第1章 多元函數(shù)微分學

第1章多元函數(shù)微分學1.1空間解析幾何基本知識1.2二元函數(shù)的基本概念1.3偏導數(shù)1.4多元復合函數(shù)的求導法則1.5全微分1.6多元函數(shù)的極值與最值返回1.1空間解析幾何基本知識在實際生活中有很多問題與多種因素有關，反映到數(shù)學上就是多元函數(shù)問題，本章主要討論多元函數(shù)的微分及其應用.

學習多元函數(shù)導數(shù)、微分的概念和方法，要與一元函數(shù)導數(shù)、微分進行類比，注意它們的異同之處.1.1空間解析幾何基本知識「先行問題]多元函數(shù)的概念、圖像等，還是要以空間直角坐標系為基礎，相應還有多元函數(shù)的圖像，如空間平面、曲面以及用向量工具來表示等問題.1.1.1空間解析幾何的有關概念

我們在學習空間解析幾何時，應該與平面解析幾何進行類比，找到相同點和不同點，加深理解，提高學習效率.下一頁返回1.1空間解析幾何基本知識1.空間直角坐標系在空間任取一點O，以O為原點作三條互相垂直的數(shù)軸，這三條坐標軸分別稱為x軸(橫軸),y軸(縱軸)、z軸(豎軸)，統(tǒng)稱為坐標軸.通常把x軸和y軸配置在水平面上，z軸則是垂直線;按照右手定則規(guī)定Ox、Oy、Oz軸的正方向，即以右手握住z軸，當右手的四個手指從x軸正向以π/2的角度轉(zhuǎn)向y軸正向時，大拇指的指向就是z軸的正向(圖1.1),這樣的三條坐標軸就組成一個空間直角坐標系.空間直角坐標系中任意兩條坐標軸都可以確定一個平面，稱為坐標平面.由x軸和y軸所確定的平面稱為xOy平面;由y軸和z軸所確定的平面稱為yOz平面;由x軸和z軸所確定的平面稱為xOz平面.三個坐標平面把整個空間分成八個部分，依次稱為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、上一頁下一頁返回1.1空間解析幾何基本知識

Ⅷ卦限(圖1.2),坐標平面不屬于任何卦限.建立空間直角坐標系后，如果點M的橫坐標、縱坐標和豎坐標分別為x,y,z(圖1.3)，則記作M(x,y,z).這樣可以建立起空間的點與有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)之間的對應關系.顯然，原點的坐標為。O(0,0,0);x軸、y軸和z軸上的點的坐標分別為(x,0,0)、(0,y,0)、(0,0,z);xOy、yOz、zOx三個坐標面上的點的坐標分別為(x,y,0),(0,y,z),(x,0,z).[課堂練習]在空間直角坐標系中，求點P(1,-2,3)關于x軸，原點，xOz平面的對稱點.上一頁下一頁返回1.1空間解析幾何基本知識2.空間兩點間的距離設為空間兩點，

我們可用這兩個點的坐標來表達它們之間的距離d.假設線段在xOy坐標面上的投影是.如(圖1.4)所示，過點在平面內(nèi)作

//AB得直角三角形.由勾股定理，有又由圖示關系可得,即有上一頁下一頁返回1.1空間解析幾何基本知識即空間兩點間的距離公式.特別地，點M（x，y，z）到原點O（0，0，0，）的距離上一頁下一頁返回1.1空間解析幾何基本知識1.1.

2空間向量概念及運算「先行問題]與空間解析幾何和平面解析幾何的關系類似，在高中學過的平面向量知識基礎上，我們介紹一些空間向量的基礎知識，請大家注意異同點，進行類比學習.1.向量的概念在空間以A為起點、B為終點的有向線段所表示的向量記為，有時也用一個粗體字母表示向量，例如，向量a、b等.若A、B的坐標分別為和，則規(guī)定向量的坐標為,向量的大小稱為向量的模，向量的模記為若向量a的坐標為a=(x，y，z)則上一頁下一頁返回1.1空間解析幾何基本知識2.向量的加法與減法以及向量與數(shù)量的乘積利用向量的坐標，可得向量的加、減法及向量與數(shù)量乘積的運算法則:設

，，則（1）;（2）.3.兩向量的數(shù)量積（1）向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì).

定義1.1設向量a、b的夾角為θ(0≤θ≤π)，則稱

為向量a、b的數(shù)量積，一也稱為內(nèi)積.（2）數(shù)量積的坐標計算式.

設a、b的坐標分別為

、

，可經(jīng)推導(本書上一頁下一頁返回1.1空間解析幾何基本知識不推導)，把數(shù)量積寫成坐標形式：而

，于是當a、b不是零向量時，可得由此可得

，即

例1-1已知向量a={1,1,-4},b={1,-2,2}，求向量a與b的內(nèi)積及夾角<a，b>.解由公式得上一頁下一頁返回1.1空間解析幾何基本知識

，所以.4.兩向量的向量積（1）向量積的定義及其性質(zhì)定義設有兩向量a、b，若向量c滿足:① ;②c垂直于向量a、b所決定的平面，它的正方向由右手法則確定.則稱向量c為a與b的向量積，記為a×b,即c=a×b.由向量積的定義可知:上一頁下一頁返回1.1空間解析幾何基本知識兩個非零向量a、b相互平行的充分必要條件是ab=0.（2）向量積的坐標計算式設 , ，可經(jīng)推導(本書不推導)，把向量積寫成坐標形式:由于兩個非零向量a、b平行的充要條件是a×b=0，因此，可將a×b平行的充要條件表示為上一頁下一頁返回1.1空間解析幾何基本知識1.1.3平面1.平面方程的一般式一般地，在空間直角坐標系中，關于x，y，z的一次方程Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不全為零)表示空間平面，一也就是說滿足方程Ax+By+Cz+D=0的點在平面上，平面上的點的坐標滿足方程.(1)當D=0時，方程Ax+By+Cz=0表示過原點的平面.(2)當C=0時，方程Ax+By+D=0表示平行于z軸的平面.

類似地，方程Ax+Cz+D=0和By+Cz+D=o分別表示平行于y軸和z軸的平面.(3)當A=B=O時，方程Cz+D=0表示平行于xOy面的平面.

類似地，方程Ax+D=0和By+D=0分別表示平行于yOz平面和上一頁下一頁返回1.1空間解析幾何基本知識 xOz平面的方程.

特別地，當D=0時，z=0,x=0和y=0分別表示xOy為平面，yOz平面和xOz平面.2.平面方程的點法式在空間直角坐標系中，方程Ax+By+Cz+D=0(其中A,B,C不全為0)稱為平面的一般式.

如果非零向量n垂直于平面π，則稱n為平面π的法向量，設M(x，y，z)為平面π上的任一點，平面π過點

,n={A,B,C}為其一法向量，因為 ,即，所以稱此方程為平面方程的點法式.上一頁下一頁返回1.1空間解析幾何基本知識1.1.4簡單的二次曲面1.球面方程空間中一動點到定點的距離為定值的點的軌跡稱為球面.例1-2求以點

為球心，R為半徑的球面的方程.解設M(x，y，z)為球面上任意一點，依題意，有

由空間兩點間距離公式，有

即

此即為所求之球面方程，其圖形如圖1.5所示.上一頁下一頁返回1.1空間解析幾何基本知識特別地，如果球心就是坐標原點，則球面方程為可見，球面方程是關于x、y、z的二次方程.2.柱面方程設有一動直線l沿一定曲線c移動，移動時始終保持與定直線l′平行，則由l形成的曲面稱為柱面，而動直線l稱為該柱面的母線，定曲線c稱為該柱面的準線.

現(xiàn)在來建立母線平行于z軸的柱面方程(見圖1.6).設柱面的準線c是xOy為面上的曲線，其方程為F(x，y)=0設M(x，y，z)為柱面上任意一點，過M作柱面的母線MM′，這時母上一頁下一頁返回1.1空間解析幾何基本知識線上全部點在xOy面上的投影都是準線c上的點M′，所以柱面上點的豎坐標是任意的，而x、y坐標則滿足準線方程，從而點M的坐標x、y、z也滿足準線方程.以xOy面上的曲線F(x，y}=0為準線，母線平行于z軸的柱面方程，就是不含變量z的準線方程F(x，y}=0，也就是說，在空間直角坐標系中，不含z的方程F(x，y}=0表示母線平行于z軸的柱面.同理，在空間直角坐標系中，不含y(或不含x)的方程G(x，y)=0或H(y，z)=0表示母線平行于y軸(或x軸)的柱面.現(xiàn)在寫出幾個母線平行于z軸的柱面方程:圓柱面方程:橢圓柱面方程:

(見圖1.7)上一頁下一頁返回1.1空間解析幾何基本知識拋物柱面方程:雙曲柱面方程:在空間解析幾何中，如果曲面方程F(x，y，z)=0的x、y、z都是一次的，則它對應的曲面就是一個平面;如果方程是二次的，則它所對應的曲面稱為二次曲面.3.以坐標軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面方程一條平面曲線c繞著同一平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面(簡稱旋轉(zhuǎn)面)，曲線c稱為旋轉(zhuǎn)面的母線，直線l稱為旋轉(zhuǎn)面的軸.設平面x=0上的曲線c:f(x,y)=o，繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，現(xiàn)在來建立這個旋轉(zhuǎn)面的方程(見圖1.8).上一頁下一頁返回1.1空間解析幾何基本知識在旋轉(zhuǎn)面上任取一點M(x，y，x)，設M是由曲線c上的點

繞z軸旋轉(zhuǎn)而得到，容易看出，點M與點具有相同的豎坐標，點M與點與轉(zhuǎn)軸等遠(同在一個圓周上).即已知母線c在yOz面上的方程為f(y，z)=0，點在曲線c上，將其代入上式，即得由此可見，要求平面X=0上的曲線f(y,z)=0繞z軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)面的方程，只需在母線方程中把y換成

即可.同理，平面x=0上的曲線f(y,z)=0繞y軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)面的方程為上一頁下一頁返回1.1空間解析幾何基本知識例1-3求yOz面上的直線z=ky,繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的圖形(圓錐面)的方程.解在方程z=ky中，把y換成

，得到以z軸為旋轉(zhuǎn)軸的圓

錐面的方程

，即 .上一頁返回1.2二元函數(shù)的基本概念1.2.1

多元函數(shù)概念【先行問題】在生產(chǎn)實踐和科學試驗中，所研究的問題常常要考慮多種因素，它反映到數(shù)學上就是一個變量依賴于多個變量的問題，這就是多元函數(shù).引例1圓柱體的體積V與它的半徑r，高h之間的關系為V=，其中，體積V是隨r、h的變化而變化的，當r、h在一定范圍(r>0，h>0)內(nèi)取定一對值時，V的值就隨之而定.引例2物體運動的動能W與物體的質(zhì)量m和運動的速度v兩個量有關系.其中，動能W是隨m、v的變化而變化的，m、v取定一對值，就由W= 對應著唯一一個動能W.下一頁返回1.2二元函數(shù)的基本概念分析:上面兩個例子的具體意義雖然各不相同，但它們具有共性:對于某一范圍內(nèi)的一對數(shù)，按照一定的對應規(guī)律，都有確定的數(shù)值與之對應.1.多元函數(shù)概念定義1.3設有三個變量x、y、z.如果當變量x、y在一定范圍內(nèi)任意取定一對值時，變量z按照一定的規(guī)律，總有確定的值與之對應，則稱變量z為變量x、y的二元函數(shù)，記為z=f(x,y)或z=z(x,y).其中，變量x和y稱為自變量，而變量z稱為因變量;自變量x和y的變化范圍稱為函數(shù)的定義域.類似地，可以定義三元函數(shù)u=f(x,y,z)，以及三元以上的函數(shù).二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).上一頁下一頁返回1.2二元函數(shù)的基本概念求二元函數(shù)定義域的方法與求一元函數(shù)的類似:對于用解析式z=f(x,y)表達的二元函數(shù)，使這個解析式有確定值的自變量x、y的變化范圍就是這個函數(shù)的定義域.

例如，函數(shù)z=In(x+y)只在x+y>0(或y>-x)時有定義.它的定義域是位于直線y=-x上方的半平面而不包括這直線在內(nèi)的平面點集.例1-4求函數(shù)z= 的定義域.解要使函數(shù)有意義，則必須使

即 .

所以函數(shù)的定義域為{(x,y)I }.它的定義域是以原點為圓心，半徑為4的圓內(nèi)和圓上的點在內(nèi)的平面點集.1.2.2二元函數(shù)的極限定義1.4設函數(shù)z=f(x,y)在點

的附近有定義(點

可除外)，上一頁下一頁返回1.2二元函數(shù)的基本概念如果當點P(x,y}以任何方式趨近于點

時，函數(shù)f(x，y)

無限接近于一個確定的常數(shù)A，則稱A為函數(shù)z=f(x，y)當 ,

時的極限，記為

，也可記為f(x，y).

應該指出:二元函數(shù)的極限存在，是指P(x,y)以任何方式趨近于

時，函數(shù)都無限接近于A.因此，如果P(x,y)以某一特定方式(如沿著一條定直線或定曲線)趨近于

時,即使函數(shù)無限接近于某一確定值，也不能確定函數(shù)此時的極限存在.如果當P(x,y)以不同方式趨近于

時，函數(shù)無限接近于不同的值，則可確定函數(shù)此時的極限不存在.上一頁下一頁返回1.2二元函數(shù)的基本概念例1-5求

當

時的極限.

解函數(shù)f(x,y）在點(0,0)處沒有定義，記

，當

時，

于是

例1-6討論極限

是否存在.解因為當點P(x，y）沿直線y=0趨近于點(0,0)時，有

，而當點P(x，y)沿直線y=x趨近于點(0,0)時，有上一頁下一頁返回1.2二元函數(shù)的基本概念

，所以，極限

不存在.上一頁下一頁返回1.2二元函數(shù)的基本概念1.2.3二元函數(shù)的連續(xù)性定義1.5設函數(shù)z=f(x，y)在點

附近有定義，P(x，y)是該鄰域內(nèi)任一點，如果

則稱函數(shù)z=f（x，y）在點

處連續(xù).如果f（x，y）在區(qū)域D的每一點都連續(xù)，那么就稱函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù).與一元函數(shù)一樣，二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)及復合函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)仍是連續(xù)的.上一頁返回1.3偏導數(shù)1.3.1偏導數(shù)的定義「先行問題]某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種不同的產(chǎn)品，當每月產(chǎn)量分別是x，y時，總成本為.我們想知道:當產(chǎn)量分別為

時，以后每月乙產(chǎn)品產(chǎn)量保持穩(wěn)定，甲產(chǎn)品產(chǎn)量發(fā)生變化，這時總成本對甲產(chǎn)品產(chǎn)量的變化率是什么?分析當甲、乙產(chǎn)品產(chǎn)量分別為

時，以后每月乙產(chǎn)品產(chǎn)量保持穩(wěn)定，即每月乙產(chǎn)品產(chǎn)量不會發(fā)生改變.若甲產(chǎn)品產(chǎn)量的增量為△x，那么總成本的增量下一頁返回1.3偏導數(shù)于是，總成本對甲產(chǎn)品產(chǎn)量的變化率為

（1）這個問題就是二元函數(shù)的偏導數(shù)問題，式(1)的極限值稱為C=C(x，y)在點

對x的偏導數(shù).定義1.6設函數(shù)z=f(x,y)在點

的某鄰域內(nèi)有定義，當y固定在且x在處有增量△x時，相應地函數(shù)有增量(稱為對x的偏增量)如果極限上一頁下一頁返回1.3偏導數(shù)

存在，則稱此極限值為函數(shù)z=f(x,y)在點

處對x的偏導數(shù),記為

或

，即類似地，函數(shù)z=f(x,y)在點

處對y的偏導數(shù)定義為記為

或

，.上一頁下一頁返回1.3偏導數(shù)我們這里用字符?代替d，以區(qū)別于一元函數(shù)的導數(shù).如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(x,y)處對x的偏導數(shù)都存在，則這個偏導數(shù)就是x、y的函數(shù)，稱為函數(shù)z=f(x,y)對自變量x的偏導函數(shù)，記為

或類似地，可以定義函數(shù)z=f(x,y)對自變量y的偏導函數(shù)，記為

或像一元函數(shù)的導函數(shù)一樣，我們以后在不至于混淆的地方一也把偏導函數(shù)簡稱為偏導數(shù).上一頁下一頁返回1.3偏導數(shù)由偏導數(shù)的定義可知，求多元函數(shù)一個自變量的偏導數(shù)時，只需將其他自變量看成常數(shù)，用一元函數(shù)求導法即可求得.例1-7求

在點(1,2)處的偏導數(shù).解將x=1,y=2代入上式得

上一頁下一頁返回1.3偏導數(shù)

上一頁下一頁返回1.3偏導數(shù)應當指出，在一元函數(shù)y=f（x）中，導數(shù)可看做函數(shù)的微分dy與自變量微分dx之商，但對二元函數(shù)z=f（x，y）（多元函數(shù)）來說，，

是一個整體記號，不能看做分子與分母之商.1.3.2高階偏導數(shù)如果二元函數(shù)z=f（x，y）的偏導數(shù)

仍然可導，那么它們的偏導數(shù)稱為函數(shù)z=f(x，y)的二階偏導數(shù).相對于二階偏導數(shù)，就稱

為一階偏導數(shù).依照對變量求導數(shù)的次序不同，有下列四個二階偏導數(shù).上一頁下一頁返回1.3偏導數(shù)其中第三、第四兩個偏導數(shù)稱為混合偏導數(shù).這里

與

的區(qū)別在于前一個是先對x、后對y求導，而后一個是先對y、后對x求導.一般說來，這樣兩個偏導數(shù)當然是有區(qū)別的.但是我們可以證明(從略):當

與

都連續(xù)時，求導的結(jié)果與先后次序無關，即.例1-10求函數(shù)

的二階偏導數(shù).

解

，上一頁下一頁返回1.3偏導數(shù)根據(jù)二階偏導數(shù)的定義，可以定義更高階偏導數(shù).二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù).上一頁返回1.4多元復合函數(shù)的求導法則「先行問題]例如

等較復雜的多元復合函數(shù)的

偏導數(shù)如何求解?多元復合函數(shù)的求導法則是一元復合函數(shù)的求導法則的推廣.下面先就二元函數(shù)的復合函數(shù)進行討論.設函數(shù)z=f(u，v), 為x，y的復合函數(shù)

我們給出一個類似于一元函數(shù)那樣的復合函數(shù)的求導公式(證略):定理1.1如果函數(shù)

在點(x，y)處有偏導數(shù)，函數(shù)z=f(u,v)在對應的點（u，v）處有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)

在對（x，y）處有對x和y的偏導數(shù)，下一頁返回1.4多元復合函數(shù)的求導法則且這個公式稱為求復合函數(shù)偏導數(shù)的鏈式法則.例1-11設z=e“sinv，而u=xy，v=x+y，求解上一頁下一頁返回1.4多元復合函數(shù)的求導法則

以上定理中的鏈式法則可以推廣到中間變量或自變量不只兩個的情

形.例如:設z=f（u，v，w）具有連續(xù)偏導數(shù)，且

，w=w（x，y）都具有偏導數(shù)，則復合函數(shù)

有對自變量x，y的偏導數(shù)，且又如，只有一個中間變量的情形：z=f（u，x，y），上一頁下一頁返回1.4多元復合函數(shù)的求導法則它們都滿足所需的條件，則復合函數(shù)

有對自變量x和y的偏導數(shù)，且應當指出，這里

是不同的，是把

中的y看做常量而對x的偏導數(shù)，是把f（u，x，y）中的u，y看做

常量而對x的偏導數(shù). 也有類似區(qū)別。上一頁下一頁返回1.4多元復合函數(shù)的求導法則更特別地，在只有一個自變量的情形下，例如:

設z=f(u，v，w)且

，

，

，則復合函數(shù)

是只有一個變量t的函數(shù)，這個復

合函數(shù)對t的導數(shù)稱為全導數(shù)·若各函數(shù)都滿足所需要的條件，

則全導數(shù)存在，

并且例1-12設 , ，求解上一頁下一頁返回1.4多元復合函數(shù)的求導法則例1-13設 ,而x=sint，y=cost，求全導數(shù).

解例1-14設

，而y=sinx，求全導數(shù). 解上一頁下一頁返回1.4多元復合函數(shù)的求導法則例1-15設

，且f具有一階連續(xù)偏導數(shù)，

求.解設，則u=f（s，t），于是上一頁返回1.5全微分「先行問題]我們知道一元函數(shù)微分為，那么多元函數(shù)的微分如何定義?1.5.1全微分的概念「先行問題]若x表示邊長分別是x與y的矩形面積，即z=xy.如果邊長x與y分別取得增量△x與△y,則面積z相應地有全增量：如果設

則當ρ→0時，△x△y是P的高階無窮小，即△x△y=o(ρ).于是面積的全增量可以表示為下一頁返回1.5全微分分析在一元函數(shù)的微分學中，函數(shù)的微分是函數(shù)增量的線性主部，用函數(shù)的微分來近似地代替函數(shù)的增量，其誤差是一個較△x高階的無窮小，對于多元函數(shù)，一也有類似的情況.定義1.7設函數(shù)z=f(x，y)在點p(x，y)及其附近有定義，分別給自變量x，Y的增量△x、△y，函數(shù)在點p處對應的全增量為如果

，其中A、B與△x、△Y無關，而o(ρ)是ρ= 趨于0的高階無窮小，則稱函數(shù)z=f(x,y)在p(x，y)是可微的.并將dz=Adx+Bdy稱為二元函數(shù)z=f(x，y)在點p(x，y)的全微分.事實上，可以證明上一頁下一頁返回1.5全微分若將△x、△y分別記為dx、dy，于是函數(shù)z=f(x，y)在點p(x，y)的全微分可寫成注意:對一元函數(shù)來說，函數(shù)在某點可導與可微是等價的，但對多元函數(shù)來說，就不是這樣了·當函數(shù)z=f(x,y)的各偏導數(shù)存在時，雖然形

式上可以寫成

，但它與△z之差并不一定是ρ的高

階無窮小，即它不一定存在全微分，這就是說，各偏導數(shù)存在只是全微分存在的必要條件，不是它的充分條件.上一頁下一頁返回1.5全微分

所以

上一頁下一頁返回1.5全微分1.5.2全微分在近似計算中的應用在一元函數(shù)中，可以用函數(shù)的微分作為函數(shù)增量的近似值，在多元函數(shù)中也有類似的公式，以二元函數(shù)z=f(x,y)為例，設它的兩個偏導數(shù)

連續(xù)，并且

都較小時，由全微分的定義，可得下面近似公式:例1-18有一金屬制成的圓柱體，受熱后發(fā)生變形，它的半徑由20cm增大到20.05cm，高由50cm增加到50.09cm，求此圓柱體體積變化的近似值.解設圓柱體的半徑、高和體積分別為r、h和V，它們的增量分別記為△r、△h和△V，于是有上一頁下一頁返回1.5全微分其中，r=20,h=50,△r=0.05,△h=0.09，運用公式得上一頁返回1.6多元函數(shù)的極值與最值1.6.1二元函數(shù)的極值的定義定義1.8設函數(shù)z=f(x,y)在點

及其附近有定義，對于點

附近的不同于的點P(x，y):如果總有f(x，y)≤ 則稱函數(shù)在點

處有極大值 ;如總有f(x，y)≥ 則稱函數(shù)在點

處有極小值 .極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.例如，函數(shù)

，在點(0,0)處有極大值z=a，由圖1.9(a).可見，點(0,0,a)是半球

的最高點.又如，函數(shù)

在點(0,0)處有極小值，因為在點(0,0)的任下一頁返回1.6多元函數(shù)的極值與最值一鄰域內(nèi)異于點(0,0)的點的函數(shù)值都為正，而點(0,0)處函數(shù)值為零.從幾何圖形上看是顯然的，因為點(0,0)是開口向上的旋轉(zhuǎn)拋物面

的頂點(如圖1.9(b)).1.6.2二元函數(shù)極值存在的必要條件定理1.2(必要條件)設函數(shù)z=f(x,y)在點

可微分，且在點

處有極值，則若點

能使函數(shù)z=f(x,y)的偏導數(shù)

同時為零，則稱點

為函數(shù)z=f(x,y)上的駐點.由定理1.2知，可微函數(shù)的極值點必是駐點，但駐點不一定是極值點.定理1.3(充分條件)設函數(shù)z=f(x,y)在點

及其附近有一階及上一頁下一頁返回1.6多元函數(shù)的極值與最值二階連續(xù)偏導數(shù)，

是它的駐點，令

則:(1)當

時，函數(shù)z=f(x,y)具有極值，當A＜0時，有極大值

，當A>0時，有極小值 ;(2)當

時，函數(shù)z=f(x,y)沒有極值;(3)當

時，

是否為極值，需另行判別.(證明從略)由定理1.2,1.3可得，求具有二階連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)z=f(x,y)的極值的步驟如下:(1)確定函數(shù)z=f(x,y)的定義域D;上一頁下一頁返回1.6多元函數(shù)的極值與最值(2)求使

同時成立的全部實數(shù)解，即得全部駐點;(3)對于每一個駐點

，求出二階