2024-2025學年新教材高中數(shù)學第五章三角函數(shù)5.4.3正切函數(shù)的性質與圖象課時跟蹤訓練含解析新人教A版必修第一冊

PAGE正切函數(shù)的性質與圖象一、復習鞏固1．y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))定義域為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)＋\f(3,8)π，k∈Z))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠2kπ＋\f(3,8)π，k∈Z))))解析：∵2x－eq\f(π,4)≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴x≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(3,8)π，k∈Z.故選B.答案：B2．函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的單調增區(qū)間為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))，k∈ZB．(kπ，kπ＋π)，k∈ZC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3,4)π，kπ＋\f(π,4)))，k∈ZD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(3,4)π))，k∈Z解析：令kπ－eq\f(π,2)<x＋eq\f(π,4)<kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(3,4)π<x<kπ＋eq\f(π,4)，即y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的單調增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3,4)π，kπ＋\f(π,4)))，k∈Z.故選C.答案：C3．函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的定義域是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,4)))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(π,4)))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(3,4)π，k∈Z))))解析：y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))，所以x－eq\f(π,4)≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，所以x≠kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z.答案：D4．下列說法正確的是()A．y＝tanx是增函數(shù)B．y＝tanx在第一象限是增函數(shù)C．y＝tanx在每個區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上是增函數(shù)D．y＝tanx在某一區(qū)間上是減函數(shù)解析：正切函數(shù)在每個區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上是增函數(shù)．但在整個定義域上不是增函數(shù)，另外，正切函數(shù)不存在減區(qū)間．答案：C5．在下列函數(shù)中，同時滿意以下三個條件的是()(1)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調遞減；(2)最小正周期為2π；(3)是奇函數(shù)．A．y＝tanx B．y＝cosxC．y＝sin(x＋3π) D．y＝sin2x解析：A.y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調遞增，不滿意條件(1)．B．函數(shù)y＝cosx是偶函數(shù)，不滿意條件(3)．C．函數(shù)y＝sin(x＋3π)＝－sinx，滿意三個條件．D．函數(shù)y＝sin2x的最小正周期T＝π，不滿意條件(2)．答案：C6．已知a＝tan2，b＝tan3，c＝tan5，不通過求值，推斷下列大小關系正確的是()A．a>b>c B．a<b<cC．b>a>c D．b<a<c解析：tan5＝tan[π＋(5－π)]＝tan(5－π)，由正切函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上為增函數(shù)可得tan3>tan2>tan(5－π)．答案：C7．函數(shù)y＝tan(cosx)的值域是()A．[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)] B．[－eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2)]C．[－tan1，tan1] D．以上均不對解析：∵－1≤cosx≤1，且函數(shù)y＝tanx在[－1,1]上為增函數(shù)，∴tan(－1)≤tanx≤tan1，即－tan1≤tanx≤tan1.答案：C8．若函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3ax－\f(π,3)))(a≠0)的最小正周期為eq\f(π,2)，則a＝________.解析：因為eq\f(π,|3a|)＝eq\f(π,2)，所以|a|＝eq\f(2,3)，所以a＝±eq\f(2,3).答案：±eq\f(2,3)9．若函數(shù)tanx>1，則x的取值區(qū)間________．解析：由tanx>1，得eq\f(π,4)＋kπ<x<eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，所以x的取值區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)10．求函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的單調增區(qū)間．解析：由kπ－eq\f(π,2)<2x＋eq\f(π,4)<kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得eq\f(kπ,2)－eq\f(3π,8)<x<eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,8)(k∈Z)，所以函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的單調增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)－\f(3π,8)，\f(kπ,2)＋\f(π,8)))(k∈Z)．二、綜合應用11．已知函數(shù)y＝tanωx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))內是減函數(shù)，則()A．0<ω<1 B．－1≤ω<0C．ω≥1 D．ω≤－1解析：法一：因為函數(shù)y＝tanωx在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))內是單調函數(shù)，所以最小正周期T≥π，即eq\f(π,|ω|)≥π，所以0<|ω|≤1.又函數(shù)y＝tanωx在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))內是減函數(shù)，所以ω<0.綜上，－1≤ω<0.法二：如取ω＝1時，不符合題意，解除A、C；取ω＝－2時，eq\f(π,4)∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，此時ωx＝－eq\f(π,2)，但－eq\f(π,2)的正切值不存在，不符合題意，所以解除D.故選B.答案：B12．下列圖形分別是①y＝|tanx|；②y＝tanx；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈(－eq\f(3π,2)，eq\f(3π,2))內的大致圖象，那么由a到d對應的函數(shù)關系式應是()A．①②③④ B．①③④②C．③②④① D．①②④③解析：∵y＝tan(－x)＝－tanx在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))上是減函數(shù)，故選D.答案：D13．直線y＝a(a為常數(shù))與正切曲線y＝tanωx(ω為常數(shù)且ω>0)相交的兩相鄰交點間的距離為________．解析：∵ω>0，∴函數(shù)y＝tanωx的周期為eq\f(π,ω).且在每一個獨立的區(qū)間內都是單調函數(shù)，∴兩交點間的距離為eq\f(π,ω).答案：eq\f(π,ω)14．關于x的函數(shù)f(x)＝tan(x＋φ)有以下幾種說法：①對隨意的φ，f(x)都是非奇非偶函數(shù)；②f(x)的圖象關于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－φ，0))對稱；③f(x)的圖象關于(π－φ，0)對稱；④f(x)是以π為最小正周期的周期函數(shù)．其中不正確的說法的序號是________．解析：①若取φ＝kπ(k∈Z)，則f(x)＝tanx，此時，f(x)為奇函數(shù)，所以①錯；視察正切函數(shù)y＝tanx的圖象，可知y＝tanx關于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)對稱，令x＋φ＝eq\f(kπ,2)得x＝eq\f(kπ,2)－φ，分別令k＝1,2知②、③正確，④明顯正確．答案：①15．求函數(shù)y＝tan2x的定義域、值域和周期，并作出它在區(qū)間[－π，π]內的圖象．解析：定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,4)＋\f(kπ,2)，k∈Z))))；值域為(－∞，＋∞)；周期為eq\f(π,2)；對應圖象如圖所示：16．已知x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))，求函數(shù)y＝eq\f(1,cos2x)＋2tanx＋1的最值及相應的x的值