.從現(xiàn)場(chǎng)得知該廠電阻器的阻值X服從正態(tài)分布，其均值μ=80.8kΩ，標(biāo)準(zhǔn)差σ＝1.3kΩ.則其低于下規(guī)范限TＬ＝76kΩ的概率和超過(guò)上規(guī)范限TＵ＝84kΩ的概率分別為:故該電阻器的不合格品率ｐ＝ｐＬ+ｐＵ=0.0070上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布(2)某金屬材料的抗拉強(qiáng)度(單位:kg/cm2)服從正態(tài)分布N（38,1.82）.抗拉強(qiáng)度是望大特性(愈大愈好的特性)，故只需規(guī)定其下規(guī)范限，如今TＬ=33kg/cm2.故其不合格品率為

p=pＬ=P(X<33)＝Ф(－2.78)=0.0027=0.27%.在抗拉強(qiáng)度上，該金屬材料的不合格品率為0.27％.例4-23在磨床上加工銷軸，要求外徑，抽樣后測(cè)得，σ＝0.005mm,其尺寸分布符合正態(tài)分布，試分析該工序的加工質(zhì)量.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布解T=-0.016-(-0.043)=0.027上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2隨機(jī)變量及其分布工序能力指數(shù)Cp＜1，說(shuō)明該工序工藝能力不足，因此出現(xiàn)不合格品是不可避免的.工序最小尺寸，故不故不會(huì)產(chǎn)生不可修復(fù)的廢品.工序最大尺寸故要產(chǎn)生可修復(fù)的廢品.廢品率

查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表上一頁(yè)返回4.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征對(duì)于隨機(jī)現(xiàn)象，知道它的一些特征，可以簡(jiǎn)明扼要地了解隨機(jī)現(xiàn)象.隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)字特征主要有數(shù)學(xué)期望與方差，數(shù)學(xué)期望反映隨機(jī)現(xiàn)象的平均情況，方差則反映隨機(jī)現(xiàn)象的分散情況.4.3.1數(shù)學(xué)期望1.離散型隨機(jī)變量「先行問(wèn)題」某人欲購(gòu)一臺(tái)586型微機(jī)，現(xiàn)有甲、乙兩廠生產(chǎn)該型號(hào)微機(jī)，據(jù)資料統(tǒng)計(jì)其平均周故障率分別如下表4-7所示，試問(wèn)他該購(gòu)買哪個(gè)廠的產(chǎn)品為好?下一頁(yè)返回4.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征分析這個(gè)問(wèn)題的答案并不是顯而易見的，盡管分布列完整地描述了離散型分布，但卻沒(méi)能集中反映出兩者的差異，若分別計(jì)算它們的平均故障率，即

P1=0X0.67+1X0.26+2X0.05+3X0.02=0.42，

P2=0X0.62+1X0.30+2X0.07+3X0.01=0.47.平均看，甲、乙兩廠產(chǎn)品每周出現(xiàn)故障分別是0.42次和0.47次，即甲廠的微機(jī)質(zhì)量?jī)?yōu)于乙廠，故購(gòu)買甲廠的產(chǎn)品為好.若將兩廠產(chǎn)品每周出現(xiàn)故障次數(shù)理解成隨機(jī)變量X，則上述計(jì)算過(guò)程，即

0x0.67+1x0.26+2x0.05+3x0.02=0.42

與0X0.62+1X0.30+2X0.07+3X0.01=0.47上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征正是X的所有可能取值與其相應(yīng)的概率乘積之和，也就是以概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均值，這就是我們要引人的數(shù)學(xué)期望的概念.定義4.5設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為則和數(shù)

叫做隨機(jī)變量X數(shù)

學(xué)期望,簡(jiǎn)稱期望或均值，記作E(X).例4-24在10臺(tái)電視機(jī)中有8臺(tái)一等品、2臺(tái)二等品，從中任取3臺(tái)，求取出的3臺(tái)中出現(xiàn)二等品的數(shù)學(xué)期望.解設(shè)取出的3臺(tái)中出現(xiàn)二等品的臺(tái)數(shù)為隨機(jī)變量X，則其分布列為上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征例4-25一批產(chǎn)品中有一、二、三等品、等外品、廢品五種，各占該產(chǎn)品的品70%,10%,10%,6%及4%，若產(chǎn)值分別為6元、5元、4元、3元及0元，求該產(chǎn)的平均產(chǎn)值.解設(shè)產(chǎn)品的產(chǎn)值是一個(gè)隨機(jī)變量X，其概率分布列見下表4-8上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征E(X)=6X0.7+5X0.1+4X0.1+3X0.06+OX0.04=5.28(元)即該批產(chǎn)品的平均產(chǎn)值為5.28(元).下面我們求幾個(gè)常用的離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望:(1)二點(diǎn)分布的分布列為其中，0＜p＜1，q=1-p,所以二點(diǎn)分布的數(shù)學(xué)期望為

E(X)=0xq+1xp=p.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征

即二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望為E(X)=np.(3)泊松分布的分布列為上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征可以推出E(X)=λ即泊松分布的參數(shù)幾就是隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.2.連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義4.6設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為?(x}，則稱E(X)=為連續(xù)型隨機(jī)變量的期望(或均值).如正態(tài)分布X～N(μ,σ2)，其概率密度為由連續(xù)型隨機(jī)變量均值的定義，有上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征由此可知，正態(tài)分布中的參數(shù)μ就是隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征3.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)下面給出數(shù)學(xué)期望的幾個(gè)性質(zhì)，并假設(shè)所提到的數(shù)學(xué)期望均存在.性質(zhì)1設(shè)C為常數(shù)，則有E(C）=C；性質(zhì)2設(shè)X是隨機(jī)變量,C為常數(shù)，則E（CX）=CE(X)；性質(zhì)3設(shè)X,Y是任意兩個(gè)隨機(jī)變量，則有E（X士Y)=E(X)士E(Y).4.數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用例4-26電冰箱的利潤(rùn)一工廠生產(chǎn)的電冰箱的壽命X服從指數(shù)分布，密度函數(shù)為上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征工廠規(guī)定，出售的電冰箱若在一年內(nèi)損壞，則可以調(diào)換.若工廠出售的電冰箱每臺(tái)贏利300元，調(diào)換一臺(tái)則廠方需花費(fèi)700元，問(wèn)廠方出售的電冰箱平均每臺(tái)贏利多少?解先計(jì)算一臺(tái)電冰箱在一年內(nèi)損壞的概率為

從而，電冰箱在一年內(nèi)不損壞的概率為P=1-0.0952=0.9048.

因?yàn)槌鍪勖颗_(tái)電冰箱贏利300元，而調(diào)換一臺(tái)需要花費(fèi)700元，即損失=700-300=400(元)

故廠方出售的電冰箱平均每臺(tái)盈利(即贏利的數(shù)學(xué)期望)為

300X0.9048一400X0.0952=233.36(元).上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征「課堂練習(xí)]有一批鋼筋共10根，抗拉強(qiáng)度指標(biāo)為120和130的各有2根,125的有3根，110,135,140的各有一根，求它們的平均抗拉強(qiáng)度指標(biāo).4.3.1方差1.方差的定義「先行問(wèn)題]有甲、乙兩顯像管廠生產(chǎn)同一規(guī)格的顯像管，其使用壽命(h)的既率分布如下表4-9(X表示甲廠生產(chǎn)的顯像管的使用壽命，Y表示乙廠生產(chǎn)的顯象管的使用壽命):上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征試比較甲、乙兩顯像管的質(zhì)量.分析可通過(guò)求數(shù)學(xué)期望，即求甲、乙兩顯像管的平均使用壽命來(lái)比較甲乙兩廠顯像管的質(zhì)量:E(X)=8000X0.1+9000X0.2+10000X0.4+11000X0.2+12000X0.1=10000，

E(Y)=8000X0.2+9000X0.2+10000X0.2+11000X0.2+12000X0.2=10000.結(jié)果表明，甲、乙兩廠顯像管的平均使用壽命相等.那么這兩個(gè)廠顯像管的質(zhì)量是否完全相同?通過(guò)對(duì)題設(shè)數(shù)據(jù)進(jìn)一步分析會(huì)發(fā)現(xiàn):甲廠40%的顯像管使用壽命為l0000h,上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征使用壽命在9000-11000h之間的占了80%，使用壽命與均值偏離較小，質(zhì)量比較穩(wěn)定；而乙廠僅20%的顯像管使用壽命為l0000h，使用壽命在9000-11000h之間的僅占60%，使用壽命分布比較分散，與均值偏離較大，質(zhì)量不夠穩(wěn)定.由此可見，比較產(chǎn)品質(zhì)量的優(yōu)劣，只了解其均值是不夠的，必須了解它們的取值與均值之間的偏離程度.怎樣去描述隨機(jī)變量X的取值與其均值E(X)的偏離程度呢?隨機(jī)變量X與其均值ECX)之差X-E（X)稱為X的離差.離差可以反映隨機(jī)變量X的取值與其均值E(X)的偏離程度.但離差的值有正有負(fù)，也有可能是零，在求平均離差時(shí)，它們可能相互抵消.正因?yàn)槿绱耍覀冇秒x差的平方來(lái)衡量隨機(jī)變量X與其均值E(X)的偏離程度.定義4.7設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，如果E 存在，上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征稱其為隨機(jī)變量X的方差，記作D(X)，即D(X)=E .

稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差.如果X是離散型隨機(jī)變量，那么如果X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為/f(x)，那么隨機(jī)變量的方差是一個(gè)常數(shù).當(dāng)X的可能取值集中在均值附近時(shí)，方差較?。环粗讲钶^大.例4-27甲、乙兩工人，在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)廢品的概率分布如下表4-10.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征若兩人的日產(chǎn)量相等，求誰(shuí)的技術(shù)好?解首先求甲、乙兩人出現(xiàn)廢品數(shù)的數(shù)學(xué)期望.E(X甲)=0X0.4+1X0.3+2X0.2+3X0.1=1，

E(X乙)=0X0.25+1X0.5+2X0.25+3X0=1.兩人平均廢品數(shù)相等，僅根據(jù)數(shù)學(xué)期望比較不出誰(shuí)的技術(shù)好壞，因此繼續(xù)求甲、乙兩人出現(xiàn)廢品的方差.

上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征所以由于D大于D ，所以乙的生產(chǎn)技術(shù)比較穩(wěn)定，即乙的技術(shù)較好.例4-28如果X在區(qū)間(a,b）上服從均勻分布，其概率密度為

，求D(X).解上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征所以，2.方差的性質(zhì)方差具有以下性質(zhì)(假設(shè)D(X）,D(Y)都存在):（1）若c為常數(shù)，則D(c)=0；（2）若c為常數(shù)，則D（cX）=D（X）；（3）若X與Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則D（X+Y）=D（X）+D（Y）.3.常用的分布列(或概率密度)以及均值和方差我們將常用的分布列(或概率密度)以及均值和方差列于下表4-11，以方便使用，建議學(xué)生自己推導(dǎo)出各常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的方差.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征例4-29某廠每天生產(chǎn)大批產(chǎn)品，其次品率為0.1，檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)4次，每次隨機(jī)地取10件產(chǎn)品檢驗(yàn)，如發(fā)現(xiàn)其中的次品數(shù)多于一件，就去調(diào)整設(shè)備，以X表示一天中調(diào)整設(shè)備的次數(shù)，試求E(X),D(X).解設(shè)在一次實(shí)驗(yàn)中檢驗(yàn)結(jié)果為需調(diào)整設(shè)備的概率為p,即為10件產(chǎn)品

中次品數(shù)多于一件的概率.即

p=1- -lO×0.1× =0.2639.

由q=1一p，得q=1一p=1一0.2639=0.7361,

又X～B(4，p)，故「課堂練習(xí)]有一批數(shù)量很大的商品的次品率為1%，從中任意地連續(xù)取出200件商品，設(shè)其中次品數(shù)為X，求E(X),D(X).上一頁(yè)返回4.4統(tǒng)計(jì)量與參數(shù)估計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)是根據(jù)概率論的理論，研究如何利用有限次的試驗(yàn)和觀察所得數(shù)據(jù)，通過(guò)整理、分析和計(jì)算，對(duì)所研究的隨機(jī)變量作出合理的估計(jì)和推斷的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.4.4.1總體樣本統(tǒng)計(jì)量1.總體和樣本在中學(xué)，我們學(xué)習(xí)了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一些基本概念，如總體:指研究對(duì)象全體的集合，記作Ω;個(gè)體:指總體中的任何一個(gè)元素(稱為總體單位)，記作ω;樣本:總體中的部分對(duì)象的集合;樣本容量:樣本中個(gè)體的數(shù)目.下一頁(yè)返回4.4統(tǒng)計(jì)量與參數(shù)估計(jì)由于我們所說(shuō)的總體是指研究對(duì)象的某種數(shù)列指標(biāo)，其中每個(gè)個(gè)體都可以取不同的數(shù)值，在學(xué)習(xí)了概率論，有了隨機(jī)變量的概念之后，不難理解總體是個(gè)隨機(jī)變量.例如，我們要研究1萬(wàn)臺(tái)顯像管的使用壽命，總體就是1萬(wàn)個(gè)使用壽命，由于各顯像管的使用壽命各不相同，因此使用壽命是個(gè)隨機(jī)變量.再如，研究某年高考考生的數(shù)學(xué)成績(jī)，總體就是全部考生的數(shù)學(xué)成績(jī)，是個(gè)隨機(jī)變量，而個(gè)體就是每一個(gè)考生的數(shù)學(xué)成績(jī).對(duì)于總體中抽取的一組樣本，由于樣本中每個(gè)個(gè)體都是隨機(jī)抽取的，其中每個(gè)個(gè)體的取值在試驗(yàn)之前是無(wú)法知道的，因此每個(gè)個(gè)體的取值都可看成是與總體同分布的隨機(jī)變量.即容量為n的一組樣本可看成n個(gè)隨機(jī)變量(ξ1,ξ2

,···ξn).在一次抽樣檢驗(yàn)后，得到的n個(gè)實(shí)測(cè)值(a1,a2,···,an)叫做(ξ1,ξ2

,···ξn)的一組觀察值，簡(jiǎn)稱為樣本值.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.4統(tǒng)計(jì)量與參數(shù)估計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本思想方法是由樣本來(lái)估計(jì)與推斷總體，為使樣本能充分反映總體的情況，我們要求抽樣必須是隨機(jī)的，這樣樣本中n個(gè)隨機(jī)變量(ξ1,ξ2

,···ξn)與總體答都有相同的分布.其次要求樣本中，n個(gè)隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的.則這樣的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.今后我們討論的樣本都是指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.2.統(tǒng)計(jì)量及其分布(1)統(tǒng)計(jì)量的概念雖然樣本來(lái)自于總體，一定程度上反映了總體的相關(guān)特征，但在實(shí)際研究中，由于樣本本身研究起來(lái)并不方便，因此，我們需要將它壓縮成一些有用的信息，然后用這些信息來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.我們稱這些信息為統(tǒng)計(jì)量，它是樣本的函數(shù).上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.4統(tǒng)計(jì)量與參數(shù)估計(jì)設(shè)X1,X2,X3,X,···是總體X的樣本，θ(X1,X2,X3,···,Xn)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)且此函數(shù)中不含任何未知參數(shù)，則稱函數(shù)θ(X1,X2,X3,···,Xn)為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量.常用的統(tǒng)計(jì)量有樣本均值:(2)抽樣分布統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，它隨著樣本的變化而變化，是一個(gè)隨機(jī)變量.例如，某商品在不同地區(qū)的價(jià)格分別為20,25,22,23,21，從中任取兩個(gè)地區(qū)的價(jià)格為一樣本，并以此計(jì)算商品的平均價(jià)格.顯然，樣本均值隨著抽取樣本的不同而變化，它是一個(gè)隨機(jī)變量.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.4統(tǒng)計(jì)量與參數(shù)估計(jì)我們把統(tǒng)計(jì)量的概率分布稱為抽樣分布.除了我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的(0-1)分布、正態(tài)分布外，常用的抽樣分布還有:分布、t分布.1)U統(tǒng)計(jì)量及其分布定理4.1設(shè)X1X2,X3,···,Xn,是相互獨(dú)立，且X～N(μ,σ2)，則統(tǒng)計(jì)量服從均值為μ，方差為

U統(tǒng)計(jì)量常用于估計(jì)總體均值μ，有興趣的同學(xué)可以自行證明上述結(jié)論.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.4統(tǒng)計(jì)量與參數(shù)估計(jì)定義4.9對(duì)給定的a(0＜a＜1)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使P{|U|>λ}=a，

則稱幾λ為U分布的水平分位點(diǎn)或分位數(shù)，記作:.即

(圖4.15).上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.4統(tǒng)計(jì)量與參數(shù)估計(jì)

的均值和樣本方差，則分布常用于估計(jì)總體方差σ2.上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.4統(tǒng)計(jì)量與參數(shù)估計(jì)定義4.11存對(duì)給定的a(0＜a＜1)，若在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使P{(n)>λ}=a，則λ為分布的a水平分位點(diǎn)或分位數(shù)，記作:即

(圖4.16).

上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.4統(tǒng)計(jì)量與參數(shù)估計(jì)

(圖4.1