2024-2025學年高中數(shù)學第一章三角函數(shù)1.2.1任意角的三角函數(shù)一學案含解析新人教A版必修4

PAGE1．2隨意角的三角函數(shù)1．2.1隨意角的三角函數(shù)(一)內(nèi)容標準學科素養(yǎng)1.理解隨意角的三角函數(shù)的定義并利用定義求值．2.結合單位圓定義三角函數(shù)，推斷三角函數(shù)在各個象限的符號．3.駕馭三角函數(shù)誘導公式一.提升數(shù)學運算運用直觀想象授課提示：對應學生用書第7頁[基礎相識]學問點一隨意角的三角函數(shù)閱讀教材P11～12，思索并完成以下問題(1)使銳角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，在終邊上任取一點P，作PM⊥x軸于M，設P(x，y)，|OP|＝r.那么sinα、cosα、tanα如何用x，y或r表示？提示：sinα＝eq\f(|PM|,|OP|)＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(|OM|,|OP|)＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(|PM|,|OM|)＝eq\f(y,x).(2)對確定的銳角α，sinα，cosα，tanα的值是否隨P點在終邊上的位置的變更而變更？為什么？提示：不變．三角形相像，對應邊成比例．(3)當取|OP|＝1時，sinα，cosα，tanα的值怎樣表示？提示：sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x).(4)假如α的終邊OP在其次象限且|OP|＝1，P(x，y)，sinα，cosα，tanα的表示變更嗎？提示：不變．仍是sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x).學問梳理前提如圖，設α是一個隨意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)定義正弦y叫做α的正弦，記作sinα，即sinα＝y(tǒng)余弦x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα＝x正切eq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)三角函數(shù)正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上的點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù).正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域三角函數(shù)定義域sinαRcosαRtanαα≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z學問點二正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限的符號閱讀教材P13，思索并完成以下問題依據(jù)三角函數(shù)的定義，你能推斷正弦、余弦、正切函數(shù)的值在各象限的符號嗎？(1)當α的終邊在第一象限時，P(x，y)．提示：sinα＝y(tǒng)>0，cosα＝x>0，tanα＝eq\f(y,x)>0(2)當α的終邊在其次象限時，P(x，y)．提示：sinα＝y(tǒng)>0，cosα＝x<0，tanα＝eq\f(y,x)<0.(3)當α的終邊在第三象限時，P(x，y)．提示：sinα＝y(tǒng)<0，cosα＝x<0，tanα＝eq\f(y,x)>0.(4)當α的終邊在第四象限時，P(x，y)．提示：sinα＝y(tǒng)<0，cosα＝x>0，tanα＝eq\f(y,x)<0.學問梳理口訣概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如圖)．學問點三誘導公式一閱讀教材P14，思索并完成以下問題當角α分別為30°，390°，－330°時，它們的終邊有什么特點？提示：sin390°＝sin(360°＋30°)，sin(－330°)＝sin(－360°＋30°)，故30°、390°、－330°終邊相同．學問梳理誘導公式一sin(α＋k·2π)＝sinα，cos(α＋k·2π)＝cosα，tan(α＋k·2π)＝tanα，其中k∈Z.(1)當α的終邊在y軸正半軸時，P(0，1)，則α＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z．sinα＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ))＝sineq\f(π,2)＝1．cosα＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ))＝coseq\f(π,2)＝0．(2)當α的終邊在y軸負半軸時，P(0，－1)，則α＝eq\f(3,2)π＋2kπ，k∈Z．sinα＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π＋2kπ))＝sineq\f(3,2)π＝－1．cosα＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π＋2kπ))＝coseq\f(3,2)π＝0．(3)當α的終邊在x軸正半軸時，P(1，0)，則α＝2kπ，k∈Z．sinα＝sin(2kπ＋0)＝sin0＝0．cosα＝cos(2kπ＋0)＝cos0＝1．tanα＝tan(2kπ＋0)＝tan0＝0.(4)當α的終邊在x軸負半軸時，P(－1，0)，則α＝2kπ＋π，k∈Z．sinα＝sin(2kπ＋π)＝sinπ＝0．cosα＝cos(2kπ＋π)＝cosπ＝－1．tanα＝tan(2kπ＋π)＝tanπ＝0．[自我檢測]1．若α是其次象限角，則點P(sinα，cosα)在()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限答案：D2．α的終邊與單位圓交于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))，則sinα＝______，cosα＝________．答案：eq\f(3,5)－eq\f(4,5)授課提示：對應學生用書第8頁探究一隨意角的三角函數(shù)的定義及應用[教材P12例1、例2]方法步驟：(1)確定終邊上點的坐標．(2)應用定義求值．角度1已知角α終邊上一點的坐標求三角函數(shù)值[例1](1)已知θ終邊上一點P(x，3)(x≠0)，且cosθ＝eq\f(\r(10),10)x，求sinθ，tanθ.[解析]由題意知r＝|OP|＝eq\r(x2＋9)，由三角函數(shù)定義得cosθ＝eq\f(x,r)＝eq\f(x,\r(x2＋9)).又∵cosθ＝eq\f(\r(10),10)x，∴eq\f(x,\r(x2＋9))＝eq\f(\r(10),10)x.∵x≠0，∴x＝±1.當x＝1時，P(1，3)，此時sinθ＝eq\f(3,\r(12＋32))＝eq\f(3\r(10),10)，tanθ＝eq\f(3,1)＝3.當x＝－1時，P(－1，3)，此時sinθ＝eq\f(3,\r(（－1）2＋32))＝eq\f(3\r(10),10)，tanθ＝eq\f(3,－1)＝－3.(2)已知角α的終邊過點P(－3a，4a)(a≠0)，求2sinα＋cos[解析]r＝eq\r(（－3a）2＋（4a）2)＝5|a|，①若a>0，則r＝5a，角αsinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(4a,5a)＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－3a,5a)＝－eq\f(3,5)，所以2sinα＋cosα＝eq\f(8,5)－eq\f(3,5)＝1.②若a<0，則r＝－5a，角αsinα＝eq\f(4a,－5a)＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(－3a,－5a)＝eq\f(3,5).所以2sinα＋cosα＝－eq\f(8,5)＋eq\f(3,5)＝－1.角度2已知角α終邊所在直線求三角函數(shù)值[例2]已知角α的終邊在直線y＝－3x上，求10sinα＋eq\f(3,cosα)的值．[解析]由題意知，cosα≠0.設角α的終邊上任一點為P(k，－3k)(k≠0)，則x＝k，y＝－3k，r＝eq\r(k2＋（－3k）2)＝eq\r(10)|k|.(1)當k>0時，r＝eq\r(10)k，α是第四象限角，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3k,\r(10)k)＝－eq\f(3\r(10),10)，eq\f(1,cosα)＝eq\f(r,x)＝eq\f(\r(10)k,k)＝eq\r(10)，∴10sinα＋eq\f(3,cosα)＝10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(10),10)))＋3eq\r(10)＝－3eq\r(10)＋3eq\r(10)＝0.(2)當k<0時，r＝－eq\r(10)k，α是其次象限角，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3k,－\r(10)k)＝eq\f(3\r(10),10)，eq\f(1,cosα)＝eq\f(r,x)＝eq\f(－\r(10)k,k)＝－eq\r(10)，∴10sinα＋eq\f(3,cosα)＝10×eq\f(3\r(10),10)＋3×(－eq\r(10))＝3eq\r(10)－3eq\r(10)＝0.綜上所述，10sinα＋eq\f(3,cosα)＝0.方法技巧由角α終邊上隨意一點的坐標求其三角函數(shù)值的步驟(1)已知角α的終邊在直線上時，常用的解題方法有以下兩種：①先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標，然后再利用正弦、余弦函數(shù)的定義求出相應三角函數(shù)值；②在α的終邊上任選一點P(x，y)，P到原點的距離為r(r>0)，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r).已知α的終邊求α的三角函數(shù)值時，用這幾個公式更便利．(2)當角α的終邊上點的坐標以參數(shù)形式給出時，要依據(jù)問題的實際狀況對參數(shù)進行分類探討．跟蹤探究1.已知點M是圓x2＋y2＝1上一點，以射線OM為終邊的角α的正弦值為－eq\f(\r(2),2)，求cosα和tanα的值．解析：設點M的坐標為(x1，y1)．故題意可知，sinα＝－eq\f(\r(2),2)，即y1＝－eq\f(\r(2),2).∵點M在圓x2＋y2＝1上，∴xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝1，即xeq\o\al(2,1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝1，解得x1＝eq\f(\r(2),2)或x1＝－eq\f(\r(2),2).∴cosα＝eq\f(\r(2),2)，tanα＝－1，或cosα＝－eq\f(\r(2),2)，tanα＝1.2．求eq\f(π,4)的正弦、余弦、正切值．解析：在直角坐標系中，∠AOB＝eq\f(π,4)，P為終邊上一點，可設為(1，1)，則OP＝eq\r(2).∴sineq\f(π,4)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，coseq\f(π,4)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，taneq\f(π,4)＝eq\f(1,1)＝1.探究二三角函數(shù)值符號的推斷[教材P13例3]方法步驟：象限?符號[例3](1)若角θ同時滿意sinθ<0且tanθ<0，則角θ的終邊肯定位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限[解析]sinθ<0，則θ在第三、四象限或y軸的負半軸．tanθ<0，則θ在其次、四象限或x軸的負半軸．其公共象限為第四象限，故選D.[答案]D(2)推斷下列各式的符號：①tan191°－cos191°；②sin2·cos3·tan4.[解析]①因為191°是第三象限角；所以tan191°>0，cos191°<0.所以tan191°－cos191°>0.②因為2是其次象限角，3是其次象限角，4是第三象限角．所以sin2>0，cos3<0，tan4>0.所以sin2·cos3·tan4<0.(3)求函數(shù)y＝eq\f(sinα,|sinα|)＋eq\f(cosα,|cosα|)的值．[解析]當α在第一象限時，y＝eq\f(sinα,sinα)＋eq\f(cosα,cosα)＝2.當α在其次象限時，y＝1－1＝0.當α在第三象限時，y＝－1－1＝－2.當α在第四象限時，y＝－1＋1＝0.綜上，y的值為0或－2或2.方法技巧三角函數(shù)值符號的推斷問題(1)由三角函數(shù)的定義可知sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(r>0)可知三角函數(shù)值的符號是由角的終邊上一點(除原點)P(x，y)的坐標確定的，故精確確定角的終邊位置是推斷該角三角函數(shù)值符號的關鍵．(2)由三角函數(shù)值的符號確定α角的終邊所在象限問題，應首先依據(jù)題目中全部三角函數(shù)值的符號來確定角α的終邊所在的象限，則它們的公共象限即為所求．延長探究1.將本例(1)改為：若sinαtanα<0，且eq\f(cosα,tanα)<0，則角α是()A．第一象限角 B．其次象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析：由sinαtanα<0可知sinα，tanα異號，得α是其次或第三象限角．由eq\f(cosα,tanα)<0可知cosα，tanα異號，得α是第三或第四象限角．綜上可知，α是第三象限角．答案：C2．將本例(3)改為：函數(shù)y＝eq\f(sinα,|sinα|)＋eq\f(cosα,|cosα|)＋eq\f(tanα,|tanα|)的值域為________．解析：當α是第一象限角時，sinα，cosα，tanα均為正值，∴eq\f(sinα,|sinα|)＋eq\f(cosα,|cosα|)＋eq\f(tanα,|tanα|)＝3.當α是其次象限角時，sinα為正值，cosα，tanα為負值，∴eq\f(sinα,|sinα|)＋eq\f(cosα,|cosα|)＋eq\f(tanα,|tanα|)＝－1.當α是第三象限角時，sinα，cosα為負值，tanα為正值，∴eq\f(sinα,|sinα|)＋eq\f(cosα,|cosα|)＋eq\f(tanα,|tanα|)＝－1.當α是第四象限角時，sinα，tanα為負值，cosα為正值，∴eq\f(sinα,|sinα|)＋eq\f(cosα,|cosα|)＋eq\f(tanα,|tanα|)＝－1.綜上可知，函數(shù)的值域為{－1，3}．答案：{－1，3}探究三誘導公式一的應用[教材P14例5]方法步驟：(1)將角改寫為“2kπ＋α”的形式，α∈(0，2π)．(2)利用公式求值．[例4]求下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＋coseq\f(12π,5)·tan4π.[解析](1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6),4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1＋\r(6),4).(2)原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(2π,5)))·tan(4π＋0)＝sineq\f(π,6)＋coseq\f(2π,5)×0＝eq\f(1,2).方法技巧利用誘導公式一可把負角的三角函數(shù)化為0到2π間的三角函數(shù)，也可把大于2π的角的三角函數(shù)化為0到2π間的三角函數(shù)，即實現(xiàn)了“負化正，大化小”．跟蹤探究3.求下列各式的值：(1)coseq\f(25π,3)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))；(2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.解析：(1)原式＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8π＋\f(π,3)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,4)))＝coseq\f(π,3)＋taneq\f(π,4)＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin90°＋tan45°＋cos60°＝1＋1＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).授課提示：對應學生用書第10頁[課后小結]1．三角函數(shù)值是比值，是一個實數(shù)，這個實數(shù)的大小與點P(x，y)在終邊上的位置無關，只與角α的終邊位置有關，即三角函數(shù)值的大小只與角的大小有關．一般地結論是：α的終邊上點P(x，y)：首先求|OP|＝r＝eq\r(x2＋y2)，那么sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．2．對公式一的理解實質終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等結構特征1.公式的左右兩邊為同名三角函數(shù)2.公式左邊的角為α＋2kπ，右邊的角為α作用把求隨意角的三角函數(shù)值轉化為求0～2π(或0°～360°)間的角的三角函數(shù)值[素養(yǎng)培優(yōu)]1．不探討終邊(點)的位置而致錯[典例]已知角α的終邊在直線y＝2x上，求sinα，cosα，tanα的值．易錯分析此題只認為α的終邊在第一象限而丟解．自我訂正[解析]法一：(單位圓法)設直線y＝2x與單位圓x2＋y2＝1的交點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1，,y＝2x，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(\r(5),5)，,y1＝\f(2\r(5),5)，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝－\f(\r(5),5)，,y2＝－\f(2\r(5),5).))①當角α的終邊在第一象限時，cosα＝x1＝eq\f(\r(5),5)，sinα＝y(tǒng)1＝eq\f(2\r(5),5)，tanα＝eq\f(y1,x1)＝2.②當角α的終邊在第三象限時，cosα＝x2＝－eq\f(\r(5),5)，sinα＝y(tǒng)2＝－eq\f(2\r(5),5)，tanα＝eq\f(y2,x2)＝2.法二：(定義法)在直線y＝2x上任取一點P(t，2t)(t≠0)，則r＝eq\r(t2＋（2t）2)＝eq\r(5)|t|.①若t>0，則r＝eq\r(5)t，從而sinα＝eq\f(2t,\r(5)t)＝eq\f(2,5)eq\r(5)，cosα＝eq\f(t,\r(5)t)＝eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(y,x)＝2.②若t<0，則r＝－eq\r(5)t，從而sinα＝eq\f(2t,－\r(5)t)＝－eq\f(2,5)eq\r(5)，cosα＝eq\f(t,－\r(5)t)＝－eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(y,x)＝2.2．數(shù)學計算失誤[典例]已知角α的終邊上一點P(4t，－3t)(t≠0)，求α的各三角函數(shù)值．易錯分析此題要先求|OP|時出錯，認為|OP|＝5t.自我訂正[解析]因為點P的坐標是(4t，－3t)且t≠0，所以r＝|OP|＝eq\r(（4t）2＋（－3t）2)＝5|t|.當t>0時，α是第四象限角，r＝|O